43:
7700:
5352:
4587:
1132:
The preceding five pairs of formulae—the commutative, associative, distributive, identity and complement formulae—encompass all of set algebra, in the sense that every valid proposition in the algebra of sets can be derived from them.
731:
The union and intersection of sets may be seen as analogous to the addition and multiplication of numbers. Like addition and multiplication, the operations of union and intersection are commutative and associative, and intersection
4080:
The above proposition shows that the relation of set inclusion can be characterized by either of the operations of set union or set intersection, which means that the notion of set inclusion is axiomatically superfluous.
2636:
2566:
4666:
4460:
4381:
4302:
4957:
2793:
The next proposition, which is also self-dual, says that the complement of a set is the only set that satisfies the complement laws. In other words, complementation is characterized by the complement laws.
4733:
5003:
2781:
2741:
1734:
As noted above, each of the laws stated in proposition 3 can be derived from the five fundamental pairs of laws stated above. As an illustration, a proof is given below for the idempotent law for union.
4071:
5042:
1582:
1011:
2193:
1891:
722:
643:
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4894:
2696:
1182:
1055:
3503:
2396:
236:
It is the algebra of the set-theoretic operations of union, intersection and complementation, and the relations of equality and inclusion. For a basic introduction to sets see the article on
1819:
2253:
1951:
1619:
556:
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1084:
762:
189:
3989:
3952:
1536:
1499:
6754:
5816:
2039:
The following proof illustrates that the dual of the above proof is the proof of the dual of the idempotent law for union, namely the idempotent law for intersection.
5125:
2075:
1771:
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316:
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2027:
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7724:
7309:
5274:
6097:
4597:
4391:
4312:
4233:
150:. It also provides systematic procedures for evaluating expressions, and performing calculations, involving these operations and relations.
7164:
6487:
5505:
5318:
5078:
4904:
6749:
5833:
7169:
7159:
6896:
6102:
6647:
6093:
1204:
Each of the identities stated above is one of a pair of identities such that each can be transformed into the other by interchanging
7305:
5255:
4676:
86:
64:
4967:
2751:
2711:
1064:
The identity expressions (together with the commutative expressions) say that, just like 0 and 1 for addition and multiplication,
7402:
7146:
5971:
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6400:
6141:
5811:
4036:
5405:
5013:
1551:
5278:
975:
883:, read as "A prime"). The empty set has no members, and the universe set has all possible members (in a particular context).
7663:
7365:
7128:
7123:
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6805:
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2645:
931:
57:
51:
2270:
1375:
The following proposition states six more important laws of set algebra, involving unions and intersections.
7353:
7330:
7291:
7177:
7118:
6764:
6684:
6528:
6472:
6085:
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5723:
5675:
5489:
5412:
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796:
135:
123:
30:
This article is about algebraic properties of set operations in general. For a boolean algebra of sets, see
4582:{\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}
7643:
7370:
7348:
7315:
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6782:
6607:
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5400:
5063:
422:
381:
338:
328:
249:
736:
over union. However, unlike addition and multiplication, union also distributes over intersection.
7675:
7566:
7551:
7531:
7488:
7375:
7325:
7251:
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6921:
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6117:
6113:
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6043:
5867:
5778:
5691:
5686:
5681:
5495:
5437:
5368:
5304:
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2496:
230:
5158:
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3704:
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3305:
3275:
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1069:
747:
174:
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5785:
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5525:
5432:
3096:
2408:
The following proposition states five more important laws of set algebra, involving complements.
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222:
127:
7201:
6657:
205:
The algebra of sets is the set-theoretic analogue of the algebra of numbers. Just as arithmetic
3962:
3925:
1509:
1472:
1305:
These are examples of an extremely important and powerful property of set algebra, namely, the
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7256:
7246:
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5259:
5101:
2054:
1750:
221:, so are set union and intersection; just as the arithmetic relation "less than or equal" is
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5083:
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3462:
1115:
261:
241:
3830:
is equivalent to various other statements involving unions, intersections and complements.
1233:
1209:
1125:. However the complement laws give the fundamental properties of the somewhat inverse-like
301:
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3205:
3351:, and hence together with the distributive and complement laws above, show that it is a
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6533:
6388:
6359:
6165:
5900:
5768:
5671:
5327:
2631:{\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}
2561:{\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}
1462:
5153:, closed with respect to arbitrary union, finite intersection and containing
7685:
7588:
6641:
6558:
6518:
6482:
6418:
6230:
6220:
6193:
5703:
5666:
5617:
5515:
3340:
1313:
statement obtained by interchanging unions and intersections, interchanging
740:
5060:
is an algebra of sets, completed to include countably infinite operations.
7670:
7468:
6916:
6621:
6215:
206:
7266:
6058:
1121:
Unlike addition and multiplication, union and intersection do not have
739:
Two additional pairs of properties involve the special sets called the
4661:{\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}
4455:{\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}
4376:{\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}
4297:{\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}
5956:
5728:
5550:
3003:
2463:
1382:
324:. Several of these identities or "laws" have well established names.
