4358:
5638:
6611:, each independently, for rational power functions in the mid 17th century, who both then used it to derive the power rule for integrals as the inverse operation. This mirrors the conventional way the related theorems are presented in modern basic calculus textbooks, where differentiation rules usually precede integration rules.
3767:
5199:
4650:
6603:, each working independently. At the time, they were treatises on determining the area between the graph of a rational power function and the horizontal axis. With hindsight, however, it is considered the first general theorem of calculus to be discovered. The power rule for differentiation was derived by
6614:
Although both men stated that their rules, demonstrated only for rational quantities, worked for all real powers, neither sought a proof of such, as at the time the applications of the theory were not concerned with such exotic power functions, and questions of convergence of infinite series were
2396:
is not a rational number, irrational power functions are not well defined for negative bases. In addition, as rational powers of â1 with even denominators (in lowest terms) are not real numbers, these expressions are only real valued for rational powers with odd denominators (in lowest terms).
1452:
is any real number. Although it is feasible to define the value as the limit of a sequence of rational powers that approach the irrational power whenever we encounter such a power, or as the least upper bound of a set of rational powers less than the given power, this type of definition is not
3852:
5421:
3472:
3178:
4989:
4411:
3357:
6428:
2651:
as was covered above, or is not a real number, so the limit does not exist as a real-valued derivative. For the two cases that do exist, the values agree with the value of the existing power rule at 0, so no exception need be made.
7140:
However, due to the multivalued nature of complex power functions for non-integer exponents, one must be careful to specify the branch of the complex logarithm being used. In addition, no matter which branch is used, if
2816:
approaches 0 as y approaches 0. Thus, it would be problematic to ascribe any particular value to it, as the value would contradict one of the two cases, dependent on the application. It is traditionally left undefined.
3857:
2125:
6282:
6131:
1336:
5384:
6005:
3017:
2492:
7001:
2304:
129:
4353:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left\\&=\lim _{h\to 0}\left\\&=nx^{n-1}\end{aligned}}}
1917:
5633:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}
4947:
6705:
5732:
4737:
3433:
2927:
6525:
3762:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}
5194:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}
4810:
3211:
6287:
1252:
4845:
1980:
7115:
6930:
5833:
4645:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}
1505:
8476:
6581:
5861:
5412:
3844:
2860:
1189:
6461:
6042:
4984:
1697:
5799:
5332:
2034:
1579:
7293:
2760:
7325:
5904:
1794:
8464:
6828:
1744:
1650:
1428:
1141:
1023:
6172:
2374:
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1368:
4878:
3816:
2336:
7059:
6773:
2647:
2539:
2193:
1847:
1532:
3467:
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2682:
2620:
6737:
6645:
4398:
1816:
5275:
5227:
3206:
3012:
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2953:
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2568:
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7247:
7159:
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6872:
6848:
6545:
5924:
5661:
5247:
4670:
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1603:
1450:
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8586:
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6177:
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2041:
8459:
8444:
7558:
7746:
6047:
8439:
1822:
function, the inverse function of the exponential function, as demonstrated by Euler. Since the latter two functions are equal for all values of
8056:
7810:
7502:
7180:
5929:
2432:
6932:, then it is straightforward to show that, on each branch of the complex logarithm, the same argument used above yields a similar result:
466:
525:
7608:
7357:
962:
8554:
8413:
7530:
7477:
7446:
7415:
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1858:
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204:
8617:
7968:
7884:
7688:
471:
8549:
8481:
8106:
7961:
7929:
3173:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}
1263:
802:
476:
456:
138:
5337:
8612:
8182:
7874:
8159:
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8627:
8622:
8272:
8210:
8005:
7879:
7551:
584:
531:
417:
8581:
7758:
7736:
7185:
6648:
243:
215:
8566:
326:
7946:
7768:
6935:
4887:
835:
448:
286:
258:
48:
8332:
6661:
5744:
A more straightforward generalization of the power rule to rational exponents makes use of implicit differentiation.
