3494:
4212:
3844:
3134:
3851:
3499:
2956:
3489:{\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s))-{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}}
4207:{\displaystyle |\Delta '(s)|\leq 2{\big |}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big |}{\Big (}{\big \|}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big \|}\ \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|+{\big |}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big |}{\Big )}}
8668:
along itself. Thus, when two characteristics cross, the function becomes multi-valued resulting in a non-physical solution. Physically, this contradiction is removed by the formation of a shock wave, a tangential discontinuity or a weak discontinuity and can result in non-potential flow, violating
2740:
6399:
3839:{\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-{\big (}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}}
1438:
7092:
6585:
1765:
2745:
1089:
929:
7343:
8319:
5930:
3071:
2318:
1588:
6680:
8458:
5050:
7247:
2571:
6208:
8683:
The direction of the characteristic lines indicates the flow of values through the solution, as the example above demonstrates. This kind of knowledge is useful when solving PDEs numerically as it can indicate which
2403:
6119:
1929:
1248:
6943:
6410:
1253:
2091:
4744:
5308:
5546:
6882:
5632:
6010:
2196:
2566:
4577:
4844:
8215:
2477:
5767:
4675:
1604:
1203:
6200:
8081:
7551:
8620:
4514:
3126:
1985:
7474:
4419:
981:
4335:
7895:
7940:
7789:
7683:
7181:
7138:
796:
9004:
5078:
4872:
2241:
5180:
7598:
2989:
4363:
4242:
2951:{\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s)){\Big )}}
7991:
7258:
9474:
5434:
5381:
5328:
5253:
5233:
5148:
5113:
7396:
6935:
7831:
7637:
708:
8234:
7639:
lie on the same characteristic. Therefore, to determine the general solution, it is enough to find the characteristics by solving the characteristic system of ODEs:
5788:
4597:
4439:
4289:
7718:
4922:
4917:
4789:
4269:
449:
7744:
8666:
8125:
8105:
6763:
6743:
6723:
6703:
4617:
4459:
2994:
1796:
may also depend on the value of the function, but not on any derivatives. The distinction between these two cases is inessential for the discussion here.
1453:
6616:
8363:
2329:
192:
7189:
9095:
6594:
of the differential equation should everywhere be tangent to the graph of the solution. The second order partial differential equation is solved with
6394:{\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}}
1232:
of this vector field. These integral curves are called the characteristic curves of the original partial differential equation and are given by the
734:
9045:
738:
323:
9469:
9021:
8995:
742:
8717:
Zachmanoglou, E. C.; Thoe, Dale W. (1976), "Linear
Partial Differential Equations : Characteristics, Classification, and Canonical Forms",
1433:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\{\frac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\{\frac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}}
364:
9319:
9089:
8757:
7087:{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}
6018:
254:
8968:
6580:{\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.}
1805:
9389:
9246:
9101:
701:
156:
2735:{\displaystyle \Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {X} '(s)\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-U'(s){\Big )}}
575:
229:
6404:
where λ is a constant. Writing these equations more symmetrically, one obtains the
LagrangeâCharpit equations for the characteristic
1998:
773:(ODE). Once the ODE is found, it can be solved along the characteristic curves and transformed into a solution for the original PDE.
