5153:
3106:
5148:{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}&\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{\ln \left(\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\right)+\ln \left(\left({\frac {nq}{n-k}}\right)^{n-k}\right)\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{-k\ln \left({\frac {k}{np}}\right)+(k-n)\ln \left({\frac {n-k}{nq}}\right)\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{-k\ln \left({\frac {np+x{\sqrt {npq}}}{np}}\right)+(k-n)\ln \left({\frac {n-np-x{\sqrt {npq}}}{nq}}\right)\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{-k\ln \left({1+x{\sqrt {\frac {q}{np}}}}\right)+(k-n)\ln \left({1-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}}\right)\right\}\qquad p+q=1\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{-k\left({x{\sqrt {\frac {q}{np}}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)+(k-n)\left({-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}}-\cdots \right)\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{\left(-np-x{\sqrt {npq}}\right)\left({x{\sqrt {\frac {q}{np}}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)+\left(np+x{\sqrt {npq}}-n\right)\left(-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{\left(-np-x{\sqrt {npq}}\right)\left(x{\sqrt {\frac {q}{np}}}-{\frac {x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)-\left(nq-x{\sqrt {npq}}\right)\left(-x{\sqrt {\frac {p}{nq}}}-{\frac {x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{\left(-x{\sqrt {npq}}+{\frac {1}{2}}x^{2}q-x^{2}q+\cdots \right)+\left(x{\sqrt {npq}}+{\frac {1}{2}}x^{2}p-x^{2}p-\cdots \right)\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}x^{2}q-{\frac {1}{2}}x^{2}p-\cdots \right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}x^{2}(p+q)-\cdots \right\}\\&\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}x^{2}\right\}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}e^{\frac {-(k-np)^{2}}{2npq}}\\\end{aligned}}}
2620:
31:
2031:
1765:
2995:
2615:{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}q^{n-k}\\&\simeq {\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}q^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}}{\frac {n^{n}}{k^{k}\left(n-k\right)^{n-k}}}p^{k}q^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}}\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {nq}{n-k}}\right)^{n-k}\end{aligned}}}
1372:
2666:
1760:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f'\!(x)}{f\!(x)}}{\frac {npq}{np\!\,-\!\,k}}\!&={\frac {p\left(n,k+1\right)-p\left(n,k\right)}{p\left(n,k\right)}}{\frac {\sqrt {npq}}{-c}}\\&={\frac {np-k-q}{kq+q}}{\frac {\sqrt {npq}}{-c}}\\&={\frac {-c{\sqrt {npq}}-q}{npq+cq{\sqrt {npq}}+q}}{\frac {\sqrt {npq}}{-c}}\\&\to 1\end{aligned}}}
2990:{\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}&\simeq {\sqrt {\frac {1}{2\pi n{\frac {k}{n}}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)}}}\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {nq}{n-k}}\right)^{n-k}\\&\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {nq}{n-k}}\right)^{n-k}\qquad p+q=1\\\end{aligned}}}
392:
It is a special case of the central limit theorem because a
Bernoulli process can be thought of as the drawing of independent random variables from a bimodal discrete distribution with non-zero probability only for values 0 and 1. In this case, the binomial distribution models the number of successes
627:
1332:
3095:
2020:
5249:
But altho' the taking an infinite number of
Experiments be not practicable, yet the preceding Conclusions may very well be applied to finite numbers, provided they be great, for Instance, if 3600 Experiments be taken, make
1057:
443:
705:
46:", shown here), given a sufficient number of trials (here the rows of pins, each of which causes a dropped "bean" to fall toward the left or right), a shape representing the probability distribution of
1120:
3111:
2671:
2036:
1377:
1918:
1188:
1218:
397:, the distribution of the sample means will be approximately normal. However, because in this case the fraction of successes (i.e., the number of 1s divided by the number of trials,
2658:
886:
1828:
1360:
755:
1230:
283:
1875:
1853:
727:
5176:
972:
1800:
952:
241:
3006:
929:
909:
835:
815:
795:
775:
363:
343:
323:
303:
210:
190:
164:
1945:
1126:
The binomial distribution limit approaches the normal if the binomial satisfies this DE. As the binomial is discrete the equation starts as a
75:
5182:
increases, in the same sense as in the original statement of the theorem—i.e., that the ratio of each pair of quantities approaches 1 as
1928:
The proof consists of transforming the left-hand side (in the statement of the theorem) to the right-hand side by three approximations.
