455:(the 1-dimensional representation consisting of 1×1 matrices containing the entry 1). Further, the character table is always square because (1) irreducible characters are pairwise orthogonal, and (2) no other non-trivial class function is orthogonal to every character. (A class function is one that is constant on conjugacy classes.) This is tied to the important fact that the irreducible representations of a finite group
1856:
1034:
1640:
3126:
This relation can be used both ways: given an outer automorphism, one can produce new representations (if the representation is not equal on conjugacy classes that are interchanged by the outer automorphism), and conversely, one can restrict possible outer automorphisms based on the character table.
3064:), then it acts trivially on representations, because representations are class functions (conjugation does not change their value). Thus a given class of outer automorphisms, it acts on the characters – because inner automorphisms act trivially, the action of the automorphism group
824:
612:
8096:
2329:
of order 8 have the same character table. Brauer asked whether the character table, together with the knowledge of how the powers of elements of its conjugacy classes are distributed, determines a finite group up to isomorphism. In 1964, this was answered in the negative by
867:
1851:{\displaystyle \left\langle \chi _{\text{reg}},\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)}}={\frac {1}{\left|G\right|}}\chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}}(1)}}=\operatorname {dim} V_{i}}
1432:
8927:
2012:
8271:
5991:
2542:
1925:
6949:
709:
7465:
1231:
8947:
3821:
In here, the first row describes the possible symmetry operations of this point group and the first column represents the
Mulliken symbols. The fifth and sixth columns are functions of the axis variables.
442:
where (12) represents the conjugacy class consisting of (12), (13), (23), while (123) represents the conjugacy class consisting of (123), (132). To learn more about character table of symmetric groups, see
65:
8023:
1300:
511:
8035:
3021:
2664:
group acts on the character table by permuting columns (conjugacy classes) and accordingly rows, which gives another symmetry to the table. For example, abelian groups have the outer automorphism
2128:
Complex conjugation acts on the character table: since the complex conjugate of a representation is again a representation, the same is true for characters, and thus a character that takes on non-
2964:
1029:{\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate}}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}
2788:
8811:
2642:
2044:. This sum can help narrow down the dimensions of the irreducible representations in a character table. For example, if the group has order 10 and 4 conjugacy classes (for instance, the
6857:
6677:
6497:
6320:
6084:
5045:
4296:
2118:
4652:
1550:
653:
5614:
5284:
4616:
4567:
1114:
5858:
5812:
5478:
5348:
5119:
2443:
2397:
1493:
4882:
2928:
3518:
3397:
2289:
1314:
5571:
5241:
3054:
2698:
8879:
3121:
3090:
8318:
8567:
8527:
7594:
7057:
5893:
5451:
4052:
4012:
3366:
3188:
2889:
6121:
6057:
1585:
188:
2842:
2815:
1172:
1064:
859:
5085:
4399:
3788:
3688:
2862:
8412:
8382:
6153:
5410:
5152:
3284:
3248:
3218:
677:
214:
75:
vibrations according to their symmetry, and to predict whether a transition between two states is forbidden for symmetry reasons. Many university level textbooks on
8648:
8621:
8594:
8352:
7895:
7868:
7841:
7807:
7779:
7749:
7721:
7691:
7663:
7631:
7553:
7526:
7499:
7337:
7310:
7283:
7228:
7177:
7145:
7094:
5770:
5728:
5686:
5644:
5531:
5201:
5007:
4974:
4941:
4824:
4791:
4758:
4725:
4516:
4489:
4336:
4133:
4106:
4079:
3969:
3942:
3915:
3742:
3642:
3588:
3548:
3431:
3338:
2733:
2042:
1632:
368:
8717:
8694:
8671:
6020:
4462:
4269:
4202:
4179:
4156:
3812:
3712:
3612:
2147:
is given by the sum of the squares of the entries of the first column (the degrees of the irreducible characters). More generally, the sum of the squares of the
1933:
8871:
8851:
8831:
8780:
8760:
8740:
8484:
8464:
8444:
7955:
7935:
7915:
7397:
7377:
7357:
7249:
7198:
7115:
7016:
6996:
6976:
5503:
5173:
5065:
4908:
4692:
4439:
4419:
4379:
4359:
4246:
4226:
3886:
3866:
3846:
3464:
3310:
1605:
1142:
697:
4421:, as for any reflection, an atom remains unchanged along with two axis and reverse its direction along with the other axis. For the inverse symmetry operation
8102:
5901:
2448:
4464:, as each of three axis of an atom reverse its direction during this operation. An easiest way to calculate "contribution per unshifted atom" for
1869:
9165:
6866:
819:{\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}
7404:
1180:
607:{\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}
9102:
9082:
9062:
9043:
9024:
9005:
8091:{\displaystyle \Gamma _{\text{vibrational}}=\Gamma _{\text{irreducible}}-\Gamma _{\text{translational}}-\Gamma _{\text{rotational}}}
7962:
2306:
of the orders of the elements of each conjugacy class of a finite group can be deduced from its character table (an observation of
1256:
9192:
2969:
2937:
2299:
492:
2738:
8937:
2151:
of the entries in any column gives the order of the centralizer of an element of the corresponding conjugacy class.
