48:
1178:
959:
acts on the 23-dimensional even integral lattice with no roots of determinant 4, given as a sublattice of the Leech lattice orthogonal to a norm 4 vector. Over the field with 2 elements it has a 22-dimensional faithful representation; this is the smallest faithful representation over any field.
1015:
966:
showed that if a finite group has an absolutely irreducible faithful rational representation of dimension 23 and has no subgroups of index 23 or 24 then it is contained in either
493:
468:
431:
1220:
by then negating the vector. Also included are diagonal involutions corresponding to octads (trace 8), 16-sets (trace -8), and dodecads (trace 0). It can be shown that Co
1173:{\displaystyle {\mathbf {1} /2}\left({\begin{matrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{matrix}}\right)}
2820:
2928:, Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969., Boston, MA:
1224:
has just 3 conjugacy classes of involutions. η leaves (4,-4,0,0) unchanged; the block sum ζ provides a non-monomial generator completing this representation of Co
795:
353:
3212:
3136:
3095:
3060:
2989:
2937:
303:
3052:
788:
298:
1383:
symmetry/reflection group of coplanar hexagon of 6 type 2 points; fixes one hexagon in a rank 3 permutation representation of Co
714:
1306:
Some maximal subgroups fix or reflect 2-dimensional sublattices of the Leech lattice. It is usual to define these planes by
781:
1312:: triangles including the origin as a vertex, with edges (differences of vertices) being vectors of types h, k, and l.
3307:
398:
212:
952:
on 2300 points. These points can be identified with planar hexagons in the Leech lattice having 6 type 2 vertices.
1434:
3302:
949:
929:
596:
330:
207:
95:
3087:
746:
536:
1491:
823:
620:
2829:
1719:
are shown. The names of conjugacy classes are taken from the Atlas of Finite Group
Representations.
1387:
on 2300 such hexagons. Under this subgroup the hexagons are split into orbits of 1, 891, and 1408. Fi
827:
560:
548:
166:
100:
135:
30:
476:
451:
414:
3155:
3077:
2972:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3rd ed.), Berlin, New York:
2959:
2915:
2876:
2815:
891:
879:
120:
92:
3208:
3172:
3132:
3091:
3056:
3026:
2985:
2933:
2896:
2865:
1606:
1420:
1400:
691:
525:
368:
262:
2818:(1968), "A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups",
3218:
3200:
3164:
3124:
3018:
2977:
2888:
2855:
2837:
925:
676:
668:
660:
652:
644:
632:
572:
512:
502:
344:
286:
161:
130:
3184:
3146:
3105:
3070:
3038:
2999:
2947:
2908:
2851:
3222:
3196:
3180:
3142:
3120:
3101:
3066:
3034:
2995:
2973:
2943:
2904:
2847:
760:
753:
739:
696:
584:
507:
337:
251:
191:
71:
3253:
2833:
2929:
767:
703:
393:
373:
310:
275:
196:
186:
171:
156:
110:
87:
2860:
3296:
3168:
2919:
1360:
1268:
994:
933:
895:
686:
608:
442:
315:
181:
3283:
3112:
1307:
1199:
903:
899:
809:
541:
240:
229:
176:
151:
146:
105:
76:
39:
20:
3274:
3269:
3081:
3080:; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, R. T.; Wilson, Robert A. (1985),
3046:
2967:
2923:
3006:
2963:
3022:
2821:
Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United States of America
1187:
has a convenient matrix representation inside the standard representation of Co
3204:
3128:
2981:
708:
436:
3176:
3030:
2900:
529:
2869:
2892:
2842:
1212:= (4,-4,0). A monomial and maximal subgroup includes a representation of M
47:
1507:
fixes a 2-3-3 triangle or exchanges its type 3 vertices with sign change
1005:
and one representation, in permutation matrices, fixes the type 2 vector
66:
3153:
Wilson, Robert A. (1983), "The maximal subgroups of Conway's group ·2",
408:
322:
3195:, Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlin, New York:
19:
For general background and history of the Conway sporadic groups, see
3048:
From error-correcting codes through sphere packings to simple groups
1715:
Traces of matrices in a standard 24-dimensional representation of Co
2918:(1971), "Three lectures on exceptional groups", in Powell, M. B.;
1216::2, where any α interchanging the first 2 co-ordinates restores
1722:
Centralizers of unknown structure are indicated with brackets.
