752:
509:
1265:
Une variété (ou espace) à connexion projective est une variété numérique qui, au voisinage immédiat de chaque point, présente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permettant de raccorder en un seul espace projectif les deux petits morceaux qui entourent deux points
1500:
A variety (or space) with projective connection is a numerical variety which, in the immediate neighbourhood of each point, possesses all the characters of a projective space and is moreover endowed with a law making it possible to connect in a single projective space the two small regions which
1501:
surround two infinitely close points. Analytically, we choose, in a way otherwise arbitrary, a frame defining a projective frame of reference in the projective space attached to each point of the variety. .. The connection between the projective spaces attached to two infinitely close points
747:{\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda &v^{i}\\w_{j}&a_{j}^{i}\end{matrix}}\right),\quad (v^{i})\in {\mathbb {R} }^{1\times n},(w_{j})\in {\mathbb {R} }^{n\times 1},(a_{j}^{i})\in {\mathbb {R} }^{n\times n},\lambda =-\sum _{i}a_{i}^{i}}
420:
1149:
1236:
1045:
896:
1307:
La variété sera dite à "connexion affine" lorsqu'on aura défini, d'une manière d'ailleurs arbitraire, une loi permettant de repérer l'un par rapport à l'autre les espaces affines attachés à deux points
1518:
The variety will be said to "affinely connected" when one defines, in a way otherwise arbitrary, a law making it possible to place the affine spaces, attached to two arbitrary infinitely close points
958:
501:
1485:
780:
448:
350:
318:
819:
291:
189:
110:
259:
169:
1526:
of the variety, in correspondence with each other; this law will make it possible to say that a particular point of the affine space attached to the point
359:
1051:
1279:
définissant un système de coordonnées projectives. ... Le raccord entre les espaces projectifs attachés à deux points infiniment voisins
1155:
964:
1693:
1640:
831:
66:. Rather they are projectively parametrized, meaning that their preferred class of parameterizations is acted upon by the group of
67:
1534:, in such a way that a vector of the first space is parallel or equipollent with the corresponding vector of the second space.
1688:
908:
1672:
1488:
81:
The first step in defining any Cartan connection is to consider the flat case: in which the connection corresponds to the
1381:
1667:
1271:
Analytiquement, on choisira, d'une manière d'ailleurs arbitraire, dans l'espace projectif attaché à chaque point
1450:
423:
117:
40:
1662:
1254:) in a unique manner. Furthermore, an infinitesimal neighborhood of each point is equipped with a class of
28:
456:
1456:
761:
429:
331:
299:
1550:"Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)"
1432:
Cartan's approach was to derive the structural equations from the volume-preserving condition on
1299:
82:
1328:, que tel vecteur du premier espace es parallèle ou équipollent à tel vecteur du second espace.
785:
1636:
1374:
1294:
899:
86:
55:
36:
1618:
1588:
1561:
1320:
de la variété; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine attaché au point
1256:
63:
47:
17:
1342:
1250:
on a manifold in which two nearby points are connected by a line (i.e., an unparametrized
73:
Like an affine connection, projective connections have associated torsion and curvature.
1345:
modelled on projective space, where the latter is viewed as a homogeneous space for PSL(
1658:
1549:
276:
208:
174:
95:
214:
122:
1682:
1576:
51:
415:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}{\mathfrak {l}}(n+1,{\mathbb {R} })}
1389:
321:
451:
1530:
corresponds to a particular point of the affine space attached to the point
59:
1633:
Differential
Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program
1509:
will result analytically in a homographic (projective) transformation. ..
821:. Relative to the matrix representation above, the Maurer-Cartan form of
1609:
Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés",
1144:{\displaystyle da_{j}^{i}+a^{i}\wedge a_{j}+a_{k}^{i}\wedge a_{j}^{k}=0}
1623:
1593:
1566:
46:
The structure of a projective connection is modeled on the geometry of
1287:
se traduira analytiquement par une transformation homographique. ...
1440:+1) so that explicit reference to the Lie algebra was not required.
