3799:
3361:
1439:
1160:
3240:
1252:
1289:
2288:
1934:
1662:
1017:
3657:
3048:
2241:
2880:
2991:
2819:
3557:
432:
2572:
2183:
2115:
310:
3356:{\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}}
1835:
1785:
1735:
3080:
3161:
941:
3399:
977:
831:
792:
689:
3697:
3602:
477:
883:
134:
3745:
3721:
3212:
3188:
2640:
2532:
2488:
2436:
2412:
2388:
2364:
2340:
2316:
2143:
2072:
2025:
1978:
1887:
1863:
1618:
1594:
1494:
761:
737:
713:
654:
623:
599:
575:
551:
241:
213:
166:
95:
2717:
1527:
1684:
is a Lie algebra automorphism, the Lie bracket of two of its eigenspaces is contained in the eigenspace corresponding to the product of their eigenvalues. It follows that
371:
344:
3449:
1165:
2951:
2740:
2684:
2664:
2508:
1954:
1682:
1547:
1470:
189:
1570:
1012:
504:
3109:
1284:
3500:
2048:
2001:
3472:
3232:
2927:
2907:
2780:
2760:
2616:
2592:
2464:
524:
1434:{\displaystyle \theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}}
1155:{\displaystyle \theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}}
2249:
1895:
1623:
3820:
3607:
3166:
A refinement of the Cartan decomposition for symmetric spaces of compact or noncompact type states that the maximal
Abelian subalgebras
3903:
3933:
3869:
3857:
3842:
3000:
313:
2196:
2824:
2960:
2788:
3517:
392:
54:
2537:
2148:
2080:
246:
3813:
3807:
3747:
onto the space of positive definite matrices. Up to this exponential map, the global Cartan decomposition is the
3824:
3760:
1790:
1740:
1690:
141:
3053:
3117:
894:
98:
35:
3369:
946:
800:
766:
663:
3965:
3662:
834:
380:
Any real semisimple Lie algebra has a Cartan involution, and any two Cartan involutions are equivalent.
46:
3562:
1162:. The involutions (1), (2) and (3) are equivalent, but not equivalent to the identity involution since
437:
846:
104:
3726:
3702:
3193:
3169:
2621:
2513:
2469:
2417:
2393:
2369:
2345:
2321:
2297:
2124:
2053:
2006:
1959:
1868:
1844:
1599:
1575:
1475:
742:
718:
694:
635:
604:
580:
556:
532:
222:
194:
147:
76:
3960:
3748:
2689:
1499:
888:
50:
2318:. The special feature of a Cartan decomposition is that the Killing form is negative definite on
1247:{\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)}
374:
349:
322:
3410:
3929:
3899:
3865:
2595:
626:
2936:
2725:
2669:
2649:
2493:
1939:
1667:
1532:
1455:
174:
3921:
3891:
3503:
657:
3943:
3913:
3879:
1552:
985:
482:
3939:
3909:
3875:
3723:
is the subspace of symmetric matrices. Thus the exponential map is a diffeomorphism from
3085:
1260:
62:
3477:
2030:
1983:
3457:
3217:
2912:
2892:
2883:
2765:
2745:
2601:
2577:
2449:
509:
58:
3954:
169:
137:
3928:. Progress in Mathematics. Vol. 140 (2nd ed.). Boston, MA: Birkhäuser.
17:
3404:
In the compact and noncompact case the global Cartan decomposition thus implies
2190:
42:
3895:
2414:
are orthogonal complements of each other with respect to the
Killing form on
38:
3751:
of a matrix. The polar decomposition of an invertible matrix is unique.
215:
whose square is equal to the identity. Such an involution is called a
1620:
denote the eigenspaces corresponding to +1 and -1, respectively, then
2283:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}
1929:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}
1657:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}
2189:. This notion of a Cartan pair here is not to be confused with the
3652:{\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )}
837:
27:
Generalized matrix decomposition for Lie groups and Lie algebras
3864:, Pure and Applied Mathematics, vol. 80, Academic Press,
3792:
45:, which plays an important role in their structure theory and
57:
of matrices. Its history can be traced to the 1880s work of
3659:
is the real Lie algebra of skew-symmetric matrices, so that
3043:{\displaystyle P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G}
553:
is an involution. It is the unique Cartan involution of
3862:
Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces
2236:{\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}
1383:
1320:
1174:
1104:
1048:
797:
The following maps are involutions of the Lie algebra
601:
is negative definite or, equivalently, if and only if
3729:
3705:
3665:
3610:
3565:
3520:
3480:
3460:
3413:
3372:
3305:
3244:
3243:
3220:
3196:
3172:
3120:
3088:
3056:
3003:
2963:
2939:
2915:
2895:
2875:{\displaystyle (k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)}
2827:
2791:
2768:
2748:
2728:
2692:
2672:
2652:
2624:
2604:
2580:
2540:
2516:
2496:
2472:
2452:
2420:
2396:
2372:
2348:
2324:
2300:
2252:
2199:
2151:
2127:
2083:
2056:
2033:
2009:
1986:
1962:
1942:
1936:
with these extra properties determines an involution
1898:
1871:
1847:
1793:
1743:
1693:
1670:
1626:
1602:
1578:
1555:
1535:
1502:
1478:
1458:
1292:
1263:
1168:
1020:
988:
949:
897:
885:, which is the unique Cartan involution in this case.
