5167:
4928:
1091:
1239:
2658:
3478:
743:
5001:
4672:
4755:
408:
209:
4490:
949:
4209:
1097:
2832:
3301:
532:
2941:
2581:
609:
2761:
5162:{\displaystyle \pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}{\text{ such that }}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.}
1311:", prefer to define the cardinal functions listed below so that they never taken on finite cardinal numbers as values; this requires modifying some of the definitions given below, for example by adding "
4035:
306:
4578:
4923:{\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ such that }}\forall a,b\in A{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}
2139:
1562:
314:
3296:
108:
938:
900:
4360:
4545:
3575:
862:
4393:
2513:
2340:
4722:
4125:
3929:
3814:
3126:
2465:
1742:
1288:
2406:
2245:
1470:
2766:
2181:
4968:
1961:
1342:
4121:
3617:
3248:
5286:
4257:
580:
1926:
1816:
4078:
3766:
1086:{\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}
4990:
4744:
4567:
4382:
4305:
4279:
254:
3877:
3714:
1234:{\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}
3737:
3077:
3057:
3009:
2872:
1431:
1697:
1654:
1612:
1399:
3679:
3169:
2292:
2040:
1882:
1785:
1677:
1517:
3854:
3834:
3637:
3501:
3209:
3189:
3146:
3029:
2961:
2867:
2570:
2533:
2426:
2360:
2265:
2201:
2064:
2013:
1991:
1902:
1859:
1836:
1762:
1634:
1582:
1490:
1369:
804:
447:
2675:
2653:{\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}{\text{ is a family of mutually disjoint non-empty open subsets of }}X\}.}
819:
3473:{\displaystyle t(x,X)=\sup \left\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)\right\}.}
738:{\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge \forall A\in I(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B)\}.}
3943:
5603:
2069:
5427:
5575:
5554:
5488:
5444:
3506:
4667:{\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a well-ordered subset}}{\big \}}}
263:
5530:
5411:
5367:
5475:
5431:
403:{\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X\}.}
5347:
are often employed (the algebraic degree equals the dimension of the extension as a vector space over the smaller field).
4082:
1522:
204:{\displaystyle {\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I\}.}
5635:
5340:
4219:
3253:
4485:{\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a chain}}{\big \}}}
4039:
2835:
908:
870:
4315:
5630:
4503:
3641:
833:
2470:
2297:
5204:
4686:
3882:
3770:
3082:
2435:
1715:
1254:
2379:
2218:
1443:
2144:
1304:
32:
5378:
4942:
2205:
1931:
1314:
1307:. Below are some examples. (Note: some authors, arguing that "there are no finite cardinal numbers in
3580:
3214:
5351:
5289:
5249:
4231:
2016:
543:
1907:
1797:
5333:
5322:
5215:
5187:
3742:
3647:
80:
4973:
4727:
4550:
4365:
4288:
4262:
83:
operations are examples of functions from cardinal numbers (or pairs of them) to cardinal numbers.
5240:
1839:
232:
222:
87:
4204:{\displaystyle \operatorname {nw} (X)\leq w(X){\text{ and }}o(X)\leq 2^{\operatorname {nw} (X)}}
5525:. Sigma Series in Pure Mathematics. Vol. 6 (Revised ed.). Heldermann Verlag, Berlin.
5599:
5571:
5550:
5526:
5518:
5484:
5440:
5407:
3859:
3683:
2537:
2373:
1349:
49:
3722:
3062:
2827:{\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ with the subspace topology is discrete}}\}}
5609:
5344:
3717:
3036:
2979:
1586:
1308:
1404:
5613:
5595:
5336:
5296:
2964:
2364:
1969:
1682:
1639:
1597:
1493:
1437:
36:
1374:
3661:
3151:
2274:
2022:
1864:
1767:
1659:
1499:
5400:
5326:
3839:
3819:
3622:
3486:
3194:
3174:
3131:
3014:
2946:
2852:
2555:
2518:
2411:
2345:
2250:
2186:
2049:
1998:
1976:
1887:
1844:
1821:
1792:
1747:
1619:
1567:
1475:
1354:
828:
789:
74:
5624:
2967:
756:
591:
527:{\displaystyle \operatorname {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I\},}
229:
any more. As any ideal is closed under finite unions, this number is always at least
5594:. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York:
5208:
66:
1371:
are its cardinality and the cardinality of its topology, denoted respectively by
5587:
5307:
5233:
5222:
807:
70:
56:
20:
5494:
5450:
5365:
2936:{\displaystyle e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ is closed and discrete}}\}.}
2429:
1248:
815:
752:
48:
The most frequently used cardinal function is the function that assigns to a
4282:
2268:
1700:
1703:
1300:
811:
5549:. "Lectures in Mathematics ETH Zürich". Birkhäuser Verlag, Basel, 1990.
5180:
2638: is a family of mutually disjoint non-empty open subsets of
94:
2756:{\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}
5198:
5570:. "Progress in Mathematics", 142. Birkhäuser Verlag, Basel,
2672:) is the least upper bound of cellularities of its subsets:
2631:
2616:
1913:
1803:
706:
666:
651:
383:
364:
349:
184:
165:
150:
4030:{\displaystyle c(X)\leq d(X)\leq w(X)\leq o(X)\leq 2^{|X|}}
5398:
Holz, Michael; Steffens, Karsten; Weitz, Edmund (1999).
4222:. We can mention, for example, the following functions:
301:{\displaystyle \operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.}
5325:
it is possible to consider the minimal cardinality of
2134:{\displaystyle \chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.}
5252:
5004:
4976:
4945:
4758:
4730:
4689:
4581:
4553:
4506:
4396:
4368:
4318:
4291:
4265:
4234:
4128:
4085:
4042:
3946:
3885:
3862:
3842:
3822:
3773:
3745:
3725:
3686:
3664:
3625:
3583:
3509:
3489:
3304:
3256:
3217:
3197:
3177:
3154:
3134:
3085:
3065:
3039:
3017:
2982:
2949:
2875:
2855:
2769:
2678:
2584:
2558:
2521:
2473:
2438:
2428:
is the smallest infinite cardinality such that every
2414:
2382:
2348:
2300:
2277:
2253:
2221:
2189:
2147:
2072:
2052:
2025:
2001:
1979:
1934:
1910:
1890:
1867:
1847:
1824:
1800:
1770:
1750:
1718:
1685:
1662:
1642:
1622:
1600:
1570:
1525:
1502:
1478:
1446:
1407:
1377:
1357:
1317:
1257:
1100:
952:
911:
873:
836:
792:
612:
546:
450:
317:
266:
235:
111:
806:
is an ideal closely related to the structure of the
763:, ⊆). It is easy to see that we must have non(
1344:" to the right-hand side of the definitions, etc.)