4680:
8926:
8908:
8890:
8843:
8726:
8697:
8333:
250:
202:
5258:
2407:
9314:
5452:
9297:
6771:
5577:
318:
237:
212:
8817:
9448:
9234:
5938:
2114:
746:
694:
2484:
629:
354:
9215:
9204:
9181:
2960:
We cannot conclude the above is 0 as we would like, since the PDE only guarantees us that this relationship is satisfied for
770:
730:
272:
182:
369:
9187:
4519:
785:
762:
197:
187:
9304:
8648:
for potential flow in a compressible fluid. Intuitively, we can think of each characteristic line implying a solution to
4794:
1228:
of this vector field with the above normal vector is zero. In other words, the graph of the solution must be a union of
9269:
8156:
644:
495:
398:
285:
207:
9309:
6765:. We want to transform this linear first-order PDE into an ODE along the appropriate curve; i.e. something of the form
5681:
4622:
1760:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}
8988:
330:
245:
9426:
2235:
535:
1106:
9411:
9287:
403:
9053:
9035:
6590:
Geometrically, the method of characteristics in the fully nonlinear case can be interpreted as requiring that the
2322:
We must distinguish between the solutions to the ODE and the solutions to the PDE, which we do not know are equal
506:
6139:
649:
7996:
9396:
9282:
9012:
7479:
500:
408:
9058:
1084:{\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y),-1\right).\,}
562:
8565:
4464:
3076:
1935:
9438:
9416:
9401:
9384:
9292:
9277:
9193:
8140:
7401:
4372:
776:
For the sake of simplicity, we confine our attention to the case of a function of two independent variables
580:
570:
518:
359:
924:{\displaystyle a(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial x}}+b(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial y}}=c(x,y,z).}
9358:
9129:
8981:
4294:
393:
7836:
9406:
9252:
9168:
8148:
7902:
7751:
7645:
7143:
7100:
639:
624:
513:
456:
438:
277:
33:
8973:
5055:
4849:
8476:. Although this is defined using a particular coordinate system, the transformation law relating the
7338:{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}
5153:
9443:
9116:
8784:
8511:
7556:
2963:
525:
461:
434:
4340:
4219:
9210:
9124:
7945:
6133:
557:
542:
443:
307:
146:
113:
104:
5386:
5333:
5313:
5238:
5185:
5118:
5083:
9433:
9374:
8800:
7351:
6890:
6607:
552:
547:
430:
8314:{\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}
7794:
5925:{\displaystyle \sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0}
7603:
9063:
8922:
8904:
8886:
8878:
8839:
8753:
8722:
8685:
8677:
4366:
664:
609:
388:
123:
4582:
4424:
4274:
9379:
9369:
9258:
9226:
8831:
8792:
8350:
7688:
674:
659:
4877:
4749:
4247:
9421:
9364:
9353:
8862:
8626:
8472:
are the fiber coordinates on the cotangent bundle induced by the coordinate differentials
3066:{\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}
2313:{\displaystyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)}
614:
530:
57:
7723:
669:
8788:
9199:
9146:
8746:
8651:
8110:
8090:
6748:
6728:
6708:
6688:
6595:
4602:
4444:
1799:
For a linear or quasilinear PDE, the characteristic curves are given parametrically by
1229:
634:
619:
425:
413:
132:
749:
along which the solution can be integrated from some initial data given on a suitable
9463:
9068:
8866:
8641:
Characteristics are also a powerful tool for gaining qualitative insight into a PDE.
1583:{\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.}
972:
6675:{\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0}
9240:
9157:
9134:
8672:
Characteristics may fail to cover part of the domain of the PDE. This is called a
8453:{\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}
6610:(this example assumes familiarity with PDE notation, and solutions to basic ODEs).
750:
654:
604:
490:
118:
7242:{\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}
5080:. It is a straightforward application of Grönwall's Inequality to show that since
2234:
In the quasilinear case, the use of the method of characteristics is justified by
7476:. That is to say that along the characteristics, the solution is constant. Thus,
1238:
9151:
9029:
8673:
8329:
1225:
722:
62:
8919:
Handbook of Linear
Partial Differential Equations for Engineers and Scientists
8796:
8741:
8645:
6591:
6125:
5045:{\displaystyle |\Delta '(s)|\leq C|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}=C|\Delta (s)|}
679:
17:
8963:
8936:
420:
141:
84:
74:
745:. The method is to reduce a partial differential equation to a family of
1234:
737:, although more generally the method of characteristics is valid for any
9337:
8804:
6114:{\displaystyle \sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.}
5383:
in a larger interval. Thus, so long as the ODE has a solution, we have
95:
90:
79:
8937:"The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws"
8818:"Partial Differential Equations (PDEs)âWolfram Language Documentation"
1924:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))}
9176:
8836:
Nonlinear
Partial Differential Equations for Scientists and Engineers
8087:
In this case, the characteristic lines are straight lines with slope
1771:
8676:, and indicates the solution typically exists only in a weak, i.e.