1453:
amenable to differentiation. It is therefore preferable to use a functional definition, which is usually taken to be
5670:
4675:
3371:
2865:
7951:
7721:
7205:
6652:
6466:
706:
670:
452:
331:
225:
220:
210:
8370:
8317:
6740:
6739:
and the x-axis, was a logarithmic function, whose base was eventually discovered to be the transcendental number
6608:
5869:
2656:
1606:
7778:
3352:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}
311:
8486:
8257:
7805:
7544:
5738:
605:
170:
4764:
4746:
Upon proving that the power rule holds for integer exponents, the rule can be extended to rational exponents.
8252:
7924:
1371:
919:
711:
600:
4815:
8380:
8262:
8083:
8031:
7837:
7815:
7683:
6588:
2827:
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845:
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665:
589:
6881:
5804:
8506:
8365:
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7934:
7869:
7842:
7832:
7753:
7726:
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6556:
1456:
929:
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371:
316:
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183:
7741:
6562:
5838:
5389:
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1166:
6433:
6010:
4952:
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5283:
1988:
1582:
934:
914:
840:
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7064:
8342:
8267:
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7862:
7847:
7678:
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7653:
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7407:
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756:
610:
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268:
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7276:
2717:
8431:
8406:
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8190:
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8096:
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8071:
8026:
7973:
7956:
7731:
7716:
7661:
7298:
6592:
6555:
The power rule for integrals was first demonstrated in a geometric form by
Italian mathematician
5277:
by applying the power rule for integer exponents using the chain rule, as shown in the next step.
1752:
1655:
874:
777:
761:
701:
655:
536:
460:
366:
361:
165:
8066:
8061:
7857:
7628:
6791:
4757:
This proof is composed of two steps that involve the use of the chain rule for differentiation.
1707:
1613:
1391:
1104:
986:
696:
691:
160:
6423:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}
6136:
8571:
8395:
8327:
8149:
8126:
8000:
7993:
7896:
7711:
7603:
7526:
7498:
7473:
7469:
7463:
7442:
7438:
7432:
7411:
7378:
7353:
2343:
2131:
1819:
1344:
948:
782:
560:
443:
396:
253:
248:
4850:
3788:
2312:
8529:
8312:
8225:
8205:
8136:
8046:
7988:
7980:
7914:
7827:
7588:
7583:
7029:
6878:
of 0 and any branch cut connected to it, and we use the conventional multivalued definition
6746:
6584:
3778:
2626:
2518:
2172:
1826:
1511:
792:
686:
660:
521:
438:
402:
7061:, or define positive integral complex powers through complex multiplication, and show that
3440:
2792:
2765:
2660:
2598:
1370:. It can be derived by inverting the power rule for differentiation. In this equation C is
8591:
8576:
8360:
8215:
8195:
8164:
8141:
8121:
8015:
7671:
7618:
7400:
6713:
6621:
5664:
4405:
4374:
3769:
By the principle of mathematical induction, the statement is true for all natural numbers
1801:
924:
797:
751:
746:
633:
546:
491:
5252:
5204:
3185:
2991:
2958:
2932:
2689:
2547:
2404:
17:
1851:
their derivatives are also equal, whenever either derivative exists, so we have, by the
8501:
8400:
8247:
8200:
8101:
7904:
7256:
7232:
7144:
7120:
7009:
6857:
6851:
6833:
6530:
5909:
5646:
5249:
is a nonzero natural number. This can be generalized to rational exponents of the form
5232:
4655:
2982:
2576:
2497:
2379:
1588:
1435:
1146:
1084:
1028:
807:
615:
387:
8606:
8375:
8230:
8116:
7820:
7795:
7195:
6600:
1062:
787:
551:
306:
263:
8385:
8355:
8220:
7783:
7190:
6875:
6604:
1066:
541:
291:
6655:
in the mid 17th century, who demonstrated that the associated definite integral,
7633:
7575:
6596:
6583:, and during the mid 17th century for all rational powers by the mathematicians
1046:
904:
8350:
8282:
8036:
7909:
7773:
7706:
7026:
is a positive integer, then there is no need for a branch cut: one may define
5415:
4881:
4751:
1852:
1070:
1058:
1050:
650:
574:
296:
200:
8544:
8292:
8287:
7598:
1054:
579:
569:
8539:
8041:
7919:
7567:
7161:
is not a positive integer, then the function is not differentiable at 0.
