4457:
4254:
3427:
4259:
2709:
222:
4073:
3868:
3272:
2886:
2548:
2222:
84:
4452:{\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}
2413:
89:
3687:
622:
4249:{\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}
2794:
720:
2958:
2083:
4068:
1515:
3099:
3647:
1384:
3422:{\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}
539:
4008:
3587:
1668:
1588:
2704:{\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}
1105:
2288:
217:{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (additivity) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (conjugate homogeneity) }}\\\end{alignedat}}}
373:, where it is customary to replace the bars over the basis vectors and the components of geometric objects by dots put above the indices. Scalar-valued antilinear maps often arise when dealing with
3046:
803:
1770:
2078:
3534:
2502:
550:
2785:
1435:
1013:
3267:
1702:
3488:
3192:
2999:
3958:
2028:
1936:
1622:
1194:
922:
1250:
3683:
2742:
2543:
856:
2450:
655:
307:
1272:
1148:
965:
3921:
3454:
3229:
3158:
2260:
754:
254:
67:
3863:{\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}
1466:
1277:
2283:
1899:
1848:
1538:
334:
280:
3890:
3127:
2470:
1987:
1964:
1868:
1818:
1462:
888:
823:
646:
453:
430:
3649:) is consistent with the dual norm (that is, as defined above by the supremum over the unit ball); explicitly, this means that the following holds for every
2891:
464:
2881:{\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}
4013:
3051:
1627:
3592:
1018:
2217:{\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}
4641:
4554:
4488:
1707:
3963:
4622:
4607:
3589:
are antilinear in their second arguments. Moreover, the canonical norm induced by this inner product (that is, the norm defined by
1542:
3539:
1673:
4668:
4467:
4479:
1593:
826:
3004:
762:
893:
4510:
1199:
4678:
2033:
3493:
2475:
2408:{\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}
1389:
2747:
970:
3235:
3459:
3163:
2974:
1871:
1781:
4673:
3926:
1996:
1904:
1150:
We can extend this to any finite dimensional complex vector space, where if we write out the standard basis
35:
1153:
3199:
2233:
543:
405:
351:
4629:
3652:
2714:
1517:
is a special example because it is isomorphic to the real dual of the underlying real vector space of
831:
617:{\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}
4505:
2507:
2428:
370:
285:
70:
4493:
3893:
3130:
377:
1255:
1110:
927:
3899:
3432:
3207:
3136:
2238:
4647:
4637:
4618:
4603:
4560:
4550:
4549:. Herbert Lange (Second, augmented ed.). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.
4516:
4473:
3195:
2423:
727:
362:
355:
310:
227:
40:
1823:
347:
339:
2265:
1881:
1830:
1520:
715:{\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}
316:
262:
3875:
3112:
2455:
1972:
1949:
1853:
1803:
1789:
1447:
873:
808:
631:
438:
415:
374:
257:
4662:
2965:
2953:{\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}
2788:
381:
1990:
457:
401:
343:
890:
of rank 1, we can construct an anti-linear dual map which is an anti-linear map
625:
31:
17:
4063:{\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}
1510:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}
4522:
4499:
3094:{\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}
1785:
757:
366:
4651:
4564:
3642:{\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}
2228:
1670:
In the other direction, there is the inverse map sending a real dual vector
1379:{\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}
4544:
2961:
4496: – Generalization of the dot product; used to define Hilbert spaces
534:{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}
4003:{\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}
624:
In contrast, a linear map is a function that is additive and
4441:
4404:
4353:
4305:
4241:
4211:
4167:
4126:
4050:
3993:
3942:
3908:
3848:
3806:
3766:
3667:
3630:
3582:{\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}
3572:
3519:
3475:
3441:
3412:
3373:
3330:
3298:
3251:
3216:
3179:
3145:
3086:
3066:
3033:
3013:
2945:
2932:
2838:
2818:
2769:
2729:
2694:
2655:
2616:
2568:
2397:
2308:
2247:
2206:
2110:
2060:
2012:
1993:
then the canonical norm on the (continuous) anti-dual space
1920:
1663:{\displaystyle \operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R} }
1583:{\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).}
4578:
4576:
4574:
1800:
The vector space of all antilinear forms on a vector space
1100:{\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}
4484:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
4016:
3966:
3929:
3595:
3542:
3496:
2750:
2510:
2036:
1999:
1907:
4262:
4076:
3902:
3878:
3690:
3655:
3462:
3435:
3275:
3238:
3210:
3166:
3139:
3115:
3054:
3041:{\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}
3007:
2977:
2894:
2797:
2717:
2551:
2478:
2458:
2431:
2291:
2268:
2241:
2086:
1975:
1952:
1884:
1856:
1833:
1806:
1710:
1676:
1630:
1596:
1545:
1523:
1469:
1450:
1392:
1280:
1258:
1202:
1156:
1113:
1021:
973:
930:
896:
876:
834:
811:
765:
730:
658:
634:
553:
467:
441:
418:
319:
288:
265:
230:
87:
43:
4634:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
1590:
This is given by the map sending an anti-linear map
798:{\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}
1765:{\displaystyle \ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}
4451:
4248:
4062:
4002:
3952:
3915:
3884:
3862:
3677:
3641:
3581:
3528:
3482:
3448:
3421:
3261:
3223:
3186:
3152:
3121:
3093:
3040:
2993:
2952:
2880:
2779:
2736:
2703:
2537:
2496:
2464:
2444:
2407:
2277:
2254:
2216:
2072:
2022:
1981:
1958:
1930:
1893:
1862:
1842:
1812:
1764:
1696:
1662:
1616:
1582:
1532:
1509:
1456:
1429:
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1266:
1244:
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1142:
1099:
1007:
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916:
882:
850:
817:
797:
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714:
640:
616:
533:
447:
424:
328:
301:
274:
248:
216:
61:
4625:. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
4610:. (antilinear maps are discussed in section 3.3).
4513: – Theorem about the dual of a Hilbert space
3269:which this article will denote by the notations
2418:Canonical isometry between the dual and anti-dual
2226:This formula is identical to the formula for the
4502: – Mathematical function, in linear algebra
4476: – Fundamental operation on complex numbers
3692:
2787:This says exactly that the canonical antilinear
2325:
2127:
2073:{\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}
1444:The anti-linear dual of a complex vector space
3529:{\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}
1440:Isomorphism of anti-linear dual with real dual
756:may be equivalently described in terms of the
2497:{\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}
358:then antilinearity is the same as linearity.
8:
4388:
4369:
4337:
4318:
4296:
4263:
4202:
4183:
4158:
4139:
4110:
4077:
4034:
4017:
3984:
3967:
3839:
3826:
3797:
3784:
3757:
3750:
3702:
3696:
3556:
3543:
3510:
3497:
3396:
3383:
3357:
3344:
3321:
3308:
3289:
3276:
2780:{\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}
2678:
2671:
2559:
2552:
2335:
2329:
2299:
2292:
2137:
2131:
2094:
2087:
2044:
2037:
1430:{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .}
1008:{\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }
3896:then the inner products on the dual space
3262:{\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}
1792:generalizes the class of antilinear maps.