8625:
Invariantly, a characteristic hypersurface is a hypersurface whose
2398:{\displaystyle \mathbf {X} '(s)=\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))}
1783:
may be functions of the spatial variables only, and independent of
1100:) is equivalent to the geometrical statement that the vector field
8952:(International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education
9331:
9325:
9140:
8719:
Introduction to
Partial Differential Equations with Applications
2086:{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{ds}}=a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u)}
8977:
5310:. Provided the ODE still has a solution in some interval after
4739:{\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\in \Omega }
27:
Technique for solving hyperbolic partial differential equations
4050:
3949:
7252:
which is the left hand side of the PDE we started with. Thus
5303:{\displaystyle U(\varepsilon )=u(\mathbf {X} (\varepsilon ))}
5541:{\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0}
5150:
for as long as this inequality holds. We have some interval
2326:
Letting capital letters be the solutions to the ODE we find
757:
Characteristics of first-order partial differential equation
6877:{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),}
5627:{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.}
4919:
by compactness. From this, we find the above is bounded as
4271:, we can bound this for small times. Choose a neighborhood
765:), the method of characteristics discovers curves (called
8644:
One can use the crossings of the characteristics to find
6005:{\displaystyle {\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0}
2191:{\displaystyle {\frac {du}{ds}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}
2561:{\displaystyle \Delta (s)=|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}}
769:
or just characteristics) along which the PDE becomes an
8964:
8899:
Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002),
8775:
Delgado, Manuel (1997), "The
Lagrange-Charpit Method",
8721:, Baltimore: Williams & Wilkins, pp. 112â152,
8901:
Handbook of First Order
Partial Differential Equations
8838:(2nd ed.), Boston: BirkhĂ€user, pp. 251â276,
8969:
8654:
8568:
8366:
8237:
8159:
8113:
8093:
7999:
7948:
7905:
7839:
7797:
7754:
7726:
7691:
7648:
7606:
7559:
7482:
7404:
7354:
7261:
7192:
7146:
7103:
6946:
6893:
6774:
6751:
6731:
6711:
6691:
6619:
6413:
6211:
6142:
6021:
5941:
5791:
5684:
5580:
5455:
5389:
5336:
5316:
5261:
5241:
5188:
5156:
5121:
5086:
5058:
4925:
4880:
4852:
4797:
4752:
4683:
4625:
4605:
4585:
4522:
4467:
4447:
4427:
4375:
4343:
4297:
4277:
4250:
4222:
3854:
3502:
3137:
3079:
2997:
2966:
2748:
2574:
2487:
2410:
2332:
2244:
2117:
2001:
1938:
1808:
1607:
1456:
1251:
1109:
984:
799:
9005:
Numerical methods for partial differential equations
8498:
is a well-defined function on the cotangent bundle.
4572:{\displaystyle (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))}
1990:
such that the following system of ODEs is satisfied
9346:
9268:
9225:
9167:
9115:
9082:
9044:
9020:
9011:
4839:{\displaystyle \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|\leq M}
8941:Journal of Online Mathematics and Its Applications
8745:
8660:
8614:
8452:
8313:
8210:{\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}
8209:
8119:
8099:
8075:
7985:
7934:
7889:
7825:
7783:
7738:
7712:
7677:
7631:
7592:
7545:
7468:
7390:
7337:
7241:
7175:
7132:
7086:
6929:
6876:
6757:
6737:
6717:
6697:
6674:
6579:
6393:
6194:
6113:
6004:
5924:
5761:
5626:
5540:
5428:
5375:
5322:
5302:
5247:
5227:
5174:
5142:
5107:
5072:
5044:
4911:
4866:
4838:
4783:
4738:
4669:
4611:
4591:
4571:
4508:
4453:
4433:
4413:
4357:
4329:
4283:
4263:
4236:
4206:
3838:
3496:since by the PDE, the last term is 0. This equals
3488:
3120:
3065:
2983:
2950:
2734:
2560:
2471:
2397:
2312:
2190:
2085:
1979:
1923:
1759:
1582:
1432:
1197:
1083:
923:
5762:{\displaystyle u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).}
4670:{\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))\in \Omega }
4199:
3942:
3831:
3580:
3481:
3215:
2943:
2826:
2727:
2652:
8131:Characteristics of linear differential operators
8127:remains constant along any characteristic line.
