48:
1748:
are an orthonormal basis.) One of the key uses of duality in lattice theory is the relationship of the geometry of the primal lattice with the geometry of its dual, for which we need this inner product. In the concrete description given above, the inner product on the dual is generally implicit.
1446:
4227:, which implies that to prove that a lattice has no short vectors, one can show a basis for the dual lattice consisting of short vectors. Using these ideas one can show that approximating the shortest vector of a lattice to within a factor of n (the
1995:
1136:
4859:
2239:
1308:
4542:
3409:
3628:. In general, theorems relating the properties of a lattice with properties of its dual are known as transference theorems. In this section we explain some of them, along with some consequences for complexity theory.
4447:
4145:
4225:
3858:
4606:
2956:
2479:
3329:
3951:
3248:
4153:
There always an efficiently checkable certificate for the claim that a lattice has a short nonzero vector, namely the vector itself. An important corollary of
Banaszcyk's transference theorem is that
4058:
4362:
4671:
1530:
1355:
3208:
4287:
3025:
1746:
863:
Dual lattices have many applications inside of lattice theory, theoretical computer science, cryptography and mathematics more broadly. For instance, it is used in the statement of the
2560:
4743:
915:
1345:
Despite this identification of ambient
Euclidean spaces, it should be emphasized that a lattice and its dual are fundamentally different kinds of objects; one consists of vectors in
3491:
2692:
2877:
1181:
1874:
2412:
4255:
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3102:
2828:
3172:
3143:
2777:
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1650:
1592:
1210:
3761:
3685:
2635:
493:
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1879:
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1682:
2724:
3579:
3065:
2137:
795:
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1619:
1557:
1031:
3437:
2346:
1817:
3983:
3878:
3781:
3725:
3705:
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3531:
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2658:
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2501:
2107:
2038:
2018:
1837:
1336:
1023:
1003:
973:
858:
838:
4751:
2142:
1219:
867:, transference theorems provide connections between the geometry of a lattice and that of its dual, and many lattice algorithms exploit the dual lattice.
2290:. This equality holds under the usual identifications of a vector space with its double dual, or in the setting where the inner product has identified
1349:, and the other consists of a set of linear functionals on that space. Along these lines, one can also give a more abstract definition as follows:
5003:
Cohn, Henry; Kumar, Abhinav; Reiher, Christian; Schürmann, Achill (2014). "Formal duality and generalizations of the
Poisson summation formula".
4452:
3334:
353:
4893:
303:
4371:
4064:
4156:
788:
298:
5030:
3786:
4968:
Cai, Jin-Yi; Nerurkar, Ajay (2000). "A note on the non-NP-hardness of approximate lattice problems under general Cook reductions".
4547:
2420:
1311:
3256:
3886:
3213:
3993:
714:
4299:
781:
2882:
1441:{\displaystyle L^{*}=\{f:L\to \mathbb {Z} :{\text{f is a linear function}}\}={\text{Hom}}_{\text{Ab}}(L,\mathbb {Z} ).}
398:
212:
4633:
1458:
4674:
3180:
864:
4262:
2961:
1687:
982:
596:
330:
207:
95:
2506:
4713:
3112:
Using the properties listed above, the dual of a lattice can be efficiently calculated, by hand or computer.
885:
5060:
3451:
4365:
3608:
provides a lower bound on the largest size of non-overlapping spheres that can be placed around points of
2663:
746:
536:
20:
1144:
620:
1842:
3533:
produce level sets with more distance between them; in particular, the distance between the layers is
2377:
4231:
920:
560:
548:
166:
100:
3070:
2833:
1990:{\textstyle z\in L^{*}\iff b_{i}^{T}z\in \mathbb {Z} ,i=1,\ldots ,n\iff B^{T}z\in \mathbb {Z} ^{n}}
135:
30:
3148:
3119:
2749:
2293:
1624:
1566:
1186:
476:
451:
414:
5036:
5008:
4950:
3730:
3654:
2588:
871:
120:
92:
2043:
2802:
2247:
5026:
4942:
4925:
Banaszczyk, W. (1993). "New bounds in some transference theorems in the geometry of numbers".