1697:{\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }
4525: – Time reversal symmetry in physics
4519: – Generalization of a bilinear form
4440:
4430:
4412:
4403:
4393:
4391:
4386:
4382:
4377:
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4340:
4335:
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4325:
4321:
4315:
4304:
4299:
4294:
4284:
4283:
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4267:
4266:
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4240:
4219:
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4205:
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4196:
4191:
4190:
4186:
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4161:
4156:
4152:
4147:
4146:
4142:
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4125:
4115:
4113:
4108:
4098:
4097:
4092:
4091:
4081:
4080:
4075:
4049:
4039:
4037:
4032:
4028:
4024:
4020:
4015:
3992:
3987:
3982:
3978:
3974:
3970:
3965:
3941:
3931:
3928:
3907:
3901:
3877:
3847:
3842:
3824:
3805:
3800:
3782:
3765:
3760:
3742:
3725:
3695:
3689:
3666:
3654:
3629:
3624:
3602:
3594:
3571:
3561:
3559:
3541:
3518:
3513:
3495:
3490:into Hilbert spaces. The inner products
3483:{\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}
3474:
3464:
3461:
3440:
3434:
3411:
3401:
3399:
3372:
3362:
3360:
3338:
3329:
3324:
3297:
3292:
3274:
3250:
3240:
3237:
3215:
3209:
3187:{\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}
3178:
3168:
3165:
3144:
3138:
3114:
3085:
3075:
3065:
3053:
3032:
3022:
3012:
3006:
2994:{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }
2987:
2986:
2979:
2978:
2976:
2944:
2931:
2921:
2899:
2893:
2868:
2844:
2837:
2827:
2817:
2796:
2768:
2758:
2749:
2728:
2716:
2693:
2683:
2681:
2654:
2649:
2635:
2624:
2615:
2605:
2603:
2589:
2567:
2562:
2550:
2511:
2509:
2477:
2457:
2432:
2430:
2396:
2381:
2375:
2358:
2328:
2307:
2302:
2290:
2267:
2246:
2240:
2205:
2195:
2183:
2177:
2160:
2130:
2109:
2099:
2097:
2085:
2080:is defined by using this same equation:
2059:
2049:
2047:
2035:
2011:
2001:
1998:
1974:
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1570:
1569:
1554:
1553:
1552:
1547:
1544:
1522:
1500:
1499:
1477:
1476:
1474:
1468:
1449:
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1419:
1410:
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1360:
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2023:{\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}
1931:{\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}
1617:{\displaystyle \ell :V\to \mathbb {C} }
4582:
4636:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
4489:Fundamental theorem of Hilbert spaces
338:Antilinear maps stand in contrast to
7:
432:is a scalar-valued antilinear map.
1252:then an anti-linear complex map to
1196:and each standard basis element as
1189:{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
917:{\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }
207: (conjugate homogeneity)
4617:Cambridge University Press, 1985.
3101:reduces down to the identity map.
1245:{\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}
27:Conjugate homogeneous additive map
25:
3678:{\displaystyle f\in X^{\prime }:}
388:Definitions and characterizations
3133:then both the canonical norm on
2737:{\displaystyle f\in X^{\prime }}
2538:{\textstyle {\overline {f(x)}}.}
851:{\displaystyle {\overline {W}}.}
4411:
4218:
3429:where this inner product makes
3343:
3337:
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2629:
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2445:{\displaystyle {\overline {f}}}
2380:
2182:
1874:, then the vector space of all
692:
594:
516:
302:{\displaystyle {\overline {s}}}
204:
147:
4598:Budinich, P. and Trautman, A.
4543:Birkenhake, Christina (2004).
4480:Complex conjugate vector space
4378:
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1966:if no confusion can arise.
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1784:of two antilinear maps is a
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4482: – Mathematics concept
4470: – Functional equation
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3204:canonical inner product on
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2255:{\displaystyle X^{\prime }}
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695: for all vectors
605: and all scalars
597: for all vectors
519: for all vectors
354:. If the vector spaces are
4695:
1940:continuous anti-dual space
1878:antilinear functionals on
4602:. Springer-Verlag, 1988.
4546:Complex Abelian Varieties
361:Antilinear maps occur in
4600:The Spinorial Chessboard
3960:denoted respectively by
3923:and the anti-dual space
3202:can be used to define a
1872:topological vector space
1772:giving the desired map.
749:{\displaystyle f:V\to W}
249:{\displaystyle x,y\in V}
150: (additivity)
62:{\displaystyle f:V\to W}
3198:, which means that the
3048:and this canonical map
2888:as well as its inverse
4669:Functions and mappings
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4414: for all
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3894:inner product space
3131:inner product space
924:sending an element
541:while it is called
4679:Types of functions
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