29:
8789:
2551:
703:
for the space of class functions, and this yields the orthogonality relation for the rows of the character table:
2191:
444:
6683:
6503:
6326:
6164:
6062:
5023:
4274:
2051:
8782:
nor quadratic functions for any irreducible representation, then the mode is neither IR active nor Raman active
2701:
2231:
is finite, then since the character table is square and has as many rows as conjugacy classes, it follows that
149:
4624:
1512:
620:
6958:
Translational motion will corresponds with the reducible representations in the character table, which have
4381:, as none of the atom(s) change their position during this operation. For any reflective symmetry operation
4573:
4524:
1073:
5836:
5790:
5456:
5326:
5097:
2402:
2356:
1498:
1453:
464:
451:
216:. Each entry in the first row is therefore 1. Similarly, it is customary to label the first column by the
140:
45:
8873:
and quadratic functions, it has both the IR active vibrational modes and Raman active vibrational modes.
7474:
Rotational motion will corresponds with the reducible representations in the character table, which have
1427:{\displaystyle \left|G\right|=\left|Cl(g)\right|*\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(g)}}}
9187:
4835:
4271:
if it reversed its direction. A simple way to determine the characters for the reducible representation
2901:
221:
119:
8922:{\displaystyle \Gamma _{\text{irreducible}},\Gamma _{\text{translational}},\Gamma _{\text{rotational}}}
8354:
vibrational modes are possible for water molecules and two of them are symmetric vibrational modes (as
3470:
2246:
5577:
5247:
5537:
5207:
3026:
2667:
468:
49:
3098:
3067:
943:
754:
220:. The entries of the first column are the values of the irreducible characters at the identity, the
122:
and the entries in the row are the values of that character on any representative of the respective
8277:
3135:
To find the total number of vibrational modes of a water molecule, the irreducible representation Γ
2645:
2213:
112:
88:
37:
3372:
8942:
8532:
8492:
4017:
3977:
3344:
3057:
2867:
2705:
2661:
2544:
defines a new linear representation. This gives rise to a group of linear characters, called the
1305:
Constructing the complete character table when only some of the irreducible characters are known.
1241:
76:
7564:
7027:
6091:
6027:
5863:
5421:
3158:
1555:
158:
2820:
2793:
1150:
1042:
463:
with its conjugacy classes. This bijection also follows by showing that the class sums form a
9161:
9136:
9098:
9078:
9058:
9039:
9020:
9001:
2318:
1308:
Finding the orders of the centralizers of representatives of the conjugacy classes of a group.