849:
803:
769:
745:
721:
697:
666:
638:
607:
583:
559:
535:
512:
485:
440:
395:
352:
325:
249:
225:
197:
177:
150:
107:
79:
2986:{\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}
2814:{\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}
373:
are considered equivalent if they differ only by an
3739:
3715:
3691:
3651:
3596:
3552:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}
3551:
3494:
3466:
3443:
3393:
3355:
3226:
3206:
3182:
3155:
3103:
3074:
3042:
2985:
2945:
2921:
2901:
2874:
2813:
2774:
2754:
2734:
2711:
2678:
2658:
2634:
2610:
2586:
2566:
2526:
2502:
2482:
2458:
2430:
2406:
2382:
2358:
2334:
2310:
2282:
2235:
2177:
2137:
2109:
2066:
2042:
2019:
1995:
1972:
1948:
1928:
1881:
1857:
1829:
1779:
1729:
1676:
1656:
1612:
1588:
1564:
1541:
1521:
1488:
1464:
1433:
1278:
1246:
1154:
1006:
971:
935:
877:
825:
786:
755:
731:
707:
683:
648:
617:
593:
569:
545:
518:
498:
471:
427:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}
426:
365:
338:
304:
235:
207:
183:
160:
128:
89:
2567:{\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}
2178:{\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}
2110:{\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}
305:{\displaystyle B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)}
3886:Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.).
2290:associated to a Cartan involution is called a
2193:involving the relative Lie algebra cohomology
1865:is a Lie subalgebra, while any subalgebra of
8:
2442:Cartan decomposition on the Lie group level
2466:be a non-compact semisimple Lie group and
794:is the Lie algebra of a compact Lie group.
3843:Learn how and when to remove this message
3731:
3730:
3728:
3707:
3706:
3704:
3672:
3664:
3642:
3641:
3632:
3623:
3622:
3612:
3611:
3609:
3588:
3564:
3542:
3541:
3532:
3523:
3522:
3519:
3484:
3479:
3459:
3412:
3384:
3383:
3371:
3337:
3329:
3317:
3306:
3299:
3288:
3287:
3280:
3272:
3260:
3247:
3246:
3245:
3242:
3219:
3198:
3197:
3195:
3174:
3173:
3171:
3147:
3134:
3119:
3087:
3055:
3025:
3024:
3010:
3002:
2971:
2970:
2962:
2938:
2914:
2894:
2852:
2826:
2799:
2798:
2790:
2767:
2747:
2727:
2697:
2691:
2671:
2651:
2626:
2625:
2623:
2603:
2579:
2555:
2554:
2545:
2544:
2539:
2518:
2517:
2515:
2495:
2474:
2473:
2471:
2451:
2422:
2421:
2419:
2398:
2397:
2395:
2374:
2373:
2371:
2350:
2349:
2347:
2326:
2325:
2323:
2302:
2301:
2299:
2274:
2273:
2264:
2263:
2254:
2253:
2251:
2224:
2223:
2214:
2213:
2204:
2198:
2166:
2165:
2156:
2155:
2150:
2129:
2128:
2126:
2098:
2097:
2088:
2087:
2082:
2058:
2057:
2055:
2032:
2011:
2010:
2008:
1985:
1964:
1963:
1961:
1941:
1920:
1919:
1910:
1909:
1900:
1899:
1897:
1873:
1872:
1870:
1849:
1848:
1846:
1830:{\displaystyle \subseteq {\mathfrak {k}}}
1821:
1820:
1808:
1807:
1798:
1797:
1792:
1780:{\displaystyle \subseteq {\mathfrak {p}}}
1771:
1770:
1758:
1757:
1748:
1747:
1742:
1730:{\displaystyle \subseteq {\mathfrak {k}}}
1721:
1720:
1708:
1707:
1698:
1697:
1692:
1669:
1648:
1647:
1638:
1637:
1628:
1627:
1625:
1604:
1603:
1601:
1580:
1579:
1577:
1554:
1534:
1507:
1501:
1480:
1479:
1477:
1457:
1412:
1395:
1378:
1372:
1349:
1332:
1315:
1297:
1291:
1262:
1226:
1225:
1208:
1181:
1169:
1167:
1138:
1111:
1099:
1082:
1055:
1043:
1025:
1019:
987:
951:
950:
948:
927:
902:
896:
854:
848:
805:
804:
802:
778:
772:
771:
768:
747:
746:
744:
723:
722:
720:
699:
698:
696:
675:
669:
668:
665:
640:
639:
637:
609:
608:
606:
585:
584:
582:
561:
560:
558:
537:
536:
534:
511:
490:
484:
463:
439:
417:
416:
407:
398:
397:
394:
357:
351:
330:
324:
254:
248:
227:
226:
224:
199:
198:
196:
176:
152:
151:
149:
106:
81:
80:
78:
3806:This article includes a list of general
3454:Geometrically the image of the subgroup
3779:
3772:
3075:{\displaystyle K\times P\rightarrow G}
3156:{\displaystyle X\mapsto (X^{-1})^{T}}
2929:, whenever the center of G is finite.