980:
622:{\displaystyle {n \choose k}\,p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\,e^{-{\frac {(k-np)^{2}}{2npq}}},\qquad p+q=1,\ p,q>0}
82:
coins a very large number of times and counting the number of "heads" that result each time. The possible number of heads on each toss,
5314:
5286:
5242:
647:
1062:
5262:
30, then the
Probability of the Event's neither appearing oftner than 1830 times, nor more rarely than 1770, will be 0.682688.
5376:
217:
5371:
1880:
213:
1137:
5381:
430:
30:
90:
along the horizontal axis, while the vertical axis represents the relative frequency of occurrence of the outcome
1193:
405:, the distribution of the fractions of successes (described by the binomial distribution divided by the constant
143:
3000:
Finally, the expression is rewritten as an exponential and the Taylor Series approximation for ln(1+x) is used:
379:
166:
370:
2628:
843:
5195:
139:
131:
103:
35:
1932:
1327:{\displaystyle {\frac {f'\!(x)}{f\!(x)}}\!\cdot \!\left(-{\frac {\sigma ^{2}}{x-\mu }}\right)\!\to \!1}
1805:
1337:
732:
114:
grows large, the shape of the discrete distribution converges to the continuous
Gaussian curve of the
378:, published in 1738. Although de Moivre did not use the term "Bernoulli trials", he wrote about the
777:
to the limiting normal density being 1. This can be shown for an arbitrary nonzero and finite point
54:
trials (see bottom of Fig. 7) matches approximately the
Gaussian distribution with expectation
5274:
1127:
246:
135:
115:
1858:
1836:
710:
393:(i.e., the number of 1s), whereas the central limit theorem states that, given sufficiently large
5347:
123:
5234:
5228:
5310:
5282:
5238:
386:
375:
5161:
957:
5339:
5178:" in the above argument is a statement that two quantities are asymptotically equivalent as
1773:
632:
in the sense that the ratio of the left-hand side to the right-hand side converges to 1 as
5221:
3090:{\displaystyle \ln \left(1+x\right)\simeq x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }
937:
169:
17:
223:
5302:
914:
894:
820:
800:
780:
760:
348:
328:
308:
288:
195:
175:
149:
39:
5365:
5351:
5330:
Thamattoor, Ajoy (2018). "Normal limit of the binomial via the discrete derivative".
1131:
2015:{\displaystyle n!\simeq n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\qquad {\text{as }}n\to \infty .}
43:
5343:
74:
1224:. Hence the proof need show only that, for the unscaled binomial distribution,
5198:
an alternative approximation of the binomial distribution for large values of
1221:
2660:
is used to match the root above to the desired root on the right-hand side.
729:
a binomially distributed random variable, approaches the standard normal as
409:) and the distribution of the sample means (approximately normal with large
66:), assuming the trials are independent and successes occur with probability
382:
of the number of times "heads" appears when a coin is tossed 3600 times.
142:
under certain conditions. In particular, the theorem shows that the
1877:
is subject to a rounding error. However, the maximum of this error,
94:
heads. The height of each dot is thus the probability of observing
1052:{\displaystyle f'\!(x)\!=\!-\!\,{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x)}
73:
29:
931:
stays 3 standard deviations from the mean in the unscaled curve.