4899:
4889:
4707:
2351:
691:
525:
368:
262:
5018:
4977:
4934:
4881:
4680:
3883:
In this notation, the lower bound mentioned in the introduction to this section states that
3513:
according to the level sets corresponding to each of the integer values. Smaller choices of
676:
668:
660:
652:
644:
632:
572:
512:
502:
344:
286:
161:
130:
4989:
1655:
4985:
4228:
2697:
1346:
1339:
1131:{\displaystyle L^{*}=\{f\in ({\text{span}}(L))^{*}:\forall x\in L,f(x)\in \mathbb {Z} \}.}
809:
760:
753:
739:
696:
584:
507:
337:
251:
191:
71:
3536:
3037:
3411:, that is, the dual is the lattice generated by the integer vectors along with the all
2112:
3584:
1597:
1560:
1535:
767:
703:
393:
373:
310:
275:
196:
186:
171:
156:
110:
87:
4981:
4854:{\displaystyle \sum _{x\in L}f(x)={\frac {1}{\det(L)}}\sum _{y\in L^{*}}{\hat {f}}(y)}
2746:
is full rank. Under the identification of
Euclidean space with its dual, we have that
2234:{\textstyle z\in L^{*}\iff B^{T}z\in \mathbb {Z} ^{n}\iff z\in B^{-T}\mathbb {Z} ^{n}}
5054:
5040:
3414:
2325:
1452:
1303:{\textstyle L^{*}=\{v\in {\text{span}}(L):\forall x\in L,v\cdot x\in \mathbb {Z} \}.}
686:
608:
442:
315:
181:
4954:
1764:
3968:
3863:
3766:
3710:
3690:
3634:
3611:
3516:
3496:
2782:
2729:
2643:
2568:
2486:
2092:
2023:
2003:
1822:
1321:
1008:
988:
958:
843:
823:
541:
240:
229:
176:
151:
146:
105:
76:
39:
4617:
The dual lattice is used in the statement of a general
Poisson summation formula.
1315:
1213:
979:
5022:
2417:
The determinant of a lattice is the reciprocal of the determinant of its dual:
4885:
817:
708:
436:
4946:
4903:
3331:
be the lattice of integer vectors whose coordinates have an even sum. Then
529:
4537:{\textstyle \lambda _{1}(L^{*})\leq {\sqrt {n}}({\text{det}}(L^{*})^{1/n})}
3404:{\textstyle L^{*}=\mathbb {Z} ^{n}+({\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{2}})}
870:
For an article with emphasis on the physics / chemistry applications, see
47:
66:
4938:
408:
322:
1451:
However, we note that the dual is not considered just as an abstract
874:. This article focuses on the mathematical notion of a dual lattice.
820:. In certain respects, the geometry of the dual lattice of a lattice
5013:
4442:{\textstyle \lambda _{1}(L)\leq {\sqrt {n}}({\text{det}}(L)^{1/n})}
4140:{\displaystyle 1\leq \lambda _{i}(L)\lambda _{n-i+1}(L^{*})\leq n}
3581:. Reasoning this way, one can show that finding small vectors in
4220:{\textstyle \lambda _{1}(L)\geq {\frac {1}{\lambda _{n}(L^{*})}}}
1594:. (Equivalently, one can declare that, for an orthonormal basis
3853:{\textstyle \mu (L)={\text{max}}_{x\in \mathbb {R} ^{n}}d(x,L)}
5007:. Contemporary Mathematics. Vol. 625. pp. 123–140.
