1538:
1209:
1533:{\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\varphi (n)&{\text{if }}n{\text{ is 1, 2, 4, or an odd prime power,}}\\{\tfrac {1}{2}}\varphi (n)&{\text{if }}n=2^{r},\ r\geq 3,\\\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda (n_{1}),\lambda (n_{2}),\ldots ,\lambda (n_{k}){\Bigr )}&{\text{if }}n=n_{1}n_{2}\ldots n_{k}{\text{ where }}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}{\text{ are powers of distinct primes.}}\end{cases}}}
20:
8098:
7823:
2306:. The roots 2 and 8 are congruent to powers of each other and the roots 7 and 13 are congruent to powers of each other, but neither 7 nor 13 is congruent to a power of 2 or 8 and vice versa. The other four elements of the multiplicative group modulo 15, namely 1, 4 (which satisfies
2903:
7273:
4561:
4225:
4097:
7926:
7937:
8186:
7683:
6453:
5690:
3558:
7420:
5974:
1154:
1024:
5785:
6945:
1179:
The
Carmichael lambda function of a prime power can be expressed in terms of the Euler totient. Any number that is not 1 or a prime power can be written uniquely as the product of distinct prime powers, in which case
5589:
6341:
6085:
6171:
2376:
2304:
929:
7594:
3726:
3100:
2739:
6745:
4688:
3828:
3922:
3634:
6262:
3384:
1794:
7069:
6645:
1638:
4442:
819:
4108:
3440:
4628:
7058:
6549:
3326:
3268:
2440:
3945:
2108:
2029:
1710:
137:
2484:
2228:
7834:
1960:
8093:{\displaystyle \lambda (n)=\operatorname {lcm} {\Bigl (}\lambda \left(p_{1}^{r_{1}}\right),\lambda \left(p_{2}^{r_{2}}\right),\ldots ,\lambda \left(p_{k}^{r_{k}}\right){\Bigr )}.}
861:
1659:
is considered as defined by the recurrence of the previous section, then it satisfies the property stated in the introduction, namely that it is the smallest positive integer
1853:
7675:
2184:
3210:
3169:
7818:{\displaystyle a^{\lambda \left(p_{j}^{r_{j}}\right)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n{\text{ and hence to }}p_{i}^{r_{i}}.}
8113:
2640:
2508:
1892:
7449:
7309:
6673:
7480:
6976:
2608:
6383:
5600:
3128:
2579:
2559:
2539:
3464:
7317:
316:
292:
169:
5876:
1071:
941:
5718:
3019:
is the order of that group. In particular, the two must be equal in the cases where the multiplicative group is cyclic due to the existence of a
6808:
8530:
5492:
6273:
6008:
6100:
2309:
2237:
866:
7507:
3639:
8585:
3041:
2898:{\displaystyle a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}\equiv \left(a^{\lambda (n)}\right)^{k}\cdot a^{r}=a^{k\lambda (n)+r}=a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}
6678:
8698:
4636:
3759:
4238:
3860:
3575:
2490:-roots modulo 9, namely 2 and 5, each of which is congruent to the fifth power of the other. They are also both primitive
7268:{\displaystyle a^{2^{r-1}}=\left(1+2^{r}h_{r}\right)^{2}=1+2^{r+1}\left(h_{r}+2^{r-1}h_{r}^{2}\right)=:1+2^{r+1}h_{r+1},}
8618:
7491:
6201:
3331:
1741:
4556:{\displaystyle \left(2^{\frac {4}{5}}\right)^{l}=2^{\frac {4l}{5}}=\left(2^{l}\right)^{\frac {4}{5}}=n^{\frac {4}{5}}.}
8693:
8603:
1568:
249:
4220:{\displaystyle B:=e^{-\gamma }\prod _{p\in \mathbb {P} }\left({1-{\frac {1}{(p-1)^{2}(p+1)}}}\right)\approx 0.34537}