1061:
can also be differentiated using this rule. The power rule underlies the
976:
645:
392:
349:
38:
8390:
7643:
2714:
from our scheme of exponentiation is due to the fact that the function
6277:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}
8559:
7623:
7638:
7137:, from the definition of the derivative and the binomial theorem.
2120:{\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}
7521:
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and
Edwards, Bruce H. (2003).
6743:. The modern notation for the value of this definite integral is
5201:
Thus, the power rule applies for rational exponents of the form
2514:
is a rational number with odd denominator (in lowest terms) and
1387:
To start, we should choose a working definition of the value of
7540:
7377:(3 ed.). Texas: Publish or Perish, Inc. pp. 336â342.
6874:
is a complex number in a slit complex plane that excludes the
6126:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}
7523:
Calculus of a Single
Variable: Early Transcendental Functions
6559:
in the early 17th century for all positive integer values of
2340:
This necessarily leads to the same result. Note that because
7536:
5906:
Differentiating both sides of the equation with respect to
7465:
The
History of the Calculus and its Conceptual Development
7434:
The
History of the Calculus and its Conceptual Development
1331:{\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}
6710:
representing the area between the rectangular hyperbola
5379:{\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},}
1984:
as was required. Therefore, applying the chain rule to
7497:(2 ed.). Heidelberg: Springer-Verlag. p. 46.
6000:{\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}
2487:{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}
7301:
7279:
7259:
7235:
7147:
7123:
7067:
7032:
7012:
6938:
6884:
6860:
6836:
6794:
6749:
6716:
6664:
6624:
6567:
6565:
6533:
6469:
6436:
6290:
6180:
6139:
6050:
6013:
5932:
5912:
5872:
5841:
5807:
5753:
5673:
5649:
5424:
5392:
5340:
5286:
5255:
5235:
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4992:
4955:
4890:
4853:
4818:
4767:
4678:
4658:
4414:
4377:
3855:
3824:
3791:
3475:
3443:
3374:
3214:
3188:
3020:
2994:
2961:
2935:
2868:
2840:
2795:
2768:
2720:
2692:
2663:
2629:
2601:
2579:
2550:
2521:
2500:
2435:
2407:
2382:
2346:
2315:
2299:{\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}
2204:
2175:
2134:
2044:
1991:
1926:
1861:
1829:
1804:
1755:
1710:
1658:
1616:
1591:
1542:
1514:
1459:
1438:
1394:
1347:
1266:
1200:
1169:
1149:
1107:
1087:
1031:
989:
51:
7352:. New York: Chelsea Publishing Company. p. 45.
3364:
Suppose the statement holds for some natural number
2400:
Finally, whenever the function is differentiable at
1057:
operation on the space of differentiable functions,
8519:
8430:
8423:
8341:
8303:
8175:
8082:
8014:
7895:
7697:
7652:
7574:
1609:. First, we may demonstrate that the derivative of
7406:. New Jersey: Princeton University Press. p.
7399:
7319:
7287:
7265:
7241:
7153:
7129:
7109:
7053:
7018:
6995:
6924:
6866:
6842:
6822:
6767:
6731:
6699:
6639:
6575:
6539:
6519:
6455:
6422:
6276:
6166:
6125:
6036:
5999:
5918:
5898:
5855:
5827:
5793:
5726:
5655:
5643:From the above results, we can conclude that when
5632:
5406:
5378:
5326:
5269:
5241:
5221:
5193:
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4644:
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6647:was resolved by Flemish Jesuit and mathematician
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4105:
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4048:
4017:
4004:
1270:
27:Method of differentiating single term polynomials
6996:{\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}
4942:{\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}
4163:
3958:
3888:
3293:
3244:
3114:
3077:
2437:
124:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
6700:{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}
983:is used to differentiate functions of the form
5727:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}
4732:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}
3428:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}
2922:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}
1912:{\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1}
7552:
6520:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}
2376:does not have a conventional definition when
956:
8:
4363:Generalization to negative integer exponents
1257:The power rule for integration states that
7253:has an odd denominator, then the domain of
3361:Therefore, the base case holds either way.
8427:
7559:
7545:
7537:
2429:the defining limit for the derivative is:
963:
949:
829:
735:
639:
515:
355:
189:
29:
8587:Regiomontanus' angle maximization problem
7525:(3rd edition). Houghton Mifflin Company.