5399:
5280:
5161:
4984:
4962:
4922:
4738:
4716:
4666:
4561:
4539:
4484:
4376:
4354:
4299:
4273:
4251:
4218:Cardinal functions are often used in the study of
4203:
4115:
4072:
4029:
3923:
3871:
3848:
3828:
3808:
3760:
3731:
3708:
3673:
3631:
3611:
3569:
3495:
3472:
3290:
3242:
3203:
3183:
3163:
3140:
3120:
3071:
3051:
3023:
3003:
2955:
2935:
2861:
2826:
2755:
2652:
2564:
2527:
2507:
2459:
2420:
2400:
2354:
2334:
2286:
2259:
2239:
2195:
2175:
2133:
2058:
2034:
2007:
1985:
1955:
1920:
1896:
1876:
1853:
1830:
1810:
1779:
1756:
1736:
1691:
1671:
1648:
1628:
1606:
1576:
1556:
1511:
1484:
1464:
1425:
1393:
1363:
1336:
1282:
1233:
1085:
932:
894:
856:
798:
737:
574:
526:
402:
300:
248:
203:
73:can both be seen as cardinal functions defined on
1557:{\displaystyle \operatorname {w} (X)=\aleph _{0}}
5477:Cardinal functions in topology - ten years later
5364:A Glossary of Definitions from General Topology
5022:
4788:
4615:
4433:
3525:
3334:
3326:
3291:{\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(Z).}
2891:
2785:
2716:
2603:
2088:
1122:
974:
638:
469:
336:
137:
818:, these cardinal invariants are referred to as
1348:Perhaps the simplest cardinal invariants of a
5151:
5144:
5128:
5121:
5102:
5027:
4915:
4908:
4850:
4793:
4659:
4620:
4477:
4438:
1764:is the smallest cardinality of a network for
1223:
1127:
1075:
979:
933:{\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )}
895:{\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )}
8:
5097:
5091:
5068:
5062:
4355:{\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )}
3561:
3528:
3406:
3337:
2963:has countable extent exactly when it has no
2927:
2894:
2821:
2818: with the subspace topology is discrete
2788:
2750:
2719:
2644:
2606:
2125:
2092:
729:
641:
518:
472:
394:
339:
195:
140:
4540:{\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )}
3570:{\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.}
2432:has a subcover of cardinality no more than
857:{\displaystyle (\mathbb {P} ,\sqsubseteq )}
2508:{\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}
2335:{\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}}
2091:
1323:
1319:
1318:
5254:
5253:
5251:
5150:
5149:
5143:
5142:
5127:
5126:
5120:
5119:
5101:
5100:
5071:
5055:
5054:
5040:
5032:
5026:
5025:
5012:
5011:
5003:
4978:
4977:
4975:
4953:
4952:
4944:
4914:
4913:
4907:
4906:
4849:
4848:
4825:
4821:
4820:
4806:
4798:
4792:
4791:
4777:
4776:
4775:
4760:
4759:
4757:
4732:
4731:
4729:
4717:{\displaystyle {\rm {Inc}}(\mathbb {B} )}
4707:
4706:
4691:
4690:
4688:
4658:
4657:
4652:
4648:
4647:
4633:
4625:
4619:
4618:
4605:
4604:
4583:
4582:
4580:
4555:
4554:
4552:
4530:
4529:
4508:
4507:
4505:
4476:
4475:
4470:
4466:
4465:
4451:
4443:
4437:
4436:
4423:
4422:
4398:
4397:
4395:
4370:
4369:
4367:
4345:
4344:
4320:
4319:
4317:
4293:
4292:
4290:
4267:
4266:
4264:
4242:
4241:
4233:
4183:
4159:
4127:
4084:
4041:
4020:
4012:
4011:
3945:
3903:
3894:
3893:
3884:
3861:
3841:
3821:
3791:
3782:
3781:
3772:
3744:
3724:
3691:
3685:
3663:
3624:
3603:
3582:
3508:
3488:
3447:
3438:
3437:
3391:
3382:
3381:
3348:
3340:
3303:
3267:
3255:
3226:
3218:
3216:
3196:
3176:
3153:
3133:
3103:
3094:
3093:
3084:
3064:
3038:
3016:
2981:
2948:
2922:
2905:
2897:
2874:
2854:
2816:
2799:
2791:
2768:
2723:
2722:
2695:
2694:
2677:
2636:
2630:
2629:
2621:
2615:
2614:
2609:
2583:
2557:
2520:
2497:
2476:
2475:
2474:
2472:
2437:
2413:
2381:
2347:
2324:
2303:
2302:
2301:
2299:
2276:
2252:
2220:
2188:
2167:
2146:
2071:
2051:
2024:
2000:
1978:
1933:
1912:
1911:
1909:
1889:
1866:
1846:
1823:
1802:
1801:
1799:
1769:
1749:
1717:
1684:
1661:
1641:
1621:
1599:
1569:
1548:
1524:
1501:
1477:
1445:
1406:
1386:
1378:
1376:
1356:
1328:
1316:
1265:
1256:
1222:
1221:
1181:
1180:
1155:
1154:
1140:
1132:
1126:
1125:
1112:
1111:
1102:
1101:
1099:
1074:
1073:
1033:
1032:
1007:
1006:
992:
984:
978:
977:
964:
963:
954:
953:
951:
923:
922:
913:
912:
910:
885:
884:
875:
874:
872:
841:
840:
835:
820:cardinal characteristics of the continuum
791:
705:
704:
665:
664:
656:
650:
649:
644:
614:
613:
611:
582:) is the size of the smallest set not in
548:
547:
545:
483:
475:
449:
382:
381:
363:
362:
354:
348:
347:
342:
316:
289:
265:
240:
234:
183:
182:
164:
163:
155:
149:
148:
143:
113:
112:
110:
5288:as the cardinality of any basis of this
4281:is the supremum of the cardinalities of
5568:Cardinal invariants on Boolean algebras
5390:
5088:
5059:
3924:{\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z).}
86:Cardinal characteristics of a (proper)
5547:Cardinal functions on Boolean algebras
4214:Cardinal functions in Boolean algebras
3809:{\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}
3121:{\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}
2460:{\displaystyle \operatorname {L} (X).}
1737:{\displaystyle \operatorname {nw} (X)}
1299:Cardinal functions are widely used in
1283:{\displaystyle pp_{\kappa }(\lambda )}
16:Function that returns cardinal numbers
2401:{\displaystyle \operatorname {L} (X)}
2240:{\displaystyle \operatorname {d} (X)}
1465:{\displaystyle \operatorname {w} (X)}
7:
5350:For non-algebraic field extensions,
2834:where "discrete" means that it is a
2176:{\displaystyle \chi (X)=\aleph _{0}}
1706:whose supersets includes all opens.)
416:is the smallest number of sets from
217:is the smallest number of sets from
5402:Introduction to Cardinal Arithmetic
2267:is the cardinality of the smallest
2015:is the cardinality of the smallest
1818:of sets, for which, for all points
1636:is the cardinality of the smallest
1492:is the cardinality of the smallest
1103:
955:
914:
876:
5483:. Math. Centre Tracts, Amsterdam.
5439:. Math. Centre Tracts, Amsterdam.
5264:
5261:
5258:
5255:
5179:Examples of cardinal functions in
5107:
5076:
4963:{\displaystyle \pi (\mathbb {B} )}
4870:
4830:
4767:
4764:
4761:
4698:
4695:
4692:
4596:
4593:
4590:
4587:
4584:
4521:
4518:
4515:
4512:
4509:
4414:
4411:
4408:
4405:
4402:
4399:
4336:
4333:
4330:
4327:
4324:
4321:
3898:
3895:
3786:
3783:
3600:
3442:
3439:
3386:
3383:
3098:
3095:
2724:
2699:
2696:
2585:
2494:
2484:
2477:
2439:
2383:
2321:
2311:
2304:
2222:
2164:
1956:{\displaystyle x\in B\subseteq U.}
1545:
1526:
1447:
1337:{\displaystyle \;\;+\;\aleph _{0}}
1325:
1191:
1171:
1043:
1023:
695:
680:
621:
618:
615:
558:
555:
552:
549:
286:
237:
120:
117:
114:
14:
4116:{\displaystyle \chi (X)\leq w(X)}
1303:as a tool for describing various
3612:{\displaystyle t(X)=\aleph _{0}}
3243:{\displaystyle |Z|\leq \alpha ,}
3059:is the smallest cardinal number
43:Cardinal functions in set theory
5281:{\displaystyle {\rm {rank}}(M)}
4252:{\displaystyle c(\mathbb {B} )}
575:{\displaystyle {\rm {unif}}(I)}
5433:Cardinal functions in topology
5275:
5269:
5041:
5033:
5016:
5008:
4957:
4949:
4903:
4873:
4867:
4807:
4799:
4782:
4772:
4711:
4703:
4654: is a well-ordered subset
4634:
4626:
4609:
4601:
4534:
4526:
4452:
4444:
4427:
4419:
4349:
4341:
4246:
4238:
4196:
4190:
4173:
4167:
4156:
4150:
4141:
4135:
4110:
4104:
4095:
4089:
4067:
4061:
4052:
4046:
4021:
4013:
4001:
3995:
3986:
3980:
3971:
3965:
3956:
3950:
3915:
3909:
3803:
3797:
3703:
3697:
3593:
3587:
3546:
3534:
3519:
3513:
3459:
3453:
3403:
3397:
3349:
3341:
3320:
3308:
3282:
3276:
3227:
3219:
3115:
3109:
2998:
2986:
2906:
2898:
2885:
2879:
2800:
2792:
2779:
2773:
2735:
2729:
2710:
2704:
2688:
2682:
2622:
2610:
2597:
2591:
2487:
2481:
2451:
2445:
2395:
2389:
2314:
2308:
2234:
2228:
2157:
2151:
2110:
2098:
2082:
2076:
1921:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
1811:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
1731:
1725:
1538:
1532:
1459:
1453:
1417:
1411:
1387:
1379:
1295:Cardinal functions in topology
1277:
1271:
1218:
1206:
1203:
1188:
1185:
1168:
1141:
1133:
1116:
1108:
1070:
1058:
1055:
1040:
1037:
1020:
993:
985:
968:
960:
927:
919:
889:
881:
851:
837:
726:
714:
711:
692:
657:
645:
632:
626:
569:
563:
484:
476:
463:
457:
355:
343:
330:
324:
279:
273:
156:
144:
131:
125:
1:
5175:Cardinal functions in algebra
4073:{\displaystyle e(X)\leq s(X)}
3761:{\displaystyle Y\subseteq X,}
4985:{\displaystyle \mathbb {B} }
4739:{\displaystyle \mathbb {B} }
4562:{\displaystyle \mathbb {B} }
4377:{\displaystyle \mathbb {B} }
4300:{\displaystyle \mathbb {B} }
4274:{\displaystyle \mathbb {B} }
2924: is closed and discrete
3856:with cardinality less than
536:The "uniformity number" of
249:{\displaystyle \aleph _{0}}
5652:
5221:is the cardinality of any
2836:discrete topological space
412:The "covering number" of
3872:{\displaystyle \alpha ,}
3709:{\displaystyle t^{+}(X)}
540:(sometimes also written
260:is a σ-ideal, then
5474:Juhász, István (1980).
