276:
55:
3680:
3859:
3502:
3684:
3168:
3303:
2961:
2015:
3034:
3172:
3493:
3431:
2777:
1863:
3675:{\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}
3854:{\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}
669:
1390:
1749:
2381:
1325:
1858:
1214:) from the curve to the constant curve. Intuitively, this means that one can shrink the curve into a point without exiting the space.) The first version is a special case of this because on a
3913:
1184:
918:
737:
1022:
777:
1784:
463:
2174:
1060:
818:
2642:
of this region. Cauchy provided this proof, but it was later proven by
Goursat without requiring techniques from vector calculus, or the continuity of partial derivatives.
1108:
866:
2551:
2496:
2428:
2140:
306:
2770:
1565:
3435:
3376:
2058:
1433:
3027:
2987:
2634:
2517:
2194:
1519:
1479:
1248:
1128:
513:
2726:
2609:
571:
544:
2089:
One important consequence of the theorem is that path integrals of holomorphic functions on simply connected domains can be computed in a manner familiar from the
382:
2084:
1459:
2689:
3367:
3347:
3326:
3007:
2664:
2468:
2448:
2403:
2302:
2278:
2258:
2238:
2218:
2111:
1668:
1640:
1616:
1585:
1499:
1212:
986:
962:
938:
409:
2572:
If one assumes that the partial derivatives of a holomorphic function are continuous, the Cauchy integral theorem can be proven as a direct consequence of
2197:
1330:
24:
576:
4135:
3163:{\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}
299:
3298:{\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}
4156:
4027:
2307:
1253:
1789:
2956:{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}
4052:
292:
157:
2010:{\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}
3866:
1137:
871:
2090:
1673:
4151:
3928:
489:
388:
1250:
does not surround any "holes" in the domain, or else the theorem does not apply. A famous example is the following curve:
4108:
416:
3370:
2612:
124:
2557:
1588:
162:
20:
4103:
4019:
2730:
1592:
216:
4098:
999:
754:
2696:
1754:
2281:
1215:
780:
691:
2145:
1031:
789:
336:
232:
34:
275:
207:
2523:
1063:
821:
348:
242:
177:
119:
3923:
1069:
827:
129:
91:
2411:
2123:
2529:
2474:
2471:
280:
187:
2966:
2573:
1530:
340:
4117:
4048:
4023:
3994:
3976:
2520:
2020:
1647:
1395:
965:
202:
114:
86:
3012:
2972:
2619:
2502:
2179:
1504:
1464:
1233:
1113:
498:
4011:
3984:
3966:
2579:
2114:
1619:
941:
385:
332:
262:
257:
247:
223:
138:
109:
100:
76:
46:
4120:
2385:
The Cauchy integral theorem is valid with a weaker hypothesis than given above, e.g. given
1536:
549:
522:
4069:
2561:
1533:
showed, Cauchy's integral theorem can be proven assuming only that the complex derivative
358:
182:
147:
2063:
1521:
cannot be shrunk to a point without exiting the space. Thus, the theorem does not apply.
1438:
2671:
4138:
Spring 2018 Massachusetts
Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.
