3010:. Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona. Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, Y. O.; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Solymosi, J.; Stanchescu, Y. With a foreword by Javier Cilleruelo, Marc Noy and Oriol Serra (Coordinators of the DocCourse). Basel: Birkhäuser.
226:
752:
1898:
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221:{\displaystyle S=\{a_{1}+\cdots +a_{n}:\ a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}\ \mathrm {and} \ P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0\},}
3118:
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2059:
2715:
1114:
972:
2574:
and M. Tarsi in 1989, and developed by Alon, Nathanson and Ruzsa in 1995–1996, and reformulated by Alon in 1999.
2509:
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1073:
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1928:
1106:
2713:
Dias da Silva, J. A.; Hamidoune, Y. O. (1994). "Cyclic spaces for
Grassmann derivatives and additive theory".
380:
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1977:
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1289:
1789:. This was first confirmed by J. A. Dias da Silva and Y. O. Hamidoune in 1994 who showed that
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2815:
2642:
1970:
of various restricted sumsets is the following fundamental principle: the combinatorial
556:
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1655:
can be written as the sum of the elements of some subsequence (possibly empty) of
2793:
2050:
1955:
747:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}
2620:
Jeffrey Paul
Wheeler (2012). "The Cauchy-Davenport Theorem for Finite Groups".
2920:
1292:. It can be generalised to arbitrary (not necessarily abelian) groups using a
347:
3084:
2950:
2895:
2745:
2728:
2571:
1947:
1577:
A direct consequence of the Cauchy-Davenport theorem is: Given any sequence
278:
2770:
2054:
2847:
Károlyi, Gyula (2004). "The Erdős–Heilbronn problem in abelian groups".
1946:
is of characteristic 0. Various extensions of this result were given by
2978:
2862:
2824:
2797:
505:
281:
3035:
Additive Number Theory: Inverse
Problems and the Geometry of Sumsets
2953:; Tarsi, Michael (1989). "A nowhere-zero point in linear mappings".
2626:
2750:"The polynomial method and restricted sums of congruence classes"
1893:{\displaystyle |n^{\wedge }A|\geq \min\{p(F),\ n|A|-n^{2}+1\},}
27:
Sumset of a field subject to a specific polynomial restriction
1585:−1 or more nonzero elements, not necessarily distinct, of
2683:
http://mathworld.wolfram.com/Cauchy-DavenportTheorem.html
1281:{\displaystyle A+B:=\{a+b{\pmod {p}}\mid a\in A,b\in B\}}
3008:
Combinatorial number theory and additive group theory
2643:"On a Generalization of the Cauchy-Davenport Theorem"
2512:
2499:{\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}
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51:
1476:is the size of the smallest nontrivial subgroup of
799:{\displaystyle A_{1}\dotplus \cdots \dotplus A_{n}}
3006:Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z., eds. (2009).
2559:
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269:
220:
2113:{\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}
1966:A powerful tool in the study of lower bounds for
1825:
1722:
1374:
1140:
2681:Wolfram's MathWorld, Cauchy-Davenport Theorem,
1194:{\displaystyle |A+B|\geq \min\{p,\,|A|+|B|-1\}}
1023:{\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0.}
2560:{\displaystyle f(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0}
377:is a constant non-zero function, for example
8:
2748:; Nathanson, Melvyn B.; Ruzsa, Imre (1996).
1884:
1828:
1757:
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2890:
2888:
2740:
2738:
2716:Bulletin of the London Mathematical Society
1648:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
1613:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
1555:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
1098:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
2968:
2823:
2625:
2610:Geroldinger & Ruzsa (2009) pp.141–142
2542:
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50:
2908:Combinatorics, Probability and Computing
431:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}
2594:
1907:is a finite nonempty subset of a field
2273:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
2168:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
2022:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
884:{\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A.}
624:{\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A.}
339:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})}
7:
2694:Geroldinger & Ruzsa (2009) p.143
897:| > 0 if and only if there exist
2672:Geroldinger & Ruzsa (2009) p.53
2570:This tool was rooted in a paper of
2319:{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
2214:{\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}
1243:
546:{\displaystyle A_{1}+\cdots +A_{n}}
477:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
270:{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
2584:Polynomial method in combinatorics
1778:is a nonempty subset of the field
161:
158:
155:
25:
1958:in 2002, and G. Karolyi in 2004.
1566:elements that sum to zero modulo
2389:{\displaystyle |A_{i}|>k_{i}}
1527:−1 elements in the cyclic group
2900:"Combinatorial Nullstellensatz"
1516:if there is no such subgroup).
1236:
2548:
2516:
2369:
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2235:
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1800:
1747:
1739:
1715:
1697:
1519:We may use this to deduce the
1463:
1457:
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1413:
1405:
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1389:
1383:
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387:
333:
301:
203:
171:
1:
3039:Graduate Texts in Mathematics
3033:Nathanson, Melvyn B. (1996).
2850:Israel Journal of Mathematics
2427:{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
2029:be a polynomial over a field
1962:Combinatorial Nullstellensatz
3080:"Erdős-Heilbronn Conjecture"
2798:"Restricted sums in a field"
1665:generalises this to general
1574:does not need to be prime.)
829:{\displaystyle n^{\wedge }A}
3135:
1679:Erdős–Heilbronn conjecture
1673:Erdős–Heilbronn conjecture
1521:Erdős–Ginzburg–Ziv theorem
2921:10.1017/S0963548398003411
1523:: given any sequence of 2
2758:Journal of Number Theory
2685:, accessed 20 June 2012.
1039:Cauchy–Davenport theorem
1033:Cauchy–Davenport theorem
18:Cauchy–Davenport theorem
1954:in 1996, Q. H. Hou and
1322:are subsets of a group
1049:, asserts that for any
3119:Additive number theory
3114:Additive combinatorics
2771:10.1006/jnth.1996.0029
2561:
2500:
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2326:are finite subsets of
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1950:, M. B. Nathanson and
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222:
32:additive number theory
3104:Augustin-Louis Cauchy
2729:10.1112/blms/26.2.140
2703:Nathanson (1996) p.77
2663:Nathanson (1996) p.48
2601:Nathanson (1996) p.44
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1056:and nonempty subsets
1043:Augustin Louis Cauchy
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2641:DeVos, Matt (2016).
2510:
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2049:. Suppose that the
2033:
1978:
1796:
1693:
1689:in 1964 states that
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1469:{\displaystyle p(G)}
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806:which is denoted by
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553:which is denoted by
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2816:2002AcAri.102..239H
2109:
2084:
1620:, every element of
1315:{\displaystyle A,B}
1288:, i.e. we're using
3077:Weisstein, Eric W.
2979:10.1007/BF02125351
2863:10.1007/BF02787556
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3017:978-3-7643-8961-1
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2434:, then there are
2339:{\displaystyle F}
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40:restricted sumset
16:(Redirected from
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2837:
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