2318:
1325:
1820:
3968:
2074:
3375:
2895:
2591:
1098:
1606:
3738:
1082:
885:
1495:
2313:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{0}R_{-{\frac {1}{2}}}&=(\lambda +i\mu r)\Delta ^{\frac {1}{2}}R_{+{\frac {1}{2}}},\\\Delta ^{\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{0}^{\dagger }R_{+{\frac {1}{2}}}&=(\lambda -i\mu r)R_{-{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}}
391:
3146:
2721:
2409:
1320:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}S_{+{\frac {1}{2}}}&=-(\lambda -a\mu \cos \theta )S_{-{\frac {1}{2}}},\\{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }S_{-{\frac {1}{2}}}&=+(\lambda +a\mu \cos \theta )S_{+{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}}
1815:{\displaystyle \left({\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }+{\frac {a\mu \sin \theta }{\lambda +a\mu \cos \theta }}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }+\lambda ^{2}-a^{2}\mu ^{2}\cos ^{2}\theta \right)S_{-{\frac {1}{2}}}=0.}
3963:{\displaystyle \psi ^{+}=\Delta ^{\frac {1}{2}}R_{+{\frac {1}{2}}}\mathrm {exp} \left(+{\frac {i}{2}}\tan ^{-1}{\frac {\mu r}{\lambda }}\right),\quad \psi ^{-}=R_{-{\frac {1}{2}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {i}{2}}\tan ^{-1}{\frac {\mu r}{\lambda }}\right).}
3108:
891:
694:
1364:
4084:
3477:
4349:
220:
3370:{\displaystyle V^{\pm }=W^{2}\pm {\frac {dW}{d{\hat {r}}_{*}}},\quad W={\frac {\Delta ^{\frac {1}{2}}(\lambda +\mu ^{2}r^{2})^{3/2}}{\varpi ^{2}(\lambda ^{2}+\mu ^{2}r^{2})+\lambda \mu \Delta /2\sigma }},}
2890:{\displaystyle \left(\Delta {\mathcal {D}}_{\frac {1}{2}}^{\dagger }{\mathcal {D}}_{0}-{\frac {i\mu \Delta }{\lambda +i\mu r}}{\mathcal {D}}_{0}-\lambda ^{2}-\mu ^{2}r^{2}\right)R_{-{\frac {1}{2}}}=0.}
2586:{\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}={\frac {d}{{d}r}}+{\frac {iK}{\Delta }}+2n{\frac {r-M}{\Delta }},\quad {\mathcal {D}}_{n}^{\dagger }={\frac {d}{{d}r}}-{\frac {iK}{\Delta }}+2n{\frac {r-M}{\Delta }},}
2950:
2713:
1551:
2079:
1103:
3625:
3730:
662:
595:
528:
461:
170:
2661:
3677:
2382:
110:
3551:
1980:
1943:
1860:
1598:
208:
2994:
4140:
4001:
2058:
2032:
1906:
2006:
4114:
3138:
2978:
1880:
1348:
61:, that is applicable to charged black holes. In his paper, Page notices that N. Toop also derived his results independently, as informed to him by Chandrasekhar.