936:{\displaystyle \theta _{2}(X)=-X^{T}}
7:
3732:
3708:
3627:
3624:
3613:
3527:
3524:
3394:{\displaystyle A=e^{\mathfrak {a}}}
3385:
3289:
3248:
3199:
3175:
3026:
2972:
2800:
2627:
2574:be the resulting Cartan pair. Let
2556:
2546:
2519:
2475:
2423:
2399:
2375:
2351:
2327:
2303:
2275:
2265:
2255:
2225:
2215:
2167:
2157:
2130:
2099:
2089:
2059:
2012:
1965:
1921:
1911:
1901:
1874:
1850:
1822:
1809:
1799:
1772:
1759:
1749:
1722:
1709:
1699:
1649:
1639:
1629:
1605:
1581:
1481:
1230:
1227:
972:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
955:
952:
826:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}
809:
806:
787:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
773:
748:
739:. This is the Cartan involution on
724:
700:
684:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
670:
641:
610:
586:
577:if and only if the Killing form of
562:
538:
402:
399:
228:
200:
153:
82:
3812:it lacks sufficient corresponding
3692:{\displaystyle K=\mathrm {SO} (n)}
3676:
3673:
3333:
3330:
3276:
3273:
3017:
3014:
3011:
2940:
2859:
2856:
2853:
2729:
2722:The subgroup of elements fixed by
2694:
2653:
2646:There is a Lie group automorphism
1472:be an involution on a Lie algebra
69:Cartan involutions on Lie algebras
25:
3926:Lie groups beyond an introduction
3597:{\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}
2909:is a maximal compact subgroup of
660:of a real semisimple Lie algebra
472:{\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}
3797:
3214:are unique up to conjugation by
878:{\displaystyle \theta _{1}(X)=X}
506:denotes the transpose matrix of
129:{\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}
3740:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
3716:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
3510:Relation to polar decomposition
3304:
3298:
3207:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
3183:{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
3050:this says that the product map
2686:at the identity that satisfies
2635:{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
2527:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2483:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2431:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2407:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2383:{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
2359:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2335:{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
2311:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2138:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2067:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
2020:{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
1973:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1882:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
1858:{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
1613:{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
1589:{\displaystyle {\mathfrak {k}}}
1489:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
756:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
732:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
708:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
649:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
618:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
594:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
570:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
546:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
314:positive definite bilinear form
236:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
208:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
161:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
90:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3686:
3680:
3646:
3638:
3575:
3569:
3546:
3538:
3144:
3127:
3124:
3114:For the general linear group,
3066:
3031:
3021:
2977:
2869:
2863:
2843:
2840:
2828:
2805:
2561:
2541:
2230:
2210:
2172:
2152:
2104:
2084:
1814:
1794:
1764:
1744:
1714:
1694:
1309:
1303:
1241:
1235:
1037:
1031:
966:
960:
914:
908:
866:
860:
820:
814:
691:, then complex conjugation on
450:
444:
421:
413:
299:
284:
272:
260:
123:
111:
1:
3888:A History of Abstract Algebra
2712:{\displaystyle \Theta ^{2}=1}
1522:{\displaystyle \theta ^{2}=1}
1892:Conversely, a decomposition
55:singular value decomposition
3559:with the Cartan involution
2995:global Cartan decomposition
366:{\displaystyle \theta _{2}}
339:{\displaystyle \theta _{1}}
3982:
3890:. Boston, MA: Birkhäuser.
2510:be a Cartan involution on
3896:10.1007/978-0-8176-4685-1
3444:{\displaystyle G=KP=KAK,}
2957:, and the diffeomorphism
2342:and positive definite on
3761:Lie group decompositions
3163:is a Cartan involution.
2955:global Cartan involution
1549:has the two eigenvalues
843:The identity involution
625:is the Lie algebra of a
34:is a decomposition of a
3827:more precise citations.
3082:is a diffeomorphism so
2946:{\displaystyle \Theta }
2735:{\displaystyle \Theta }
2679:{\displaystyle \theta }
2659:{\displaystyle \Theta }
2503:{\displaystyle \theta }
1949:{\displaystyle \theta }
1677:{\displaystyle \theta }
1542:{\displaystyle \theta }
1465:{\displaystyle \theta }
1286:is even, there is also
389:A Cartan involution on
184:{\displaystyle \theta }
3741:
3717:
3693:
3653:
3598:
3553:
3496:
3468:
3445:
3395:
3357:
3228:
3208:
3184:
3157:
3105:
3076:
3044:
2987:
2947:
2923:
2903:
2876:
2815:
2776:
2756:
2736:
2713:
2680:
2660:
2636:
2612:
2588:
2568:
2528:
2504:
2484:
2460:
2432:
2408:
2384:
2360:
2336:
2312:
2284:
2237:
2179:
2139:
2111:
2068:
2044:
2021:
1997:
1974:
1950:
1930:
1883:
1859:
1831:
1781:
1731:
1678:
1658:
1614:
1590:
1566:
1543:
1523:
1490:
1466:
1435:
1280:
1248:
1156:
1008:
973:
937:
879:
827:
788:
757:
733:
709:
685:
650:
619:
595:
571:
547:
520:
500:
473:
428:
367:
340:
306:
237:
209:
185:
162:
130:
99:semisimple Lie algebra
91:
49:. It generalizes the
3742:
3718:
3694:
3654:
3599:
3554:
3497:
3469:
3446:
3396:
3358:
3229:
3209:
3185:
3158:
3106:
3077:
3045:
2988:
2948:
2924:
2904:
2877:
2816:
2782:is a closed subgroup.
2777:
2757:
2737:
2714:
2681:
2661:
2637:
2613:
2589:
2569:
2529:
2505:
2490:its Lie algebra. Let
2485:
2461:
2433:
2409:
2385:
2361:
2337:
2313:
2285:
2238:
2180:
2140:
2112:
2069:
2045:
2022:
1998:
1975:
1951:
1931:
1884:
1860:
1832:
1782:
1732:
1679:
1659:
1615:
1591:
1567:
1565:{\displaystyle \pm 1}
1544:
1524:
1491:
1467:
1436:
1281:
1249:
1157:
1009:
1007:{\displaystyle n=p+q}
974:
938:
880:
835:special unitary group
828:
789:
758:
734:
710:
686:
651:
629:semisimple Lie group.