1247:= (1,-3,1) are vertices of a 2-2-2 triangle (vide infra). Then
1263:, and their negatives form a coplanar hexagon fixed by ζ and M
1290:
is transitive on type 2 points, so that a 23-cycle fixing
1231:
There is an alternate way to construct the stabilizer of
878:
is one of the 26 sporadic groups and was discovered by (
3119:, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York:
3009:(1974), "On integral representations of finite groups",
1318:
found the 11 conjugacy classes of maximal subgroups of
1183:
and 5 copies of -η also fixes the same vector. Hence Co
2879:(1969), "A group of order 8,315,553,613,086,720,000",
1039:
1018:
479:
454:
417:
1483:
centralizer of an involution of class 2A (trace -8)
1191:. The trace of ζ is -8, while the involutions in M
1172:
487:
462:
425:
1205:if and only if the number of copies of η is odd.
3051:, Carus Mathematical Monographs, vol. 21,
2881:The Bulletin of the London Mathematical Society
1704:normalizer of a subgroup of order 5 (class 5A)
1671:normalizer of a subgroup of order 3 (class 3A)
1419:has monomial representation described above; 2:
3011:Proceedings of the London Mathematical Society
1009:= (-3,1). A block sum ζ of the involution η =
1198:A 24-dimensional block sum of η and -η is in
789:
8:
2952:
1391:fixes a 2-2-2 triangle defining the plane.
796:
782:
234:
60:
25:
3284:Atlas of Finite Group Representations: Co
3275:Atlas of Finite Group Representations: Co
2859:
2841:
1543:centralizer of an involution of class 2B
1038:
1025:
1020:
1019:
1017:
1001:is isomorphic to a maximal subgroup of Co
481:
480:
478:
456:
455:
453:
419:
418:
416:
1724:
1327:
1208:Another representation fixes the vector
3234:
808:In the area of modern algebra known as
352:
118:
28:
3241:
1315:
1278:(2). α (vide supra) extends this to Fi
909:. It is isomorphic to a subgroup of Co
887:
883:
354:Classification of finite simple groups
7:
2969:Sphere Packings, Lattices and Groups
963:
833: 42,305,421,312,000
3053:Mathematical Association of America
1298:, and the generation is completed.
14:
1021:
46:
715:Infinite dimensional Lie group
1:
898:Λ fixing a lattice vector of
3169:10.1016/0021-8693(83)90069-8
3045:Thompson, Thomas M. (1983),
488:{\displaystyle \mathbb {Z} }
463:{\displaystyle \mathbb {Z} }
426:{\displaystyle \mathbb {Z} }
1698:
1665:
1618:
1593:
1565:
1537:
1501:
1477:
1443:
1413:
1377:
902:. It is thus a subgroup of
213:List of group theory topics
3324:
3191:Wilson, Robert A. (2009),
1282::2, which is maximal in Co
18:
3254:"ATLAS: Conway group Co2"
3205:10.1007/978-1-84800-988-2
3193:The finite simple groups.
3129:10.1007/978-3-662-03516-0
2982:10.1007/978-1-4757-2016-7
2953:Conway & Sloane (1999
2682:
2560:
2506:
1267:; these generate a group
913:. The direct product 2×Co
3270:MathWorld: Conway Groups
3023:10.1112/plms/s3-29.4.633
1426:fixes a 2-2-4 triangle.
950:rank 3 permutation group
930:outer automorphism group
331:Elementary abelian group
208:Glossary of group theory
3088:Oxford University Press
1624:fixes a 2-3-4 triangle
1449:fixes a 2-2-3 triangle
1294:has a conjugate fixing
3117:Twelve sporadic groups
3083:Atlas of finite groups
1174:
892:group of automorphisms
868:History and properties
747:Linear algebraic group
489:
464:
427:
3113:Griess, Robert L. Jr.
2843:10.1073/pnas.61.2.398
1329:Maximal subgroups of
1175:
824:sporadic simple group
490:
465:
428:
16:Sporadic simple group
2932:, pp. 215–247,
2925:Finite simple groups
1731:Order of centralizer
1616:= 2·3·5·7·11·23
1016:
477:
452:
415:
3078:Conway, John Horton
2960:Conway, John Horton
2916:Conway, John Horton
2893:10.1112/blms/1.1.79
2877:Conway, John Horton
2834:1968PNAS...61..398C
2816:Conway, John Horton
1336:
121:Group homomorphisms
31:Algebraic structure
3308:John Horton Conway
3156:Journal of Algebra
2964:Sloane, Neil J. A.