27:
Convergence in distribution of binomial to normal distribution
146:
of the random number of "successes" observed in a series of
700:{\displaystyle \left(X\!\,-\!\,np\right)\!/\!{\sqrt {npq}}}
5307:
1115:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!f(x)\,dx\!=\!1}
1130:
whose limit morphs to a DE. Difference equations use the
110:
trials). According to the de Moivre–Laplace theorem, as
5279:
Probability, Random
Variables, and Stochastic Processes
1059:
with an initial condition set by the probability axiom
34:
Within a system whose bins are filled according to the
2633:
1884:
1862:
1840:
1197:
1141:
714:
644:
The theorem can be more rigorously stated as follows:
249:
5164:
3109:
3009:
2669:
2631:
2034:
1948:
1883:
1861:
1839:
1808:
1776:
1375:
1340:
1233:
1196:
1140:
1065:
983:
960:
940:
917:
897:
846:
823:
803:
783:
763:
735:
713:
650:
446:
351:
331:
311:
291:
226:
198:
178:
152:
1802:
dominates both the denominator and the numerator as
5170:
5147:
3089:
2989:
2652:
2614:
2014:
1912:
1869:
1847:
1822:
1794:
1759:
1354:
1326:
1212:
1182:
1114:
1051:
966:
946:
923:
903:
880:
829:
809:
789:
769:
749:
721:
699:
621:
413:due to the central limit theorem) are equivalent.
357:
337:
317:
297:
277:
235:
204:
184:
158:
3130:
3117:
2690:
2677:
2055:
2042:
1895:
1816:
1812:
1452:
1444:
1439:
1406:
1391:
1348:
1344:
1320:
1316:
1277:
1273:
1260:
1245:
1205:
1201:
1166:
1162:
1155:
1151:
1108:
1104:
1084:
1010:
1006:
1002:
992:
743:
739:
683:
677:
664:
659:
463:
450:
1913:{\displaystyle \textstyle {0.5}/\!{\sqrt {npq}}}
1183:{\displaystyle \textstyle p(k\!+\!1)\!-\!p(k)}
368:The theorem appeared in the second edition of
974:is defined by the differential equation (DE)
8:
5222:"De Moivre on the law of normal probability"
757:, with the ratio of the probability mass of
220:of the normal distribution with expectation
1366:The required result can be shown directly:
1213:{\displaystyle \textstyle n\!\to \!\infty }
5163:
5117:
5092:
5064:
5043:
5029:
4991:
4949:
4935:
4897:
4867:
4853:
4841:
4827:
4789:
4754:
4738:
4724:
4708:
4677:
4661:
4647:
4631:
4585:
4536:
4529:
4509:
4480:
4426:
4419:
4399:
4373:
4318:
4269:
4262:
4242:
4207:
4153:
4146:
4125:
4121:
4098:
4043:
3993:
3986:
3966:
3959:
3902:
3895:
3874:
3870:
3824:
3771:
3761:
3711:
3701:
3650:
3607:
3586:
3530:
3515:
3464:
3422:
3375:
3324:
3293:
3266:
3238:
3219:
3169:
3150:
3140:
3129:
3116:
3114:
3110:
3108:
3070:
3064:
3050:
3044:
3008:
2955:
2928:
2917:
2898:
2869:
2847:
2820:
2809:
2790:
2766:
2745:
2729:
2710:
2700:
2689:
2676:
2674:
2670:
2668:
2632:
2630:
2596:
2569:
2558:
2539:
2495:
2473:
2463:
2444:
2418:
2407:
2401:
2362:
2340:
2330:
2298:
2277:
2261:
2232:
2223:
2213:
2194:
2185:
2175:
2168:
2146:
2136:
2094:
2075:
2065:
2054:
2041:
2039:
2035:
2033:
1995:
1981:
1972:
1962:
1947:
1896:
1890:
1885:
1882:
1860:
1855:takes just integral values, the constant
1838:
1807:
1775:
1717:
1695:
1656:
1647:
1614:
1576:
1543:
1460:
1445:
1440:
1419:
1380:
1376:
1374:
1339:
1292:
1286:
1234:
1232:
1195:
1139:
1097:
1078:
1070:
1064:
1029:
1012:
1011:
982:
959:
939:
916:
896:
865:
845:
822:
802:
782:
762:
734:
712:
684:
678:
665:
660:
649:
554:
532:
528:
523:
499:
484:
474:
469:
462:
449:
447:
445:
385:This is one derivation of the particular
350:
330:
310:
290:
250:
248:
225:
197:
192:of success (a binomial distribution with
177:
151:
5212:
1939:can be replaced with the approximation
138:may be used as an approximation to the
1220:, the discrete derivative becomes the
5309:. Vol. 1. Wiley. Section VII.3.
