6643:
5619:
6638:{\displaystyle {\begin{aligned}|A|&=b_{\{1,2\}}c_{\{3,4\}}-b_{\{1,3\}}c_{\{2,4\}}+b_{\{1,4\}}c_{\{2,3\}}+b_{\{2,3\}}c_{\{1,4\}}-b_{\{2,4\}}c_{\{1,3\}}+b_{\{3,4\}}c_{\{1,2\}}\\&={\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}11&12\\15&16\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&3\\5&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}10&12\\14&16\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&4\\5&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}10&11\\14&15\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&3\\6&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&12\\13&16\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}2&4\\6&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&11\\13&15\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&4\\7&8\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}9&10\\13&14\end{vmatrix}}\\&=-4\cdot (-4)-(-8)\cdot (-8)+(-12)\cdot (-4)+(-4)\cdot (-12)-(-8)\cdot (-8)+(-4)\cdot (-4)\\&=16-64+48+48-64+16=0.\end{aligned}}}
4724:
4151:
7681:
4719:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}\sum _{\tau \in S_{n}:\tau (i)=j}\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n,\tau (n)}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}(-1)^{i+j}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}
3150:
3568:
2820:
1235:
970:
2265:
2889:
3312:
981:
2575:
722:
2035:
5446:
1750:
4892:
3145:{\displaystyle \sigma '(\leftarrow )_{i}={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i+1&\cdots &n&i\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))&n\end{pmatrix}}}
3563:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}\tau ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &n&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n-1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (n))\end{pmatrix}}}
4114:
1230:{\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\&=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{aligned}}}
2815:{\displaystyle \sigma '={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))&n\end{pmatrix}}}
965:{\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\&=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{aligned}}}
2260:{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))\end{pmatrix}}}
456:
233:
5297:
1565:
5286:
5164:
711:
7080:
5558:
5037:
608:
on the size of matrices. It is also of didactic interest for its simplicity and as one of several ways to view and compute the determinant. For large matrices, it quickly becomes inefficient to compute when compared to
5624:
3924:
3701:
3637:
6910:
4771:
986:
727:
3994:
1983:
4156:
341:
118:
4897:
The determinant of this matrix can be computed by using the
Laplace's cofactor expansion along the first two rows as follows. Firstly note that there are 6 sets of two distinct numbers in
4143:
1883:
2464:
336:
113:
1337:
2415:
3248:
2366:
7302:
6946:
3737:
2542:
1845:
1495:
3820:
3770:
3304:
3186:
2856:
2301:
525:
2502:
2881:
2567:
716:
The determinant of this matrix can be computed by using the
Laplace expansion along any one of its rows or columns. For instance, an expansion along the first row yields:
5588:
5441:{\displaystyle \varepsilon ^{\{j,k\},\{p,q\}}=\operatorname {sgn} {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\j&k&p&q\end{bmatrix}},{\text{ where }}p\neq j,q\neq k.}
1806:
1745:{\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{i,j}\cdots b_{n,\tau (n)}=\operatorname {sgn} \tau \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}}
7726:
1451:
7352:
7327:
7259:
7226:
7113:
2027:
1920:
595:
558:
311:
266:
5170:
5048:
1557:
1413:
3271:
2007:
7421:
3983:
3957:
1527:
1383:
627:
6700:
7392:
7372:
7193:
7173:
7153:
7133:
6986:
6966:
6810:
6784:
6764:
6730:
5608:
4747:
1357:
1270:
6991:
5461:
4904:
4887:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}}.}
6818:
3831:
3643:
3579:
7804:
7779:
7694:
4109:{\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,=(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \sigma '\,=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma .}
7476:
1925:
28:
27:
This article is about the expression of a determinant in terms of minors. For the approximation of radial potentials, see
3985:
4729:
from which the result follows. Similarly, the result holds if the index of the outer summation was replaced with
4122:
2883:
is (Notice applying A before B is equivalent to applying inverse of A to the upper row of B in two-line notation)
1862:
1756:
561:
1283:
6652:
because the sum of its first and third column is twice the second column, and hence its determinant is zero.