58:. Much like affine connections, projective connections also define
1231:{\displaystyle da^{i}+\zeta \wedge a^{i}+a^{k}\wedge a_{k}^{i}=0}
1040:{\displaystyle da_{j}+a_{j}\wedge \zeta +a_{j}^{k}\wedge a_{k}=0}
1298:, in which nearby points are thus connected and have an affine
891:{\displaystyle (\xi ,\alpha _{j},\alpha _{j}^{i},\alpha ^{i})}
1324:
correspond à tel point de l'espace affine attaché au point
1302:
which is transported from one to the other (Cartan, 1923):
1487:
can be defined using only the Maurer-Cartan form, by the
898:
satisfying the structural equations (written using the
518:
1459:
1158:
1054:
967:
953:{\displaystyle d\xi +\alpha ^{i}\wedge \alpha _{i}=0}
911:
834:
788:
764:
512:
459:
432:
362:
334:
302:
279:
217:
177:
125:
98:
1554:
92:In the projective setting, the underlying manifold
1479:
1230:
1143:
1039:
952:
890:
813:
774:
746:
495:
442:
414:
344:
312:
285:
253:
183:
163:
104:
1333:In modern language, a projective structure on an
112:of the homogeneous space is the projective space
1384:to the stabilizer of a point in projective space
1449:A point of interest is this last equation is
1423:) is more convenient because it is connected.
8:
1292:This is analogous to Cartan's notion of an
422:. As matrices relative to the homogeneous
1622:
1592:
1577:"Sur les varietes a connexion projective"
1565:
1469:
1458:
1392:induced by these data is an isomorphism.
1216:
1211:
1198:
1185:
1166:
1157:
1129:
1124:
1111:
1106:
1093:
1080:
1067:
1062:
1053:
1025:
1012:
1007:
988:
975:
966:
938:
925:
910:
879:
866:
861:
848:
833:
796:
787:
766:
765:
763:
738:
733:
723:
695:
690:
689:
688:
675:
670:
648:
643:
642:
641:
628:
606:
601:
600:
599:
586:
561:
556:
544:
530:
517:
511:
458:
434:
433:
431:
404:
403:
402:
381:
380:
374:
373:
364:
363:
361:
336:
335:
333:
304:
303:
301:
278:
216:
176:
152:
133:
124:
97:
1601:Hermann, R., Appendix 1-3 in Cartan, E.
1400:
1605:, Math Sci Press, Massachusetts, 1983.
77:Projective space as the model geometry
7:
782:consists of all these matrices with
1581:Bulletin de la Société Mathématique
767:
435:
382:
375:
365:
337:
305:
62:. However, these geodesics are not
1242:Projective structures on manifolds
25:
1453:, which means that the fibres of
496:{\displaystyle (n+1)\times (n+1)}
68:fractional linear transformations
1480:{\displaystyle G\rightarrow G/H}
1407:It is also possible to use PGL(
1260:. According to Cartan (1924),
775:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
578:
443:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
345:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
313:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1463:
1353:). In other words it is a PSL(
885:
835:
802:
789:
681:
663:
634:
621:
592:
579:
490:
478:
472:
460:
409:
387:
248:
218:
158:
126:
1:
1635:. Springer-Verlag, New York.
1603:Geometry of Riemannian Spaces
1489:Frobenius integration theorem
900:Einstein summation convention
1382:reduction of structure group
1246:A projective structure is a
116:which we shall represent by
18:Complex projective structure
1668:Encyclopedia of Mathematics
1710:
814:{\displaystyle (w_{j})=0}
1694:Connection (mathematics)
1266:infiniment voisins. ...
293:as a homogeneous space.
171:. The symmetry group of
1663:"Projective connection"
1361:)-bundle equipped with
118:homogeneous coordinates
41:differentiable manifold
1481:
1232:
1145:
1041:
954:
892:
815:
776:
748:
497:
444:
416:
346:
314:
287:
255:
185:
165:
106:
1689:Differential geometry
1631:Sharpe, R.W. (1997).
1575:Cartan, Élie (1924).
1548:Cartan, Élie (1923).