1701:= 2·3·7·11·23
1668:= 2·5·7·11·23
1596:= 3·5·7·11·23
1540:= 2·3·5·11·23
1328:
1170:
1164:
597:Special orthogonal
485:
460:
423:
304:Lagrange's theorem
3214:978-1-84800-987-5
3138:978-3-540-62778-4
3097:978-0-19-853199-9
3062:978-0-88385-023-7
2991:978-0-387-98585-5
2939:978-0-12-563850-0
2806:
2805:
2683:power equivalent
2561:power equivalent
2507:power equivalent
1711:Conjugacy classes
1708:
1707:
1499:= 2·3·5·7·11
1441:= 2·3·5·7·11
1411:= 2·3·5·7·11
1375:= 2·3·5·7·11
1302:Maximal subgroups
806:
805:
381:
380:
263:Alternating group
220:
219:
3315:
3258:
3257:
3250:
3244:
3239:
3225:
3187:
3149:
3108:
3073:
3041:
3013:, Third Series,
3002:
2950:
2911:
2872:
2863:
2845:
1725:
1687:
1686:
1654:
1653:
1652:
1642:
1641:
1640:
1568:= 2·5·11·23
1526:
1525:
1524:
1480:= 3·5·11·23
1465:
1464:
1337:
1179:
1177:
1176:
1171:
1169:
1165:
1033:
1029:
1024:
926:Schur multiplier
917:is maximal in Co
862:
798:
791:
784:
740:Algebraic groups
513:Hyperbolic group
503:Arithmetic group
494:
492:
491:
486:
484:
469:
467:
466:
461:
459:
432:
430:
429:
424:
422:
345:Schur multiplier
299:Cauchy's theorem
287:Quaternion group
235:
61:
50:
37:
26:
3323:
3322:
3318:
3317:
3316:
3314:
3313:
3312:
3303:Sporadic groups
3293:
3292:
3287:
3278:
3266:
3261:
3252:
3251:
3247:
3240:
3236:
3215:
3197:Springer-Verlag
3190:
3152:
3139:
3121:Springer-Verlag
3111:
3098:
3076:
3063:
3044:
3005:
2992:
2974:Springer-Verlag
2958:
2940:
2914:
2875:
2814:
2811:
2481:
2316:
2296:
2276:
2256:
2140:
2072:
2019:
1999:
1899:
1878:
1857:
1837:
1816:
1796:
1775:
1755:
1718:
1713:
1700:
1695:
1691:
1685:
1682:
1681:
1680:
1667:
1662:
1658:
1651:
1648:
1647:
1646:
1644:
1639:
1636:
1635:
1634:
1632:
1620:
1615:
1610:
1595:
1590:
1585:
1581:
1567:
1562:
1558:
1554:
1539:
1534:
1530:
1523:
1520:
1519:
1518:
1516:
1503:
1498:
1479:
1474:
1469:
1463:
1460:
1459:
1458:
1445:
1440:
1424:
1415:
1410:
1404:
1390:
1386:
1379:
1374:
1369:
1364:
1334:
1323:
1309:h-k-l triangles
1304:
1289:
1285:
1281:
1277:
1272:
1266:
1227:
1223:
1215:
1203:
1194:
1190:
1186:
1163:
1162:
1157:
1149:
1141:
1132:
1131:
1123:
1118:
1110:
1101:
1100:
1092:
1084:
1079:
1070:
1069:
1061:
1053:
1045:
1034:
1014:
1013:
1004:
1000:
989:
977:
958:
947:
942:
940:Representations
920:
916:
912:
907:
876:
870:
860:
820:
802:
773:
772:
761:Abelian variety
754:Reductive group
742:
732:
731:
730:
729:
680:
672:
664:
656:
648:
621:Special unitary
532:
518:
517:
499:
498:
475:
474:
450:
449:
413:
412:
404:
403:
394:Discrete groups
383:
382:
338:Frobenius group
283:
270:
259:
252:Symmetric group
248:
232:
222:
221:
72:Normal subgroup
58:
38:
29:
24:
17:
12:
11:
5:
3321:
3319:
3311:
3310:
3305:
3295:
3294:
3291:
3290:
3285:
3281:
3276:
3272:
3265:
3264:External links
3262:
3260:
3259:
3245:
3233:
3232:
3231:
3227:
3226:
3213:
3188:
3163:(1): 107–114,
3150:
3137:
3109:
3096:
3074:
3061:
3042:
3017:(4): 633–683,
3003:
2990:
2956:
2938:
2930:Academic Press
2920:Higman, Graham
2912:
2873:
2828:(2): 398–400,
2810:
2807:
2804:
2803:
2800:
2797:
2794:
2791:
2787:
2786:
2783:
2780:
2777:
2774:
2770:
2769:
2766:
2763:
2760:
2757:
2753:
2752:
2749:
2746:
2743:
2740:
2736:
2735:
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