4601:{\textstyle {\text{det}}(L)={\frac {1}{{\text{det}}(L^{*})}}}
2474:{\textstyle {\text{det}}(L^{*})={\frac {1}{{\text{det}}(L)}}}
3324:{\textstyle L=\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:\sum x_{i}=0\mod 2\}}
3946:{\textstyle \mu (L)\geq {\frac {1}{2\lambda _{1}(L^{*})}}}
3243:{\textstyle {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }
3687:
denote the smallest radius ball that contains a set of
1757:
We list some elementary properties of the dual lattice:
1455:
of functionals, but comes with a natural inner product:
4933:(1). Springer Science and Business Media LLC: 625–635.
4053:{\displaystyle 1\leq 2\lambda _{1}(L)\mu (L^{*})\leq n}
4716:
4683:
4636:
4550:
4455:
4374:
4302:
4265:
4234:
4159:
3971:
3889:
3866:
3789:
3769:
3733:
3713:
3693:
3657:
3637:
3614:
3587:
3539:
3519:
3499:
3454:
3417:
3337:
3259:
3216:
3183:
3151:
3122:
3073:
3040:
2964:
2958:. From this it follows that for an integral lattice,
2885:
2836:
2805:
2785:
2752:
2732:
2700:
2666:
2646:
2591:
2571:
2509:
2489:
2423:
2380:
2354:
2328:
2296:
2250:
2145:
2115:
2095:
2046:
2026:
2006:
1882:
1845:
1825:
1767:
1690:
1658:
1627:
1600:
1569:
1538:
1461:
1324:
1222:
1189:
1147:
1011:
991:
961:
923:
888:
846:
826:
4754:
4357:{\textstyle \lambda _{1}(L)\lambda _{1}(L^{*})\leq n}
4067:
3996:
1358:
1034:
479:
454:
417:
16:
Construction analogous to that of a dual vector space
2951:{\textstyle {\text{det}}(L')={\text{det}}(L)|L/L'|}
4853:
4737:
4698:
4665:
4600:
4536:
4441:
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4249:
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3852:
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3755:
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3699:
3679:
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3620:
3600:
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3505:
3485:
3431:
3403:
3323:
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3202:
3166:
3137:
3096:
3059:
3019:
2950:
2871:
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2791:
2771:
2738:
2718:
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2629:
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2554:
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2340:
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1175:
1130:
1017:
997:
967:
947:
909:
860:, a perspective which underlies many of its uses.
852:
832:
487:
462:
425:
4876:Ebeling, Wolfgang (2013). "Lattices and Codes".
4792:
4677:function, such as a Schwartz function, and let
4666:{\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
1525:{\textstyle f\cdot g=\sum _{i}f(e_{i})g(e_{i})}
5005:Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics
3203:{\textstyle 2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }
789:
8:
4880:. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden.
3480:
3474:
3318:
3266:
1400:
1372:
1294:
1236:
1122:
1048:
4621:
3957:
3631:We recall some terminology: For a lattice
2020:is a matrix giving a basis for the lattice
1819:is a matrix giving a basis for the lattice
1005:which take integer values on each point of
19:For duals of order-theoretic lattices, see
4282:{\textstyle {\text{NP}}\cap {\text{coNP}}}
3020:{\textstyle {\text{det}}(L)^{2}=|L^{*}/L|}
2199:
2195:
2166:
2162:
1958:
1954:
1903:
1899:
1741:{\textstyle e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}}
1338:, otherwise the resulting object is not a
796:
782:
234:
60:
25:
5012:
4831:
4830:
4822:
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3788:
3768:
3763:is the length of the shortest vector of
3738:
3732:
3712:
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2858:
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2837:
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2804:
2784:
2763:
2751:
2731:
2699:
2680:
2679:
2665:
2645:
2621:
2605:
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2570:
2555:{\textstyle (qL)^{*}={\frac {1}{q}}L^{*}}
2546:
2532:
2523:
2508:
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2448:
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1460:
1428:
1427:
1412:
1407:
1395:
1388:
1387:
1363:
1357:
1323:
1290:
1289:
1245:
1227:
1221:
1196:
1192:
1191:
1188:
1167:
1157:
1153:
1152:
1146:
1118:
1117:
1078:
1060:
1039:
1033:
1010:
990:
960:
939:
935:
934:
922:
901:
897:
896:
887:
845:
825:
816:is a construction analogous to that of a
481:
480:
478:
456:
455:
453:
419:
418:
416:
4738:{\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
4366:Minkowski's bound on the shortest vector
3067:, which, by the above, is equivalent to
910:{\textstyle L\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
4917:
3471:
2089:gives a basis for the dual lattice. If
352:
118:
28:
3486:{\textstyle f\in L^{*}\setminus \{0\}}
354:Classification of finite simple groups
4544:, from which the claim follows since
2687:{\textstyle x\cdot y\in \mathbb {Z} }
840:is the reciprocal of the geometry of
7:
2139:gives a basis for the dual lattice:
3309:
1176:{\textstyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}
3030:An integral lattice is said to be
2866:
1869:{\textstyle z\in {\text{span}}(L)}
1262:
1087:
14:
3707:linearly independent vectors of
2407:{\textstyle L^{*}\supseteq M^{*}}
4878:Advanced Lectures in Mathematics
4250:{\textstyle {\text{GAPSVP}}_{n}}
948:{\textstyle L=B\mathbb {Z} ^{n}}
46:
3097:{\textstyle {\text{det}}(L)=1.}
1310:It is important to restrict to
978:The dual lattice is the set of
4970:Information Processing Letters
4848:
4842:
4836:
4801:
4795:
4780:
4774:
4745:be a full rank lattice. Then:
4690:
4655:
4592:
4579:
4562:
4556:
4531:
4514:
4500:
4492:
4479:
4466:
4436:
4419:
4412:
4404:
4391:
4385:
4345:
4332:
4319:
4313:
4211:
4198:
4176:
4170:
4128:
4115:
4090:
4084:
4041:
4028:
4022:
4016:
3937:
3924:
3899:
3893:
3860:denote the covering radius of
3847:
3835:
3799:
3793:
3750:
3744:
3674:
3668:
3567:
3562:
3554:
3549:
3398:
3366:
3085:
3079:
3013:
2990:
2977:
2970:
2944:
2923:
2919:
2913:
2902:
2891:
2872:{\textstyle |L/L'|<\infty }
2859:
2838:
2602:
2592:
2520:
2510:
2465:
2459:
2442:
2429:
2265:
2251:
2196:
2163:
2067:
2050:
1955:
1900:
1863:
1857:
1806:
1774:
1719:
1706:
1639:
1633:
1581:
1575:
1519:
1506:
1500:
1487:
1432:
1418:
1384:
1256:
1250:
1164:
1148:
1111:
1105:
1075:
1071:
1065:
1057:
715:Infinite dimensional Lie group
1:
4982:10.1016/S0020-0190(00)00123-X
4292:Other transference theorems:
3167:{\textstyle \mathbb {Z} ^{n}}
3138:{\textstyle \mathbb {Z} ^{n}}
2772:{\textstyle L\subseteq L^{*}}