620:
596:
572:
548:
521:
501:
499:{\displaystyle X^{T}}
474:
429:
368:
341:
307:
238:
210:
186:
163:
131:
92:
47:representation theory
3727:
3703:
3663:
3608:
3563:
3518:
3478:
3458:
3411:
3370:
3241:
3218:
3194:
3170:
3118:
3104:{\displaystyle G=KP}
3086:
3054:
3001:
2961:
2937:
2913:
2893:
2825:
2789:
2766:
2746:
2726:
2690:
2670:
2650:
2622:
2602:
2578:
2538:
2514:
2494:
2470:
2450:
2418:
2394:
2370:
2346:
2322:
2298:
2292:Cartan decomposition
2250:
2197:
2149:
2125:
2081:
2054:
2031:
2007:
1984:
1960:
1940:
1896:
1869:
1845:
1791:
1741:
1691:
1668:
1624:
1600:
1576:
1553:
1533:
1500:
1476:
1456:
1290:
1279:{\displaystyle n=2m}
1261:
1166:
1018:
986:
947:
895:
847:
801:
767:
743:
719:
715:is an involution on
695:
664:
636:
605:
581:
557:
533:
529:The identity map on
510:
483:
438:
393:
350:
323:
247:
223:
195:
175:
148:
105:
77:
32:Cartan decomposition
30:In mathematics, the
3749:polar decomposition
3495:{\displaystyle G/K}
2953:is also called the
889:Complex conjugation
51:polar decomposition
3858:Helgason, Sigurdur
3737:
3713:
3689:
3649:
3594:
3549:
3492:
3464:
3441:
3391:
3353:
3352:
3351:
3328:
3271:
3224:
3204:
3180:
3153:
3101:
3072:
3040:
2983:
2943:
2919:
2899:
2872:
2811:
2772:
2752:
2732:
2709:
2676:
2666:with differential
2656:
2632:
2608:
2584:
2564:
2524:
2500:
2480:
2456:
2428:
2404:
2380:
2356:
2332:
2308:
2280:
2246:The decomposition
2233:
2175:
2135:
2107:
2064:
2043:{\displaystyle -1}
2040:
2017:
1996:{\displaystyle +1}
1993:
1970:
1946:
1926:
1879:
1855:
1827:
1777:
1727:
1674:
1654:
1610:
1586:
1562:
1539:
1519:
1486:
1462:
1431:
1425:
1362:
1276:
1244:
1216:
1152:
1146:
1090:
1004:
969:
933:
875:
823:
784:
753:
729:
705:
681:
646:
615:
591:
567:
543:
516:
496:
469:
424:
375:inner automorphism
363:
336:
302:
233:
205:
181:
158:
126:
87:
3922:Knapp, Anthony W.
3853:
3852:
3845:
3467:{\displaystyle A}
3313:
3302:
3256:
3227:{\displaystyle K}
2933:The automorphism
2922:{\displaystyle G}
2902:{\displaystyle K}
2775:{\displaystyle K}
2762:; in particular,
2755:{\displaystyle K}
2618:with Lie algebra
2611:{\displaystyle G}
2596:analytic subgroup
2587:{\displaystyle K}
2459:{\displaystyle G}
2117:is also called a
1529:, the linear map
891:, expressible as
519:{\displaystyle X}
217:Cartan involution
168:is a Lie algebra
18:Cartan involution
16:(Redirected from
3973:
3947:
3917:
3882:
3848:
3841:
3837:
3834:
3828:
3823:this article by
3814:inline citations
3801:
3800:
3793:
3782:
3777:
3746:
3744:
3743:
3738:
3736:
3735:
3722:
3720:
3719:
3714:
3712:
3711:
3698:
3696:
3695:
3690:
3679:
3658:
3656:
3655:
3650:
3645:
3637:
3636:
3631:
3630:
3617:
3616:
3603:
3601:
3600:
3595:
3593:
3592:
3558:
3556:
3555:
3550:
3545:
3537:
3536:
3531:
3530:
3504:totally geodesic
3501:
3499:
3498:
3493:
3488:
3473:
3471:
3470:
3465:
3450:
3448:
3447:
3442:
3400:
3398:
3397:
3392:
3390:
3389:
3388:
3362:
3360:
3359:
3354:
3350:
3336:
3327:
3303:
3300:
3297:
3293:
3292:
3279:
3270:
3252:
3251:
3233:
3231:
3230:
3225:
3213:
3211:
3210:
3205:
3203:
3202:
3189:
3187:
3186:
3181:
3179:
3178:
3162:
3160:
3159:
3154:
3152:
3151:
3142:
3141:
3110:
3108:
3107:
3102:
3081:
3079:
3078:
3073:
3049:
3047:
3046:
3041:
3030:
3029:
3020:
2992:
2990:
2989:
2984:
2976:
2975:
2952:
2950:
2949:
2944:
2928:
2926:
2925:
2920:
2908:
2906:
2905:
2900:
2881:
2879:
2878:
2873:
2862:
2820:
2818:
2817:
2812:
2804:
2803:
2781:
2779:
2778:
2773:
2761:
2759:
2758:
2753:
2741:
2739:
2738:
2733:
2718:
2716:
2715:
2710:
2702:
2701:
2685:
2683:
2682:
2677:
2665:
2663:
2662:
2657:
2641:
2639:
2638:
2633:
2631:
2630:
2617:
2615:
2614:
2609:
2593:
2591:
2590:
2585:
2573:
2571:
2570:
2565:
2560:
2559:
2550:
2549:
2533:
2531:
2530:
2525:
2523:
2522:
2509:
2507:
2506:
2501:
2489:
2487:
2486:
2481:
2479:
2478:
2465:
2463:
2462:
2457:
2437:
2435:
2434:
2429:
2427:
2426:
2413:
2411:
2410:
2405:
2403:
2402:
2389:
2387:
2386:
2381:
2379:
2378:
2366:. Furthermore,
2365:
2363:
2362:
2357:
2355:
2354:
2341:
2339:
2338:
2333:
2331:
2330:
2317:
2315:
2314:
2309:
2307:
2306:
2289:
2287:
2286:
2281:
2279:
2278:
2269:
2268:
2259:
2258:
2242:
2240:
2239:
2234:
2229:
2228:
2219:
2218:
2209:
2208:
2184:
2182:
2181:
2176:
2171:
2170:
2161:
2160:
2144:
2142:
2141:
2136:
2134:
2133:
2116:
2114:
2113:
2108:
2103:
2102:
2093:
2092:
2073:
2071:
2070:
2065:
2063:
2062:
2049:
2047:
2046:
2041:
2026:
2024:
2023:
2018:
2016:
2015:
2002:
2000:
1999:
1994:
1979:
1977:
1976:
1971:
1969:
1968:
1955:
1953:
1952:
1947:
1935:
1933:
1932:
1927:
1925:
1924:
1915:
1914:
1905:
1904:
1889:is commutative.