5330:, we can repeat the argument above to find that
6124:The second equation follows from applying the
1198:{\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,}
8989:
8885:, Providence: American Mathematical Society,
8834:(2005), "Conservation Laws and Shock Waves",
5255:such that this is true. Then, by continuity,
4192:
4095:
3935:
3890:
3824:
3727:
3688:
3587:
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3163:
2819:
2774:
2645:
2600:
2472:{\displaystyle U'(s)=c(\mathbf {X} (s),U(s))}
702:
8:
8921:, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press,
4827:
4798:
4087:
4058:
8555:is called a characteristic hypersurface at
6195:{\displaystyle du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0}
5444:Consider the partial differential equation
9017:
8996:
8982:
8974:
8871:Methods of Mathematical Physics, Volume II
8076:{\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}
5571:are shorthand for the partial derivatives
709:
695:
175:
50:
29:
9475:Hyperbolic partial differential equations
8653:
8573:
8567:
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8425:
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7567:
7558:
7546:{\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}
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7021:
7001:
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6945:
6937:is a characteristic line. First, we find
6892:
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6773:
6750:
6730:
6710:
6690:
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6563:
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6548:
6530:
6528:
6516:
6506:
6491:
6486:
6475:
6464:
6463:
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6417:
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4446:
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4197:
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4190:
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3888:
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3822:
3802:
3779:
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3726:
3725:
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3686:
3666:
3643:
3635:
3600:
3592:
3586:
3585:
3579:
3578:
3572:
3571:
3539:
3527:
3526:
3501:
3480:
3479:
3473:
3472:
3452:
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3371:
3348:
3340:
3334:
3333:
3298:
3272:
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3213:
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3161:
3136:
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2725:
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2552:
2547:
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2151:
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2116:
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2049:
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2002:
2000:
1945:
1937:
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1860:
1835:
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1807:
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1720:
1698:
1680:
1665:
1646:
1633:
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1606:
1539:
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1455:
1372:
1314:
1256:
1252:
1250:
1194:
1108:
1080:
1028:
990:
983:
951:is known, and consider the surface graph
871:
824:
798:
1443:A parametrization invariant form of the
8709:
8637:Qualitative analysis of characteristics
8615:{\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0.}
4509:{\displaystyle U(0)=u(\mathbf {X} (0))}
3121:{\displaystyle U(s)=u(\mathbf {X} (s))}
2238:. The above equation may be written as
2226:) give the characteristics of the PDE.
1980:{\displaystyle u(\mathbf {X} (s))=U(s)}
743:parabolic partial differential equation
590:
341:
263:
221:
164:
131:
103:
53:
39:
32:
8357:defined in these local coordinates by
7469:{\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}
6202:. Manipulating these equations gives
4414:{\displaystyle (\mathbf {X} (s),U(s))}
6132:, and the third follows by taking an
5235:in this interval. Choose the largest
2568:, we find, upon differentiating that
7:
9247:Moving particle semi-implicit method
9158:Weighted essentially non-oscillatory
8770:
8768:
5446:
4330:{\displaystyle \mathbf {X} (0),U(0)}
3848:By the triangle inequality, we have
2108:
1992:
790:
157:List of named differential equations
7890:{\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}}
7398:, the original PDE becomes the ODE
7097:by the chain rule. Now, if we set
5772:Along a solution, differentiating (
230:Dependent and independent variables
9096:Finite-difference frequency-domain
8295:
8291:
8193:
8171:
7935:{\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}
7784:{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}
7678:{\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}
7348:So, along the characteristic line
7320:
7312:
7297:
7289:
7230:
7222:
7207:
7199:
7176:{\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}
7133:{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}
7055:
7047:
7012:
7004:
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6649:
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5605:
5597:
5122:
5087:
5025:
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4733:
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4278:
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3861:
3696:
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3139:
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2750:
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2576:
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1683:
1039:
1031:
1001:
993:
882:
874:
835:
827:
25:
8698:Method of quantum characteristics
8531:, away from the zero section of T
5073:{\displaystyle C\in \mathbb {R} }
4867:{\displaystyle M\in \mathbb {R} }
8948:Streeter, VL; Wylie, EB (1998),
8903:, London: Taylor & Francis,
8688:scheme is best for the problem.