3989:
3954:
3352:
3332:
3311:
2992:
2649:
2453:
2433:
2388:
2287:
2263:
2243:
2223:
2203:
2096:
1653:
1625:
1601:
1570:
1484:
1197:
971:
947:
923:
394:
352:
237:
172:
167:
62:
4145:
344:
197:
192:
81:
4076:
4036:
3488:{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}
3426:{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}
4084:
4044:
3933:
2117:
1025:
783:
320:
252:
71:
4061:
3980:
4125:
3497:
We therefore find that both integrands (and hence their integrals) are zero
3307:
But as the real and imaginary parts of a function holomorphic in the domain
3998:
3971:
54:
1643:
1219:
1191:
1187:
1131:
2017:
is nonzero; the Cauchy integral theorem does not apply here since
1392:
is nonzero. The Cauchy integral theorem does not apply here since
1385:{\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0,}
1327:
which traces out the unit circle. Here the following integral:
2969:, we may then replace the integrals around the closed contour
1591:
for these functions, and from that deduce these functions are
1860:
which traces out the unit circle, and then the path integral
664:{\displaystyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0}).}
3955:"The Cauchy-Goursat Theorem for Rectifiable Jordan Curves"
1230:
In both cases, it is important to remember that the curve
1744:{\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:\left|z-z_{0}\right|<r\}}
2532:
2477:
694:
3869:
3687:
3505:
3438:
3379:
3355:
3335:
3314:
3175:
3037:
3015:
2995:
2975:
2780:
2733:
2699:
2674:
2652:
2622:
2582:
2505:
2456:
2436:
2414:
2391:
2310:
2290:
2266:
2246:
2226:
2206:
2182:
2148:
2126:
2099:
2066:
2060:
is not defined (and is certainly not holomorphic) at
2023:
1866:
1792:
1757:
1676:
1656:
1628:
1604:
1573:
1539:
1507:
1487:
1467:
1441:
1398:
1333:
1256:
1236:
1200:
1140:
1116:
1072:
1034:
1002:
974:
950:
926:
874:
830:
792:
757:
684:
has a single-valued antiderivative in an open region
579:
552:
525:
501:
419:
397:
361:
3907:
3853:
3674:
3487:
3425:
3361:
3341:
3320:
3297:
3162:
3021:
3001:
2981:
2955:
2764:
2720:
2683:
2658:
2628:
2603:
2576:and the fact that the real and imaginary parts of
2545:
2511:
2490:
2462:
2442:
2422:
2397:
2376:{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).}
2375:
2296:
2272:
2252:
2232:
2212:
2188:
2168:
2134:
2105:
2078:
2052:
2009:
1852:
1778:
1743:
1662:
1634:
1610:
1579:
1559:
1513:
1493:
1473:
1453:
1427:
1384:
1320:{\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left,}
1319:
1242:
1206:
1178:
1122:
1102:
1054:
1016:
980:
956:
932:
912:
860:
812:
771:
731:
663:
565:
538:
507:
457:
403:
376:
1853:{\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left}
1587:. This is significant because one can then prove
1786:, qualifies. The condition is crucial; consider
3959:Proceedings of the National Academy of Sciences
473:Fundamental theorem for complex line integrals
1190:to a constant curve if there exists a smooth
300:
8:
2989:with an area integral throughout the domain
1738:
1697:
964:has no "holes", or in other words, that the
3908:{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}
2691:into their real and imaginary components:
2198:piecewise continuously differentiable path
1670:is trivial; for instance, every open disk
1179:{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}
913:{\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}
307:
293:
29:
3988:
3970:
3892:
3874:
3868:
3838:
3831:
3806:
3783:
3772:
3758:
3751:
3726:
3703:
3692:
3686:
3659:
3652:
3627:
3604:
3593:
3579:
3572:
3547:
3524:
3510:
3504:
3465:
3439:
3437:
3403:
3380:
3378:
3354:
3334:
3313:
3288:
3281:
3256:
3233:
3222:
3205:
3192:
3180:
3174:
3153:
3146:
3121:
3098:
3084:
3067:
3054:
3042:
3036:
3014:
2994:
2974:
2943:
2930:
2918:
2898:
2885:
2873:
2856:
2817:
2803:
2785:
2779:
2755:
2732:
2698:
2673:
2651:
2621:
2581:
2533:
2531:
2504:
2478:
2476:
2455:
2435:
2416:
2415:
2413:
2390:
2333:
2315:
2309:
2289:
2265:
2245:
2225:
2205:
2181:
2162:
2161:
2147:
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2127:
2125:
2098:
2065:
2042:
2022:
1988:
1976:
1971:
1954:
1945:
1924:
1915:
1906:
1901:
1887:
1877:
1871:
1865:
1812:
1791:
1772:
1771:
1762:
1756:
1721:
1686:
1681:
1675:
1655:
1627:
1603:
1572:
1538:
1506:
1486:
1466:
1440:
1417:
1397:
1354:
1344:
1338:
1332:
1276:
1255:
1235:
1199:
1163:
1145:
1139:
1115:
1071:
1048:
1047:
1033:
1010:
1009:
1001:
973:
949:
925:
897:
879:
873:
829:
806:
805:
791:
765:
764:
756:
722:
699:
693:
649:
627:
607:
584:
578:
557:
551:
530:
524:
500:
442:
424:
418:
396:
360:
3945:
1017:{\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }
772:{\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }
747:Formulation on simply connected regions
222:
215:
137:
99:
61:
45:
25:Cauchy formula for repeated integration
2638:and moreover in the open neighborhood
411:in Ω, that contour integral is zero.