3732:{\displaystyle \alpha }
3072:{\displaystyle \alpha }
3011:of a topological space
1973:of a topological space
1472:of a topological space
810:, such as the ideal of
5282:
5232:More generally, for a
5163:
4986:
4964:
4924:
4740:
4718:
4668:
4563:
4541:
4486:
4378:
4356:
4301:
4275:
4253:
4205:
4117:
4074:
4031:
3925:
3873:
3850:
3830:
3810:
3762:
3733:
3710:
3675:
3633:
3613:
3571:
3497:
3474:
3292:
3244:
3205:
3185:
3171:there exists a subset
3165:
3142:
3122:
3073:
3053:
3052:{\displaystyle x\in X}
3025:
3005:
3004:{\displaystyle t(x,X)}
2957:
2937:
2863:
2828:
2757:
2666:hereditary cellularity
2654:
2566:
2529:
2509:
2461:
2422:
2402:
2356:
2336:
2288:
2261:
2241:
2197:
2177:
2135:
2060:
2036:
2009:
1987:
1957:
1922:
1898:
1878:
1855:
1832:
1812:
1781:
1758:
1738:
1699:-base is a set of non-
1693:
1673:
1650:
1630:
1608:
1578:
1558:
1513:
1486:
1466:
1427:
1395:
1365:
1338:
1305:topological properties
1284:
1251:the cardinal function
1235:
1087:
934:
896:
858:
800:
739:
576:
528:
420:whose union is all of
404:
302:
250:
205:
5283:
5164:
5073: such that
4987:
4970:of a Boolean algebra
4965:
4925:
4827: such that
4741:
4724:of a Boolean algebra
4719:
4669:
4564:
4547:of a Boolean algebra
4542:
4487:
4379:
4362:of a Boolean algebra
4357:
4302:
4276:
4259:of a Boolean algebra
4254:
4206:
4118:
4075:
4032:
3926:
3874:
3851:
3831:
3811:
3763:
3734:
3711:
3676:
3634:
3614:
3572:
3498:
3475:
3293:
3245:
3206:
3186:
3166:
3143:
3123:
3074:
3054:
3026:
3006:
2958:
2938:
2864:
2829:
2758:
2655:
2567:
2530:
2510:
2462:
2423:
2403:
2357:
2337:
2289:
2262:
2242:
2198:
2178:
2136:
2061:
2037:
2010:
1988:
1958:
1923:
1899:
1879:
1856:
1833:
1813:
1782:
1759:
1739:
1694:
1674:
1651:
1631:
1609:
1579:
1559:
1514:
1487:
1467:
1428:
1426:{\displaystyle o(X).}
1396:
1366:
1339:
1285:
1236:
1088:
935:
897:
859:
801:
740:
577:
529:
405:
303:
251:
206:
5352:transcendence degree
5250:
5002:
4974:
4943:
4756:
4728:
4687:
4579:
4551:
4504:
4394:
4366:
4316:
4289:
4263:
4232:
4126:
4083:
4040:
3944:
3883:
3860:
3840:
3820:
3771:
3743:
3723:
3684:
3662:
3623:
3581:
3507:
3487:
3482:tightness of a space
3302:
3254:
3215:
3195:
3175:
3152:
3132:
3083:
3079:such that, whenever
3063:
3037:
3015:
2980:
2947:
2873:
2853:
2767:
2676:
2582:
2556:
2519:
2471:
2436:
2412:
2380:
2346:
2298:
2275:
2251:
2219:
2187:
2145:
2070:
2050:
2023:
1999:
1977:
1932:
1908:
1888:
1865:
1845:
1822:
1798:
1768:
1748:
1716:
1692:{\displaystyle \pi }
1683:
1660:
1649:{\displaystyle \pi }
1640:
1620:
1607:{\displaystyle \pi }
1598:
1568:
1523:
1500:
1476:
1444:
1405:
1375:
1355:
1315:
1255:
1098:
950:
909:
871:
834:
790:
747:The "cofinality" of
610:
544:
448:
315:
264:
233:
213:The "additivity" of
109:
5323:algebraic structure
5188:Index of a subgroup
3656:augmented tightness
3642:countably generated
1840:open neighbourhoods
1394:{\displaystyle |X|}
432:, we must have add(
81:Cardinal arithmetic
5636:Types of functions
5519:Engelking, Ryszard
5302:of a vector space
5278:
5159:
4982:
4960:
4920:
4736:
4714:
4664:
4559:
4537:
4482:
4374:
4352:
4297:
4271:
4249:
4201:
4113:
4070:
4027:
3937:Basic inequalities
3921:
3869:
3846:
3826:
3816:there is a subset
3806:
3758:
3739:such that for any
3729:
3706:
3674:{\displaystyle X,}
3671:
3629:
3609:
3567:
3493:
3470:
3288:
3240:
3201:
3181:
3164:{\displaystyle X,}
3161:
3138:
3118:
3069:
3049:
3021:
3001:
2953:
2933:
2859:
2824:
2753:
2668:(sometimes called
2650:
2562:
2525:
2505:
2457:
2418:
2398:
2352:
2332:
2287:{\displaystyle X.}
2284:
2257:
2237:
2193:
2173:
2131:
2056:
2035:{\displaystyle x.}
2032:
2005:
1983:
1953:
1918:
1894:
1877:{\displaystyle x,}
1874:
1851:
1828:
1808:
1780:{\displaystyle X.}
1777:
1754:
1734:
1689:
1672:{\displaystyle X.}
1669:
1646:
1626:
1604:
1574:
1554:
1512:{\displaystyle X.}
1509:
1482:
1462:
1423:
1391:
1361:
1334:
1280:
1231:
1083:
930:
892:
854:
812:Lebesgue null sets
796:
735:
572:
524:
400:
298:
246:
201:
29:cardinal invariant
5605:978-3-540-44085-7
5566:Monk, J. Donald:
5545:Monk, J. Donald:
5354:is likewise used.
5329:of the structure.