5281:(4th ed.). Boston: McGraw-Hill.
7:
2653:{\displaystyle {\tfrac {k}{n}}\to p}
881:{\displaystyle k=np+c{\sqrt {npq}}}
3121:
2681:
2046:
2006:
1935:, the factorial of a large number
1817:
1349:
1206:
1079:
1074:
934:The normal distribution with mean
744:
454:
25:
5277:; Pillai, S. Unnikrishna (2002).
1190:, the change for step size 1. As
389:used in the normal distribution.
130:, which is a special case of the
5227:. In Smith, David Eugene (ed.).
1823:{\displaystyle n\!\to \!\infty }
1770:The last holds because the term
1355:{\displaystyle n\!\to \!\infty }
750:{\displaystyle n\!\to \!\infty }
5332:The College Mathematics Journal
3798:
2967:
1994:
582:
5114:
5098:
4967:
4955:
3951:
3939:
3748:
3736:
3573:
3561:
3409:
3397:
2644:
2318:
2306:
2293:
2281:
2258:
2245:
2123:
2111:
2003:
1813:
1747:
1413:
1407:
1398:
1392:
1345:
1317:
1267:
1261:
1252:
1246:
1202:
1176:
1170:
1159:
1145:
1094:
1088:
1046:
1040:
999:
993:
740:
551:
535:
278:{\textstyle {\sqrt {np(1-p)}}}
270:
258:
1:
5344:10.1080/07468342.2018.1440872
5230:A source book in mathematics
1870:{\displaystyle \textstyle c}
1848:{\displaystyle \textstyle k}
797:. On the unscaled curve for
722:{\displaystyle \textstyle X}
218:probability density function
5398:
172:, each having probability
78:Consider tossing a set of
144:probability mass function
128:de Moivre–Laplace theorem
18:De Moivre-Laplace theorem
5220:Walker, Helen M (1985).
2625:Next, the approximation
1920:, is a vanishing value.
817:, this would be a point
403:equal to the sample mean
380:probability distribution
5171:{\displaystyle \simeq }
967:{\displaystyle \sigma }
954:and standard deviation
371:The Doctrine of Chances
243:and standard deviation
5258:will be = 1800, and ½√
5172:
5149:
3091:
2991:
2654:
2616:
2016:
1914:
1871:
1849:
1824:
1796:
1761:
1356:
1328:
1214:
1184:
1116:
1053:
968:
948:
925:
905:
882:
831:
811:
791:
771:
751:
723:
701:
623:
359:
339:
319:
305:grows large, assuming
299:
279:
237:
206:
186:
160:
119:
71:
5377:Central limit theorem
5196:Poisson limit theorem
5173:
5150:
3092:
2992:
2655:
2617:
2017:
1915:
1872:
1850:
1825:
1797:
1795:{\displaystyle -cnpq}
1762:
1357:
1329:
1222:continuous derivative
1215:
1185:
1117:
1054:
969:
949:
926:
906:
883:
832:
812:
792:
772:
752:
724:
702:
624:
360:
340:
320:
300:
280:
238:
207:
187:
161:
140:binomial distribution
132:central limit theorem
104:binomial distribution
77:
36:binomial distribution
33:
5275:Papoulis, Athanasios
5162:
3107:
3007:
2667:
2629:
2032:
1946:
1931:First, according to
1881:
1859:
1837:
1806:
1774:
1373:
1338:
1231:
1194:
1138:
1063:
981:
958:
947:{\displaystyle \mu }
938:
915:
895:
844:
821:
801:
781:
761:
733:
711:
648:
444:
349:
329:
309:
289:
247:
224:
196:
176:
150:
1132:discrete derivative
1128:difference equation
1083:
437:we can approximate
136:normal distribution
116:normal distribution
98:heads when tossing
5372:1738 introductions
5168:
5145:
5143:
3087:
2987:
2985:
2650:
2642:
2612:
2610:
2012:
1933:Stirling's formula
1910:
1909:
1867:
1866:
1845:
1844:
1820:
1792:
1757:
1755:
1352:
1324:
1210:
1209:
1180:
1179:
1112:
1066:
1049:
964:
944:
921:
901:
891:For example, with
878:
827:
807:
787:
767:
747:
719:
718:
697:
619:
355:
335:
315:
295:
275:
236:{\displaystyle np}
233:
202:
182:
156:
134:, states that the
124:probability theory
120:
72:
5382:Abraham de Moivre
5233:. Dover. p.