832:
700:
656:
80:
52:
representing group elements of the column's class in the given row's group representation. In
5070:
4384:
3760:
3660:
2847:
2048:
of order 10) then the only way to express the order of the group as a sum of four squares is
9128:
8387:
8357:
6128:
5385:
5127:
3259:
3223:
3193:
2649:
2322:
2171:
1117:
662:
217:
193:
41:
21:
8626:
8599:
8572:
8325:
7873:
7846:
7819:
7785:
7757:
7727:
7699:
7669:
7641:
7609:
7531:
7504:
7477:
7315:
7288:
7261:
7206:
7155:
7123:
7072:
5748:
5706:
5664:
5622:
5509:
5179:
4985:
4952:
4919:
4802:
4769:
4736:
4703:
4494:
4467:
4309:
4111:
4084:
4057:
3947:
3920:
3893:
3720:
3620:
3566:
3526:
3409:
3316:
2711:
2020:
2007:{\displaystyle |G|=\operatorname {dim} V_{\text{reg}}=\sum (\operatorname {dim} V_{i})^{2}}
1610:
346:
2545:
2155:
123:
57:
33:
8699:
8676:
8653:
6002:
4444:
4251:
4184:
4161:
4138:
3794:
3694:
3594:
1862:
Then decomposing the regular representations as a sum of irreducible representations of
8856:
8836:
8816:
8765:
8745:
8725:
8469:
8449:
8429:
7940:
7920:
7900:
7382:
7362:
7342:
7234:
7183:
7100:
7001:
6981:
6961:
5488:
5158:
5050:
4893:
4677:
4424:
4404:
4364:
4344:
4231:
4211:
3871:
3851:
3831:
3449:
3295:
3093:
2342:
2326:
2295:
2148:
2045:
1590:
1175:
1127:
682:
131:
100:
9181:
8266:{\displaystyle =(3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2})-(A_{1}+B_{1}+B_{2})-(A_{2}+B_{1}+B_{2})}
2307:
2303:
2236:
502:
333:
8969:
8938:
Irreducible representation § Applications in theoretical physics and chemistry
2892:
2167:
449:
The first row of the character table always consists of 1s, and corresponds to the
247:
243:
152:
104:
84:
61:
17:
9155:
5986:{\displaystyle N={\frac {1}{h}}\sum _{x}(X_{i}^{x}\times X_{r}^{x}\times n^{x})}
2537:{\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}
2129:
1506:
1121:
9132:
2704:, and outer because abelian groups are precisely those for which conjugation (
2331:
472:
337:
336:. The character table for general cyclic groups is (a scalar multiple of) the
9140:
134:). The columns are labelled by (representatives of) the conjugacy classes of
9116:
9077:, 2nd ed. Philip R. Bunker and Per Jensen, NRC Research Press, Ottawa, 1998
8974:
8422:
There is some rules to be IR active or Raman active for a particular mode.
479:, which has dimension equal to the number of irreducible representations of
460:
53:
4656:
A simplified version of above statements is summarized in the table below
1920:{\displaystyle V_{\text{reg}}=\bigoplus V_{i}^{\operatorname {dim} V_{i}}}
1244:
of irreducible characters, i.e. # of copies of irreducible representation
699:. With respect to this inner product, the irreducible characters form an
6861:
So, the reduced representation for all motions of water molecule will be
72:
8952:
6944:{\displaystyle \Gamma _{\text{irreducible}}=3A_{1}+A_{2}+3B_{1}+2B_{2}}
5382:
From the above discussion, a new character table for a water molecule (
3139:
needs to calculate from the character table of a water molecule first.
3131:
Finding the vibrational modes of a water molecule using character table
3250:
point group, which is also the character table for a water molecule.
8876:
Similar rules will apply for rest of the irreducible representations
2120:, so we know the dimensions of all the irreducible representations.
6123:
character from the reducible representation for a particular class,
224:
of the irreducible characters. Characters of degree 1 are known as
2315:
8948:
List of character tables for chemically important 3D point groups
8719:
for any irreducible representation, then the mode is Raman active
1236:
The orthogonality relations can aid many computations including:
138:. It is customary to label the first row by the character of the
8418:
Checking whether the water molecule is IR active or Raman active
7460:{\displaystyle \Gamma _{\text{translational}}=A_{1}+B_{1}+B_{2}}
1226:{\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1}
91:
devote a chapter to the use of symmetry group character tables.
2239:
iff each conjugacy class has size 1 iff the character table of
2220:
is the intersection of the kernels of the linear characters of
8486:
for any irreducible representation, then the mode is IR active
2895:(negative in abelian groups) agrees with complex conjugation.