147:
4952:{\displaystyle (B\setminus A)^{\complement }=A\cup B^{\complement }}
1309:
for sets, which asserts that for any true statement about sets, the
6810:
6156:
6001:
5600:
5360:
1363:
and reversing inclusions is also true. A statement is said to be
245:
153:
Any set of sets closed under the set-theoretic operations forms a
5267:
What is mathematics?: An
Elementary Approach to Ideas and Methods
5960:
5300:
4728:{\displaystyle (B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)}
4089:
The following proposition lists several identities concerning
1136:
Note that if the complement formulae are weakened to the rule
36:
5296:
4998:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}\setminus A=A^{\complement }}
2776:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\complement }=\varnothing }
2736:{\displaystyle \varnothing ^{\complement }={\boldsymbol {U}}}
5234:
Many mathematicians assume all set operation to be of equal
4066:{\displaystyle B^{\complement }\subseteq A^{\complement }}
2343:
Intersection can be expressed in terms of set difference:
5238:, and make full use of parentheses. So does this article.
5037:{\displaystyle A\setminus {\boldsymbol {U}}=\varnothing }
1577:{\displaystyle A\cup {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {U}}}
2704:
complement laws for the universe set and the empty set:
1006:{\displaystyle A\cup A^{\complement }={\boldsymbol {U}}}
2188:{\displaystyle =(A\cap A)\cup (A\cap A^{\complement })}
1886:{\displaystyle =(A\cup A)\cap (A\cup A^{\complement })}
717:{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
638:{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
5185:
5161:
5137:
5104:
5016:
4970:
4907:
4857:
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4039:
4002:
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3868:
3844:
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3767:
3737:
3707:
3669:
3623:
3593:
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3479:
3441:
3417:
3393:
3369:
3308:
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3248:
3208:
3178:
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435:
384:
341:
304:
276:
177:
4802:{\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }
2790:
Notice that the double complement law is self-dual.
1186:, then this is exactly the algebra of propositional
7612:
7507:
7339:
7232:
7084:
6777:
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5646:
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5475:
5359:
5334:
4889:{\displaystyle B\setminus A=A^{\complement }\cap B}
2691:{\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}
2259:by the distributive law of intersection over union
1957:by the distributive law of union over intersection
1177:{\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}
1050:{\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }
5191:
5167:
5143:
5119:
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4020:
3983:
3946:
3909:
3874:
3850:
3820:
3800:The following proposition says that the statement
3785:
3749:
3719:
3687:
3641:
3605:
3575:
3543:
3498:{\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}
3497:
3447:
3423:
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3375:
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2021:
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637:
550:
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408:
365:
310:
282:
183:
2391:{\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}
1371:Some additional laws for unions and intersections
5265:Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart,
3335:The following proposition says that for any set
1814:{\displaystyle =(A\cup A)\cap {\boldsymbol {U}}}
2248:{\displaystyle =A\cap (A\cup A^{\complement })}
1946:{\displaystyle =A\cup (A\cap A^{\complement })}
1614:{\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }
551:{\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}
484:{\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}
5279:"SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS"
5972:
5312:
8:
5250:, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979)
3010:of one set being a subset of another, is a
2116:{\displaystyle =(A\cap A)\cup \varnothing }
27:Identities and relationships involving sets
6798:
6393:
6161:
5979:
5965:
5957:
5319:
5305:
5297:
1118:for union and intersection, respectively.
5184:
5160:
5136:
5103:
5023:
5015:
4989:
4971:
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4906:
4874:
4856:
4839:{\displaystyle A\setminus \varnothing =A}
4819:
4782:
4765:{\displaystyle A\setminus A=\varnothing }
4745:
4678:
4599:
4472:
4393:
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4156:
4132:
4108:
4106:
4057:
4044:
4038:
4021:{\displaystyle A\setminus B=\varnothing }
4001:
3964:
3927:
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3843:
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3766:
3736:
3706:
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3592:
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3416:
3392:
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3247:
3207:
3177:
3147:
3108:
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3027:
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2926:
2910:{\displaystyle A\cup B={\boldsymbol {U}}}
2902:
2888:
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2855:
2831:
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2756:
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2657:
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2578:
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955:{\displaystyle A\cap {\boldsymbol {U}}=A}
941:
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303:
275:
176:
87:Learn how and when to remove this message
2291:{\displaystyle =A\cap {\boldsymbol {U}}}
50:This article includes a list of general
5211:
5162:
5031:
5024:
5020:
4976:
4972:
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2757:
2729:
2716:
2476:
2379:
2370:
2284:
2199:by the complement law for intersection
2110:
1998:by the complement law for intersection
1981:
1807:
1608:
1602:
1570:
1562:
1442:
1348:
1323:
1286:
1261:
1098:
1073:
1044:
999:
942:
904:
779:
751:
178:
233:, so is the set relation of "subset".
5260:"The Algebra of Sets", pp 16—23
5069:Image (mathematics) § Properties
2337:by the identity law for intersection
256:Fundamental properties of set algebra
118:, defines the properties and laws of
7:
5269:, Oxford University Press US, 1996.