5138:
5086:
5085:
5037:
5013:
5012:
4943:
4919:
4918:
4861:
4835:
4811:
4810:
4732:
4719:
4655:
4642:
4607:
4606:
4557:
4524:
4523:
4491:
4447:
4414:
4413:
4384:
4340:
4339:
4290:
4257:
4256:
4218:
4174:
4140:
4139:
4109:
4065:
4064:
4014:
3981:
3980:
3923:
3889:
3888:
3846:
3845:
3786:
3785:
3726:
3725:
3672:
3671:
3629:
3618:
3552:
3541:
3486:
3485:
3443:
3388:
3346:
3345:
3287:
3232:
3191:
3190:
3128:
3079:
3059:
2949:
2911:
2891:
2890:
2841:
2803:
2783:
2782:
2774:
2753:
2688:
2641:
2590:
2552:
2532:
2531:
2457:
2399:
2398:
2324:
2321:
2243:
2205:
2130:
2053:
1998:
1992:
1924:Alternative proof
1907:
1738:
1729:
1715:
1706:
1667:
1635:
1626:
1612:
1564:
1555:
1541:
1450:
1417:
1309:
1271:
1035:
924:{\displaystyle k}
904:{\displaystyle c}
876:
830:{\displaystyle k}
810:{\displaystyle X}
790:{\displaystyle c}
770:{\displaystyle X}
695:
603:
575:
521:
520:
461:
425:grows large, for
387:Gaussian function
376:Abraham de Moivre
358:{\displaystyle 1}
338:{\displaystyle 0}
318:{\displaystyle p}
298:{\displaystyle n}
273:
205:{\displaystyle n}
185:{\displaystyle p}
159:{\displaystyle n}
86:, runs from 0 to
16:(Redirected from
5389:
5356:
5355:
5327:
5321:
5320:
5299:
5293:
5292:
5271:
5265:
5264:
5226:
5217:
5177:
5175:
5174:
5169:
5154:
5152:
5151:
5146:
5144:
5140:
5139:
5137:
5123:
5122:
5121:
5093:
5087:
5069:
5065:
5057:
5053:
5049:
5048:
5047:
5038:
5030:
5014:
4996:
4992:
4984:
4980:
4976:
4954:
4953:
4944:
4936:
4920:
4902:
4898:
4890:
4886:
4882:
4872:
4871:
4862:
4854:
4846:
4845:
4836:
4828:
4812:
4794:
4790:
4782:
4778:
4774:
4773:
4769:
4759:
4758:
4743:
4742:
4733:
4725:
4720:
4709:
4696:
4692:
4682:
4681:
4666:
4665:
4656:
4648:
4643:
4632:
4608:
4590:
4586:
4578:
4574:
4570:
4569:
4565:
4558:
4556:
4545:
4541:
4540:
4530:
4525:
4522:
4511:
4510:
4497:
4493:
4492:
4481:
4459:
4455:
4448:
4446:
4435:
4431:
4430:
4420:
4415:
4412:
4401:
4400:
4390:
4386:
4385:
4374:
4341:
4323:
4319:
4311:
4307:
4303:
4302:
4298:
4291:
4289:
4278:
4274:
4273:
4263:
4258:
4255:
4244:
4243:
4230:
4226:
4219:
4208:
4186:
4182:
4175:
4173:
4162:
4158:
4157:
4147:
4142:
4141:
4138:
4127:
4126:
4115:
4111:
4110:
4099:
4066:
4048:
4044:
4036:
4032:
4028:
4027:
4023:
4016:
4015:
4013:
4002:
3998:
3997:
3987:
3982:
3979:
3968:
3967:
3935:
3931:
3924:
3922:
3911:
3907:
3906:
3896:
3891:
3890:
3887:
3876:
3875:
3847:
3829:
3825:
3817:
3797:
3793:
3792:
3788:
3787:
3784:
3773:
3772:
3732:
3728:
3727:
3724:
3713:
3712:
3673:
3655:
3651:
3643:
3639:
3635:
3634:
3630:
3628:
3620:
3619:
3608:
3587:
3557:
3553:
3551:
3543:
3542:
3531:
3516:
3487:
3469:
3465:
3457:
3453:
3449:
3448:
3444:
3442:
3434:
3423:
3393:
3389:
3387:
3376:
3347:
3329:
3325:
3317:
3313:
3309:
3308:
3304:
3303:
3292:
3288:
3286:
3275:
3267:
3247:
3243:
3242:
3237:
3233:
3228:
3220:
3192:
3174:
3170:
3161:
3160:
3145:
3144:
3135:
3134:
3133:
3120:
3096:
3094:
3093:
3088:
3080:
3075:
3074:
3065:
3060:
3055:
3054:
3045:
3034:
3030:
2996:
2994:
2993:
2988:
2986:
2966:
2965:
2954:
2950:
2948:
2937:
2929:
2922:
2921:
2916:
2912:
2907:
2899:
2892:
2874:
2870:
2862:
2858:
2857:
2846:
2842:
2840:
2829:
2821:
2814:
2813:
2808:
2804:
2799:
2791:
2784:
2781:
2780:
2776:
2775:
2767:
2754:
2746:
2731:
2730:
2721:
2720:
2705:
2704:
2695:
2694:
2693:
2680:
2659:
2657:
2656:
2651:
2643:
2634:
2621:
2619:
2618:
2613:
2611:
2607:
2606:
2595:
2591:
2589:
2578:
2570:
2563:
2562:
2557:
2553:
2548:
2540:
2533:
2530:
2529:
2525:
2497:
2496:
2488:
2484:
2483:
2468:
2467:
2458:
2456:
2455:
2454:
2443:
2439:
2423:
2422:
2412:
2411:
2402:
2400:
2397:
2396:
2392:
2364:
2363:
2355:
2351:
2350:
2335:
2334:
2325:
2323:
2322:
2299:
2297:
2296:
2272:
2271:
2244:
2233:
2231:
2230:
2218:
2217:
2207:
2206:
2195:
2193:
2192:
2180:
2179:
2169:
2161:
2157:
2156:
2141:
2140:
2131:
2129:
2103:
2095:
2086:
2085:
2070:
2069:
2060:
2059:
2058:
2045:
2021:
2019:
2018:
2013:
1999:
1996:
1993:
1982:
1980:
1979:
1967:
1966:
1919:
1917:
1916:
1911:
1908:
1897:
1894:
1889:
1876:
1874:
1873:
1868:
1854:
1852:
1851:
1846:
1829:
1827:
1826:
1821:
1801:
1799:
1798:
1793:
1766:
1764:
1763:
1758:
1756:
1743:
1739:
1737:
1719:
1718:
1716:
1714:
1707:
1696:
1675:
1668:
1657:
1648:
1640:
1636:
1634:
1616:
1615:
1613:
1611:
1597:
1577:
1569:
1565:
1563:
1545:
1544:
1542:
1540:
1539:
1535:
1516:
1515:
1511:
1490:
1486:
1461:
1451:
1449:
1431:
1420:
1418:
1416:
1401:
1390:
1381:
1361:
1359:
1358:
1353:
1333:
1331:
1330:
1325:
1315:
1311:
1310:
1308:
1297:
1296:
1287:
1272:
1270:
1255:
1244:
1235:
1219:
1217:
1216:
1211:
1189:
1187:
1186:
1181:
1121:
1119:
1118:
1113:
1082:
1077:
1058:
1056:
1055:
1050:
1036:
1034:
1033:
1024:
1013:
991:
973:
971:
970:
965:
953:
951:
950:
945:
930:
928:
927:
922:
910:
908:
907:
902:
887:
885:
884:
879:
877:
866:
836:
834:
833:
828:
816:
814:
813:
808:
796:
794:
793:
788:
776:
774:
773:
768:
756:
754:
753:
748:
728:
726:
725:
720:
706:
704:
703:
698:
696:
685:
682:
676:
672:
628:
626:
625:
620:
601:
578:
577:
576:
574:
560:
559:
558:
533:
522:
504:
500:
495:
494:
479:
478:
468:
467:
466:
453:
364:
362:
361:
356:
344:
342:
341:
336:
324:
322:
321:
316:
304:
302:
301:
296:
284:
282:
281:
276:
274:
251:
242:
240:
239:
234:
211:
209:
208:
203:
191:
189:
188:
183:
170:Bernoulli trials
165:
163:
162:
157:
21:
5397:
5396:
5392:
5391:
5390:
5388:
5387:
5386:
5362:
5361:
5360:
5359:
5329:
5328:
5324:
5317:
5301:
5300:
5296:
5289:
5273:
5272:
5268:
5254:= 3600, hence ½
5245:
5224:
5219:
5218:
5214:
5209:
5192:
5160:
5159:
5142:
5141:
5124:
5113:
5094:
5088:
5055:
5054:
5039:
5025:
5021:
4982:
4981:
4945:
4931:
4927:
4888:
4887:
4863:
4837:
4823:
4819:
4780:
4779:
4750:
4734:
4704:
4700:
4673:
4657:
4624:
4620:
4619:
4615:
4576:
4575:
4546:
4532:
4531:
4515:
4502:
4498:
4467:
4463:
4436:
4422:
4421:
4405:
4395:
4391:
4357:
4353:
4352:
4348:
4309:
4308:
4279:
4265:
4264:
4248:
4235:
4231:
4194:
4190:
4163:
4149:
4148:
4131:
4120:
4116:
4082:
4078:
4077:
4073:
4034:
4033:
4003:
3989:
3988:
3972:
3958:
3954:
3912:
3898:
3897:
3880:
3869:
3865:
3858:
3854:
3815:
3814:
3777:
3757:
3717:
3697:
3684:
3680:
3641:
3640:
3621:
3588:
3582:
3544:
3517:
3511:
3498:
3494:
3455:
3454:
3435:
3424:
3418:
3380:
3371:
3358:
3354:
3315:
3314:
3276:
3268:
3262:
3261:
3257:
3221:
3215:
3214:
3210:
3203:
3199:
3162:
3146:
3136:
3115:
3105:
3104:
3066:
3046:
3020:
3016:
3005:
3004:
2984:
2983:
2938:
2930:
2924:
2923:
2900:
2894:
2893:
2860:
2859:
2830:
2822:
2816:
2815:
2792:
2786:
2785:
2759:
2755:
2735:
2722:
2706:
2696:
2675:
2665:
2664:
2627:
2626:
2609:
2608:
2579:
2571:
2565:
2564:
2541:
2535:
2534:
2515:
2511:
2501:
2486:
2485:
2469:
2459:
2429:
2425:
2424:
2414:
2413:
2403:
2382:
2378:
2368:
2353:
2352:
2336:
2326:
2273:
2257:
2219:
2209:
2208:
2181:
2171:
2170:
2159:
2158:
2142:
2132:
2104:
2096:
2087:
2071:
2061:
2040:
2030:
2029:
1968:
1958:
1944:
1943:
1926:
1879:
1878:
1857:
1856:
1835:
1834:
1804:
1803:
1772:
1771:
1754:
1753:
1741:
1740:
1730:
1676:
1649:
1638:
1637:
1627:
1598:
1578:
1567:
1566:
1556:
1525:
1521:
1517:
1501:
1497:
1470:
1466:
1462:
1453:
1432:
1421:
1402:
1383:
1382:
1371:
1370:
1336:
1335:
1298:
1288:
1282:
1278:
1256:
1237:
1236:
1229:
1228:
1192:
1191:
1136:
1135:
1061:
1060:
1025:
1014:
984:
979:
978:
956:
955:
936:
935:
913:
912:
893:
892:
842:
841:
819:
818:
799:
798:
779:
778:
759:
758:
731:
730:
709:
708:
655:
651:
646:
645:
642:
561:
550:
534:
524:
480:
470:
448:
442:
441:
419:
347:
346:
327:
326:
307:
306:
287:
286:
245:
244:
222:
221:
194:
193:
174:
173:
148:
147:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
5395:
5393:
5385:
5384:
5379:
5374:
5364:
5363:
5358:
5357:
5338:(3): 216–217.