775:
8104:
4092:{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\lambda (i)={\frac {n}{\ln n}}e^{B(1+o(1))\ln \ln n/(\ln \ln \ln n)}}
3397:
6568:
4588:
6991:
6477:
3273:
3215:
2395:
211:
7921:{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {p_{j}^{r_{j}}}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n,}
2064:
1985:
1666:
93:
2445:
2189:
8672:
8667:
3020:
1868:
1031:
1927:
824:
8662:
8578:
1185:
772:, must be a divisor of 4. The divisor 1 does not satisfy the definition of Carmichael's function since
1822:
1233:
7648:
3834:
2154:
165:
8181:{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}n.}
8379:
8361:
6356:
3174:
3133:
3027:
8557:
8526:
8493:
8439:
8197:
2616:
2493:
1877:
7428:
7281:
8571:
8536:
8509:
8483:
8467:
8455:
8429:
8371:
8229:
1800:
This implies that the order of every element of the multiplicative group of integers modulo
77:
8505:
8451:
7458:
6954:
8540:
8513:
8501:
8459:
8447:
6448:{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\qquad {\text{for all }}a{\text{ coprime to }}p.}
5685:{\displaystyle A:=-1+\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{(p-1)^{2}}}\approx 0.2269688}
2584:
8348:
Ford, Kevin; Luca, Florian; Pomerance, Carl (27 August 2014). "The image of
Carmichael's
6653:
8413:
3113:
2564:
2544:
2524:
8687:
8409:
3553:{\displaystyle \lambda (\mathrm {lcm} (a,b))=\mathrm {lcm} (\lambda (a),\lambda (b))}
176:
55:
8383:
8234:
8217:
7415:{\displaystyle a^{2^{r-2}}=a^{{\frac {1}{2}}\varphi (2^{r})}\equiv 1{\pmod {2^{r}}}}
8657:
6352:
2990:
2986:
180:
8488:
8471:
252:. Since the order of an element of a finite group divides the order of the group,
3564:
This is an immediate consequence of the recurrence for the
Carmichael function.
59:
5969:{\displaystyle \lambda (n_{i})>\left(\ln n_{i}\right)^{c\ln \ln \ln n_{i}}.}
19:
8652:
8497:
8443:
8434:
8417:
8375:
1149:{\displaystyle 1^{2}\equiv 3^{2}\equiv 5^{2}\equiv 7^{2}\equiv 1{\pmod {8}}}
1019:{\displaystyle 1^{4}\equiv 2^{4}\equiv 3^{4}\equiv 4^{4}\equiv 1{\pmod {5}}}
8472:"Period of the power generator and small values of the Carmichael function"
5780:{\displaystyle N\exp \left(-0.69(\Delta \ln \Delta )^{\frac {1}{3}}\right)}
6940:{\displaystyle a^{2}=1+4h_{2}(h_{2}+1)=1+8{\binom {h_{2}+1}{2}}=:1+8h_{3}}
7645:
are positive integers. The results for prime powers establish that, for
2949:
is the minimal positive exponent for which the congruence holds for all
5584:{\displaystyle \lambda (n)={\frac {n}{(\ln n)^{\ln \ln \ln n+A+o(1)}}}}
2519:
1160:-roots modulo 8 are 3, 5, and 7. There are no primitive roots modulo 8.
146:
8552:
4264:
Additionally given is some overview over the more easily accessible
2121:
The second statement of
Theorem 2 does not imply that all primitive
8563:
6336:{\displaystyle \eta =1-{\frac {1+\ln \ln 2}{\ln 2}}\approx 0.08607}
6195:
The set of values of the
Carmichael function has counting function
6080:{\displaystyle \lambda (n)<\left(\ln A\right)^{c\ln \ln \ln A}.}
4261:
function, for both, the exact average and its Erdős-approximation.