2401:
682:
130:
1077:{\displaystyle g_{1}(r,\theta )=R_{+{\frac {1}{2}}}(r)S_{-{\frac {1}{2}}}(\theta ),\quad g_{2}(r,\theta )=R_{-{\frac {1}{2}}}(r)S_{+{\frac {1}{2}}}(\theta ).}
880:{\displaystyle f_{1}(r,\theta )=R_{-{\frac {1}{2}}}(r)S_{-{\frac {1}{2}}}(\theta ),\quad f_{2}(r,\theta )=R_{+{\frac {1}{2}}}(r)S_{+{\frac {1}{2}}}(\theta ),}
2034:. The eigenvalue problem presented here in general requires numerical integrations for it to be solved. Explicit solutions are available for the case where
1490:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}={\frac {d}{{d}\theta }}+Q+n\cot \theta ,\quad {\mathcal {L}}_{n}^{\dagger }={\frac {d}{{d}\theta }}-Q+n\cot \theta }
4549:
3974:
2985:
4009:
3554:
3383:
386:{\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{1}(r,\theta )\\F_{2}(r,\theta )\\G_{1}(r,\theta )\\G_{2}(r,\theta )\end{bmatrix}}e^{i(\sigma t+m\phi )}}
4148:
2903:
2666:
1503:
3560:
396:
can be expressed as product of radial and angular functions. The separation of variables is effected for the functions
3682:
600:
533:
466:
399:
135:
42:
2599:
3630:
2326:
2981:
67:
3482:
58:
38:
2980:
of the angular functions can be reduced to a problem of reflection and transmission as in one-dimensional
1948:
1911:
1828:
3103:{\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{d{\hat {r}}_{*}^{2}}}+\sigma ^{2}\right)Z^{\pm }=V^{\pm }Z^{\pm },}
1556:
175:
4544:
4484:
4427:
4376:
54:
4119:
3980:
2037:
2011:
1885:
4516:
4508:
4400:
1355:
1985:
4500:
4465:
Chandrasekhar, S.,(1983). The mathematical theory of black holes. Clarenden Press, Section 104
4443:
4392:
4092:
3116:
2963:
1865:
4539:
4492:
4475:
Chakrabarti, S. K. (1984-01-09). "On mass-dependent spheroidal harmonics of spin one-half".
4435:
4384:
685:
26:
1862:
satisfies the adjoint equation, that can be obtained from the above equation by replacing
1333:
4488:
4477:
Proceedings of the Royal
Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences
4431:
4380:
4369:
Proceedings of the Royal
Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences
2386:
667:
115:
46:
30:
4533:
4520:
4404:
4367:
Chandrasekhar, S. (1976-06-29). "The solution of Dirac's equation in Kerr geometry".
4418:
Page, Don N. (1976-09-15). "Dirac equation around a charged, rotating black hole".
1908:. The boundary conditions for these second-order differential equations are that
50:
34:
172:) for the time and the azimuthal component of the spherical polar coordinates
4504:
4447:
4439:
4396:
1351:
4496:
4388:
2960:
The problem of solving the radial functions for a particular eigenvalue of
211:
23:
4079:{\displaystyle V^{\pm }=\mu ^{2}\left(1-{\frac {2M}{r}}+\cdots \right).}
3472:{\displaystyle {\hat {r}}_{*}=r_{*}+\tan ^{-1}(\mu r/\lambda )/2\sigma }
4512:
4344:{\displaystyle Z^{\pm }=\mathrm {exp} \left\{\pm i\left\right\}.}
1092:
The angular functions satisfy the coupled eigenvalue equations,
2809:
2760:
2736:
2499:
2416:
2219:
2100:
1708:
1637:
1618:
1430:
1371:
1212:
1109:
45:
showed that a separable solution can be obtained from the
4089:
As a result, the corresponding asymptotic behaviours for
2945:{\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{2}}R_{+{\frac {1}{2}}}}
2708:{\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{2}}R_{+{\frac {1}{2}}}}
2952:
satisfies the corresponding complex-conjugate equation.