1509:
spanned by) itself. The characters of this representation are
497:
The space of complex-valued class functions of a finite group
8018:{\displaystyle \Gamma _{\text{rotational}}=A_{2}+B_{1}+B_{2}}
4208:
When determining the characters for a representation, assign
4361:, "contribution per unshifted atom" for each atom is always
2314:
The character table does not in general determine the group
1607:
not the identity. Then given an irreducible representation
1295:{\displaystyle V=\left\langle \chi ,\chi _{i}\right\rangle }
1022:
812:
9057:, 8th ed. P.W. Atkins and J. de Paula, W.H. Freeman, 2006
3888:
are related to translational movement and IR active bands.
7579:
7042:
5878:
5436:
3173:
9117:"A local mode potential function for the water molecule"
5087:
Contribution per unshifted atom along each of three axis
2194:
of the kernels of some of the irreducible characters of
1039:
where the sum is over all of the irreducible characters
3016:{\displaystyle \rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))}
8384:) and the other vibrational mode is antisymmetric (as
1501:
which is the permutation obtained from a finite group
1013:
997:
981:
861:
the orthogonality relation for columns is as follows:
791:
763:
8882:
8859:
8839:
8819:
8792:
8768:
8748:
8728:
8702:
8679:
8656:
8629:
8602:
8575:
8535:
8495:
8472:
8452:
8432:
8390:
8360:
8328:
8280:
8105:
8038:
7965:
7943:
7923:
7903:
7876:
7849:
7822:
7788:
7760:
7730:
7702:
7672:
7644:
7612:
7567:
7534:
7507:
7480:
7407:
7385:
7365:
7345:
7318:
7291:
7264:
7237:
7209:
7186:
7158:
7126:
7103:
7075:
7030:
7004:
6984:
6964:
6869:
6686:
6506:
6329:
6167:
6131:
6094:
6065:
6030:
6005:
5904:
5866:
5860:, the reducible representation for all motion of the
5839:
5793:
5751:
5709:
5667:
5625:
5580:
5540:
5512:
5491:
5459:
5424:
5388:
5329:
5250:
5210:
5182:
5161:
5130:
5100:
5073:
5053:
5026:
4988:
4955:
4922:
4896:
4838:
4805:
4772:
4739:
4706:
4680:
4627:
4576:
4527:
4497:
4470:
4447:
4427:
4407:
4387:
4367:
4347:
4312:
4277:
4254:
4234:
4214:
4187:
4164:
4141:
4114:
4087:
4060:
4020:
3980:
3950:
3923:
3896:
3874:
3854:
3834:
3797:
3763:
3723:
3697:
3663:
3623:
3597:
3569:
3529:
3473:
3452:
3412:
3375:
3347:
3319:
3298:
3262:
3226:
3196:
3161:
3101:
3070:
3029:
2972:
2940:
2904:
2870:
2850:
2823:
2796:
2741:
2714:
2670:
2554:
2451:
2405:
2359:
2249:
2054:
2023:
1936:
1872:
1643:
1613:
1593:
1558:
1515:
1456:
1317:
1259:
1183:
1153:
1130:
1076:
1045:
870:
835:
712:
685:
665:
623:
514:
349:
196:
161:
4341:
Unless otherwise stated, for the identity operation
2959:{\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} }
2182:
for which χ(g) = χ(1); this is a normal subgroup of
28:
is a two-dimensional table whose rows correspond to
9038:, 2nd ed. J.N. Murrell, S.F.A. Kettle, J.M. Tedder
8921:
8865:
8845:
8825:
8805:
8774:
8754:
8734:
8711:
8688:
8665:
8642:
8615:
8588:
8561:
8521:
8478:
8458:
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8376:
8346:
8312:
8265:
8090:
8017:
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7520:
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7331:
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7222:
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7171:
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7051:
7010:
6990:
6970:
6943:
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6671:
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6147:
6115:
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6051:
6014:
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5852:
5806:
5764:
5722:
5680:
5638:
5608:
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5525:
5497:
5472:
5445:
5404:
5342:
5278:
5235:
5195:
5167:
5146:
5113:
5079:
5067:Number of unshifted atom(s) during this operation
5059:
5039:
5001:
4968:
4935:
4902:
4876:
4818:
4785:
4752:
4719:
4686:
4646:
4610:
4561:
4510:
4483:
4456:
4433:
4413:
4393:
4373:
4353:
4330:
4290:
4263:
4240:
4220:
4196:
4173:
4150:
4127:
4100:
4073:
4046:
4006:
3963:
3936:
3909:
3880:
3860:
3840:
3806:
3782:
3736:
3706:
3682:
3636:
3606:
3582:
3542:
3512:
3458:
3425:
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3304:
3278:
3242:
3212:
3182:
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3048:
3015:
2958:
2922:
2883:
2856:
2836:
2809:
2782:
2727:
2692:
2636:
2536:
2437:
2391:
2283:
2170:) can be recognised from its character table. The
2112:
2036:
2006:
1919:
1850:
1626:
1599:
1579:
1544:
1487:
1426:
1294:
1225:
1166:
1136:
1108:
1058:
1028:
853:
818:
691:
671:
647:
606:
362:
208:
182:
2267:
2263:
111:which encodes much useful information about the
118:in a concise form. Each row is labelled by an
8953:Character tables of small groups on GroupNames
4441:, "contribution per unshifted atom" is always
3971:are related to rotation about respective axis.
