2814:
2501:
2809:{\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}
6073:
5793:
1489:
1290:
4417:
5471:
2246:
4835:
5175:
5086:
4659:
6355:
1295:
6068:{\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.}
1061:
974:
1185:
5530:
4301:
5352:
This proof only applies to matrices and polynomials over complex numbers (or any algebraically closed field). In that case, the characteristic polynomial of any square matrix can be always factorized as
2292:
6225:
5356:
2127:
6451:
2070:
297:
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6142:
5716:
3726:
351:
5788:
1147:
5000:
4018:
1808:
141:, an eigenvector is a vector whose direction is not changed by the transformation, and the corresponding eigenvalue is the measure of the resulting change of magnitude of the vector.
5718:
on the diagonal (with each eigenvalue repeated according to its algebraic multiplicity). (The Jordan normal form has stronger properties, but these are sufficient; alternatively the
4141:
4055:
3239:
4693:
725:
460:
6605:
it is the algebraic or numerical expression of the magnitude of the inequalities in a planet's motion that remain after the inequalities of a short period have been allowed for.
2902:
times the identity matrix) yields the zero matrix. Informally speaking, every matrix satisfies its own characteristic equation. This statement is equivalent to saying that the
6511:
3372:
4957:
4912:
6663:
5297:
5226:
4242:
2385:
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5622:
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818:
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4502:
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1981:
1558:
857:
771:
665:
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5339:
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4197:
1661:
1532:
210:
4556:
3757:
1944:
1868:
6255:
6547:
6169:
4446:
4296:
1835:
1739:
6384:
6284:
4887:
4688:
4531:
4167:
4104:
3892:
3846:
5553:
4078:
3800:
3616:
3567:
3311:
3288:
3171:
3148:
2955:
have the same characteristic polynomial. The converse however is not true in general: two matrices with the same characteristic polynomial need not be similar.
2947:
2470:
2432:
2343:
2004:
1915:
1688:
1601:
1170:
626:
603:
165:
6735:
6703:
6683:
6093:
5666:
5642:
5577:
5246:
4932:
4551:
4476:
4217:
3866:
3820:
3777:
3515:
3469:
3434:
3414:
3394:
3261:
3099:
3079:
3047:
3027:
3000:
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1621:
1578:
901:
877:
745:
317:
983:
91:
is the characteristic polynomial of the matrix of that endomorphism over any base (that is, the characteristic polynomial does not depend on the choice of a
5091:
32:
This article is about the characteristic polynomial of a matrix or of an endomorphism of vector spaces. For the characteristic polynomial of a matroid, see
5005:
914:
6746:
6571:(in some literature the term secular function is still used). The term comes from the fact that the characteristic polynomial was used to calculate
3448:) of the space of all the coefficients. As the non-singular matrices form such an open subset of the space of all matrices, this proves the result.
6289:
1917:(The signs given here correspond to the formal definition given in the previous section; for the alternative definition these would instead be
7001:
6974:
2009:
254:
215:
6822:
2903:
1664:
1484:{\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}
6771:
7174:
7153:
7135:
7071:
7053:
5476:
1603:
The most important fact about the characteristic polynomial was already mentioned in the motivational paragraph: the eigenvalues of
3647:
6614:
calculations relating to the energy of the electron and its wave function it is also used instead of the characteristic equation.
2251:
6761:
2435:
4106:
rows and columns of zeros. The result follows from the case of square matrices, by comparing the characteristic polynomials of
6174:
6933:
6805:
6389:
3436:
and the coefficients of the matrices. Thus, to prove this equality, it suffices to prove that it is verified on a non-empty
3176:
1285:{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}
670:
421:
134:
113:
6766:
6098:
5675:
4412:{\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}
2819:
3320:
6966:
5342:
326:
1066:
5728:
5466:{\displaystyle p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)}
2241:{\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}
476:
3977:
2442:
1744:
7195:
4962:
4109:
4023:
2862:
in the characteristic polynomial (interpreting the resulting powers as matrix powers, and the constant term
6925:
6575:(on a time scale of a century, that is, slow compared to annual motion) of planetary orbits, according to
2295:
92:
76:
6751:
6576:
1711:
138:
107:
6949:
6456:
3029:(the same is true with the minimal polynomial instead of the characteristic polynomial). In this case
7190:
4421:
The multiplicities can be shown to agree as well, and this generalizes to any polynomial in place of
68:
17:
6714:
6626:
5719:
5251:
5180:
4222:
3264:
2446:
1175:
382:
170:
6823:"An Extension of Gauss' Transformation for Improving the Condition of Systems of Linear Equations"
4247:
2348:
7108:
7090:
6919:
5582:
5556:
3950:
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1624:
782:
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3520:
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1537:
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6997:
6970:
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6572:
5645:
5308:
4843:
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3441:
3003:
1630:
1501:
195:
60:
6897:
4830:{\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}
3733:
1920:
1840:
7200:
7146:
7100:
6877:
6837:
6756:
6706:
6230:
5669:
5302:
3445:
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880:
515:
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7120:
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6791:
6360:
6260:
4863:
4664:
4507:
2388:
773:
415:
320:
5341:
has a factorization into linear factors is not always true, unless the matrix is over an
4146:
4083:
3871:
3825:
6737:
and proves the standard properties of the characteristic polynomial in this generality.