1888:
1886:
1885:
1880:
1878:
1877:
1864:
1862:
1861:
1856:
1854:
1853:
1836:
1834:
1833:
1828:
1826:
1825:
1813:
1812:
1803:
1802:
1786:
1784:
1783:
1778:
1776:
1775:
1763:
1762:
1753:
1752:
1736:
1734:
1733:
1728:
1726:
1725:
1713:
1712:
1703:
1702:
1683:
1681:
1680:
1675:
1663:
1661:
1660:
1655:
1653:
1652:
1643:
1642:
1633:
1632:
1619:
1617:
1616:
1611:
1609:
1608:
1595:
1593:
1592:
1587:
1585:
1584:
1571:
1569:
1568:
1563:
1548:
1546:
1545:
1540:
1528:
1526:
1525:
1520:
1512:
1511:
1495:
1493:
1492:
1487:
1485:
1484:
1471:
1469:
1468:
1463:
1440:
1438:
1437:
1432:
1430:
1429:
1417:
1416:
1400:
1399:
1377:
1376:
1367:
1366:
1354:
1353:
1337:
1336:
1302:
1301:
1285:
1283:
1282:
1277:
1253:
1251:
1250:
1245:
1234:
1233:
1221:
1220:
1213:
1212:
1186:
1185:
1161:
1159:
1158:
1153:
1151:
1150:
1143:
1142:
1116:
1115:
1095:
1094:
1087:
1086:
1060:
1059:
1030:
1029:
1013:
1011:
1010:
1005:
978:
976:
975:
970:
959:
958:
942:
940:
939:
934:
932:
931:
907:
906:
884:
882:
881:
876:
859:
858:
832:
830:
829:
824:
813:
812:
793:
791:
790:
785:
783:
782:
777:
776:
762:
760:
759:
754:
752:
751:
738:
736:
735:
730:
728:
727:
714:
712:
711:
706:
704:
703:
690:
688:
687:
682:
680:
679:
674:
673:
658:complexification
655:
653:
652:
647:
645:
644:
624:
622:
621:
616:
614:
613:
600:
598:
597:
592:
590:
589:
576:
574:
573:
568:
566:
565:
552:
550:
549:
544:
542:
541:
525:
523:
522:
517:
505:
503:
502:
497:
495:
494:
478:
476:
475:
470:
468:
467:
433:
431:
430:
425:
420:
412:
411:
406:
405:
372:
370:
369:
364:
362:
361:
345:
343:
342:
337:
335:
334:
319:Two involutions
311:
309:
308:
303:
259:
258:
242:
240:
239:
234:
232:
231:
214:
212:
211:
206:
204:
203:
190:
188:
187:
182:
167:
165:
164:
159:
157:
156:
135:
133:
132:
127:
96:
94:
93:
88:
86:
85:
21:
3981:
3980:
3976:
3975:
3974:
3972:
3971:
3970:
3951:
3950:
3936:
3920:
3906:
3885:
3872:
3856:
3849:
3838:
3832:
3829:
3819:Please help to
3818:
3802:
3798:
3791:
3786:
3785:
3778:
3774:
3769:
3757:
3725:
3724:
3701:
3700:
3661:
3660:
3621:
3606:
3605:
3584:
3561:
3560:
3521:
3516:
3515:
3512:
3476:
3475:
3456:
3455:
3409:
3408:
3379:
3368:
3367:
3239:
3238:
3216:
3215:
3192:
3191:
3168:
3167:
3143:
3130:
3116:
3115:
3084:
3083:
3052:
3051:
2999:
2998:
2959:
2958:
2935:
2934:
2911:
2910:
2891:
2890:
2823:
2822:
2787:
2786:
2764:
2763:
2744:
2743:
2724:
2723:
2693:
2688:
2687:
2668:
2667:
2648:
2647:
2620:
2619:
2600:
2599:
2576:
2575:
2536:
2535:
2512:
2511:
2492:
2491:
2468:
2467:
2448:
2447:
2444:
2416:
2415:
2392:
2391:
2368:
2367:
2344:
2343:
2320:
2319:
2296:
2295:
2248:
2247:
2200:
2195:
2194:
2191:distinct notion
2147:
2146:
2123:
2122:
2079:
2078:
2052:
2051:
2029:
2028:
2005:
2004:
1982:
1981:
1958:
1957:
1938:
1937:
1894:
1893:
1867:
1866:
1843:
1842:
1789:
1788:
1739:
1738:
1689:
1688:
1666:
1665:
1622:
1621:
1598:
1597:
1574:
1573:
1551:
1550:
1531:
1530:
1503:
1498:
1497:
1474:
1473:
1454:
1453:
1450:
1424:
1423:
1418:
1408:
1402:
1401:
1391:
1389:
1379:
1368:
1361:
1360:
1355:
1345:
1339:
1338:
1328:
1326:
1316:
1293:
1288:
1287:
1259:
1258:
1215:
1214:
1204:
1199:
1193:
1192:
1187:
1177:
1170:
1164:
1163:
1145:
1144:
1134:
1129:
1123:
1122:
1117:
1107:
1100:
1089:
1088:
1078:
1073:
1067:
1066:
1061:
1051:
1044:
1021:
1016:
1015:
984:
983:
945:
944:
923:
898:
893:
892:
850:
845:
844:
799:
798:
770:
765:
764:
763:if and only if
741:
740:
717:
716:
693:
692:
667:
662:
661:
634:
633:
603:
602:
579:
578:
555:
554:
531:
530:
508:
507:
486:
481:
480:
459:
436:
435:
396:
391:
390:
386:
353:
348:
347:
326:
321:
320:
250:
245:
244:
221:
220:
193:
192:
173:
172:
146:
145:
103:
102:
75:
74:
71:
63:Wilhelm Killing
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
3979:
3977:
3969:
3968:
3963:
3953:
3952:
3949:
3948:
3934:
3918:
3905:978-0817646844
3904:
3883:
3870:
3851:
3850:
3805:
3803:
3796:
3790:
3787:
3784:
3783:
3771:
3770:
3768:
3765:
3764:
3763:
3756:
3753:
3734:
3710:
3688:
3685:
3682:
3678:
3675:
3671:
3668:
3648:
3644:
3640:
3635:
3629:
3626:
3620:
3615:
3591:
3587:
3583:
3580:
3577:
3574:
3571:
3568:
3548:
3544:
3540:
3535:
3529:
3526:
3511:
3508:
3491:
3487:
3483:
3463:
3452:
3451:
3440:
3437:
3434:
3431:
3428:
3425:
3422:
3419:
3416:
3387:
3382:
3378:
3375:
3364:
3363:
3349:
3346:
3343:
3340:
3335:
3332:
3326:
3323:
3320:
3316:
3312:
3309:
3296:
3291:
3286:
3283:
3278:
3275:
3269:
3266:
3263:
3259:
3255:
3250:
3223:
3201:
3177:
3150:
3146:
3140:
3137:
3133:
3129:
3126:
3123:
3100:
3097:
3094:
3091:
3071:
3068:
3065:
3062:
3059:
3039:
3036:
3033:
3028:
3023:
3019:
3016:
3013:
3009:
3006:
2997:. If we write
2993:is called the
2982:
2979:
2974:
2969:
2966:
2942:
2931:
2930:
2918:
2898:
2887:
2884:diffeomorphism
2871:
2868:
2865:
2861:
2858:
2855:
2851:
2848:
2845:
2842:
2839:
2836:
2833:
2830:
2810:
2807:
2802:
2797:
2794:
2783:
2771:
2751:
2731:
2720:
2708:
2705:
2700:
2696:
2675:
2655:
2629:
2607:
2583:
2563:
2558:
2553:
2548:
2543:
2521:
2499:
2477:
2455:
2443:
2440:
2425:
2401:
2377:
2353:
2329:
2305:
2277:
2272:
2267:
2262:
2257:
2232:
2227:
2222:
2217:
2212:
2207:
2203:
2187:symmetric pair
2174:
2169:
2164:
2159:
2154:
2132:
2106:
2101:
2096:
2091:
2086:
2061:
2039:
2036:
2014:
1992:
1989:
1967:
1945:
1923:
1918:
1913:
1908:
1903:
1876:
1852:
1839:
1838:
1824:
1819:
1816:
1811:
1806:
1801:
1796:
1774:
1769:
1766:
1761:
1756:
1751:
1746:
1724:
1719:
1716:
1711:
1706:
1701:
1696:
1673:
1651:
1646:
1641:
1636:
1631:
1607:
1583:
1561:
1558:
1538:
1518:
1515:
1510:
1506:
1483:
1461:
1449:
1446:
1445:
1444:
1443:
1442:
1428:
1422:
1419:
1415:
1411:
1407:
1404:
1403:
1398:
1394:
1390:
1388:
1385:
1384:
1382:
1375:
1371:
1365:
1359:
1356:
1352:
1348:
1344:
1341:
1340:
1335:
1331:
1327:
1325:
1322:
1321:
1319:
1314:
1311:
1308:
1305:
1300:
1296:
1275:
1272:
1269:
1266:
1255:
1243:
1240:
1237:
1232:
1229:
1224:
1219:
1211:
1207:
1203:
1200:
1198:
1195:
1194:
1191:
1188:
1184:
1180:
1176:
1175:
1173:
1149:
1141:
1137:
1133:
1130:
1128:
1125:
1124:
1121:
1118:
1114:
1110:
1106:
1105:
1103:
1098:
1093:
1085:
1081:
1077:
1074:
1072:
1069:
1068:
1065:
1062:
1058:
1054:
1050:
1049:
1047:
1042:
1039:
1036:
1033:
1028:
1024:
1003:
1000:
997:
994:
991:
980:
968:
965:
962:
957:
954:
930:
926:
922:
919:
916:
913:
910:
905:
901:
886:
874:
871:
868:
865:
862:
857:
853:
822:
819:
816:
811:
808:
795:
781:
775:
750:
726:
702:
678:
672:
643:
630:
612:
588:
564:
540:
527:
515:
493:
489:
466:
462:
458:
455:
452:
449:
446:
443:
434:is defined by
423:
419:
415:
410:
404:
401:
385:
382:
360:
356:
333:
329:
301:
298:
295:
292:
289:
286:
283:
280:
277:
274:
271:
268:
265:
262:
257:
253:
230:
202:
180:
155:
125:
122:
119:
116:
113:
110:
84:
70:
67:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3978:
3967:
3964:
3962:
3959:
3958:
3956:
3945:
3941:
3937:
3935:0-8176-4259-5
3931:
3927:
3923:
3919:
3915:
3911:
3907:
3901:
3897:
3893:
3889:
3884:
3881:
3877:
3873:
3871:0-8218-2848-7
3867:
3863:
3859:
3855:
3854:
3847:
3844:
3836:
3826:
3822:
3816:
3815:
3809:
3804:
3795:
3794:
3788:
3781:
3776:
3773:
3766:
3762:
3759:
3758:
3754:
3752:
3750:
3683:
3669:
3666:
3633:
3618:
3589:
3585:
3581:
3578:
3572:
3566:
3533:
3509:
3507:
3506:submanifold.