8366:
6166:{\displaystyle n=\mathop {\prod _{q\in \mathbb {P} }} _{(q-1)|m}q}
2371:{\displaystyle 4\equiv 2^{2}\equiv 8^{2}\equiv 7^{2}\equiv 13^{2}}
2299:{\displaystyle 1\equiv 2^{4}\equiv 8^{4}\equiv 7^{4}\equiv 13^{4}}
210:
The
Carmichael function is named after the American mathematician
18:
1648:
Carmichael proved two theorems that, together, establish that if
924:{\displaystyle 2^{2}\equiv 3^{2}\equiv 4\not \equiv 1{\pmod {5}}}
7589:{\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}
4102:(called Erdős approximation in the following) with the constant
3721:{\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}
8567:
6377:, a prime, Theorem 1 is equivalent to Fermat's little theorem:
3004:
is the exponent of the multiplicative group of integers modulo
3095:{\displaystyle a\,|\,b\Rightarrow \lambda (a)\,|\,\lambda (b)}
8322:
8320:
1526:
320:
287:
6740:{\displaystyle a^{\varphi (p^{r})}\equiv 1{\pmod {p^{r}}}}
4683:{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\lambda (i)}
3823:{\displaystyle a^{r}\equiv a^{\lambda (n)+r}{\pmod {n}}.}
3394:. By the consequence of minimality proved above, we have
3026:
We can thus view
Carmichael's theorem as a sharpening of
229:
The order of the multiplicative group of integers modulo
8525:. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36, 193–195.
4244:
The following table gives some overview over the first
83:
is the smallest member of the set of positive integers
4641:
1874:, which Carmichael sometimes refers to as a primitive
1268:
274:. The following table compares the first 36 values of
8116:
7940:
7837:
7686:
7651:
7510:
7461:
7431:
7320:
7284:
7072:
6994:
6957:
6811:
6681:
6656:
6571:
6480:
6386:
6276:
6204:
6103:
6011:
5879:
5721:
5603:
5495:
4639:
4591:
4445:
4111:
3948:
3917:{\displaystyle a\equiv a^{\lambda (n)+1}{\pmod {n}}.}
3863:
3762:
3642:
3629:{\displaystyle r_{\mathrm {max} }=\max _{i}\{r_{i}\}}
3578:
3467:
3400:
3334:
3276:
3218:
3177:
3136:
3116:
3044:
2742:
2619:
2587:
2567:
2547:
2527:
2496:
2448:
2398:
2312:
2240:
2192:
2157:
2067:
1988:
1930:
1880:
1825:
1744:
1669:
1571:
1543:
Euler's totient for a prime power, that is, a number
1212:
1074:
944:
869:
827:
778:
96:
3636:is the biggest exponent in the prime factorization
1043:. The set of numbers less than and coprime to 8 is
754:. The set of numbers less than and coprime to 5 is
8305:Theorem 2 in Erdős (1991) 3. Normal order. (p.365)
8180:
8092:
7920:
7817:
7669:
7588:
7474:
7443:
7414:
7303:
7267:
7052:
6970:
6939:
6739:
6667:
6639:
6543:
6447:
6335:
6257:{\displaystyle {\frac {x}{(\ln x)^{\eta +o(1)}}},}
6256:
6165:
6079:
5968:
5779:
5684:
5583:
4682:
4622:
4555:
4343:There, the table entry in row number 26 at column
4219:
4091:
3916:
3822:
3720:
3628:
3552:
3434:
3379:{\displaystyle k^{\lambda (b)}\equiv 1{\pmod {a}}}
3378:
3320:
3262:
3204:
3163:
3122:
3094:
2897:
2634:
2602:
2573:
2553:
2533:
2502:
2478:
2434:
2370:
2298:
2222:
2178:
2102:
2023:
1954:
1886:
1847:
1789:{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
1788:
1704:
1632:
1532:
1148:
1018:
923:
855:
813:
131:
8082:
7964:
6909:
6881:
1420:
1344:
8470:; Pomerance, Carl; Shparlinski, Igor E. (2001).
3601:
3178:
3137:
1633:{\displaystyle \varphi (p^{r}){=}p^{r-1}(p-1).}
6772:Sharpening the result for higher powers of two
8579:
8222:Bulletin of the American Mathematical Society
814:{\displaystyle a^{1}\not \equiv 1{\pmod {5}}}
314:s such that they are different are listed in
8:
7311:is an integer. It follows by induction that
3623:
3610:
2234:-roots modulo 15, namely 2, 7, 8, and 13 as
758:}. Hence Euler's totient function has value
214:who defined it in 1910. It is also known as
3435:{\displaystyle \lambda (a)\,|\,\lambda (b)}
1902:
1724:
8586:
8572:
8564:
8521:Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004).