1244:
because the sum of its first and third column is twice the second column, and hence its determinant is zero.
2420:
3191:
2309:
7830:
459:
75:
2368:. This operation decrements all indices larger than j so that every index fits in the set {1,2,...,n-1}
7835:
6918:
3709:
1811:
1456:
7680:
3775:
3742:
3276:
3158:
2828:
2382:
2273:
472:
2469:
610:
68:
46:
2507:
451:{\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{i,j}m_{i,j}.\end{aligned}}}
228:{\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{i,j}m_{i,j},\end{aligned}}}
7686:
5566:
1776:
7705:
7264:
5281:{\displaystyle c_{\{p,q\}}={\begin{vmatrix}a_{3p}&a_{3q}\\a_{4p}&a_{4q}\end{vmatrix}},}
5159:{\displaystyle b_{\{j,k\}}={\begin{vmatrix}a_{1j}&a_{1k}\\a_{2j}&a_{2k}\end{vmatrix}},}
7800:
7784:
7775:
7457:
6649:
2861:
2547:
1420:
1241:
7809:
7231:
7198:
7085:
2012:
1892:
567:
530:
283:
238:
7461:
1532:
1388:
706:{\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.}
3256:
1992:
7438:
1764:
7437:
The
Laplace expansion is computationally inefficient for high-dimension matrices, with a
7400:
3962:
3936:
1502:
1362:
7332:
7307:
7075:{\displaystyle (-1)^{\left(\sum _{h\in H}h\right)+\left(\sum _{\ell \in L}\ell \right)}}
6663:
7699:
7442:
7377:
7357:
7178:
7158:
7138:
7118:
6971:
6951:
6795:
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6749:
6715:
5593:
4732:
3930:
2304:
1342:
1255:
38:
7824:
7814:
7789:
5553:{\displaystyle |A|=\sum _{H\in S}\varepsilon ^{H,H^{\prime }}b_{H}c_{H^{\prime }},}
17:
5032:{\displaystyle S=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\right\}}
1986:
91:
54:
7676:
604:
The
Laplace expansion is often useful in proofs, as in, for example, allowing
1886:
605:
463:
6648:
As above, it is easy to verify that the result is correct: the matrix is
6905:{\displaystyle |B|=\sum _{L\in S}\varepsilon ^{H,L}b_{H,L}c_{H,L}}
3919:{\displaystyle \tau \,=(j,j+1,\ldots ,n)\sigma '(n,n-1,\ldots ,i)}
975:
Laplace expansion along the second column yields the same result:
3696:{\displaystyle \tau =(\rightarrow )_{j}\sigma '(\leftarrow )_{i}}
3632:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}\tau =\sigma '(\leftarrow )_{i}}
1240:
It is easy to verify that the result is correct: the matrix is
462:
implies the other, since the determinants of a matrix and its
313:
is the determinant of the submatrix obtained by removing the
5575:
5540:
5513:
4757:
Laplace's cofactor expansion can be generalised as follows.
7745:
Walter, Dan; Tytun, Alex (1949). "Elementary problem 834".