391:Ω, then for any simply closed contour
4083:, McGraw-Hill series in mathematics,
4043:, McGraw-Hill series in Mathematics,
2556:The Cauchy integral theorem leads to
1779:{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }
739:is path independent for all paths in
732:{\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}
488:is a holomorphic function on an open
7:
1481:surrounds a "hole" in the domain of
458:{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=0.}
4136:Complex Variables with Applications
4018:, Cambridge Stud. Adv. Math., 107,
2430:, we can weaken the assumptions to
2176:be a holomorphic function, and let
2169:{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }
1055:{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }
813:{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }
343:), is an important statement about
3817:
3809:
3794:
3786:
3737:
3729:
3714:
3706:
3638:
3630:
3615:
3607:
3558:
3550:
3535:
3527:
3476:
3468:
3450:
3442:
3414:
3406:
3391:
3383:
3267:
3259:
3244:
3236:
3132:
3124:
3109:
3101:
2408:a simply connected open subset of
14:
868:be a smooth closed curve. Then:
274:
53:
2091:fundamental theorem of calculus
1821:
1285:
355:. Essentially, it says that if
3929:Methods of contour integration
3889:
3883:
3863:This gives the desired result
3212:
3186:
3074:
3048:
2950:
2924:
2905:
2879:
2863:
2841:
2838:
2823:
2800:
2794:
2367:
2361:
2352:
2346:
2330:
2324:
2158:
2033:
2027:
1961:
1935:
1802:
1796:
1554:
1548:
1408:
1402:
1266:
1260:
1160:
1154:
1110:be a smooth closed curve. If
1094:
1091:
1079:
1044:
894:
888:
852:
849:
837:
802:
719:
713:
655:
642:
633:
620:
604:
598:
439:
433:
371:
365:
1:
1103:{\displaystyle \gamma :\to U}
861:{\displaystyle \gamma :\to U}
4157:Theorems in complex analysis
2668:as well as the differential
2546:{\textstyle {\overline {U}}}
2538:
2491:{\textstyle {\overline {U}}}
2483:
2423:{\displaystyle \mathbb {C} }
2135:{\displaystyle \mathbb {C} }
4104:Encyclopedia of Mathematics
3953:Walsh, J. L. (1933-05-01).
2765:{\displaystyle dz=dx+i\,dy}
2645:We can break the integrand
1218:set, every closed curve is
1134:to a constant curve, then:
16:Theorem in complex analysis
4173:
18:
4121:"Cauchy Integral Theorem"
4099:"Cauchy integral theorem"
4081:Real and Complex Analysis
2615:in the region bounded by
2558:Cauchy's integral formula
1593:infinitely differentiable
1589:Cauchy's integral formula
688:, then the path integral
217:Geometric function theory
163:Cauchy's integral formula
153:Cauchy's integral theorem
21:Cauchy's integral formula
3371:Cauchy–Riemann equations
2613:Cauchy–Riemann equations
2053:{\displaystyle f(z)=1/z}
1428:{\displaystyle f(z)=1/z}
1186:(Recall that a curve is
125:Cauchy–Riemann equations
19:Not to be confused with
4068:, Springer Verlag GTM,
3022:{\displaystyle \gamma }
2982:{\displaystyle \gamma }
2629:{\displaystyle \gamma }
2512:{\displaystyle \gamma }
2189:{\displaystyle \gamma }
1514:{\displaystyle \gamma }
1474:{\displaystyle \gamma }
1243:{\displaystyle \gamma }
1123:{\displaystyle \gamma }
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