8334:
8332:
6640:{\displaystyle a^{p^{r}(p-1)}=1+h'p^{r+1}}
4623:{\displaystyle \sum _{i\leq n}\lambda (i)}
3023:, which is the case for odd prime powers.
1192:of the prime power factors. Specifically,
8487:
8433:
8365:
8292:
8290:
8233:
8167:
8159:
8142:
8121:
8115:
8081:
8080:
8068:
8063:
8058:
8026:
8021:
8016:
7990:
7985:
7980:
7963:
7962:
7939:
7907:
7899:
7886:
7881:
7876:
7863:
7842:
7836:
7804:
7799:
7794:
7785:
7777:
7769:
7756:
7751:
7746:
7733:
7713:
7708:
7703:
7691:
7685:
7650:
7578:
7573:
7568:
7553:
7548:
7543:
7531:
7526:
7521:
7509:
7466:
7460:
7430:
7402:
7389:
7372:
7352:
7351:
7330:
7325:
7319:
7289:
7283:
7250:
7234:
7210:
7205:
7189:
7176:
7155:
7136:
7125:
7115:
7082:
7077:
7071:
7053:{\displaystyle a^{2^{r-2}}=1+2^{r}h_{r}.}
7041:
7031:
7004:
6999:
6993:
6962:
6956:
6931:
6908:
6891:
6880:
6878:
6851:
6838:
6816:
6810:
6727:
6714:
6697:
6686:
6680:
6655:
6625:
6581:
6576:
6570:
6544:{\displaystyle a^{p^{r-1}(p-1)}=1+hp^{r}}
6535:
6490:
6485:
6479:
6434:
6426:
6409:
6391:
6385:
6289:
6275:
6227:
6205:
6203:
6147:
6131:
6124:
6123:
6116:
6111:
6102:
6047:
6010:
5955:
5929:
5918:
5890:
5878:
5761:
5720:
5667:
5637:
5631:
5630:
5623:
5602:
5533:
5511:
5494:
4656:
4640:
4638:
4596:
4590:
4539:
4521:
4511:
4483:
4470:
4455:
4444:
4182:
4160:
4153:
4143:
4142:
4135:
4122:
4110:
4055:
4012:
3990:
3963:
3949:
3947:
3895:
3874:
3862:
3801:
3780:
3767:
3761:
3710:
3705:
3700:
3685:
3680:
3675:
3663:
3658:
3653:
3641:
3617:
3604:
3584:
3583:
3577:
3506:
3474:
3466:
3419:
3414:
3413:
3399:
3360:
3339:
3333:
3321:{\displaystyle a\,|\,(k^{\lambda (b)}-1)}
3294:
3286:
3281:
3280:
3275:
3263:{\displaystyle b\,|\,(k^{\lambda (b)}-1)}
3236:
3228:
3223:
3222:
3217:
3176:
3135:
3115:
3079:
3074:
3073:
3054:
3049:
3048:
3043:
2879:
2867:
2836:
2823:
2810:
2791:
2773:
2760:
2747:
2741:
2618:
2586:
2566:
2546:
2526:
2495:
2447:
2435:{\displaystyle \lambda (n)=\varphi (n)=6}
2397:
2362:
2349:
2336:
2323:
2311:
2290:
2277:
2264:
2251:
2239:
2191:
2156:
2129:are congruent to powers of a single root
2084:
2072:
2066:
2005:
1993:
1987:
1929:
1879:
1830:
1824:
1770:
1749:
1743:
1686:
1674:
1668:
1600:
1591:
1582:
1570:
1518:
1512:
1493:
1480:
1471:
1465:
1452:
1442:
1427:
1419:
1418:
1409:
1381:
1359:
1343:
1342:
1308:
1293:
1267:
1258:
1250:
1228:
1211:
1130:
1118:
1105:
1092:
1079:
1073:
1000:
988:
975:
962:
949:
943:
905:
887:
874:
868:
837:
826:
795:
783:
777:
113:
101:
95:
6351:The Carmichael function is important in
4567:
2103:{\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}
2024:{\displaystyle g^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}
1705:{\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}
1260: is 1, 2, 4, or an odd prime power,
765:and the value of Carmichael's function,
326:
170:multiplicative group of integers modulo
132:{\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}
8208:
6558:, then raising both sides to the power
2479:{\displaystyle \varphi (\lambda (n))=2}
2223:{\displaystyle \varphi (\lambda (n))=2}
1982:-roots guaranteed by the theorem, then
1966:-roots that are congruent to powers of
8218:"Note on a new number theory function"
16:Function in mathematical number theory
2514:Properties of the Carmichael function
1955:{\displaystyle \varphi (\lambda (n))}
1867:. (This is not to be confused with a
7:
7486:Integers with multiple prime factors
5988:and any sufficiently large positive
4417:values is exponential in the length
2993:must divide the order of the group.