4753:
Laplace expansion of a determinant by complementary minors
6370:
6331:
6292:
6253:
6214:
6175:
6136:
6097:
6058:
6019:
5980:
5941:
5355:
5204:
5082:
4786:
3343:
2925:
2595:
2050:
1113:
1068:
1023:
851:
806:
761:
642:
7763:
Stoer
Bulirsch: Introduction to Numerical Mathematics
7708:
7403:
7380:
7360:
7335:
7310:
7267:
7234:
7201:
7181:
7161:
7141:
7121:
7088:
6994:
6974:
6954:
6921:
6821:
6798:
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6752:
6718:
6666:
5622:
5596:
5569:
5464:
5300:
5173:
5051:
4907:
4774:
4735:
4154:
4125:
3997:
3965:
3939:
3834:
3778:
3745:
3712:
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3582:
3315:
3279:
3259:
3194:
3161:
2892:
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2038:
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1995:
1928:
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1505:
1459:
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1345:
1286:
1258:
984:
725:
630:
570:
533:
475:
339:
286:
241:
116:
1978:{\displaystyle \{\tau \in S_{n}\colon \tau (i)=j\}.}
7720:
7415:
7386:
7366:
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7321:
7296:
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7187:
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6980:
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6778:
6758:
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5582:
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5440:
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5031:
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4718:
4137:
4108:
3977:
3951:
3918:
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3731:
3695:
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3298:
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3180:
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2875:
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2021:
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1977:
1914:
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1744:
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1489:
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1331:
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1229:
964:
705:
589:
552:
519:
450:
305:
260:
227:
7464:can yield determinants with a time complexity of
1808:, and a unique and evidently related permutation
344:
121:
5042:By defining the complementary cofactors to be
34:Expression of a determinant in terms of minors
7499:# Base case of recursive function: 1x1 matrix
6948:is the sign of the permutation determined by
8:
7797:Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach
7456:. Alternatively, using a decomposition into
5921:
5909:
5899:
5887:
5874:
5862:
5852:
5840:
5827:
5815:
5805:
5793:
5780:
5768:
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4973:
4967:
4955:
4949:
4937:
4931:
4919:
4138:{\displaystyle \sigma \leftrightarrow \tau }
1969:
1929:
1878:{\displaystyle \sigma \leftrightarrow \tau }
1323:
1299:
7397:This coincides with the theorem above when
6766:an element in it. Then the determinant of
7707:
7402:
7379:
7359:
7334:
7309:
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2101:
2045:
2037:
2014:
1994:
1942:
1927:
1900:
1894:
1864:
1825:
1813:
1778:
1709:
1681:
1668:
1663:
1630:
1611:
1583:
1578:
1567:
1540:
1534:
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1506:
1504:
1458:
1431:
1422:
1396:
1390:
1364:
1344:
1339:For clarity we also label the entries of
1285:
1257:
1108:
1063:
1018:
997:
989:
985:
983:
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569:
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285:
246:
240:
206:
190:
174:
155:
144:
117:
115:
7753:(6). American Mathematical Society: 409.
5291:and the sign of their permutation to be
2303:is a temporary shorthand notation for a
1847:which selects the same minor entries as
1332:{\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}.}
7737:
7568:# Exclude first row and current column.
1499:Consider the terms in the expansion of
7479:code implements the Laplace expansion:
5613:In our explicit example this gives us
2459:{\displaystyle \sigma '(k)=\sigma (k)}
7772:Linear Algebra. A Modern Introduction
7423:. The same thing holds for any fixed
3243:{\displaystyle (n,n-1,\cdots ,i+1,i)}
2361:{\displaystyle (n,n-1,\cdots ,j+1,j)}
78:, which are the determinants of some
7:
3188:is temporary shorthand notation for
6941:{\displaystyle \varepsilon ^{H,L}}
3732:{\displaystyle (\rightarrow )_{j}}
1840:{\displaystyle \sigma \in S_{n-1}}