1482:
1451:completely integrable
1233:
1146:
1042:
955:
893:
816:
777:
749:
498:
445:
417:
347:
315:
288:
256:
186:
166:
107:
64:affinely parametrized
33:projective connection
29:differential geometry
1457:
1156:
1052:
965:
909:
832:
786:
762:
510:
457:
430:
360:
332:
300:
277:
215:
175:
123:
96:
54:corresponding to an
1221:
1134:
1116:
1072:
1017:
871:
743:
680:
566:
1624:10.1007/BF02629755
1594:10.24033/bsmf.1053
1567:10.24033/asens.751
1477:
1373:)-connection (the
1310:infiniment voisins
1300:frame of reference
1275:de la variété, un
1228:
1207:
1141:
1120:
1102:
1058:
1037:
1003:
950:
888:
857:
811:
772:
744:
729:
728:
666:
569:
552:
493:
440:
412:
342:
310:
283:
251:
181:
161:
102:
83:Maurer-Cartan form
50:, rather than the
1375:Cartan connection
1295:affine connection
1257:projective frames
719:
286:{\displaystyle M}
184:{\displaystyle M}
105:{\displaystyle M}
87:homogeneous space
56:affine connection
37:Cartan connection
16:(Redirected from
1701:
1675:
1646:
1627:
1626:
1611:Acta Mathematica
1598:
1596:
1571:
1569:
1535:
1516:
1510:
1498:
1492:
1486:
1484:
1483:
1478:
1473:
1447:
1441:
1430:
1424:
1405:
1237:
1235:
1234:
1229:
1220:
1215:
1203:
1202:
1190:
1189:
1171:
1170:
1150:
1148:
1147:
1142:
1133:
1128:
1115:
1110:
1098:
1097:
1085:
1084:
1071:
1066:
1046:
1044:
1043:
1038:
1030:
1029:
1016:
1011:
993:
992:
980:
979:
959:
957:
956:
951:
943:
942:
930:
929:
897:
895:
894:
889:
884:
883:
870:
865:
853:
852:
820:
818:
817:
812:
801:
800:
781:
779:
778:
773:
771:
770:
753:
751:
750:
745:
742:
737:
727:
706:
705:
694:
693:
679:
674:
659:
658:
647:
646:
633:
632:
617:
616:
605:
604:
591:
590:
574:
570:
565:
560:
549:
548:
535:
534:
502:
500:
499:
494:
449:
447:
446:
441:
439:
438:
421:
419:
418:
413:
408:
407:
386:
385:
379:
378:
369:
368:
351:
349:
348:
343:
341:
340:
319:
317:
316:
311:
309:
308:
292:
290:
289:
284:
260:
258:
257:
254:{\displaystyle }
252:
190:
188:
187:
182:
170:
168:
167:
164:{\displaystyle }
162:
157:
156:
138:
137:
111:
109:
108:
103:
48:projective space
21:
1709:
1708:
1704:
1703:
1702:
1700:
1699:
1698:
1679:
1678:
1657:
1654:
1649:
1643:
1630:
1608:
1574:
1547:
1543:
1538:
1517:
1513:
1499:
1495:
1455:
1454:
1448:
1444:
1431:
1427:
1406:
1402:
1398:
1343:Cartan geometry
1248:linear geometry
1244:
1194:
1181:
1162:
1154:
1153:
1089:
1076:
1050:
1049:
1021:
984:
971:
963:
962:
934:
921:
907:
906:
875:
844:
830:
829:
825:is a system of
792:
784:
783:
760:
759:
687:
640:
624:
598:
582:
568:
567:
550:
540:
537:
536:
526:
524:
513:
508:
507:
455:
454:
428:
427:
358:
357:
330:
329:
298:
297:
275:
274:
213:
212:
173:
172:
148:
129:
121:
120:
94:
93:
79:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
1707:
1705:
1697:
1696:
1691:
1681:
1680:
1677:
1676:
1653:
1652:External links
1650:
1648:
1647:
1641:
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1606:
1599:
1572:
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1539:
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1536:
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1493:
1476:
1472:
1468:
1465:
1462:
1442:
1425:
1399:
1397:
1394:
1388:such that the
1386:
1385:
1378:
1331:
1330:
1290:
1289:
1268:
1243:
1240:
1239:
1238:
1227:
1224:
1219:
1214:
1210:
1206:
1201:
1197:
1193:
1188:
1184:
1180:
1177:
1174:
1169:
1165:
1161:
1151:
1140:
1137:
1132:
1127:
1123:
1119:
1114:
1109:
1105:
1101:
1096:
1092:
1088:
1083:
1079:
1075:
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1065:
1061:
1057:
1047:
1036:
1033:
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1020:
1015:
1010:
1006:
1002:
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996:
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978:
974:
970:
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946:
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924:
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917:
914:
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856:
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843:
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804:
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769:
756:
755:
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