2046:, showing that there is no positive
1520: are powers of distinct primes.
856:{\displaystyle a\equiv 1{\pmod {5}}}
179:, there must exist an element whose
8150:
7931:where, as given by the recurrence,
7871:
7741:
7397:
6761:. This establishes the theorem for
6722:
6417:
5843:of positive integers, any constant
3903:
3809:
3368:
2887:
2092:
2013:
1778:
1694:
1138:
1008:
913:
845:
803:
121:
8216:Carmichael, Robert Daniel (1910).
7501:can be written in a unique way as
6885:
5754:
5745:
5700:For any sufficiently large number
3591:
3588:
3585:
3513:
3510:
3507:
3481:
3478:
3475:
2541:is divisible by a nonzero integer
2031:has no positive integer solutions
14:
8338:Sándor & Crstici (2004) p.193
8296:Sándor & Crstici (2004) p.194
6780:coprime to (powers of) 2 we have
4413:meaning that the majority of the
4266:“logarithm over logarithm” values
2378:), 11, and 14, are not primitive
224:least universal exponent function
3736:(including those not coprime to
1061:must be a divisor of 4. In fact
8314:Theorem 5 in Friedlander (2001)
8235:10.1090/S0002-9904-1910-01892-9
8158:
8143:
7898:
7864:
7768:
7734:
7390:
6715:
6675:. By induction it follows that
6425:
6410:
3896:
3802:
3361:
3110:By definition, for any integer
2880:
2646:A consequence of minimality of
2085:
2006:
1924:is such a root, then there are
1848:{\displaystyle a^{\lambda (n)}}
1771:
1687:
1131:
1001:
906:
838:
796:
114:
8418:"Carmichael's lambda function"
8154:
8144:
8131:
8125:
7950:
7944:
7894:
7865:
7852:
7846:
7764:
7735:
7408:
7391:
7378:
7365:
6863:
6844:
6733:
6716:
6703:
6690:
6599:
6587:
6514:
6502:
6421:
6411:
6243:
6237:
6224:
6211:
6148:
6144:
6132:
6021:
6015:
5896:
5883:
5758:
5742:
5664:
5651:
5573:
5567:
5530:
5517:
5505:
5499:
4677:
4671:
4617:
4611:
4200:
4188:
4179:
4166:
4084:
4060:
4037:
4034:
4028:
4016:
3984:
3978:
3907:
3897:
3884:
3878:
3813:
3803:
3790:
3784:
3547:
3544:
3538:
3529:
3523:
3517:
3500:
3497:
3485:
3471:
3429:
3423:
3415:
3410:
3404:
3372:
3362:
3349:
3343:
3315:
3304:
3298:
3287:
3282:
3257:
3246:
3240:
3229:
3224:
3193:
3181:
3152:
3140:
3089:
3083:
3075:
3070:
3064:
3058:
3050:
2989:, because the exponent of any
2891:
2881:
2849:
2843:
2801:
2795:
2467:
2464:
2458:
2452:
2423:
2417:
2408:
2402:
2385:For a contrasting example, if
2211:
2208:
2202:
2196:
2167:
2161:
2096:
2086:
2017:
2007:
1949:
1946:
1940:
1934:
1840:
1834:
1815:. Carmichael calls an element
1782:
1772:
1759:
1753:
1698:
1688:
1624:
1612:
1588:
1575:
1415:
1402:
1387:
1374:
1365:
1352:
1288:
1282:
1245:
1239:
1222:
1216:
1142:
1132:
1012:
1002:
917:
907:
849:
839:
807:
797:
194:. Such an element is called a
125:
115:
1:
8489:10.1090/s0025-5718-00-01282-5
8482:(236): 1591–1605, 1803–1806.