5079:List of set identities and relations
3002:The following proposition says that
2946:{\displaystyle A\cap B=\varnothing }
2404:Some additional laws for complements
1825:by the identity law of intersection
916:{\displaystyle A\cup \varnothing =A}
1987:{\displaystyle =A\cup \varnothing }
5105:
3786:{\displaystyle C\subseteq A\cap B}
3688:{\displaystyle A\cap B\subseteq A}
3642:{\displaystyle A\cup B\subseteq C}
3544:{\displaystyle A\subseteq A\cup B}
3092:are sets then the following hold:
2983:{\displaystyle B=A^{\complement }}
56:it lacks sufficient corresponding
25:
4223:, the following identities hold:
4214:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
4116:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
2865:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
2483:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
1720:{\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}
1671:{\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}
1458:, the following identities hold:
1449:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
1330:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
1293:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
1105:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
786:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
7698:
5350:
5292:Operations on Sets at ProvenMath
3884:, the following are equivalent:
2302:by the complement law for union
1897:by the complement law for union
1367:if it is equal to its own dual.
821:{\displaystyle A^{\complement }}
165:, the complement operator being
41:
4093:and set-theoretic differences.
4085:Algebra of relative complements
409:{\displaystyle A\cap B=B\cap A}
366:{\displaystyle A\cup B=B\cup A}
5114:
5108:
4921:
4908:
4722:
4710:
4692:
4680:
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4601:
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2127:by the identity law for union
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2033:by the identity law for union
1940:
1921:
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1708:
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1659:
1647:
1159:
1145:
854:. This can also be written as
711:
699:
693:
681:
675:
663:
632:
620:
614:
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533:
515:
503:
478:
466:
448:
436:
107:, not to be confused with the
1:
7659:History of mathematical logic
3347:, ordered by inclusion, is a
157:with the join operator being
7725:Basic concepts in set theory
7584:Primitive recursive function
5168:{\displaystyle \varnothing }
3910:{\displaystyle A\subseteq B}
3821:{\displaystyle A\subseteq B}
3750:{\displaystyle C\subseteq B}
3720:{\displaystyle C\subseteq A}
3606:{\displaystyle B\subseteq C}
3576:{\displaystyle A\subseteq C}
3321:{\displaystyle A\subseteq C}
3291:{\displaystyle B\subseteq C}
3261:{\displaystyle A\subseteq B}
3191:{\displaystyle B\subseteq A}
3161:{\displaystyle A\subseteq B}
3122:{\displaystyle A\subseteq A}
1354:{\displaystyle \varnothing }
1267:{\displaystyle \varnothing }
1079:{\displaystyle \varnothing }
757:{\displaystyle \varnothing }
184:{\displaystyle \varnothing }
2878:uniqueness of complements:
1252:, while also interchanging
240:, for a fuller account see
7746:
6648:SchröderâBernstein theorem
6375:Monadic predicate calculus
6034:Foundations of mathematics
5817:von NeumannâBernaysâGödel
1197:
830:denotes the complement of
244:, and for a full rigorous
161:, the meet operator being
29:
18:Duality principle for sets
7694:
7681:Philosophy of mathematics
7630:Automated theorem proving
6801:
6755:Von NeumannâBernaysâGödel
6396:
5618:One-to-one correspondence
5348:
3984:{\displaystyle A\cup B=B}
3947:{\displaystyle A\cap B=A}
3457:then the following hold:
2848:be subsets of a universe
1531:{\displaystyle A\cap A=A}
1494:{\displaystyle A\cup A=A}
197:set under consideration.
1129:of set complementation.
7331:Self-verifying theories
7152:Tarski's axiomatization
6103:Tarski's undefinability
6098:incompleteness theorems
5219:Paul R. Halmos (1968).
5120:{\displaystyle \wp (X)}
2070:{\displaystyle A\cap A}
1766:{\displaystyle A\cup A}
71:more precise citations.
7705:Mathematics portal
7316:Proof of impossibility
6964:propositional variable
6274:Propositional calculus
5576:Constructible universe
5396:Constructibility (V=L)
5223:. Princeton: Nostrand.
5193:
5169:
5145:
5121:
5038:
4999:
4953:
4890:
4840:
4803:
4766:
4729:
4662:
4583:
4456:
4377:
4298:
4215:
4189:
4165:
4141:
4117:
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3985:
3948:
3911:
3876:
3852:
3822:
3787:
3751:
3721:
3689:
3643:
3607:
3577:
3545:
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3425:
3401:
3377:
3322:
3292:
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1355:
1331:
1294:
1268:
1244:
1220:
1200:Duality (order theory)
1178:
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410:
367:
312:
284:
193:and the top being the
185:
109:mathematical structure
7574:Kolmogorov complexity
7527:Computably enumerable
7427:Model complete theory
7219:Principia Mathematica
6279:Propositional formula
6108:BanachâTarski paradox
5799:Principia Mathematica
5633:Transfinite induction
5492:(i.e. set difference)
5194:
5170:
5146:
5122:
5039:
5000:
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3450:
3433:are subsets of a set
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565:Distributive property
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