8629:is in the characteristic set of
8224:. In a local coordinate system
5284:
5175:{\displaystyle [0,\varepsilon )}
4971:
4811:
4711:
4688:
4630:
4550:
4527:
4490:
4380:
4345:
4299:
4224:
4171:
4148:
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4071:
4029:
4006:
3998:
3963:
3955:
3902:
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3780:
3739:
3706:
3667:
3644:
3636:
3601:
3593:
3540:
3453:
3430:
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3372:
3349:
3341:
3299:
3273:
3229:
3221:
3175:
3102:
3050:
3033:
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2999:
2974:
2910:
2884:
2840:
2832:
2786:
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2659:
2612:
2515:
2438:
2364:
2356:
2335:
2297:
2280:
2254:
2246:
1946:
365:Carathéodory's existence theorem
9449:Method of fundamental solutions
9235:Smoothed-particle hydrodynamics
7593:{\displaystyle (x_{s},t_{s})\,}
6335:
6257:
2984:{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
1598:Consider now a PDE of the form
747:ordinary differential equations
9470:Partial differential equations
9090:Alternating direction-implicit
8883:Partial Differential Equations
8748:Partial differential equations
8603:
8600:
8594:
8579:
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8431:
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8015:
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8003:
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7801:
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7607:
7586:
7560:
7540:
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7512:
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7448:
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7421:
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7376:
7367:
7361:
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6977:
6971:
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6865:
6859:
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4471:
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4405:
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4390:
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4358:{\displaystyle \mathbf {a} ,c}
4324:
4318:
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4303:
4237:{\displaystyle \mathbf {a} ,c}
4187:
4184:
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4158:
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4126:
4117:
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4103:
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4081:
4075:
4067:
4045:
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4016:
4010:
4002:
3991:
3988:
3982:
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3967:
3959:
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3924:
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3912:
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3898:
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3874:
3868:
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3819:
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3799:
3790:
3784:
3776:
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3719:
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3683:
3680:
3677:
3671:
3663:
3654:
3648:
3640:
3629:
3626:
3620:
3611:
3605:
3597:
3568:
3562:
3553:
3550:
3544:
3536:
3517:
3511:
3469:
3466:
3463:
3457:
3449:
3440:
3434:
3426:
3417:
3414:
3408:
3400:
3388:
3385:
3382:
3376:
3368:
3359:
3353:
3345:
3327:
3324:
3318:
3309:
3303:
3295:
3286:
3283:
3277:
3269:
3257:
3254:
3248:
3239:
3233:
3225:
3203:
3197:
3188:
3185:
3179:
3171:
3152:
3146:
3115:
3112:
3106:
3098:
3089:
3083:
3073:, and we do not yet know that
3060:
3046:
3037:
3029:
3017:
3003:
2978:
2970:
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2935:
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2914:
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1900:
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1713:
1677:
1639:
1571:
1553:
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1512:
1489:
1471:
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1402:
1362:
1344:
1304:
1286:
1191:
1188:
1170:
1161:
1143:
1134:
1116:
1110:
1060:
1048:
1022:
1010:
915:
897:
868:
850:
821:
803:
771:ordinary differential equation
731:partial differential equations
452: / Integral solutions
1:
9102:Finite-difference time-domain
8535:, are the characteristics of
7986:{\displaystyle u(0)=f(x_{0})}
1787:. For it to be quasilinear,
763:partial differential equation
9141:Advection upstream-splitting
6606:As an example, consider the
5429:{\displaystyle u(X(s))=U(s)}
5376:{\displaystyle u(X(s))=U(s)}
5323:{\displaystyle \varepsilon }
5248:{\displaystyle \varepsilon }
5228:{\displaystyle u(X(s))=U(s)}
5143:{\displaystyle \Delta (s)=0}
5108:{\displaystyle \Delta (0)=0}
1594:Linear and quasilinear cases
975:to this surface is given by
784:for the moment. Consider a
733:. Typically, it applies to
496:Exponential response formula
242:Coupled / Decoupled
9152:Essentially non-oscillatory
9135:Monotonic upstream-centered
7391:{\displaystyle (x(s),t(s))}
6930:{\displaystyle (x(s),t(s))}
5774:
2222:
2216:
1096:
729:is a technique for solving
9491:
9412:Infinite difference method
9030:Forward-time central-space
8752:(4th ed.), Springer,
7826:{\displaystyle x(0)=x_{0}}
5675:is any solution, and that
2230:Proof for quasilinear case
1445:LagrangeâCharpit equations
1224:) at every point, for the
1208:is tangent to the surface
9315:PoincarĂ©âSteklov operator
9074:Method of characteristics
8797:10.1137/S0036144595293534
8669:the initial assumptions.