7670:{\displaystyle 1\leq j\leq k}
6176:for some square-free integer
5866:, and any sufficiently large
2985:This follows from elementary
2179:{\displaystyle \varphi (n)=8}
1026:. Both 2 and 3 are primitive
8550:Carmichael, Robert D. .
8523:Handbook of number theory II
7492:unique factorization theorem
8639:(reduced totient function)
8354:Algebra & Number Theory
5486:(a "prevailing" majority):
3205:{\displaystyle \gcd(k,a)=1}
3164:{\displaystyle \gcd(k,b)=1}
2561:if there exists an integer
2230:. There are four primitive
1908:For every positive integer
1203:is given by the recurrence
310:if they are different; the
8715:
8476:Mathematics of Computation
8396:Carmichael (1914) pp.38–39
7828:From this it follows that
7063:Squaring both sides gives
5992:, there exists an integer
3450:For all positive integers
2486:. There are two primitive
8619:Jordan's totient function
8599:
8326:Theorem 1 in Erdős (1991)
8284:Theorem 3 in Erdős (1991)
8105:Chinese remainder theorem
4372:indicates that 60.49% (≈
4239:Euler–Mascheroni constant
1912:there exists a primitive
1865:primitive λ-root modulo n
1030:-roots modulo 5 and also
592:
444:
439:
436:
433:
430:
427:
424:
421:
418:
415:
412:
409:
406:
403:
400:
397:
394:
391:
388:
385:
382:
379:
376:
373:
370:
367:
364:
361:
358:
355:
352:
349:
346:
343:
340:
337:
334:
329:
87:having the property that
8604:Euler's totient function
8416:; Schmutz, Eric (1991).
7787: and hence to
6768:or any odd prime power.
6357:RSA encryption algorithm
3568:Exponential cycle length
3328:. This establishes that
2635:{\displaystyle m\mid n.}
2503:{\displaystyle \varphi }
1978:is one of the primitive
1887:{\displaystyle \varphi }
1643:
250:Euler's totient function
220:reduced totient function
142:holds for every integer
8673:Sparsely totient number
8668:Highly cototient number
8435:10.4064/aa-58-4-363-385
8376:10.2140/ant.2014.8.2009
8248:Carmichaael (1914) p.40
7444:{\displaystyle r\geq 3}
7304:{\displaystyle h_{r+1}}
6650:for some other integer
6554:holds for some integer
1734:is relatively prime to
863:. Neither does 2 since
216:Carmichael's λ function
8699:Functions and mappings
8275:Carmichael (1914) p.56
8266:Carmichael (1914) p.55
8257:Carmichael (1914) p.54
8182:
8169: coprime to
8094:
7922:
7909: coprime to
7819:
7779: coprime to
7671:
7590:
7476:
7445:
7416:
7305:
7269:
7054:
6972:
6941:
6741:
6669:
6641:
6545:
6449:
6436: coprime to
6355:due to its use in the
6337:
6258:
6167:
6081:
5970:
5781:
5686:
5585:
4684:
4624:
4557:
4221:
4093:
3918:
3824:
3722:
3630:
3554:
3436:
3380:
3322:
3264:
3206:
3165:
3124:
3096:
2899:
2636:
2604:
2575:
2555:
2535:
2504:
2480:
2436:
2372:
2300:
2224:
2180:
2104:
2025:
1956:
1888:
1869:primitive root modulo
1855:is the least power of
1849:
1790:
1706:
1634:
1534:
1184:of the product is the
1150:
1020:
925:
857:
815:
153:. In algebraic terms,
133:
51:
8663:Highly totient number
8553:The Theory of Numbers
8183:
8095:
7923:
7820:
7672:
7591:
7477:
7475:{\displaystyle 2^{r}}
7446:
7417:
7306:
7270:
7055:
6973:
6971:{\displaystyle h_{3}}
6942:
6742:
6670:
6642:
6546:
6450:
6338:
6259:
6191:Image of the function
6168:
6082:
5971:
5782:
5687:
5586:
4685:
4625:
4558:
4222:
4094:
3919:
3825:
3723:
3631:
3555:
3437:
3381:
3323:
3265:
3207:
3166:
3125:
3097:
2900:
2637:
2610:. This is written as
2605:
2576:
2556:
2536:
2505:
2481:
2437:
2373:
2301:
2225:
2181:
2105:
2026:
1957:
1889:
1850:
1791:
1707:
1644:Carmichael's theorems
1635:
1535:
1186:least common multiple
1151:
1021:
926:
858:
816:
183:equals the exponent,
134:
22:
8468:Friedlander, John B.
8114:
7938:
7835:
7684:
7649:
7508:
7459:
7429:
7318:
7282:
7070:
6992:
6978:is an integer. With
6955:
6809:
6751:relatively prime to
6679:
6654:
6569:
6478:
6384:
6274:
6202:
6101:
6009:
5877:
5719:
5712:, there are at most
5601:
5493:
4637:
4589:
4443:
4109:
3946:
3861:
3760:
3640:
3576:
3465:
3398:
3390:relatively prime to
3332:
3274:
3216:
3175:
3134:
3114:
3042:
2740:
2617:
2603:{\displaystyle n=km}
2585:
2565:
2545:
2525:
2518:In this section, an
2494:
2446:
2396:
2310:
2238:
2190:
2155:
2114:relatively prime to
2065:
1986:
1928:
1878:
1859:congruent to 1 (mod
1823:
1742:
1716:relatively prime to
1667:
1569:
1210:
1072:
942:
867:
825:
776:
177:finite abelian group
94:
8637:Carmichael function
8107:one concludes that
8075:
8033:
7997:
7893:
7811:
7763:
7720:
7585:
7560:
7538:
7215:
6347:Use in cryptography
5457:Prevailing interval
3833:In particular, for
3717:
3692:
3670:
1906: —
1728: —
64:Carmichael function
46:(compared to Euler
8694:Modular arithmetic
8178:
8090:
8054:
8012:
7976:
7918:
7872:
7815:
7790:
7742:
7699:
7667:
7586:
7564:
7539:
7517:
7472:
7441:
7412:
7301:
7265:
7201:
7050:
6985:, this is written
6968:
6937:
6737:
6668:{\displaystyle h'}
6665:
6637:
6541:
6445:
6363:Proof of Theorem 1
6333:
6254:
6163:
6156:
6129:
6077:
5966:
5790:positive integers
5777:
5682:
5636:
5594:with the constant
5581:
5476:positive integers
4680:
4667:
4650:
4620:
4607:
4553:
4382:) of the integers
4217:
4148:
4089:
3974:
3914:
3820:
3718:
3696:
3671:
3649:
3626:
3609:
3550:
3432:
3376:
3318:
3260:
3202:
3161:
3120:
3092:
2916:. It follows that
2895:
2632:
2600:
2571:
2551:
2531:
2500:
2476:
2432:
2382:-roots modulo 15.
2368:
2296:
2220:
2176:
2133:. For example, if
2100:
2021:
1952:
1904:
1884:
1845:
1786:
1726:
1702:
1630:
1530:
1525:
1277:
1146:
1016:
921:
853:
811:
743:Numerical examples
129:
52:
8681:
8680:
8558:Project Gutenberg
8532:978-1-4020-2546-4
8198:Carmichael number
8170:
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