5535:
4060:
3782:
3598:
3549:
3293:
3270:
3153:
3130:
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1986:
1897:
1670:
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608:
585:
147:
7159:
7078:
7064:
6795:
6720:
6713:
defines the characteristic polynomial for elements of an arbitrary finite-dimensional (
6688:
6668:
6595:
6514:
6078:
5651:
5627:
5562:
5231:
4917:
4536:
4461:
4202:
3851:
3805:
3762:
3500:
3454:
3419:
3399:
3379:
3246:
3084:
3064:
3032:
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3006:
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2845:
2825:
2394:
2301:
2107:
1891:
1693:
1606:
1563:
886:
862:
730:
302:
130:
44:
7081:(2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions",
6842:
5170:{\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}
7184:
52:
6882:
6865:
5081:{\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}
2472:
each such trace may alternatively be computed as a single determinant, that of the
88:
84:
37:
3009:
its characteristic polynomial can be completely factored into linear factors over
859:
so it makes no difference for properties like having as roots the eigenvalues of
7167:
4654:{\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}
3437:
977:
72:
64:
103:, is the equation obtained by equating the characteristic polynomial to zero.
56:
7011:
6350:{\displaystyle f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).}
6602:
2979:
7025:
6991:
3416:
are singular, the desired identity is an equality between polynomials in
1714:
in the entries of the matrix. In particular its constant coefficient of
1056:{\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}
144:
More precisely, if the transformation is represented by a square matrix
7112:
33:
7095:
6549:
it has the same eigenvalues, with the same algebraic multiplicities.
7104:
6623:
The above definition of the characteristic polynomial of a matrix
5722:
can be used, which is less popular but somewhat easier to prove).
5301:
The theorem applies to matrices and polynomials over any field or
969:{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}
5525:{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}
4128:
4118:
4042:
4032:
3996:
3986:
3959:
3932:
2287:{\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}
820:
That polynomial differs from the one defined here by a sign
353:(although the zero vector satisfies this equation for every
6898:"Characteristic Polynomial of a Graph â Wolfram MathWorld"
1710:). All coefficients of the characteristic polynomial are
6598:
it is sometimes used in place of characteristic equation.
6717:, but not necessarily commutative) algebra over a field
6220:{\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}}
883:, whereas the alternative definition is monic only when
779:
Some authors define the characteristic polynomial to be
6866:"On the zeros of polynomials with complex coefficients"
6821:
Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (January 1952).
6446:{\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).}
911:
To compute the characteristic polynomial of the matrix
5997:
5938:
5861:
5812:
5731:
5122:
5036:
3057:
Characteristic polynomial of a product of two matrices
2557:
2515:
2351:
2254:
2219:
2065:{\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}
1200:
1007:
929:
292:{\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0} }
29:
Polynomial whose roots are the eigenvalues of a matrix
6723:
6691:
6671:
6629:
6523:
6459:
6392:
6363:
6292:
6263:
6233:
6177:
6150:
6101:
6081:
5796:
5678:
5654:
5630:
5585:
5565:
5538:
5479:
5359:
5311:
5254:
5234:
5183:
5094:
5008:
4965:
4940:
4920:
4895:
4866:
4846:
4696:
4667:
4559:
4539:
4533:
be a polynomial. If the characteristic polynomial of
4510:
4484:
4464:
4427:
4304:
4277:
4250:
4225:
4205:
4185:
4149:
4112:
4086:
4063:
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3953:
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3900:
3874:
3854:
3828:
3808:
3785:
3765:
3736:
3650:
3624:
3601:
3575:
3552:
3523:
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3457:
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588:
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329:
305:
257:
218:
198:
173:
150:
7059:
John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990)
244:{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}
6729:
6697:
6677:
6657:
6541:
6505:
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659:
620:
597:
574:
506:
454:
406:
368:
345:
311:
291:
243:
204:
184:
159:
6685:generalizes without any changes to the case when
6137:{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},}
5711:{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
4661:then the characteristic polynomial of the matrix
1135:
2438:computes these coefficients more efficiently.