2312:{\textstyle \mathbb {R} ^{n}}
2244:The previous fact shows that
1645:{\textstyle {\text{span}}(L)}
1587:{\textstyle {\text{span}}(L)}
1205:{\textstyle \mathbb {R} ^{n}}
3756:{\textstyle \lambda _{1}(L)}
3680:{\textstyle \lambda _{i}(L)}
2630:{\textstyle (RL)^{*}=RL^{*}}
488:{\displaystyle \mathbb {Z} }
463:{\displaystyle \mathbb {Z} }
426:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4628:Theorem (Poisson Summation)
2726:. Assume that the lattice
2585:is a rotation matrix, then
2082:{\textstyle B(B^{T}B)^{-1}}
213:List of group theory topics
5077:
2823:{\textstyle L'\subseteq L}
2660:is said to be integral if
2503:is a nonzero scalar, then
2283:{\textstyle (L^{*})^{*}=L}
18:
4886:10.1007/978-3-658-00360-9
4613:Poisson summation formula
2367:{\textstyle L\subseteq M}
865:Poisson summation formula
331:Elementary abelian group
208:Glossary of group theory
4699:{\textstyle {\hat {f}}}
917:be a lattice. That is,
5023:10.1090/conm/625/12495
4855:
4739:
4700:
4667:
4602:
4538:
4443:
4358:
4283:
4251:
4221:
4141:
4054:
3979:
3947:
3874:
3854:
3777:
3757:
3721:
3701:
3681:
3645:
3622:
3602:
3575:
3527:
3507:
3487:
3433:
3405:
3325:
3244:
3204:
3168:
3139:
3098:
3061:
3021:
2952:
2873:
2824:
2793:
2779:for integral lattices
2773:
2740:
2720:
2688:
2654:
2631:
2579:
2556:
2497:
2475:
2408:
2368:
2342:
2313:
2284:
2235:
2133:
2103:
2083:
2034:
2014:
1991:
1870:
1833:
1813:
1742:
1678:
1677:{\textstyle e_{i}^{*}}
1646:
1615:
1588:
1553:
1526:
1442:
1397:f is a linear function
1332:
1304:
1206:
1177:
1132:
1019:
999:
969:
949:
911:
854:
834:
747:Linear algebraic group
489:
464:
427:
21:Duality (order theory)
4927:Mathematische Annalen
4856:
4740:
4701:
4668:
4603:
4539:
4444:
4359:
4284:
4252:
4222:
4142:
4055:
3980:
3948:
3875:
3855:
3778:
3758:
3722:
3702:
3682:
3646:
3623:
3603:
3576:
3528:
3508:
3488:
3444:Transference theorems
3434:
3406:
3326:
3245:
3205:
3169:
3140:
3099:
3062:
3022:
2953:
2874:
2825:
2794:
2774:
2741:
2721:
2719:{\textstyle x,y\in L}
2689:
2655:
2632:
2580:
2557:
2498:
2476:
2409:
2369:
2343:
2314:
2285:
2236:
2134:
2104:
2084:
2035:
2015:
1992:
1871:
1834:
1814:
1743:
1679:
1647:
1616:
1589:
1554:
1527:
1443:
1333:
1305:
1207:
1178:
1133:
1020:
1000:
970:
950:
912:
855:
835:
490:
465:
428:
4752:
4714:
4681:
4634:
4548:
4453:
4372:
4300:
4263:
4232:
4157:
4065:
3994:
3969:
3959:Theorem (Banaszczyk)
3887:
3864:
3787:
3767:
3731:
3711:
3691:
3655:
3635:
3612:
3585:
3574:{\textstyle 1/||f||}
3537:
3517:
3497:
3452:
3415:
3335:
3257:
3214:
3181:
3149:
3120:
3071:
3060:{\textstyle L=L^{*}}
3038:
2962:
2883:
2834:
2803:
2783:
2750:
2730:
2698:
2664:
2644:
2589:
2569:
2507:
2487:
2421:
2378:
2352:
2326:
2294:
2248:
2143:
2113:
2093:
2044:
2024:
2004:
1880:
1843:
1823:
1765:
1688:
1656:
1625:
1598:
1567:
1536:
1459:
1356:
1322:
1220:
1187:
1145:
1032:
1009:
989:
959:
921:
886:
844:
824:
477:
452:
415:
4625: —
3963: —
2799:. Recall that, if
2132:{\textstyle B^{-T}}
1918:
1705:
1673:
1652:, the dual vectors
1183:is identified with
121:Group homomorphisms
31:Algebraic structure
4939:10.1007/bf01445125
4851:
4829:
4770:
4735:
4696:
4663:
4623:
4598:
4534:
4439:
4354:
4279:
4247:
4217:
4137:
4050:
3975:
3961:
3943:
3870:
3850:
3773:
3753:
3717:
3697:
3677:
3641:
3618:
3601:{\textstyle L^{*}}
3598:
3571:
3523:
3503:
3483:
3429:
3401:
3321:
3240:
3200:
3164:
3135:
3094:
3057:
3017:
2948:
2869:
2820:
2789:
2769:
2736:
2716:
2684:
2650:
2627:
2575:
2552:
2493:
2471:
2404:
2364:
2338:
2322:Fix two lattices
2309:
2280:
2231:
2129:
2099:
2079:
2030:
2010:
1987:
1904:
1866:
1829:
1809:
1738:
1691:
1674:
1659:
1642:
1614:{\textstyle e_{i}}
1611:
1584:
1552:{\textstyle e_{i}}
1549:
1522:
1483:
1438:
1328:
1300:
1202:
1173:
1128:
1015:
995:
965:
945:
907:
872:Reciprocal lattice
850:
830:
597:Special orthogonal
485:
460:
423:
304:Lagrange's theorem
4895:978-3-658-00359-3
4839:
4807:
4805:
4755:
4708:Fourier transform
4693:
4596:
4577:
4554:
4498:
4490:
4410:
4402:
4296:The relationship
4277:
4269:
4239:
4215:
3941:
3809:
3727:. For instance,
3396:
3377:
3225:
3077:
2968:
2911:
2889:
2540:
2469:
2457:
2427:
1855:
1631:
1573:
1474:
1415:
1410:
1398:
1248:
1063:
818:dual vector space
808:In the theory of
806:
805:
381:
380:
263:Alternating group
220:
219:
5068:
5045:
5044:
5016:
5000:
4994:
4993:
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4959:
4958:
4922:
4907:
4860:
4858:
4857:
4852:
4841:
4840:
4832:
4828:
4827:
4826:
4806:
4804:
4787:
4769:
4744:
4742:
4741:
4736:
4734:
4733:
4728:
4705:
4703:
4702:
4697:
4695:
4694:
4686:
4672:
4670:
4669:
4664:
4662:
4654:
4653:
4648:
4626:
4607:
4605:
4604:
4599:
4597:
4595:
4591:
4590:
4578:
4575:
4569:
4555:
4552:
4543:
4541:
4540:
4535:
4530:
4529:
4525:
4512:
4511:
4499:
4496:
4491:
4486:
4478:
4477:
4465:
4464:
4448:
4446:
4445:
4440:
4435:
4434:
4430:
4411:
4408:
4403:
4398:
4384:
4383:
4363:
4361:
4360:
4355:
4344:
4343:
4331:
4330:
4312:
4311:
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4286:
4285:
4280:
4278:
4275:
4270:
4267:
4256:
4254:
4253:
4248:
4246:
4245:
4240:
4237:
4226:
4224:
4223:
4218:
4216:
4214:
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4209:
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4196:
4183:
4169:
4168:
4146:
4144:
4143:
4138:
4127:
4126:
4114:
4113:
4083:
4082:
4059:
4057:
4056:
4051:
4040:
4039:
4015:
4014:
3984:
3982:
3981:
3976:
3964:
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3950:
3949:
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3940:
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3877:
3876:
3871:
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3857:
3856:
3851:
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3830:
3829:
3828:
3823:
3810:
3807:
3782:
3780:
3779:
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3762:
3760:
3759:
3754:
3743:
3742:
3726:
3724:
3723:
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3706:
3704:
3703:
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3686:
3684:
3683:
3678:
3667:
3666:
3650:
3648:
3647:
3642:
3627:
3625:
3624:
3619:
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3604:
3599:
3597:
3596:
3580:
3578:
3577:
3572:
3570:
3565:
3557:
3552:
3547:
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3530:
3529:
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3512:
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3509:
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3489:
3484:
3470:
3469:
3438:
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