2783:{\displaystyle u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,}
4338:) when a symmetry operation is carried out.
2201:The number of irreducible representations of
8:
9160:. Macmillan International Higher Education.
8806:{\displaystyle \Gamma _{\text{vibrational}}}
8786:As the vibrational modes for water molecule
5895:molecule can be reduced using below formula
5370:Calculating the irreducible representation Γ
4518:symmetry operation is to use below formulas
2637:{\displaystyle (g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}
2205:equals the number of conjugacy classes that
8489:If there is a quadratic functions such as
8028:Total vibrational modes for water molecule
6852:{\displaystyle N_{B_{2}}={\frac {1}{4}}=2}
6672:{\displaystyle N_{B_{1}}={\frac {1}{4}}=3}
6492:{\displaystyle N_{A_{2}}={\frac {1}{4}}=1}
6315:{\displaystyle N_{A_{1}}={\frac {1}{4}}=3}
6079:{\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}
5040:{\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}
4291:{\displaystyle \Gamma _{\text{reducible}}}
2132:complex values has a conjugate character.
2113:{\displaystyle 10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}}
343:Another example is the character table of
9115:Reimers, J.R.; Watts, R.O. (1984-06-10).
8913:
8900:
8887:
8881:
8858:
8838:
8818:
8797:
8791:
8767:
8747:
8727:
8701:
8678:
8655:
8634:
8628:
8607:
8601:
8580:
8574:
8553:
8540:
8534:
8513:
8500:
8494:
8471:
8451:
8431:
8398:
8389:
8368:
8359:
8327:
8304:
8291:
8279:
8254:
8241:
8228:
8209:
8196:
8183:
8164:
8148:
8132:
8119:
8104:
8082:
8069:
8056:
8043:
8037:
8009:
7996:
7983:
7970:
7964:
7942:
7922:
7902:
7881:
7875:
7854:
7848:
7827:
7821:
7793:
7787:
7765:
7759:
7735:
7729:
7707:
7701:
7677:
7671:
7649:
7643:
7617:
7611:
7578:
7573:
7568:
7566:
7539:
7533:
7512:
7506:
7485:
7479:
7451:
7438:
7425:
7412:
7406:
7384:
7364:
7344:
7323:
7317:
7296:
7290:
7269:
7263:
7236:
7214:
7208:
7185:
7163:
7157:
7131:
7125:
7102:
7080:
7074:
7041:
7036:
7031:
7029:
7003:
6983:
6963:
6935:
6919:
6903:
6890:
6874:
6868:
6707:
6696:
6691:
6685:
6527:
6516:
6511:
6505:
6350:
6339:
6334:
6328:
6188:
6177:
6172:
6166:
6136:
6130:
6104:
6099:
6093:
6070:
6064:
6040:
6035:
6029:
6004:
5974:
5961:
5956:
5943:
5938:
5925:
5911:
5903:
5877:
5872:
5867:
5865:
5844:
5838:
5798:
5792:
5756:
5750:
5714:
5708:
5672:
5666:
5630:
5624:
5585:
5579:
5545:
5539:
5517:
5511:
5490:
5464:
5458:
5435:
5430:
5425:
5423:
5393:
5387:
5334:
5328:
5255:
5249:
5215:
5209:
5187:
5181:
5160:
5135:
5129:
5105:
5099:
5072:
5052:
5031:
5025:
4993:
4987:
4960:
4954:
4927:
4921:
4895:
4861:
4850:
4843:
4837:
4810:
4804:
4777:
4771:
4744:
4738:
4711:
4705:
4679:
4634:
4626:
4581:
4575:
4532:
4526:
4502:
4496:
4475:
4469:
4446:
4426:
4406:
4386:
4366:
4346:
4311:
4282:
4276:
4253:
4233:
4213:
4186:
4163:
4140:
4119:
4113:
4092:
4086:
4065:
4059:
4038:
4025:
4019:
3998:
3985:
3979:
3955:
3949:
3928:
3922:
3901:
3895:
3873:
3853:
3833:
3796:
3768:
3762:
3728:
3722:
3696:
3668:
3662:
3628:
3622:
3596:
3574:
3568:
3534:
3528:
3504:
3491:
3478:
3472:
3451:
3417:
3411:
3380:
3374:
3352:
3346:
3324:
3318:
3297:
3267:
3261:
3231:
3225:
3201:
3195:
3172:
3167:
3162:
3160:
3102:
3100:
3071:
3069:
3040:
3028:
2977:
2971:
2939:
2903:
2875:
2869:
2849:
2828:
2822:
2801:
2795:
2765:
2752:
2740:
2719:
2713:
2681:
2669:
2619:
2600:
2575:
2562:
2553:
2516:
2494:
2469:
2456:
2450:
2429:
2410:
2404:
2383:
2364:
2358:
2291:iff each irreducible character is linear.
2276:
2268:
2258:
2250:
2248:
2139:can be deduced from its character table:
2104:
2091:
2078:
2065:
2053:
2028:
2022:
1998:
1988:
1963:
1945:
1937:
1935:
1909:
1898:
1893:
1877:
1871:
1842:
1808:
1801:
1786:
1764:
1740:
1733:
1718:
1702:
1680:
1666:
1653:
1642:
1618:
1612:
1592:
1557:
1514:
1461:
1455:
1403:
1396:
1381:
1369:
1364:
1316:
1281:
1258:
1206:
1193:
1182:
1158:
1152:
1129:
1086:
1075:
1050:
1044:
1012:
996:
980:
955:
938:
914:
907:
892:
880:
875:
869:
834:
790:
762:
749:
735:
722:
711:
684:
664:
624:
622:
583:
559:
537:
513:
354:
348:
195:
160:
9017:Physical Chemistry: A Molecular Approach
7559:
7022:
5833:Using the new character table including
5416:
5092:
4660:
4647:{\displaystyle \theta ={\frac {360}{n}}}
3254:
2174:of a character χ is the set of elements
372:
255:
9097:, 2nd ed. Pearson, Prentice Hall, 1998
8990:
6954:Translational motion for water molecule
3190:) molecule falls under the point group
1545:{\displaystyle \chi (e)=\left|G\right|}
648:{\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}
9019:by Donald A. McQuarrie, John D. Simon
9000:, 3rd ed. John P. Lowe, Kirk Peterson
7816:As only the reducible representations
7258:As only the reducible representations
1240:Decomposing an unknown character as a
6155:the number of operations in the class
4611:{\displaystyle S_{n}=2\cos \theta -1}
4562:{\displaystyle C_{n}=2\cos \theta +1}
2017:over all irreducible representations
1109:{\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}
7:
7470:Rotational motion for water molecule
5853:{\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}
5807:{\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}
5473:{\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}
5343:{\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}
5114:{\displaystyle \Gamma _{\text{red}}}
4401:, "contribution per atom" is always
4204:) are related to Raman active bands.
2708:) acts trivially. In the example of
2438:{\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}
2392:{\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}
1488:{\displaystyle \sum _{g}\chi (g)=0.}
9075:Molecular Symmetry and Spectroscopy
5374:from the reducible representation Γ
8968:Rowland, Todd; Weisstein, Eric W.