2047:
1924:
1785:
1748:
1299:
786:
696:
480:
425:
2006:the characteristic polynomial is thus given by
4889:equals the sum of algebraic multiplicities of
879:; however the definition above always gives a
6870:Bulletin of the American Mathematical Society
3721:{\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}
2387:This trace may be computed as the sum of all
2368:
2355:
346:{\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }
8:
6961:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013).
5783:{\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}
3127:matrices then characteristic polynomials of
1560:matrix is monic (its leading coefficient is
1142:{\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}
6996:. New York: Springer. p.567, Theorem 3.10.
4452:
79:of the matrix among its coefficients. The
7094:
6881:
6841:
6722:
6710:
6690:
6670:
6640:
6628:
6522:
6479:
6458:
6431:
6403:
6391:
6362:
6334:
6304:
6291:
6262:
6238:
6232:
6211:
6206:
6187:
6182:
6176:
6155:
6149:
6125:
6106:
6100:
6080:
6034:
6015:
6005:
5985:
5969:
5956:
5946:
5920:
5898:
5879:
5869:
5852:
5833:
5820:
5795:
5771:
5761:
5751:
5730:
5702:
5683:
5677:
5653:
5629:
5596:
5584:
5564:
5537:
5516:
5497:
5484:
5478:
5452:
5423:
5397:
5364:
5358:
5316:
5310:
5274:
5253:
5233:
5203:
5182:
5154:
5138:
5127:
5093:
5068:
5052:
5041:
5007:
4964:
4939:
4919:
4894:
4865:
4845:
4812:
4778:
4747:
4701:
4695:
4666:
4642:
4617:
4595:
4564:
4558:
4538:
4509:
4483:
4463:
4432:
4426:
4400:
4399:
4393:
4374:
4373:
4361:
4345:
4344:
4329:
4316:
4315:
4309:
4303:
4282:
4276:
4255:
4249:
4226:
4224:
4204:
4184:
4148:
4127:
4117:
4111:
4085:
4062:
4041:
4031:
4025:
4013:{\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}
3995:
3985:
3979:
3958:
3952:
3931:
3925:
3899:
3873:
3853:
3827:
3807:
3784:
3764:
3735:
3717:
3696:
3680:
3655:
3649:
3623:
3600:
3574:
3551:
3522:
3502:
3476:
3456:
3421:
3401:
3381:
3337:
3322:
3295:
3272:
3248:
3230:
3209:
3184:
3178:
3155:
3132:
3106:
3086:
3066:
3034:
3014:
2987:
2982:have the same characteristic polynomial.
2963:
2931:
2926:divides the characteristic polynomial of
2911:
2887:
2867:
2847:
2827:
2763:
2745:
2708:
2684:
2609:
2552:
2537:
2520:
2503:
2477:
2454:
2416:
2396:
2367:
2354:
2352:
2350:
2327:
2303:
2270:
2253:
2224:
2203:
2178:
2168:
2157:
2135:
2129:
2109:
2083:
2017:
2011:
1988:
1962:
1922:
1899:
1848:
1842:
1821:
1815:
1803:{\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}
1779:
1746:
1725:
1719:
1695:
1672:
1638:
1632:
1608:
1585:
1565:
1539:
1509:
1503:
1466:
1444:
1389:
1364:
1351:
1297:
1195:
1187:
1154:
1134:
1113:
1068:
1002:
985:
924:
916:
888:
864:
840:
825:
784:
752:
732:
678:
672:
639:
633:
610:
587:
561:
478:
423:
384:
358:
338:
330:
328:
304:
284:
276:
256:
233:
222:
217:
197:
174:
172:
149:
6747:Characteristic equation (disambiguation)
137:play a fundamental role, since, given a
117:is the characteristic polynomial of its
7130:4th edition, pp 120–5, Springer,
7044:T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998)
6783:
4840:That is, the algebraic multiplicity of
3267:this result follows from the fact that
376:it is not considered an eigenvector).