8349:, is the function on the
7632:{\displaystyle (x_{0},0)}
3131:However, we can see that
727:method of characteristics
630:JĂłzef Maria Hoene-WroĆski
576:Undetermined coefficients
485:Method of characteristics
370:CauchyâKowalevski theorem
9332:Tearing and interconnect
9326:Balancing by constraints
8917:Polyanin, A. D. (2002),
8543:defined by the equation
947:Suppose that a solution
355:PicardâLindelöf theorem
349:Existence and uniqueness
9439:Computer-assisted proof
9417:Infinite element method
9205:Gradient discretisation
8522:variable. The zeros of
8141:differentiable manifold
4592:{\displaystyle \Omega }
4434:{\displaystyle \Omega }
4337:small enough such that
4284:{\displaystyle \Omega }
1094:As a result, equation (
761:For a first-order PDE (
581:Variation of parameters
571:Separation of variables
360:Peano existence theorem
9427:PetrovâGalerkin method
9188:Discontinuous Galerkin
8662:
8616:
8454:
8315:
8211:
8121:
8101:
8077:
7987:
7936:
7891:
7827:
7785:
7740:
7714:
7713:{\displaystyle t(0)=0}
7679:
7633:
7594:
7547:
7470:
7392:
7339:
7243:
7177:
7134:
7088:
6931:
6878:
6759:
6739:
6719:
6699:
6676:
6581:
6395:
6196:
6115:
6006:
5926:
5763:
5628:
5542:
5430:
5377:
5324:
5304:
5249:
5229:
5176:
5144:
5109:
5074:
5046:
4913:
4868:
4840:
4785:
4740:
4671:
4613:
4593:
4573:
4510:
4455:
4435:
4415:
4359:
4331:
4285:
4265:
4238:
4208:
3840:
3490:
3122:
3067:
2985:
2952:
2736:
2562:
2473:
2399:
2314:
2192:
2087:
1981:
1925:
1761:
1628:
1584:
1434:
1199:
1085:
925:
650:Carl David Tolmé Runge
193:Differential-algebraic
34:Differential equations
9407:Isogeometric analysis
9253:Material point method
8935:Sarra, Scott (2003),
8663:
8617:
8455:
8316:
8212:
8149:differential operator
8122:
8102:
8078:
7988:
7937:
7892:
7828:
7786:
7741:
7715:
7680:
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7548:
7471:
7393:
7340:
7244:
7178:
7135:
7089:
6932:
6879:
6760:
6740:
6720:
6700:
6677:
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6197:
6116:
6007:
5927:
5764:
5629:
5543:
5431:
5378:
5325:
5305:
5250:
5230:
5177:
5145:
5110:
5075:
5047:
4914:
4912:{\displaystyle s\in }
4869:
4841:
4786:
4784:{\displaystyle s\in }
4741:
4672:
4614:
4594:
4574:
4511:
4456:
4436:
4416:
4360:
4332:
4286:
4266:
4264:{\displaystyle C^{1}}
4239:
4209:
3841:
3491:
3123:
3068:
2986:
2953:
2742:which is the same as
2737:
2563:
2474:
2400:
2315:
2236:Grönwall's inequality
2193:
2088:
1982:
1926:
1762:
1608:
1585:
1435:
1200:
1086:
926:
767:characteristic curves
735:first-order equations
640:Augustin-Louis Cauchy
625:Joseph-Louis Lagrange
457:Numerical integration
439:Exponential stability
302:Relation to processes
9444:Integrable algorithm
9270:Domain decomposition
8873:, Wiley-Interscience
8652:
8566:
8539:. A hypersurface of
8364:
8235:
8157:
8111:
8091:
7997:
7946:
7903:
7837:
7795:
7752:
7724:
7689:
7646:
7604:
7557:
7480:
7402:
7352:
7259:
7190:
7144:
7101:
6944:
6891:
6772:
6749:
6729:
6709:
6689:
6617:
6411:
6209:
6140:
6019:
5939:
5789:
5682:
5578:
5564:where the variables
5453:
5440:Fully nonlinear case
5387:
5334:
5314:
5259:
5239:
5186:
5154:
5119:
5084:
5056:
4923:
4878:
4850:
4795:
4750:
4681:
4623:
4603:
4583:
4520:
4516:, we also have that
4465:
4445:
4425:
4373:
4341:
4295:
4275:
4248:
4220:
3852:
3500:
3135:
3077:
2995:
2964:
2746:
2572:
2485:
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2330:
2242:
2115:
1999:
1936:
1806:
1605:
1454:
1249:
1107:
982:
797:
462:Dirac delta function
198:Integro-differential
9288:Schwarz alternating
9211:Loubignac iteration
8789:1997SIAMR..39..298D
8107:, and the value of
7739:{\displaystyle t=s}
6134:exterior derivative
4619:by continuity. So,
1774:, the coefficients
1770:For this PDE to be
558:Perturbation theory
553:Integral transforms
444:Rate of convergence
310:(discrete analogue)
147:Population dynamics
114:Continuum mechanics
105:Applied mathematics
9434:Validated numerics
8879:Evans, Lawrence C.
8658:
8612:
8450:
8420:
8311:
8269:
8207:
8117:
8097:
8073:
7983:
7932:
7887:
7823:
7781:
7736:
7710:
7675:
7629:
7590:
7543:
7466:
7388:
7335:
7239:
7173:
7130:
7084:
6927:
6874:
6755:
6735:
6715:
6695:
6672:
6608:advection equation
6577:
6391:
6363:
6192:
6161:
6111:
6031:
6002:
5966:
5922:
5879:
5801:
5778:) with respect to
5759:
5624:
5538:
5426:
5373:
5320:
5300:
5245:
5225:
5172:
5140:
5105:
5070:
5042:
4909:
4864:
4836:
4781:
4736:
4667:
4609:
4589:
4569:
4506:
4451:
4431:
4411:
4355:
4327:
4281:
4261:
4234:
4204:
3836:
3486:
3118:
3063:
2981:
2948:
2732:
2558:
2469:
2395:
2310:
2188:
2083:
1977:
1921:
1757:
1580:
1430:
1428:
1195:
1081:
921:
548:Integrating factor
389:Initial conditions
324:Stochastic partial
9457:
9456:
9397:Immersed boundary
9390:Method of moments
9305:NeumannâDirichlet
9298:abstract additive
9283:Fictitious domain
9227:Meshless/Meshfree
9111:
9110:
9013:Finite difference
8832:Debnath, Lokenath
8759:978-0-387-90609-6
8686:finite difference
8678:integral equation
8661:{\displaystyle u}
8395:
8309:
8244:
8120:{\displaystyle u}
8100:{\displaystyle a}
7924:
7773:
7667:
7327:
7304:
7275:
7237:
7214:
7165:
7122:
7082:
7062:
7039:
7019:
6960:
6788:
6758:{\displaystyle t}
6738:{\displaystyle x}
6725:is a function of
6718:{\displaystyle u}
6698:{\displaystyle a}
6664:
6641:
6572:
6538:
6523:
6472:
6452:
6426:
6354:
6345:
6268:
6222:
6152:
6080:
6045:
6022:
5987:
5957:
5951:
5907:
5870:
5858:
5792:
5667:)) be a curve in
5619:
5562:
5561:
4612:{\displaystyle s}
4599:for small enough
4454:{\displaystyle s}
4441:for small enough
4369:. By continuity,
4367:locally Lipschitz
4057:
2212:
2211:
2136:
2107:
2106:
2027:
1705:
1575:
1534:
1493:
1390:
1332:
1274:
1046:
1008:
945:
944:
889:
842:
719:
718:
610:Gottfried Leibniz
501:Finite difference
293:
292:
154:
153:
124:Dynamical systems
16:(Redirected from
9482:
9402:Analytic element
9385:Boundary element
9278:Schur complement
9259:Particle-in-cell
9194:Spectral element
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8332:. The principal
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