7300:
7281:
7280:
7278:
7258:
7234:
7146:
7122:
7095:
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7011:
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6937:
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6883:
6859:
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6564:
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5423:
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4826:
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4679:
4677:
4657:
4627:
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4511:
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3831:
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3802:
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3735:
3707:
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3663:
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3609:
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3563:
3554:
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3510:
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3476:
3474:
3442:
3410:
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3375:
3373:
3334:
3308:
3296:
3259:
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3213:
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3021:
3019:
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2867:
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2767:
2746:
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2600:
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2203:
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2111:
2097:
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2043:
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1990:
1966:
1925:
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1803:
1754:
1730:
1709:
1683:
1657:
1636:
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1590:
1565:
1541:
1513:
1464:
1458:
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1414:
1393:
1346:
1297:
1291:
1281:
1275:
1265:
1240:
1228:
1199:
1177:
1176:
1168:
1148:
1127:
1106:
1086:
1030:
1009:
988:
84:
61:
56:
50:
4805:{\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}
7935:Differentiating under the integral sign
7493:Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009).
7340:
7222:
769:
738:
678:
559:
487:Differentiating under the integral sign
425:
379:
276:
235:
192:
37:
2789:approaches 1 as x approaches 0, while
7811:Inverse functions and differentiation
7181:Inverse functions and differentiation
6788:If we consider functions of the form
4840:{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}
7:
4742:Generalization to rational exponents
2197:we may use the same definition with
6925:{\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}
5828:{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }
7609:Free variables and bound variables
7350:Differential and Integral Calculus
7311:
4281:
4231:
4190:
4109:
4052:
4008:
1500:{\displaystyle x^{r}=\exp(r\ln x)}
33:Part of a series of articles about
25:
8414:The Method of Mechanical Theorems
6576:{\displaystyle {\displaystyle n}}
5856:{\displaystyle r\in \mathbb {Q} }
5407:{\displaystyle r\in \mathbb {Q} }
4404:is a positive integer. Using the
3839:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2855:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
1247:{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,.}
1184:{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
7969:Partial fractions in integration
7885:Stochastic differential equation
6456:{\displaystyle r={\frac {p}{q}}}
6037:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
4979:{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
1975:{\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}
8107:Jacobian matrix and determinant
7962:Tangent half-angle substitution
7930:Fundamental theorem of calculus
5794:{\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}
5327:{\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}
4652:In conclusion, for any integer
2862:. It is required to prove that
2029:{\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}
8183:Arithmetico-geometric sequence
7875:Ordinary differential equation
7314:
7302:
7110:{\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}}
7082:
7076:
7042:
7036:
6990:
6975:
6953:
6947:
6919:
6904:
6804:
6798:
6762:
6756:
4533:
4519:
4170:
3965:
3919:
3906:
3895:
3748:
3736:
3728:
3716:
3700:
3688:
3544:
3525:
3300:
3274:
3262:
3251:
3121:
3084:
3070:
3064:
2981:, depending on how the set of
2736:
2724:
2444:
2357:
2347:
2287:
2277:
2268:
2258:
2246:
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2233:
2230:
2221:
2218:
2059:
2053:
2001:
1995:
1956:
1950:
1941:
1935:
1900:
1894:
1877:
1871:
1777:
1774:
1768:
1762:
1720:
1714:
1673:
1667:
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1620:
1555:
1549:
1494:
1479:
1404:
1398:
1215:
1209:
1117:
1111:
999:
993:
118:
112:
103:
97:
81:
75:
1:
8006:Integro-differential equation
7880:Partial differential equation
2762:has no limit at (0,0), since
1574:{\displaystyle \exp(x)=e^{x}}
418:Integral of inverse functions
7468:. New York: Dover. pp.
7288:{\displaystyle \mathbb {R} }
7186:Linearity of differentiation
2821:Proofs for integer exponents
2755:{\displaystyle f(x,y)=x^{y}}
1583:natural exponential function
8160:Generalized Stokes' theorem
7947:Integration by substitution
7437:. New York: Dover. p.