8910:
8897:
8884:
8794:
8079:
8066:
8053:
8040:
7967:
7409:
6871:
6067:
5841:
5795:
5461:
5331:
5102:
5028:
4877:{\displaystyle \sigma _{xy/yz/zx}}
4279:
3220:. Below is the character table of
3109:
3106:
3103:
3078:
3075:
3072:
2923:{\displaystyle \phi \colon G\to G}
2700:, which is non-trivial except for
2294:It follows, using some results of
1446:If the irreducible representation
40:elements. The entries consist of
32:, and whose columns correspond to
14:
8960:Character Theory of Finite Groups
3513:{\displaystyle x^{2},y^{2},z^{2}}
2445:are linear representations, then
2341:are themselves a group under the
2284:{\displaystyle |G|\!\times \!|G|}
144:, which is the trivial action of
5609:{\displaystyle \sigma '_{v(yz)}}
5307:Contribution per unshifted atom
5279:{\displaystyle \sigma '_{v(yz)}}
2135:Certain properties of the group
1497:More specifically, consider the
1311:Finding the order of the group,
66:character tables of point groups
9154:Davidson, George (1991-06-06).
5566:{\displaystyle \sigma _{v(xz)}}
5412:point group) can be written as
5236:{\displaystyle \sigma _{v(xz)}}
3049:{\displaystyle \phi =\phi _{a}}
2693:{\displaystyle g\mapsto g^{-1}}
231:Here is the character table of
9093:G. L. Miessler and D. A. Tarr
8260:
8221:
8215:
8176:
8170:
8109:
6840:
6837:
6819:
6813:
6804:
6795:
6786:
6780:
6771:
6762:
6756:
6747:
6744:
6738:
6720:
6717:
6660:
6657:
6648:
6639:
6630:
6624:
6606:
6600:
6591:
6582:
6576:
6567:
6564:
6558:
6540:
6537:
6480:
6477:
6468:
6459:
6450:
6444:
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5378:along with the character table
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2345:, since the tensor product of
2337:The linear representations of
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1:
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3974:Quadratic functions (such as
3147:from the Character Table of H
3060:(conjugation by some element
2891:). Note that this particular
2644:. This group is connected to
2300:modular representation theory
493:Schur orthogonality relations
5290:Number of unshifted atom(s)
4306:" along each of three axis (
3392:{\displaystyle \sigma '_{v}}
1824:
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1419:
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332:where ω is a primitive cube
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5888:{\displaystyle {\ce {H2O}}}
5446:{\displaystyle {\ce {H2O}}}
5094:Finding the characters for
5047:for any symmetry operation
4300:number of unshifted atom(s)
4047:{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
4007:{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
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3183:{\displaystyle {\ce {H2O}}}
2884:{\displaystyle \omega ^{2}}
2844:(switching their values of
2702:elementary abelian 2-groups
1147:For an arbitrary character
30:irreducible representations
9209:
8958:Isaacs, I. Martin (1976).
6116:{\displaystyle X_{r}^{x}=}
6052:{\displaystyle X_{i}^{x}=}
2966:is a representation, then
2186:. Each normal subgroup of
1580:{\displaystyle \chi (g)=0}
490:
183:{\displaystyle \rho (g)=1}
9157:Group Theory for Chemists
9133:10.1080/00268978400101271
4228:if it remains unchanged,
2837:{\displaystyle \chi _{2}}
2810:{\displaystyle \chi _{1}}
2790:and accordingly switches
2162:(and thus whether or not
1927:, from which we conclude
1167:{\displaystyle \chi _{i}}
1059:{\displaystyle \chi _{i}}
8032:Total vibrational mode,
5418:New character table for
3023:is a representation. If
854:{\displaystyle g,h\in G}
246:with three elements and
130:(because characters are
6086:for a particular class,
5080:{\displaystyle \times }
4394:{\displaystyle \sigma }
3783:{\displaystyle R_{x},y}
3683:{\displaystyle R_{y},x}
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2349:vector spaces is again
487:Orthogonality relations
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9193:Representation theory
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