3505:
3489:
3485:
3481:
3461:
3438:
3435:
3432:
3429:
3426:
3423:
3420:
3417:
3414:
3407:
3406:
3405:
3402:
3380:
3376:
3373:
3347:
3344:
3341:
3338:
3324:
3321:
3318:
3314:
3310:
3307:
3294:
3284:
3281:
3267:
3264:
3261:
3257:
3253:
3237:
3236:
3235:
3221:
3164:
3148:
3138:
3135:
3131:
3121:
3112:
3098:
3095:
3092:
3089:
3069:
3063:
3060:
3057:
3037:
3034:
3007:
3004:
2996:
2980:
2967:
2964:
2956:
2916:
2896:
2889:The subgroup
2888:
2885:
2866:
2849:
2846:
2837:
2834:
2831:
2808:
2795:
2792:
2784:
2769:
2749:
2721:
2706:
2703:
2698:
2673:
2645:
2644:
2643:
2605:
2597:
2581:
2551:
2497:
2453:
2441:
2439:
2293:
2270:
2260:
2244:
2220:
2205:
2201:
2192:
2188:
2162:
2120:
2094:
2075:
2037:
2034:
1990:
1987:
1943:
1916:
1906:
1890:
1817:
1804:
1767:
1754:
1717:
1704:
1687:
1686:
1685:
1671:
1644:
1634:
1559:
1556:
1536:
1516:
1513:
1508:
1504:
1459:
1447:
1426:
1420:
1413:
1409:
1405:
1396:
1392:
1386:
1380:
1373:
1369:
1363:
1357:
1350:
1346:
1342:
1333:
1329:
1323:
1317:
1312:
1306:
1298:
1294:
1273:
1270:
1267:
1264:
1256:
1238:
1222:
1217:
1209:
1205:
1201:
1196:
1189:
1182:
1178:
1171:
1147:
1139:
1135:
1131:
1126:
1119:
1112:
1108:
1101:
1096:
1091:
1083:
1079:
1075:
1070:
1063:
1056:
1052:
1045:
1040:
1034:
1026:
1022:
1001:
998:
995:
992:
989:
981:
963:
928:
924:
920:
917:
911:
903:
899:
890:
887:
872:
869:
863:
855:
851:
842:
841:
839:
836:
817:
796:
779:
676:
659:
631:
628:
528:
513:
491:
487:
464:
460:
456:
453:
447:
441:
408:
388:
387:
383:
381:
378:
376:
358:
354:
331:
327:
317:
315:
296:
293:
290:
287:
281:
278:
275:
269:
266:
263:
255:
251:
218:
178:
171:
143:
139:
120:
117:
114:
108:
100:
68:
66:
64:
60:
56:
52:
48:
44:
40:
37:
33:
19:
3966:Lie algebras
3925:
3887:
3861:
3839:
3830:
3811:
3780:Kleiner 2007
3775:
3513:
3453:
3403:
3365:
3234:. Moreover,
3165:
3113:
2994:
2954:
2932:
2785:The mapping
2445:
2291:
2245:
2186:
2185:is called a
2118:
2077:Such a pair
2076:
1891:
1840:
1451:
1448:Cartan pairs
379:
318:
216:
170:automorphism
138:Killing form
72:
31:
29:
3825:introducing
2119:Cartan pair
59:Élie Cartan
43:Lie algebra
3961:Lie groups
3955:Categories
3833:March 2016
3808:references
3789:References
142:involution
97:be a real
36:semisimple
3924:(2005) .