7320:{\displaystyle (0,\infty )}
7295:. Otherwise, the domain is
7251:lowest terms representation
7249:is a rational number whose
6284:Applying laws of exponents,
5899:{\displaystyle y^{q}=x^{p}}
1789:{\displaystyle \ln(f(x))=x}
1692:{\displaystyle f'(x)=e^{x}}
1077:Statement of the power rule
836:Calculus on Euclidean space
259:Logarithmic differentiation
8644:
7689:(ξ, δ)-definition of limit
7206:Vector calculus identities
6823:{\displaystyle f(z)=z^{c}}
6653:Alphonse Antonio de Sarasa
2929:The base case may be when
1739:{\displaystyle f(x)=e^{x}}
1645:{\displaystyle f(x)=e^{x}}
1423:{\displaystyle f(x)=x^{r}}
1136:{\displaystyle f(x)=x^{r}}
1018:{\displaystyle f(x)=x^{r}}
8582:Proof that 22/7 exceeds Ď
8497:
8371:Gottfried Wilhelm Leibniz
8318:e (mathematical constant)
6775:, the natural logarithm.
6649:GrĂŠgoire de Saint-Vincent
6609:Gottfried Wilhelm Leibniz
6167:{\displaystyle y=x^{p/q}}
2494:which yields 0 only when
1101:be a function satisfying
570:Summand limit (term test)
18:Calculus with polynomials
8333:Stirling's approximation
7806:Implicit differentiation
7754:Rules of differentiation
7402:e: The Story of a Number
7373:Spivak, Michael (1994).
5739:implicit differentiation
2622:is not well-defined for
2572:For all other values of
2369:{\displaystyle (-1)^{r}}
2157:{\displaystyle rx^{r-1}}
1383:Proof for real exponents
1363:{\displaystyle r\neq -1}
254:Implicit differentiation
244:Differentiation notation
171:Inverse function theorem
8618:Mathematical identities
8567:EulerâMaclaurin formula
8472:trigonometric functions
7925:Constant of integration
7348:Landau, Edmund (1951).
6784:Complex power functions
6463:, we can conclude that
4873:{\displaystyle y^{n}=x}
4367:For a negative integer
3811:{\displaystyle y=x^{n}}
2331:{\displaystyle -x>0}
712:Helmholtz decomposition
8536:Differential geometry
8381:Infinitesimal calculus
8084:Multivariable calculus
8032:Directional derivative
7838:Second derivative test
7816:Logarithmic derivative
7789:General Leibniz's rule
7684:Order of approximation
7321:
7289:
7267:
7243:
7155:
7131:
7111:
7055:
7054:{\displaystyle f(0)=0}
7020:
6997:
6926:
6868:
6844:
6824:
6769:
6768:{\displaystyle \ln(x)}
6733:
6701:
6641:
6589:Evangelista Torricelli
6577:
6547:is a rational number.
6541:
6521:
6457:
6424:
6278:
6168:
6127:
6038:
6001:
5920:
5900:
5857:
5829:
5795:
5728:
5657:
5634:
5408:
5380:
5328:
5271:
5243:
5223:
5195:
4980:
4943:
4874:
4841:
4806:
4733:
4666:
4646:
4394:
4354:
3840:
3812:
3763:
3463:
3429:
3353:
3202:
3174:
3008:
2975:
2949:
2923:
2856:
2810:
2783:
2756:
2706:
2678:
2643:
2642:{\displaystyle h<0}
2616:
2587:
2564:
2535:
2534:{\displaystyle r>1}
2508:
2488:
2421:
2390:
2370:
2332:
2300:
2189:
2188:{\displaystyle x<0}
2158:
2121:
2030:
1976:
1913:
1843:
1842:{\displaystyle x>0}
1812:
1790:
1740:
1693:
1646:
1599:
1575:
1528:
1527:{\displaystyle x>0}
1501:
1446:
1424:
1364:
1332:
1248:
1185:
1157:
1137:
1095:
1039:
1019:
846:Limit of distributions
666:Directional derivative
327:FaĂ di Bruno's formula
125:
8613:Differentiation rules
8455:logarithmic functions
8450:exponential functions
8366:Generality of algebra
8244:Tests of convergence
7870:Differential equation
7854:Further applications
7843:Extreme value theorem
7833:First derivative test
7727:Differential operator
7699:Differential calculus
7322:
7290:
7268:
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