5228:for example, is evaluated on a matrix
4995:{\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}
4136:{\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}
4050:{\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}
3234:{\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}
2078:, the characteristic polynomial of an
6567:has been used for what is now called
6554:Secular function and secular equation
7:
4199:is an eigenvalue of a square matrix
18:Characteristic polynomial of a graph
7164:Linear Algebra and Its Applications
4401:
4375:
4346:
4317:
720:{\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}
465:In other words, the eigenvalues of
455:{\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}
6286:is upper triangular with diagonal
6171:is upper triangular with diagonal
5559:guarantees that any square matrix
5555:possibly repeated. Moreover, the
2359:
36:. For that of a graded poset, see
25:
6843:10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0
1292:Its characteristic polynomial is
1149:the characteristic polynomial of
605:The characteristic polynomial of
192:and the corresponding eigenvalue
6924:(2 ed.). Springer. p.
6619:For general associative algebras
6506:{\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S}
4227:
1690:but its degree may be less than
339:
331:
285:
277:
234:
223:
175:
6883:10.1090/S0002-9904-1946-08526-2
6075:For an upper triangular matrix
5305:. However, the assumption that
3894:columns of zeros, one gets two
3730:To prove this, one may suppose
3367:{\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}
1837:is one, and the coefficient of
540:matrix. This polynomial is the
112:characteristic polynomial of a
6969:. pp. 108â109, Section 2.4.2.
6652:
6646:
6533:
6527:
6497:
6491:
6469:
6463:
6437:
6424:
6409:
6396:
6373:
6367:
6357:Therefore, the eigenvalues of
6273:
6267:
6052:
6046:
6021:
5994:
5849:
5826:
5806:
5800:
5741:
5735:
5376:
5370:
5328:
5322:
5264:
5258:
5193:
5187:
5160:
5147:
5116:
5113:
5107:
5101:
5074:
5061:
5030:
5027:
5021:
5015:
4980:
4969:
4876:
4870:
4821:
4818:
4805:
4793:
4787:
4784:
4771:
4759:
4756:
4753:
4740:
4728:
4722:
4716:
4711:
4705:
4677:
4671:
4648:
4629:
4623:
4604:
4601:
4582:
4576:
4570:
4520:
4514:
3711:
3705:
3670:
3664:
3444:, or, more generally, for the
3355:
3346:
3224:
3218:
3199:
3193:
2200:
2190:
2147:
2141:
2056:
2050:
2038:
2032:
1933:
1927:
1794:
1788:
1776:
1766:
1760:
1751:
1650:
1644:
1521:
1515:
1498:The characteristic polynomial
1475:
1453:
1450:
1431:
1419:
1413:
1379:
1373:
1348:
1344:
1338:
1323:
1317:
1302:
1268:
1262:
1251:
1245:
1232:
1226:
1215:
1209:
1103:
1094:
1082:
1070:
980:of the following is computed:
837:
827:
804:
789:
714:
699:
690:
684:
651:
645:
498:
483:
443:
428:
401:
386:
273:
258:
1:
7083:American Mathematical Monthly
6772:SamuelsonâBerkowitz algorithm
6658:{\displaystyle A\in M_{n}(F)}
5345:such as the complex numbers.
5292:{\displaystyle f(A)=A^{3}+I.}
5221:{\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}
4237:{\displaystyle \mathbf {v} ,}
4172:Characteristic polynomial of
2380:{\textstyle {\binom {n}{k}}.}
667:is the polynomial defined by
407:{\displaystyle (\lambda I-A)}
185:{\displaystyle \mathbf {v} ,}
6800:. Wiley. pp. 366, 541.
5557:Jordan decomposition theorem
4264:{\displaystyle \lambda ^{k}}
1182:φ. For the matrix take
135:eigenvalues and eigenvectors
6797:Introductory Circuit Theory
6762:FaddeevâLeVerrier algorithm
6590:may have several meanings.
6579:'s theory of oscillations.