5314:(with respect to
5197:is the number of
5074:
4893:
4887:
4866:
4828:
4655:
4473:
4162:
3849:{\displaystyle Y}
3829:{\displaystyle Z}
3632:{\displaystyle X}
3496:{\displaystyle X}
3429:
3423:
3373:
3367:
3204:{\displaystyle Y}
3184:{\displaystyle Z}
3141:{\displaystyle Y}
3024:{\displaystyle X}
2956:{\displaystyle X}
2925:
2862:{\displaystyle X}
2819:
2639:
2565:{\displaystyle X}
2528:{\displaystyle X}
2421:{\displaystyle X}
2355:{\displaystyle X}
2260:{\displaystyle X}
2196:{\displaystyle X}
2059:{\displaystyle X}
2008:{\displaystyle x}
1986:{\displaystyle X}
1897:{\displaystyle B}
1854:{\displaystyle U}
1831:{\displaystyle x}
1757:{\displaystyle X}
1629:{\displaystyle X}
1577:{\displaystyle X}
1485:{\displaystyle X}
1364:{\displaystyle X}
1350:topological space
1167:
1161:
1019:
1013:
904:dominating number
799:{\displaystyle I}
786:In the case that
771: ) and cov(
508:
502:
428:itself is not in
25:cardinal function
5643:
5631:Cardinal numbers
5617:
5579:
5564:
5558:
5543:
5537:
5536:
5523:General Topology
5515:
5509:
5508:
5506:
5505:
5499:
5493:. Archived from
5482:
5471:
5465:
5464:
5462:
5461:
5455:
5449:. Archived from
5438:
5424:
5418:
5417:
5405:
5395:
5379:Cichoń's diagram
5345:separable degree
5341:algebraic degree
5337:field extensions
5287:
5285:
5284:
5279:
5268:
5267:
5168:
5166:
5165:
5160:
5155:
5154:
5148:
5147:
5132:
5131:
5125:
5124:
5106:
5105:
5075:
5072:
5058:
5044:
5036:
5031:
5030:
5015:
4991:
4989:
4988:
4983:
4981:
4969:
4967:
4966:
4961:
4956:
4929:
4927:
4926:
4921:
4919:
4918:
4912:
4911:
4891:
4885:
4864:
4854:
4853:
4829:
4826:
4824:
4810:
4802:
4797:
4796:
4781:
4780:
4771:
4770:
4745:
4743:
4742:
4737:
4735:
4723:
4721:
4720:
4715:
4710:
4702:
4701:
4673:
4671:
4670:
4665:
4663:
4662:
4656:
4653:
4651:
4637:
4629:
4624:
4623:
4608:
4600:
4599:
4568:
4566:
4565:
4560:
4558:
4546:
4544:
4543:
4538:
4533:
4525:
4524:
4491:
4489:
4488:
4483:
4481:
4480:
4474:
4472: is a chain
4471:
4469:
4455:
4447:
4442:
4441:
4426:
4418:
4417:
4383:
4381:
4380:
4375:
4373:
4361:
4359:
4358:
4353:
4348:
4340:
4339:
4306:
4304:
4303:
4298:
4296:
4280:
4278:
4277:
4272:
4270:
4258:
4256:
4255:
4250:
4245:
4220:Boolean algebras
4210:
4208:
4207:
4202:
4200:
4199:
4163:
4160:
4122:
4120:
4119:
4114:
4079:
4077:
4076:
4071:
4036:
4034:
4033:
4028:
4026:
4025:
4024:
4016:
3930:
3928:
3927:
3922:
3908:
3907:
3902:
3901:
3878:
3876:
3875:
3870:
3855:
3853:
3852:
3847:
3835:
3833:
3832:
3827:
3815:
3813:
3812:
3807:
3796:
3795:
3790:
3789:
3767:
3765:
3764:
3759:
3738:
3736:
3735:
3730:
3718:regular cardinal
3716:is the smallest
3715:
3713:
3712:
3707:
3696:
3695:
3680:
3678:
3677:
3672:
3638:
3636:
3635:
3630:
3618:
3616:
3615:
3610:
3608:
3607:
3576:
3574:
3573:
3568:
3502:
3500:
3499:
3494:
3479:
3477:
3476:
3471:
3466:
3462:
3452:
3451:
3446:
3445:
3427:
3421:
3396:
3395:
3390:
3389:
3371:
3365:
3352:
3344:
3297:
3295:
3294:
3289:
3272:
3271:
3249:
3247:
3246:
3241:
3230:
3222:
3210:
3208:
3207:
3202:
3190:
3188:
3187:
3182:
3170:
3168:
3167:
3162:
3147:
3145:
3144:
3139:
3128:for some subset
3127:
3125:
3124:
3119:
3108:
3107:
3102:
3101:
3078:
3076:
3075:
3070:
3058:
3056:
3055:
3050:
3030:
3028:
3027:
3022:
3010:
3008:
3007:
3002:
2970:discrete subset.
2962:
2960:
2959:
2954:
2942:
2940:
2939:
2934:
2926:
2923:
2909:
2901:
2868:
2866:
2865:
2860:
2833:
2831:
2830:
2825:
2820:
2817:
2803:
2795:
2762:
2760:
2759:
2754:
2728:
2727:
2703:
2702:
2659:
2657:
2656:
2651:
2640:
2637:
2635:
2634:
2625:
2620:
2619:
2613:
2571:
2569:
2568:
2563:
2535:is said to be a
2534:
2532:
2531:
2526:
2514:
2512:
2511:
2506:
2504:
2503:
2502:
2501:
2480:
2466:
2464:
2463:
2458:
2427:
2425:
2424:
2419:
2407:
2405:
2404:
2399:
2361:
2359:
2358:
2353:
2341:
2339:
2338:
2333:
2331:
2330:
2329:
2328:
2307:
2293:
2291:
2290:
2285:
2266:
2264:
2263:
2258:
2246:
2244:
2243:
2238:
2202:
2200:
2199:
2194:
2182:
2180:
2179:
2174:
2172:
2171:
2140:
2138:
2137:
2132:
2065:
2063:
2062:
2057:
2041:
2039:
2038:
2033:
2014:
2012:
2011:
2006:
1992:
1990:
1989:
1984:
1962:
1960:
1959:
1954:
1927:
1925:
1924:
1919:
1917:
1916:
1903:
1901:
1900:
1895:
1883:
1881:
1880:
1875:
1860:
1858:
1857:
1852:
1837:
1835:
1834:
1829:
1817:
1815:
1814:
1809:
1807:
1806:
1786:
1784:
1783:
1778:
1763:
1761:
1760:
1755:
1743:
1741:
1740:
1735:
1698:
1696:
1695:
1690:
1678:
1676:
1675:
1670:
1655:
1653:
1652:
1647:
1635:
1633:
1632:
1627:
1613:
1611:
1610:
1605:
1587:second countable
1583:
1581:
1580:
1575:
1563:
1561:
1560:
1555:
1553:
1552:
1518:
1516:
1515:
1510:
1491:
1489:
1488:
1483:
1471:
1469:
1468:
1463:
1432:
1430:
1429:
1424:
1400:
1398:
1397:
1392:
1390:
1382:
1370:
1368:
1367:
1362:
1343:
1341:
1340:
1335:
1333:
1332:
1309:general topology
1289:
1287:
1286:
1281:
1270:
1269:
1240:
1238:
1237:
1232:
1227:
1226:
1184:
1165:
1159:
1158:
1144:
1136:
1131:
1130:
1115:
1107:
1106:
1092:
1090:
1089:
1084:
1079:
1078:
1036:
1017:
1011:
1010:
996:
988:
983:
982:
967:
959:
958:
939:
937:
936:
931:
926:
918:
917:
901:
899:
898:
893:
888:
880:
879:
863:
861:
860:
855:
844:
814:or the ideal of
805:
803:
802:
797:
744:
742:
741:
736:
710:
709:
670:
669:
660:
655:
654:
648:
625:
624:
581:
579:
578:
573:
562:
561:
533:
531:
530:
525:
506:
500:
487:
479:
409:
407:
406:
401:
387:
386:
368:
367:
358:
353:
352:
346:
307:
305:
304:
299:
294:
293:
255:
253:
252:
247:
245:
244:
210:
208:
207:
202:
188:
187:
169:
168:
159:
154:
153:
147:
124:
123:
37:cardinal numbers
5651:
5650:
5646:
5645:
5644:
5642:
5641:
5640:
5621:
5620:
5606:
5596:Springer-Verlag
5586:
5583:
5582:
5565:
5561:
5544:
5540:
5533:
5517:
5516:
5512:
5503:
5501:
5497:
5491:
5480:
5473:
5472:
5468:
5459:
5457:
5453:
5447:
5436:
5426:
5425:
5421:
5414:
5397:
5396:
5392:
5387:
5375:
5361:
5297:linear subspace
5248:
5247:
5246:we define rank
5177:
5000:
4999:
4972:
4971:
4941:
4940:
4754:
4753:
4726:
4725:
4685:
4684:
4682:Incomparability
4577:
4576:
4549:
4548:
4502:
4501:
4392:
4391:
4364:
4363:
4314:
4313:
4287:
4286:
4261:
4260:
4230:
4229:
4216:
4179:
4161: and
4124:
4123:
4081:
4080:
4038:
4037:
4007:
3942:
3941:
3939:
3892:
3881:
3880:
3858:
3857:
3838:
3837:
3818:
3817:
3780:
3769:
3768:
3741:
3740:
3721:
3720:
3687:
3682:
3681:
3660:
3659:
3648:countably tight
3621:
3620:
3599:
3579:
3578:
3505:
3504:
3485:
3484:
3436:
3380:
3333:
3329:
3300:
3299:
3263:
3252:
3251:
3213:
3212:
3193:
3192:
3173:
3172:
3150:
3149:
3130:
3129:
3092:
3081:
3080:
3061:
3060:
3035:
3034:
3013:
3012:
2978:
2977:
2945:
2944:
2871:
2870:
2851:
2850:
2765:
2764:
2674:
2673:
2580:
2579:
2554:
2553:
2517:
2516:
2493:
2469:
2468:
2434:
2433:
2410:
2409:
2378:
2377:
2374:Lindelöf number
2344:
2343:
2320:
2296:
2295:
2273:
2272:
2249:
2248:
2217:
2216:
2206:first countable
2185:
2184:
2163:
2143:
2142:
2068:
2067:
2048:
2047:
2021:
2020:
1997:
1996:
1975:
1974:
1930:
1929:
1906:
1905:
1886:
1885:
1863:
1862:
1843:
1842:
1820:
1819:
1796:
1795:
1766:
1765:
1746:
1745:
1714:
1713:
1681:
1680:
1658:
1657:
1638:
1637:
1618:
1617:
1596:
1595:
1566:
1565:
1544:
1521:
1520:
1498:
1497:
1474:
1473:
1442:
1441:
1403:
1402:
1373:
1372:
1353:
1352:
1324:
1313:
1312:
1297:
1261:
1253:
1252:
1096:
1095:
948:
947:
907:
906:
869:
868:
866:bounding number
832:
831:
788:
787:
775: ) ≤ cof(
767: ) ≤ cof(
608:
607:
598: ) ≤ non(
542:
541:
446:
445:
436: ) ≤ cov(
313:
312:
285:
262:
261:
236:
231:
230:
107:
106:
75:ordinal numbers
45:
17:
12:
11:
5:
5649:
5647:
5639:
5638:
5633:
5623:
5622:
5619:
5618:
5604:
5581:
5580:
5559:
5538:
5531:
5510:
5489:
5466:
5445:
5428:Juhász, István
5419:
5412:
5406:. Birkhäuser.
5389:
5388:
5386:
5383:
5382:
5381:
5374:
5371:
5370:
5369:
5360:
5359:External links
5357:
5356:
5355:
5348:
5330:
5319:
5293:
5277:
5274:
5271:
5266:
5263:
5260:
5257:
5230:
5202:
5176:
5173:
5172:
5171:
5170:
5169:
5158:
5153:
5146:
5141:
5138:
5135:
5130:
5123:
5118:
5115:
5112:
5109:
5104:
5099:
5096:
5093:
5090:
5087:
5084:
5081:
5078:
5070:
5067:
5064:
5061:
5057:
5053:
5050:
5047:
5043:
5039:
5035:
5029:
5024:
5021:
5018:
5014:
5010:
5007:
4994:
4993:
4980:
4959:
4955:
4951:
4948:
4934:
4933:
4932:
4931:
4917:
4910:
4905:
4902:
4899:
4896:
4890:
4884:
4881:
4878:
4875:
4872:
4869:
4863:
4860:
4857:
4852:
4847:
4844:
4841:
4838:
4835:
4832:
4823:
4819:
4816:
4813:
4809:
4805:
4801:
4795:
4790:
4787:
4784:
4779:
4774:
4769:
4766:
4763:
4748:
4747:
4734:
4713:
4709:
4705:
4700:
4697:
4694:
4678:
4677:
4676:
4675:
4661:
4650:
4646:
4643:
4640:
4636:
4632:
4628:
4622:
4617:
4614:
4611:
4607:
4603:
4598:
4595:
4592:
4589:
4586:
4571:
4570:
4557:
4536:
4532:
4528:
4523:
4520:
4517:
4514:
4511:
4495:
4494:
4493:
4492:
4479:
4468:
4464:
4461:
4458:
4454:
4450:
4446:
4440:
4435:
4432:
4429:
4425:
4421:
4416:
4413:
4410:
4407:
4404:
4401:
4386:
4385:
4372:
4351:
4347:
4343:
4338:
4335:
4332:
4329:
4326:
4323:
4308:
4295:
4269:
4248:
4244:
4240:
4237:
4215:
4212:
4198:
4195:
4192:
4189:
4186:
4182:
4178:
4175:
4172:
4169:
4166:
4158:
4155:
4152:
4149:
4146:
4143:
4140:
4137:
4134:
4131:
4112:
4109:
4106:
4103:
4100:
4097:
4094:
4091:
4088:
4069:
4066:
4063:
4060:
4057:
4054:
4051:
4048:
4045:
4023:
4019:
4015:
4010:
4006:
4003:
4000:
3997:
3994:
3991:
3988:
3985:
3982:
3979:
3976:
3973:
3970:
3967:
3964:
3961:
3958:
3955:
3952:
3949:
3938:
3935:
3934:
3933:
3932:
3931:
3920:
3917:
3914:
3911:
3906:
3900:
3897:
3891:
3888:
3868:
3865:
3845:
3825:
3805:
3802:
3799:
3794:
3788:
3785:
3779:
3776:
3757:
3754:
3751:
3748:
3728:
3705:
3702:
3699:
3694:
3690:
3670:
3667:
3639:is said to be
3628:
3606:
3602:
3598:
3595:
3592:
3589:
3586:
3566:
3563:
3560:
3557:
3554:
3551:
3548:
3545:
3542:
3539:
3536:
3533:
3530:
3527:
3524:
3521:
3518:
3515:
3512:
3492:
3469:
3465:
3461:
3458:
3455:
3450:
3444:
3441:
3435:
3432:
3426:
3420:
3417:
3414:
3411:
3408:
3405:
3402:
3399:
3394:
3388:
3385:
3379:
3376:
3370:
3364:
3361:
3358:
3355:
3351:
3347:
3343:
3339:
3336:
3332:
3328:
3325:
3322:
3319:
3316:
3313:
3310:
3307:
3298:Symbolically,
3287:
3284:
3281:
3278:
3275:
3270:
3266:
3262:
3259:
3239:
3236:
3233:
3229:
3225:
3221:
3200:
3180:
3160:
3157:
3137:
3117:
3114:
3111:
3106:
3100:
3097:
3091:
3088:
3068:
3048:
3045:
3042:
3020:
3000:
2997:
2994:
2991:
2988:
2985:
2971:
2952:
2932:
2929:
2921:
2918:
2915:
2912:
2908:
2904:
2900:
2896:
2893:
2890:
2887:
2884:
2881:
2878:
2858:
2842:
2841:
2840:
2839:
2823:
2815:
2812:
2809:
2806:
2802:
2798:
2794:
2790:
2787:
2784:
2781:
2778:
2775:
2772:
2752:
2749:
2746:
2743:
2740:
2737:
2734:
2731:
2726:
2721:
2718:
2715:
2712:
2709:
2706:
2701:
2698:
2693:
2690:
2687:
2684:
2681:
2661:
2660:
2649:
2646:
2643:
2633:
2628:
2624:
2618:
2612:
2608:
2605:
2602:
2599:
2596:
2593:
2590:
2587:
2574:
2573:
2561:
2542:
2538:Lindelöf space
2524:
2500:
2496:
2492:
2489:
2486:
2483:
2479:
2456:
2453:
2450:
2447:
2444:
2441:
2417:
2397:
2394:
2391:
2388:
2385:
2369:
2362:is said to be
2351:
2327:
2323:
2319:
2316:
2313:
2310:
2306:
2283:
2280:
2256:
2236:
2233:
2230:
2227:
2224:
2210:
2203:is said to be
2192:
2170:
2166:
2162:
2159:
2156:
2153:
2150:
2130:
2127:
2124:
2121:
2118:
2115:
2112:
2109:
2106:
2103:
2100:
2097:
2094:
2090:
2087:
2084:
2081:
2078:
2075:
2055:
2031:
2028:
2004:
1982:
1965:
1964:
1963:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1937:
1915:
1893:
1873:
1870:
1850:
1827:
1805:
1776:
1773:
1753:
1733:
1730:
1727:
1724:
1721:
1711:network weight
1707:
1688:
1668:
1665:
1645:
1625:
1603:
1584:is said to be
1573:
1551:
1547:
1543:
1540:
1537:
1534:
1531:
1528:
1508:
1505:
1481:
1461:
1458:
1455:
1452:
1449:
1433:
1422:
1419:
1416:
1413:
1410:
1389:
1385:
1381:
1360:
1331:
1327:
1322:
1296:
1293:
1292:
1291:
1279:
1276:
1273:
1268:
1264:
1260:
1244:
1243:
1242:
1241:
1230:
1225:
1220:
1217:
1214:
1211:
1208:
1205:
1202:
1199:
1196:
1193:
1190:
1187:
1183:
1179:
1176:
1173:
1170:
1164:
1157:
1153:
1150:
1147:
1143:
1139:
1135:
1129:
1124:
1121:
1118:
1114:
1110:
1105:
1093:
1082:
1077:
1072:
1069:
1066:
1063:
1060:
1057:
1054:
1051:
1048:
1045:
1042:
1039:
1035:
1031:
1028:
1025:
1022:
1016:
1009:
1005:
1002:
999:
995:
991:
987:
981:
976:
973:
970:
966:
962:
957:
942:
941:
940:are defined as
929:
925:
921:
916:
891:
887:
883:
878:
853:
850:
847:
843:
839:
829:preordered set
824:
823:
795:
783:
782:
781:
780:
734:
731:
728:
725:
722:
719:
716:
713:
708:
703:
700:
697:
694:
691:
688:
685:
682:
679:
676:
673:
668:
663:
659:
653:
647:
643:
640:
637:
634:
631:
628:
623:
620:
617:
605:
604:
603:
571:
568:
565:
560:
557:
554:
551:
523:
520:
517:
514:
511:
505:
499:
496:
493:
490:
486:
482:
478:
474:
471:
468:
465:
462:
459:
456:
453:
443:
442:
441:
399:
396:
393:
390:
385:
380:
377:
374:
371:
366:
361:
357:
351:
345:
341:
338:
335:
332:
329:
326:
323:
320:
310:
309:
308:
297:
292:
288:
284:
281:
278:
275:
272:
269:
243:
239:
200:
197:
194:
191:
186:
181:
178:
175:
172:
167:
162:
158:
152:
146:
142:
139:
136:
133:
130:
127:
122:
119:
116:
103:
102:
84:
78:
64:
59:, denoted by |
44:
41:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5648:
5637:
5634:
5632:
5629:
5628:
5626:
5615:
5611:
5607:
5601:
5597:
5593:
5589:
5585:
5584:
5577:
5576:3-7643-5402-X
5573:
5569:
5563:
5560:
5556:
5555:3-7643-2495-3
5552:
5548:
5542:
5539:
5534:
5528:
5524:
5520:
5514:
5511:
5500:on 2014-03-17
5496:
5492:
5490:90-6196-196-3
5486:
5479:
5478:
5470:
5467:
5456:on 2014-03-18
5452:
5448:
5446:90-6196-062-2
5442:
5435:
5434:
5429:
5423:
5420:
5415:
5409:
5404:
5403:
5394:
5391:
5384:
5380:
5377:
5376:
5372:
5368:
5366:
5363:
5362:
5358:
5353:
5349:
5346:
5342:
5338:
5335:
5331:
5328:
5324:
5320:
5317:
5313:
5309:
5305:
5301:
5298:
5294:
5291:
5272:
5245:
5242:
5238:
5235:
5231:
5228:
5224:
5220:
5217:
5213:
5210:
5206:
5203:
5200:
5196:
5192:
5189:
5186:
5185:
5184:
5182:
5174:
5156:
5139:
5136:
5133:
5116:
5113:
5110:
5094:
5085:
5082:
5079:
5065:
5051:
5048:
5045:
5037:
5019:
5005:
4998:
4997:
4996:
4995:
4946:
4939:
4938:Pseudo-weight
4936:
4935:
4900:
4897:
4894:
4888:
4882:
4879:
4876:
4861:
4858:
4855:
4845:
4842:
4839:
4836:
4833:
4817:
4814:
4811:
4803:
4785:
4752:
4751:
4750:
4749:
4683:
4680:
4679:
4644:
4641:
4638:
4630:
4612:
4575:
4574:
4573:
4572:
4500:
4497:
4496:
4462:
4459:
4456:
4448:
4430:
4390:
4389:
4388:
4387:
4312:
4309:
4284:
4235:
4228:
4225:
4224:
4223:
4221:
4213:
4211:
4193:
4187:
4184:
4180:
4176:
4170:
4164:
4153:
4147:
4144:
4138:
4132:
4129:
4107:
4101:
4098:
4092:
4086:
4064:
4058:
4055:
4049:
4043:
4017:
4008:
4004:
3998:
3992:
3989:
3983:
3977:
3974:
3968:
3962:
3959:
3953:
3947:
3936:
3918:
3912:
3904:
3889:
3886:
3866:
3863:
3843:
3823:
3800:
3792:
3777:
3774:
3755:
3752:
3749:
3746:
3726:
3719:
3700:
3692:
3688:
3668:
3665:
3657:
3653:
3652:
3650:
3649:
3644:
3643:
3626:
3604:
3596:
3590:
3584:
3564:
3558:
3555:
3552:
3549:
3543:
3540:
3537:
3531:
3522:
3516:
3510:
3490:
3483:
3467:
3463:
3456:
3448:
3433:
3430:
3424:
3418:
3415:
3412:
3409:
3400:
3392:
3377:
3374:
3368:
3362:
3359:
3356:
3353:
3345:
3330:
3323:
3317:
3314:
3311:
3305:
3285:
3279:
3273:
3268:
3264:
3260:
3257:
3237:
3234:
3231:
3223:
3198:
3178:
3158:
3155:
3135:
3112:
3104:
3089:
3086:
3066:
3046:
3043:
3040:
3033:
3018:
2995:
2992:
2989:
2983:
2976:
2972:
2969:
2966:
2950:
2930:
2919:
2916:
2913:
2910:
2902:
2888:
2882:
2876:
2856:
2848:
2844:
2843:
2837:
2813:
2810:
2807:
2804:
2796:
2782:
2776:
2770:
2747:
2744:
2741:
2738:
2732:
2713:
2707:
2691:
2685:
2679:
2671:
2667:
2663:
2662:
2647:
2641:
2626:
2600:
2594:
2588:
2578:
2577:
2576:
2575:
2559:
2551:
2550:Suslin number
2547:
2543:
2540:
2539:
2522:
2498:
2490:
2454:
2448:
2442:
2431:
2415:
2392:
2386:
2376:
2375:
2370:
2367:
2366:
2349:
2325:
2317:
2281:
2278:
2270:
2254:
2231:
2225:
2215:
2211:
2208:
2207:
2190:
2168:
2160:
2154:
2148:
2128:
2122:
2119:
2116:
2113:
2107:
2104:
2101:
2095:
2085:
2079:
2073:
2053:
2045:
2029:
2026:
2018:
2002:
1995:
1980:
1972:
1971:
1966:
1950:
1947:
1944:
1941:
1938:
1935:
1891:
1884:there exists
1871:
1868:
1848:
1841:
1825:
1794:
1790:
1774:
1771:
1751:
1728:
1722:
1719:
1712:
1708:
1705:
1702:
1686:
1666:
1663:
1643:
1623:
1615:
1601:
1592:
1591:
1589:
1588:
1571:
1549:
1541:
1535:
1529:
1506:
1503:
1495:
1479:
1456:
1450:
1440:
1439:
1434:
1420:
1414:
1408:
1383:
1358:
1351:
1347:
1346:
1345:
1329:
1320:
1310:
1306:
1302:
1294:
1274:
1266:
1262:
1258:
1250:
1246:
1245:
1228:
1215:
1212:
1209:
1200:
1197:
1194:
1177:
1174:
1162:
1151:
1148:
1145:
1137:
1119:
1094:
1080:
1067:
1064:
1061:
1052:
1049:
1046:
1029:
1026:
1014:
1003:
1000:
997:
989:
971:
946:
945:
944:
943:
905:
867:
848:
845:
830:
826:
825:
821:
817:
813:
809:
793:
785:
784:
778:
774:
770:
766:
762:
758:
757:partial order
754:
750:
746:
745:
732:
723:
720:
717:
701:
698:
689:
686:
683:
677:
674:
671:
661:
635:
629:
606:
601:
597:
593:
590:contains all
589:
585:
566:
539:
535:
534:
521:
515:
512:
509:
503:
497:
494:
491:
488:
480:
466:
460:
454:
451:
444:
439:
435:
431:
427:
423:
419:
415:
411:
410:
397:
391:
388:
378:
375:
372:
369:
359:
333:
327:
321:
318:
311:
295:
290:
282:
276:
270:
267:
259:
241:
228:
224:
220:
216:
212:
211:
198:
192:
189:
179:
176:
173:
170:
160:
134:
128:
105:
104:
100:
96:
92:
89:
85:
82:
79:
76:
72:
68:
67:Aleph numbers
65:
62:
58:
54:
51:
47:
46:
42:
40:
38:
35:that returns
34:
30:
26:
22:
5591:
5588:Jech, Thomas
5567:
5562:
5546:
5541:
5522:
5513:
5502:. Retrieved
5495:the original
5476:
5469:
5458:. Retrieved
5451:the original
5432:
5422:
5401:
5393:
5315:
5311:
5303:
5299:
5243:
5236:
5226:
5218:
5211:
5209:vector space
5194:
5190:
5178:
4937:
4681:
4498:
4310:
4226:
4217:
3940:
3655:
3646:
3640:
3481:
3031:
2974:
2846:
2669:
2665:
2549:
2545:
2536:
2372:
2363:
2269:dense subset
2213:
2204:
2043:
1993:
1968:
1788:
1710:
1594:
1585:
1436:
1298:
903:
865:
776:
772:
768:
764:
760:
748:
599:
595:
587:
583:
537:
437:
433:
429:
425:
421:
417:
413:
257:
226:
218:
214:
98:
90:
71:beth numbers
60:
52:
28:
24:
18:
5308:codimension
5234:free module
5223:Hamel basis
4227:Cellularity
3658:of a space
2965:uncountable
2849:of a space
2552:of a space
2546:cellularity
2408:of a space
2247:of a space
1861:containing
1616:of a space
816:meagre sets
586:. Assuming
57:cardinality
21:mathematics
5625:Categories
5614:1007.03002
5592:Set Theory
5532:3885380064
5504:2012-06-30
5460:2012-06-30
5413:3764361247
5385:References
5327:generators
5306:we define
4283:antichains
3879:such that
3619:the space
3250:such that
3032:at a point
2515:the space
2430:open cover
2342:the space
2183:the space
2017:local base
1994:at a point
1928:for which
1656:-base for
1564:the space
1249:PCF theory
753:cofinality
592:singletons
225:is not in
5334:algebraic
5205:Dimension
5137:≤
5114:∈
5108:∃
5089:∖
5083:∈
5077:∀
5060:∖
5052:⊆
5006:π
4947:π
4898:≤
4889:∨
4880:≤
4871:¬
4868:⇒
4859:≠
4843:∈
4831:∀
4818:⊆
4645:⊆
4463:⊆
4188:
4177:≤
4145:≤
4133:
4099:≤
4087:χ
4056:≤
4005:≤
3990:≤
3975:≤
3960:≤
3890:∈
3864:α
3778:∈
3750:⊆
3727:α
3601:ℵ
3556:∈
3434:∈
3425:∧
3416:⊆
3378:∈
3369:∧
3360:⊆
3274:
3261:∈
3235:α
3232:≤
3090:∈
3067:α
3044:∈
2975:tightness
2917:⊆
2811:⊆
2745:⊆
2589:
2495:ℵ
2443:
2387:
2365:separable
2322:ℵ
2226:
2165:ℵ
2149:χ
2120:∈
2096:χ
2074:χ
2046:of space
2044:character
1970:character
1945:⊆
1939:∈
1723:
1704:open sets
1687:π
1644:π
1602:π
1546:ℵ
1530:
1451:
1326:ℵ
1275:λ
1267:κ
1213:⊑
1198:∈
1192:∃
1178:∈
1172:∀
1163:∧
1152:⊆
1050:∈
1044:∃
1030:∈
1024:∀
1015:∧
1004:⊆
849:⊑
779: ).
721:⊆
702:∈
696:∃
687:∈
681:∀
678:∧
672:⊆
602: ).
513:∉
504:∧
495:⊆
455:
440: ).
379:⋃
376:∧
370:⊆
322:
287:ℵ
283:≥
271:
238:ℵ
190:∉
180:⋃
177:∧
171:⊆
5590:(2003).
5521:(1989).
5430:(1979).
5373:See also
5321:For any
1301:topology
1290:is used.
1065:⋢
33:function
5239:over a
5214:over a
5181:algebra
2214:density
1789:network
1614:-weight
755:of the
751:is the
95:subsets
31:) is a
5612:
5602:
5574:
5553:
5529:
5487:
5443:
5410:
5295:For a
5290:module
5199:cosets
4892:
4886:
4865:
4311:Length
3428:
3422:
3372:
3366:
2968:closed
2847:extent
2670:spread
1793:family
1438:weight
1166:
1160:
1018:
1012:
827:For a
594:, add(
507:
501:
221:whose
5498:(PDF)
5481:(PDF)
5454:(PDF)
5437:(PDF)
5216:field
5207:of a
5183:are:
4499:Depth
3577:When
3211:with
2467:When
2294:When
2141:When
1791:is a
1701:empty
1519:When
808:reals
424:. As
256:; if
223:union
88:ideal
5600:ISBN
5572:ISBN
5551:ISBN
5527:ISBN
5485:ISBN
5441:ISBN
5408:ISBN
5343:and
5332:For
5241:ring
3654:The
3480:The
2973:The
2845:The
2664:The
2544:The
2371:The
2212:The
2042:The
2019:for
1967:The
1838:and
1709:The
1593:The
1496:for
1494:base
1435:The
1401:and
902:and
864:the
101:are:
69:and
55:its
27:(or
23:, a
5610:Zbl
5310:of
5225:of
5193:of
5023:min
4789:sup
4616:sup
4434:sup
4285:in
3836:of
3645:or
3526:sup
3503:is
3335:min
3327:sup
3191:of
3148:of
2943:So
2892:sup
2869:is
2786:sup
2763:or
2717:sup
2604:sup
2548:or
2271:of
2089:sup
2066:is
1904:in
1744:of
1679:(A
1247:In
1123:min
975:min
639:min
470:min
452:non
337:min
319:cov
268:add
138:min
97:of
93:of
50:set
19:In
5627::
5608:.
5598:.
5339:,
5318:).
4992:is
4746:is
4569:is
4384:is
4185:nw
4130:nw
3651:.
3265:cl
2572:is
1787:A
1720:nw
1590:.
63:|.
39:.
5616:.
5578:.
5557:.
5535:.