1490:{\displaystyle 1\leq s,t\leq n-1.}
25:
7155:rows and columns with indices in
3815:{\displaystyle (j,j+1,\cdots ,n)}
3765:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}}
3299:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}}
3181:{\displaystyle (\leftarrow )_{i}}
2851:{\displaystyle (\leftarrow )_{i}}
2410:{\displaystyle \sigma '\in S_{n}}
2296:{\displaystyle (\leftarrow )_{j}}
520:{\displaystyle (-1)^{i+j}m_{i,j}}
7695:Leibniz formula for determinants
7679:
1989:, the explicit relation between
1559:as a factor. Each has the form
3933:can be written respectively as
2825:Now, the operation which apply
2497:{\displaystyle 1\leq k\leq n-1}
560:in the above sum is called the
7005:
6995:
6831:
6823:
6689:
6673:
6579:
6570:
6564:
6555:
6549:
6540:
6534:
6525:
6519:
6510:
6504:
6495:
6489:
6480:
6474:
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6450:
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6429:
6420:
5636:
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5474:
5466:
4684:
4674:
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4406:
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4276:
4254:
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4011:
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3713:
3684:
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3660:
3656:
3653:
3620:
3616:
3613:
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3586:
3583:
3549:
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3540:
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3518:
3513:
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3492:
3483:
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3476:
3456:
3453:
3447:
3441:
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3425:
3420:
3417:
3411:
3405:
3396:
3392:
3389:
3323:
3319:
3316:
3287:
3283:
3280:
3237:
3195:
3169:
3165:
3162:
3126:
3123:
3117:
3111:
3102:
3098:
3095:
3085:
3082:
3070:
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3035:
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3023:
3014:
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3007:
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2705:
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2155:
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2113:
2107:
2098:
2094:
2091:
1960:
1954:
1869:
1789:
1783:
1737:
1725:
1697:
1691:
1646:
1640:
1599:
1593:
1515:
1507:
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1424:
1214:
1205:
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1172:
1163:
998:
990:
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940:
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898:
739:
731:
486:
476:
394:
384:
353:
347:
171:
161:
130:
124:
1:
7747:American Mathematical Monthly
2537:{\displaystyle \sigma '(n)=n}
29:Laplace expansion (potential)
5590:is the complementary set to
3253:the operation which applies
327:Laplace expansion along the
104:Laplace expansion along the
5583:{\displaystyle H^{\prime }}
5039:be the aforementioned set.
1855:determines a corresponding
1851:. Similarly each choice of
7852:
7228:(called the complement of
7135:obtained by deleting from
6786:can be expanded along the
3573:above two are equal thus,
1987:Cauchy's two-line notation
1801:{\displaystyle \tau (i)=j}
98:. Specifically, for every
53:, is an expression of the
26:
7774:. Cengage Learning 2005,
7721:{\displaystyle 3\times 3}
7297:{\displaystyle b_{H',L'}}
7481:
7354:being the complement of
2876:{\displaystyle \sigma '}
2562:{\displaystyle \sigma '}
1859:i.e. the correspondence
1446:{\displaystyle (a_{st})}
7254:{\displaystyle b_{H,L}}
7221:{\displaystyle c_{H,L}}
7108:{\displaystyle b_{H,L}}
3273:first and then applies
2022:{\displaystyle \sigma }
1915:{\displaystyle S_{n-1}}
590:{\displaystyle b_{i,j}}
553:{\displaystyle b_{i,j}}
306:{\displaystyle m_{i,j}}
261:{\displaystyle b_{i,j}}
7810:restricted online copy
7785:restricted online copy
7722:
7417:
7388:
7368:
7348:
7323:
7298:
7255:
7222:
7189:
7169:
7149:
7129:
7109:
7076:
6982:
6962:
6942:
6906:
6806:
6780:
6760:
6726:
6696:
6639:
5604:
5584:
5554:
5455:can be written out as
5442:
5282:
5160:
5033:
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4743:
4720:
4660:
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4139:
4110:
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3953:
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3766:
3733:
3697:
3633:
3564:
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3146:
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2816:
2563:
2538:
2498:
2460:
2411:
2362:
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2261:
2023:
2003:
1979:
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1746:
1553:
1552:{\displaystyle b_{ij}}
1523:
1491:
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1409:
1408:{\displaystyle M_{ij}}
1379:
1353:
1333:
1266:
1231:
966:
707:
591:
554:
521:
452:
383:
307:
262:
229:
160:
7723:
7433:Computational expense
7418:
7389:
7369:
7349:
7324:
7299:
7256:
7223:
7190:
7170:
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7110:
7077:
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6963:
6943:
6907:
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6761:
6727:
6697:
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5605:
5585:
5555:
5443:
5283:
5161:
5034:
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4640:
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4159:
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3954:
3921:
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3734:
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3301:
3268:
3266:{\displaystyle \tau }
3245:
3183:
3147:
2878:
2858:first and then apply
2853:
2817:
2564:
2539:
2499:
2461:
2412:
2363:
2298:
2262:
2024:
2004:
2002:{\displaystyle \tau }
1980:
1917:
1880:
1842:
1803:
1747:
1554:
1524:
1492:
1448:
1410:
1380:
1354:
1334:
1267:
1232:
967:
708:
592:
555:
522:
453:
363:
308:
263:
230:
140:
74:as a weighted sum of
7782:, pp. 265–267 (
7706:
7401:
7378:
7358:
7333:
7308:
7265:
7232:
7199:
7179:
7159:
7139:
7119:
7115:the square minor of
7086:
6992:
6972:
6952:
6919:
6819:
6796:
6770:
6750:
6738:-element subsets of
6716:
6664:
5620:
5594:
5567:
5462:
5298:
5171:
5049:
4905:
4772:
4765:Consider the matrix
4733:
4152:
4123:
3995:
3963:
3937:
3832:
3776:
3743:
3710:
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3580:
3313:
3277:
3257:
3192:
3159:
2890:
2862:
2829:
2576:
2548:
2508:
2470:
2421:
2383:
2375:can be derived from
2310:
2274:
2036:
2013:
1993:
1926:
1893:
1863:
1812:
1777:
1566:
1533:
1503:
1457:
1421:
1389:
1363:
1343:
1284:
1256:
982:
723:
628:
621:Consider the matrix
611:Gaussian elimination
568:
531:
473:
337:
284:
268:is the entry of the
239:
114:
47:Pierre-Simon Laplace
7458:triangular matrices
7416:{\displaystyle k=1}
6792:rows identified by
5451:The determinant of
3978:{\displaystyle n-j}
3952:{\displaystyle n-i}
2379:as follows. Define
1522:{\displaystyle |B|}
1378:{\displaystyle i,j}
7807:, pp. 57–60 (
7718:
7687:Mathematics portal
7413:
7384:
7364:
7347:{\displaystyle L'}
7344:
7322:{\displaystyle H'}
7319:
7294:
7251:
7218:
7195:respectively, and
7185:
7165:
7145:
7125:
7105:
7072:
7061:
7029:
6978:
6958:
6938:
6902:
6853:
6802:
6776:
6756:
6722:
6695:{\displaystyle B=}
6692:
6635:
6633:
6395:
6356:
6317:
6278:
6239:
6200:
6161:
6122:
6083:
6044:
6005:
5966:
5600:
5580:
5550:
5496:
5438:
5400:
5278:
5269:
5156:
5147:
5029:
4884:
4875:
4739:
4716:
4714:
4554:
4343:
4223:
4135:
4119:And since the map
4106:
3975:
3949:
3916:
3812:
3762:
3739:is the inverse of
3729:
3693:
3629:
3560:
3554:
3296:
3263:
3240:
3178:
3142:
3136:
2873:
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2456:
2407:
2358:
2293:
2257:
2251:
2029:can be written as
2019:
1999:
1975:
1912:
1875:
1837:
1798:
1742:
1549:
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1405:
1375:
1349:
1329:
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1227:
1225:
1138:
1093:
1048:
962:
960:
876:
831:
786:
703:
694:
587:
550:
517:
448:
446:
303:
258:
225:
223:
51:cofactor expansion
18:Cofactor expansion
7799:. Springer 2002,
7387:{\displaystyle L}
7367:{\displaystyle H}
7188:{\displaystyle L}
7168:{\displaystyle H}
7148:{\displaystyle B}
7128:{\displaystyle B}
7046:
7014:
6981:{\displaystyle L}
6961:{\displaystyle H}
6838:
6805:{\displaystyle H}
6779:{\displaystyle B}
6759:{\displaystyle H}
6725:{\displaystyle S}
6656:General statement
5603:{\displaystyle H}
5481:
5412:
5411: where
4742:{\displaystyle j}
4526:
4315:
4180:
2569:is expressed as
1359:that compose its
1352:{\displaystyle B}
1265:{\displaystyle B}
325:. Similarly, the
43:Laplace expansion
16:(Redirected from
7843:
7795:Harvey E. Rose:
7764:
7761:
7755:
7754:
7742:
7727:
7725:
7724:
7719:
7689:
7684:
7683:
7668:
7665:
7662:
7659:
7656:
7653:
7650:
7647:
7644:
7641:
7638:
7635:
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7629:
7626:
7623:
7620:
7617:
7614:
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