5617:{\displaystyle A=S^{-1}US,}
3967:{\displaystyle B^{\prime }}
3940:{\displaystyle A^{\prime }}
2436:FaddeevâLeVerrier algorithm
813:{\displaystyle \det(A-tI).}
507:{\displaystyle \det(xI-A),}
379:It follows that the matrix
7217:
6967:Cambridge University Press
6830:Mathematics of Computation
5343:algebraically closed field
3759:by exchanging, if needed,
3539:{\displaystyle n\times m,}
3049:is similar to a matrix in
212:must satisfy the equation
31:
7143:Elementary Linear Algebra
6569:characteristic polynomial
4952:{\displaystyle \lambda '}
4907:{\displaystyle \lambda '}
4497:{\displaystyle n\times n}
3913:{\displaystyle n\times n}
3637:{\displaystyle n\times n}
3588:{\displaystyle m\times m}
3490:{\displaystyle m\times n}
3120:{\displaystyle n\times n}
2491:{\displaystyle k\times k}
2097:{\displaystyle n\times n}
1976:{\displaystyle 2\times 2}
1663:(this also holds for the
1553:{\displaystyle n\times n}
852:{\displaystyle (-1)^{n},}
766:{\displaystyle n\times n}
660:{\displaystyle p_{A}(t),}
575:{\displaystyle n\times n}
542:characteristic polynomial
369:{\displaystyle \lambda ,}
81:characteristic polynomial
59:which is invariant under
49:characteristic polynomial
6665:with entries in a field
5334:{\displaystyle p_{A}(t)}
4853:{\displaystyle \lambda }
4192:{\displaystyle \lambda }
3376:For the case where both
1656:{\displaystyle p_{A}(t)}
1527:{\displaystyle p_{A}(t)}
205:{\displaystyle \lambda }
87:of a finite-dimensional
7141:Paul C. Shields (1980)
6921:Advanced linear algebra
6767:CayleyâHamilton theorem
5532:are the eigenvalues of
3752:{\displaystyle n>m,}
2820:CayleyâHamilton theorem
2449:of the coefficients is
1939:{\displaystyle \det(A)}
1863:{\displaystyle t^{n-1}}
97:characteristic equation
6864:Frank, Evelyn (1946).
6731:
6699:
6679:
6659:
6543:
6507:
6447:
6380:
6351:
6280:
6251:
6250:{\displaystyle U^{i},}
6221:
6165:
6138:
6089:
6069:
5784:
5712:
5662:
5638:
5618:
5573:
5549:
5526:
5467:
5335:
5293:
5242:
5222:
5171:
5143:
5082:
5057:
4996:
4953:
4928:
4908:
4883:
4854:
4831:
4684:
4655:
4547:
4527:
4498:
4472:
4442:
4413:
4292:
4265:
4238:
4213:
4193:
4163:
4137:
4100:
4074:
4051:
4014:
3968:
3941:
3914:
3888:
3862:
3842:
3816:
3796:
3773:
3753:
3722:
3638:
3612:
3589:
3563:
3540:
3511:
3491:
3465:
3430:
3410:
3390:
3368:
3307:
3284:
3257:
3235:
3167:
3144:
3121:
3095:
3075:
3043:
3023:
2996:
2972:
2943:
2920:
2896:
2876:
2856:
2836:
2822:states that replacing
2810:
2492:
2466:
2428:
2405:
2381:
2339:
2312:
2288:
2242:
2173:
2118:
2098:
2074:Using the language of
2066:
2000:
1977:
1940:
1911:
1864:
1831:
1804:
1735:
1712:polynomial expressions
1704:
1684:
1657:
1617:
1597:
1574:
1554:
1528:
1485:
1286:
1166:
1143:
1057:
970:
897:
873:
853:
814:
767:
741:
721:
661:
622:
599:
576:
508:
456:
418:, and its determinant
408:
370:
347:
313:
293:
245:
206:
186:
161:
101:determinantal equation
6918:Steven Roman (1992).
6752:Invariants of tensors
6732:
6700:
6680:
6660:
6573:secular perturbations
6544:
6542:{\displaystyle f(U),}
6508:
6448:
6381:
6352:
6281:
6252:
6222:
6166:
6164:{\displaystyle U^{i}}
6139:
6090:
6070:
5785:
5713:
5663:
5639:
5619:
5579:can be decomposed as
5574:
5550:
5527:
5468:
5336:
5294:
5243:
5223:
5172:
5123:
5083:
5037:
4997:
4954:
4929:
4909:
4884:
4855:
4832:
4685:
4656:
4548:
4528:
4499:
4473:
4443:
4441:{\displaystyle x^{k}}
4414:
4293:
4291:{\displaystyle A^{k}}
4266:
4239:
4214:
4194:
4164:
4138:
4101:
4075:
4052:
4015:
3969:
3942:
3915:
3889:
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