5507:.
5463:.
5416:.
5316:V
5312:W
5304:V
5300:W
5292:.
5276:)
5273:M
5270:(
5265:k
5262:n
5259:a
5256:r
5244:R
5237:M
5229:.
5227:V
5219:K
5212:V
5201:.
5195:G
5191:H
5157:.
5152:}
5145:)
5140:b
5134:a
5129:(
5122:)
5117:A
5111:a
5103:(
5098:}
5095:0
5092:{
5086:B
5080:b
5069:}
5066:0
5063:{
5056:B
5049:A
5046::
5042:|
5038:A
5034:|
5028:{
5020:=
5017:)
5013:B
5009:(
4979:B
4958:)
4954:B
4950:(
4930:.
4916:}
4909:)
4904:)
4901:a
4895:b
4883:b
4877:a
4874:(
4862:b
4856:a
4851:(
4846:A
4840:b
4837:,
4834:a
4822:B
4815:A
4812::
4808:|
4804:A
4800:|
4794:{
4786:=
4783:)
4778:B
4773:(
4768:c
4765:n
4762:I
4733:B
4712:)
4708:B
4704:(
4699:c
4696:n
4693:I
4674:.
4660:}
4649:B
4642:A
4639::
4635:|
4631:A
4627:|
4621:{
4613:=
4610:)
4606:B
4602:(
4597:h
4594:t
4591:p
4588:e
4585:d
4556:B
4535:)
4531:B
4527:(
4522:h
4519:t
4516:p
4513:e
4510:d
4478:}
4467:B
4460:A
4457::
4453:|
4449:A
4445:|
4439:{
4431:=
4428:)
4424:B
4420:(
4415:h
4412:t
4409:g
4406:n
4403:e
4400:l
4371:B
4350:)
4346:B
4342:(
4337:h
4334:t
4331:g
4328:n
4325:e
4322:l
4307:.
4294:B
4268:B
4247:)
4243:B
4239:(
4236:c
4197:)
4194:X
4191:(
4181:2
4174:)
4171:X
4168:(
4165:o
4157:)
4154:X
4151:(
4148:w
4142:)
4139:X
4136:(
4111:)
4108:X
4105:(
4102:w
4096:)
4093:X
4090:(
4068:)
4065:X
4062:(
4059:s
4053:)
4050:X
4047:(
4044:e
4022:|
4018:X
4014:|
4009:2
4002:)
3999:X
3996:(
3993:o
3987:)
3984:X
3981:(
3978:w
3972:)
3969:X
3966:(
3963:d
3957:)
3954:X
3951:(
3948:c
3919:.
3916:)
3913:Z
3910:(
3905:X
3899:l
3896:c
3887:x
3867:,
3844:Y
3824:Z
3804:)
3801:Y
3798:(
3793:X
3787:l
3784:c
3775:x
3756:,
3753:X
3747:Y
3704:)
3701:X
3698:(
3693:+
3689:t
3669:,
3666:X
3627:X
3605:0
3597:=
3594:)
3591:X
3588:(
3585:t
3565:.
3562:}
3559:X
3553:x
3550::
3547:)
3544:X
3541:,
3538:x
3535:(
3532:t
3529:{
3523:=
3520:)
3517:X
3514:(
3511:t
3491:X
3468:.
3464:}
3460:)
3457:Y
3454:(
3449:X
3443:l
3440:c
3431:x
3419:X
3413:Y
3410::
3407:}
3404:)
3401:Z
3398:(
3393:X
3387:l
3384:c
3375:x
3363:Y
3357:Z
3354::
3350:|
3346:Z
3342:|
3338:{
3331:{
3324:=
3321:)
3318:X
3315:,
3312:x
3309:(
3306:t
3286:.
3283:)
3280:Z
3277:(
3269:X
3258:x
3238:,
3228:|
3224:Z
3220:|
3199:Y
3179:Z
3159:,
3156:X
3136:Y
3116:)
3113:Y
3110:(
3105:X
3099:l
3096:c
3087:x
3047:X
3041:x
3019:X
2999:)
2996:X
2993:,
2990:x
2987:(
2984:t
2951:X
2931:.
2928:}
2920:X
2914:Y
2911::
2907:|
2903:Y
2899:|
2895:{
2889:=
2886:)
2883:X
2880:(
2877:e
2857:X
2838:.
2822:}
2814:X
2808:Y
2805::
2801:|
2797:Y
2793:|
2789:{
2783:=
2780:)
2777:X
2774:(
2771:s
2751:}
2748:X
2742:Y
2739::
2736:)
2733:Y
2730:(
2725:c
2720:{
2714:=
2711:)
2708:X
2705:(
2700:c
2697:h
2692:=
2689:)
2686:X
2683:(
2680:s
2648:.
2645:}
2642:X
2632:U
2627::
2623:|
2617:U
2611:|
2607:{
2601:=
2598:)
2595:X
2592:(
2586:c
2560:X
2541:.
2523:X
2499:0
2491:=
2488:)
2485:X
2482:(
2478:L
2455:.
2452:)
2449:X
2446:(
2440:L
2416:X
2396:)
2393:X
2390:(
2384:L
2368:.
2350:X
2326:0
2318:=
2315:)
2312:X
2309:(
2305:d
2282:.
2279:X
2255:X
2235:)
2232:X
2229:(
2223:d
2209:.
2191:X
2169:0
2161:=
2158:)
2155:X
2152:(
2129:.
2126:}
2123:X
2117:x
2114::
2111:)
2108:X
2105:,
2102:x
2099:(
2093:{
2086:=
2083:)
2080:X
2077:(
2054:X
2030:.
2027:x
2003:x
1981:X
1951:.
1948:U
1942:B
1936:x
1914:N
1892:B
1872:,
1869:x
1849:U
1826:x
1804:N
1775:.
1772:X
1752:X
1732:)
1729:X
1726:(
1667:.
1664:X
1624:X
1572:X
1550:0
1542:=
1539:)
1536:X
1533:(
1527:w
1507:.
1504:X
1480:X
1460:)
1457:X
1454:(
1448:w
1421:.
1418:)
1415:X
1412:(
1409:o
1388:|
1384:X
1380:|
1359:X
1330:0
1321:+
1278:)
1272:(
1263:p
1259:p
1229:.
1224:}
1219:)
1216:y
1210:x
1207:(
1204:)
1201:Y
1195:y
1189:(
1186:)
1182:P
1175:x
1169:(
1156:P
1149:Y
1146::
1142:|
1138:Y
1134:|
1128:{
1120:=
1117:)
1113:P
1109:(
1104:d
1081:,
1076:}
1071:)
1068:x
1062:y
1059:(
1056:)
1053:Y
1047:y
1041:(
1038:)
1034:P
1027:x
1021:(
1008:P
1001:Y
998::
994:|
990:Y
986:|
980:{
972:=
969:)
965:P
961:(
956:b
928:)
924:P
920:(
915:d
890:)
886:P
882:(
877:b
852:)
846:,
842:P
838:(
822:.
794:I
777:I
773:I
769:I
765:I
761:I
759:(
749:I
733:.
730:}
727:)
724:B
718:A
715:(
712:)
707:B
699:B
693:(
690:I
684:A
675:I
667:B
662::
658:|
652:B
646:|
642:{
636:=
633:)
630:I
627:(
622:f
619:o
616:c
600:I
596:I
588:I
584:I
570:)
567:I
564:(
559:f
556:i
553:n
550:u
538:I
522:,
519:}
516:I
510:A
498:X
492:A
489::
485:|
481:A
477:|
473:{
467:=
464:)
461:I
458:(
438:I
434:I
430:I
426:X
422:X
418:I
414:I
398:.
395:}
392:X
389:=
384:A
373:I
365:A
360::
356:|
350:A
344:|
340:{
334:=
331:)
328:I
325:(
296:.
291:1
280:)
277:I
274:(
258:I
242:0
227:I
219:I
215:I
199:.
196:}
193:I
185:A
174:I
166:A
161::
157:|
151:A
145:|
141:{
135:=
132:)
129:I
126:(
121:d
118:d
115:a
99:X
91:I
77:.
61:A
53:A
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.