3582:−
3567:θ
3514:Consider
3342:⋅
3322:∈
3315:⋃
3285:⋅
3265:∈
3258:⋃
3136:−
3125:↦
3067:→
3061:×
3035:⊂
2978:→
2968:×
2941:Θ
2850:⋅
2844:↦
2821:given by
2806:→
2796:×
2730:Θ
2695:Θ
2674:θ
2654:Θ
2642:. Then:
2498:θ
2271:⊕
2206:∗
2035:−
1944:θ
1917:⊕
1818:⊆
1768:⊆
1718:⊆
1672:θ
1664:. Since
1645:⊕
1557:±
1537:θ
1505:θ
1496:. Since
1460:θ
1406:−
1343:−
1295:θ
1223:∉
1202:−
1132:−
1076:−
1023:θ
921:−
900:θ
852:θ
457:−
442:θ
355:θ
328:θ
294:θ
279:−
256:θ
179:θ
121:⋅
115:⋅
39:Lie group
3860:(1978),
3755:See also
3699:, while
2534:and let
1980:that is
1014:is odd,
479:, where
384:Examples
101:and let
3944:1920389
3914:2347309
3880:0514561
3821:improve
3604:. Then
2594:be the
2145:, and
833:of the
656:be the
627:compact
136:be its
3942:
3932:
3912:
3902:
3878:
3868:
3810:, but
3366:where
1787:, and
1572:. If
140:. An
3767:Notes
3502:is a
2882:is a
1841:Thus
838:SU(n)
312:is a
3930:ISBN
3900:ISBN
3866:ISBN
2446:Let
2390:and
2027:and
1596:and
1452:Let
632:Let
346:and
73:Let
61:and
3892:doi
3474:in
3301:and
3190:in
2742:is
2598:of
2294:of
2121:of
2050:on
2003:on
1956:on
1257:If
982:If
943:on
243:if
219:on
191:of
144:on
65:.
53:or
41:or
3957::
3940:MR
3938:.
3910:MR
3908:.
3898:.
3876:MR
3874:,
3401:.
3111:.
2438:.
2243:.
2074:.
1737:,
840::
377:.
316:.
276::=
3946:.
3916:.
3894::
3846:)
3840:(
3835:)
3831:(
3817:.
3733:p
3709:p
3687:)
3684:n
3681:(
3677:O
3674:S
3670:=
3667:K
3647:)
3643:R
3639:(
3634:n
3628:o
3625:s
3619:=
3614:k
3590:T
3586:X
3579:=
3576:)
3573:X
3570:(
3547:)
3543:R
3539:(
3534:n
3528:l
3525:g
3490:K
3486:/
3482:G
3462:A
3439:,
3436:K
3433:A
3430:K
3427:=
3424:P
3421:K
3418:=
3415:G
3386:a
3381:e
3377:=
3374:A
3348:.
3345:A
3339:k
3334:d
3331:A
3325:K
3319:k
3311:=
3308:P
3295:.
3290:a
3282:k
3277:d
3274:A
3268:K
3262:k
3254:=
3249:p
3222:K
3200:p
3176:a
3149:T
3145:)
3139:1
3132:X
3128:(
3122:X
3099:P
3096:K
3093:=
3090:G
3070:G
3064:P
3058:K
3038:G
3032:)
3027:p
3022:(
3018:p
3015:x
3012:e
3008:=
3005:P
2981:G
2973:p
2965:K
2917:G
2897:K
2886:.
2870:)
2867:X
2864:(
2860:p
2857:x
2854:e
2847:k
2841:)
2838:X
2835:,
2832:k
2829:(
2809:G
2801:p
2793:K
2770:K
2750:K
2719:.
2707:1
2704:=
2699:2
2628:k
2606:G
2582:K
2562:)
2557:p
2552:,
2547:k
2542:(
2520:g
2476:g
2454:G
2424:g
2400:p
2376:k
2352:p
2328:k
2304:g
2276:p
2266:k
2261:=
2256:g
2231:)
2226:k
2221:,
2216:g
2211:(
2202:H
2173:)
2168:k
2163:,
2158:g
2153:(
2131:g
2105:)
2100:p
2095:,
2090:k
2085:(
2060:p
2038:1
2013:k
1991:1
1988:+
1966:g
1922:p
1912:k
1907:=
1902:g
1875:p
1851:k
1837:.
1823:k
1815:]
1810:p
1805:,
1800:p
1795:[
1773:p
1765:]
1760:p
1755:,
1750:k
1745:[
1723:k
1715:]
1710:k
1705:,
1700:k
1695:[
1650:p
1640:k
1635:=
1630:g
1606:p
1582:k
1560:1
1517:1
1514:=
1509:2
1482:g
1441:.
1427:)
1421:0
1414:m
1410:I
1397:m
1393:I
1387:0
1381:(
1374:T
1370:X
1364:)
1358:0
1351:m
1347:I
1334:m
1330:I
1324:0
1318:(
1313:=
1310:)
1307:X
1304:(
1299:4
1274:m
1271:2
1268:=
1265:n
1254:.
1242:)
1239:n
1236:(
1231:u
1228:s
1218:)
1210:q
1206:I
1197:0
1190:0
1183:p
1179:I
1172:(
1148:)
1140:q
1136:I
1127:0
1120:0
1113:p
1109:I
1102:(
1097:X
1092:)
1084:q
1080:I
1071:0
1064:0
1057:p
1053:I
1046:(
1041:=
1038:)
1035:X
1032:(
1027:3
1002:q
999:+
996:p
993:=
990:n
979:.
967:)
964:2
961:(
956:u
953:s
929:T
925:X
918:=
915:)
912:X
909:(
904:2
873:X
870:=
867:)
864:X
861:(
856:1
821:)
818:n
815:(
810:u
807:s
780:0
774:g
749:g
725:g
701:g
677:0
671:g
642:g
611:g
587:g
563:g
539:g
526:.
514:X
492:T
488:X
465:T
461:X
454:=
451:)
448:X
445:(
422:)
418:R
414:(
409:n
403:l
400:s
359:2
332:1
300:)
297:Y
291:,
288:X
285:(
282:B
273:)
270:Y
267:,
264:X
261:(
252:B
229:g
201:g
154:g
124:)
118:,
112:(
109:B
83:g
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.