29:, that resulted by seeking a separable solution to the
3977:, the Chandrasekhar–Page potentials do not vanish for
229:
4151:
4122:
4095:
4012:
3983:
3741:
3685:
3633:
3563:
3485:
3386:
3149:
3119:
2997:
2966:
2906:
2724:
2669:
2602:
2412:
2389:
2329:
2077:
2040:
2014:
1988:
1951:
1914:
1888:
1868:
1831:
1609:
1559:
1506:
1367:
1336:
1101:
894:
697:
670:
603:
536:
469:
402:
223:
178:
138:
118:
70:
1546:{\displaystyle Q=a\sigma \sin \theta +m\csc \theta }
1354:(measured in units so that it is the inverse of the
64:
By assuming a normal mode decomposition of the form
4343:
4134:
4108:
4078:
3995:
3962:
3724:
3671:
3620:{\displaystyle \varpi ^{2}=r^{2}+a^{2}+am/\sigma }
3619:
3545:
3471:
3369:
3132:
3102:
2972:
2944:
2889:
2707:
2655:
2585:
2395:
2376:
2312:
2052:
2026:
2000:
1974:
1937:
1900:
1874:
1854:
1814:
1592:
1545:
1489:
1342:
1319:
1076:
879:
676:
656:
589:
522:
455:
385:
202:
164:
124:
104:
4426:(6). American Physical Society (APS): 1509–1510.
1600:between the foregoing two equations, one obtains
16:A massive fermion wave equation in Kerr spacetime
2068:The corresponding radial equations are given by
3725:{\displaystyle Z^{\pm }=\psi ^{+}\pm \psi ^{-}}
2956:Reduction to one-dimensional scattering problem
2988:. Particularly, we end up with the equations
657:{\displaystyle g_{2}=(r+ia\cos \theta )G_{2}}
590:{\displaystyle g_{1}=(r+ia\cos \theta )G_{1}}
523:{\displaystyle f_{2}=(r-ia\cos \theta )F_{2}}
456:{\displaystyle f_{1}=(r-ia\cos \theta )F_{1}}
165:{\displaystyle \mathrm {Re} \{\sigma \}>0}
132:being a half integer and with the convention
8:
153:
147:
2656:{\displaystyle K=(r^{2}+a^{2})\sigma +am.}
4461:
4459:
4457:
4313:
4294:
4290:
4280:
4267:
4252:
4242:
4226:
4222:
4212:
4199:
4165:
4156:
4150:
4121:
4100:
4094:
4047:
4030:
4017:
4011:
3982:
3937:
3925:
3911:
3892:
3880:
3876:
3863:
3835:
3823:
3809:
3790:
3778:
3774:
3759:
3746:
3740:
3716:
3703:
3690:
3684:
3660:
3649:
3648:
3638:
3632:
3609:
3594:
3581:
3568:
3562:
3523:
3490:
3484:
3458:
3447:
3426:
3413:
3400:
3389:
3388:
3385:
3350:
3329:
3319:
3306:
3293:
3277:
3273:
3263:
3253:
3229:
3222:
3203:
3192:
3191:
3176:
3167:
3154:
3148:
3124:
3118:
3091:
3081:
3068:
3053:
3037:
3032:
3021:
3020:
3009:
3003:
2996:
2965:
2930:
2926:
2911:
2905:
2869:
2865:
2850:
2840:
2827:
2814:
2808:
2807:
2774:
2765:
2759:
2758:
2751:
2741:
2735:
2734:
2723:
2693:
2689:
2674:
2668:
2629:
2616:
2601:
2562:
2538:
2524:
2518:
2509:
2504:
2498:
2497:
2474:
2450:
2436:
2430:
2421:
2415:
2414:
2411:
2388:
2365:
2340:
2328:
2291:
2287:
2243:
2239:
2229:
2224:
2218:
2217:
2205:
2182:
2178:
2163:
2119:
2115:
2105:
2099:
2098:
2086:
2078:
2076:
2039:
2013:
1987:
1960:
1956:
1950:
1923:
1919:
1913:
1887:
1867:
1840:
1836:
1830:
1794:
1790:
1769:
1759:
1749:
1736:
1723:
1713:
1707:
1706:
1661:
1652:
1642:
1636:
1635:
1623:
1617:
1616:
1608:
1571:
1564:
1558:
1505:
1455:
1449:
1440:
1435:
1429:
1428:
1391:
1385:
1376:
1370:
1369:
1366:
1335:
1298:
1294:
1241:
1237:
1227:
1217:
1211:
1210:
1190:
1186:
1133:
1129:
1114:
1108:
1107:
1102:
1100:
1050:
1046:
1021:
1017:
989:
960:
956:
931:
927:
899:
893:
853:
849:
824:
820:
792:
763:
759:
734:
730:
702:
696:
669:
648:
608:
602:
581:
541:
535:
514:
474:
468:
447:
407:
401:
356:
323:
294:
265:
236:
224:
222:
177:
139:
137:
117:
75:
69:
3672:{\displaystyle Z^{\pm }({\hat {r}}_{*})}
3113:where the Chandrasekhar–Page potentials
2377:{\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2},}
688:per unit mass of the black hole) as in
4359:
105:{\displaystyle e^{i(\sigma t+m\phi )}}
3546:{\displaystyle r_{*}=r+2M\ln(r/2M-1)}
210:, Chandrasekhar showed that the four
7:
4375:(1659). The Royal Society: 571–575.
1088:Chandrasekhar–Page angular equations
2064:Chandrasekhar–Page radial equations
1975:{\displaystyle S_{+{\frac {1}{2}}}}
1938:{\displaystyle S_{-{\frac {1}{2}}}}
1855:{\displaystyle S_{+{\frac {1}{2}}}}
4483:(1800). The Royal Society: 27–38.
4172:
4169:
4166:
4129:
3990:
3899:
3896:
3893:
3797:
3794:
3791:
3756:
3347:
3226:
2908:
2783:
2730:
2715:from the two equations, we obtain
2671:
2575:
2548:
2487:
2460:
2330:
2202:
2160:
2083:
143:
140:
22:describe the wave function of the
14:
1593:{\displaystyle S_{+1/2}(\theta )}
214:components of the wave function,
203:{\displaystyle (r,\theta ,\phi )}
3975:Regge–Wheeler–Zerilli potentials
4550:Ordinary differential equations
3858:
3215:
2986:Regge–Wheeler–Zerilli equations
2495:
1426:
984:
787:
4287:
4260:
4219:
4192:
4126:
3987:
3666:
3654:
3644:
3540:
3517:
3455:
3438:
3394:
3335:
3299:
3270:
3240:
3197:
3026:
2635:
2609:
2280:
2262:
2156:
2138:
1587:
1581:
1287:
1263:
1179:
1155:
1068:
1062:
1039:
1033:
1007:
995:
978:
972:
949:
943:
917:
905:
871:
865:
842:
836:
810:
798:
781:
775:
752:
746:
720:
708:
641:
617:
574:
550:
507:
483:
440:
416:
378:
360:
341:
329:
312:
300:
283:
271:
254:
242:
197:
179:
97:
79:
1:
4135:{\displaystyle r\to \infty }
3996:{\displaystyle r\to \infty }
2053:{\displaystyle \sigma =\mu }
2027:{\displaystyle \theta =\pi }
1901:{\displaystyle \pi -\theta }
20:Chandrasekhar–Page equations
4566:
43:Subrahmanyan Chandrasekhar
2001:{\displaystyle \theta =0}
4440:10.1103/physrevd.14.1509
4109:{\displaystyle Z^{\pm }}
4003:, but has the behaviour
3133:{\displaystyle V^{\pm }}
2973:{\displaystyle \lambda }
2403:is the black hole mass,
1875:{\displaystyle \theta }
4497:10.1098/rspa.1984.0002
4389:10.1098/rspa.1976.0090
4345:
4136:
4110:
4080:
3997:
3964:
3726:
3673:
3621:
3547:
3473:
3371:
3134:
3104:
2974:
2946:
2891:
2709:
2657:
2587:
2397:
2378:
2314:
2054:
2028:
2002:
1976:
1939:
1902:
1876:
1856:
1816:
1594:
1547:
1491:
1344:
1321:
1078:
881:
678:
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