5322:
5315:
5294:
5287:
5266:
5243:
5211:
5210:
5208:
5205:
5204:
5203:
5191:
5188:
5167:
5156:
5155:
5136:
5133:
5130:
5127:
5120:
5116:
5112:
5109:
5106:
5103:
5100:
5097:
5091:
5084:
5081:
5078:
5075:
5072:
5068:
5063:
5060:
5058:
5056:
5052:
5046:
5042:
5036:
5033:
5028:
5024:
5020:
5017:
5011:
5008:
5005:
5002:
4999:
4995:
4990:
4987:
4985:
4983:
4979:
4975:
4972:
4969:
4966:
4963:
4960:
4957:
4952:
4948:
4942:
4939:
4934:
4930:
4926:
4923:
4917:
4914:
4911:
4908:
4905:
4901:
4896:
4893:
4891:
4889:
4885:
4881:
4878:
4875:
4870:
4866:
4860:
4857:
4852:
4849:
4844:
4840:
4834:
4831:
4826:
4822:
4818:
4815:
4809:
4806:
4803:
4800:
4797:
4793:
4788:
4785:
4783:
4781:
4777:
4772:
4768:
4765:
4762:
4757:
4753:
4749:
4746:
4741:
4737:
4731:
4728:
4723:
4718:
4715:
4712:
4707:
4703:
4699:
4695:
4691:
4688:
4685:
4680:
4676:
4672:
4669:
4664:
4660:
4654:
4651:
4646:
4641:
4638:
4635:
4630:
4627:
4623:
4618:
4614:
4611:
4605:
4602:
4599:
4596:
4593:
4589:
4584:
4581:
4579:
4577:
4573:
4568:
4564:
4561:
4555:
4552:
4549:
4544:
4539:
4535:
4528:
4521:
4518:
4514:
4508:
4505:
4501:
4496:
4490:
4487:
4484:
4479:
4476:
4473:
4470:
4466:
4462:
4458:
4454:
4451:
4445:
4442:
4439:
4434:
4429:
4425:
4418:
4411:
4408:
4404:
4398:
4394:
4389:
4383:
4380:
4377:
4372:
4369:
4366:
4363:
4360:
4356:
4351:
4347:
4344:
4338:
4335:
4332:
4329:
4326:
4322:
4317:
4314:
4312:
4310:
4306:
4301:
4297:
4294:
4288:
4285:
4282:
4277:
4272:
4268:
4261:
4254:
4251:
4247:
4241:
4238:
4234:
4229:
4225:
4222:
4217:
4214:
4211:
4206:
4203:
4200:
4197:
4193:
4189:
4185:
4181:
4178:
4172:
4169:
4166:
4161:
4156:
4152:
4145:
4137:
4134:
4130:
4124:
4119:
4114:
4108:
4105:
4102:
4097:
4094:
4091:
4088:
4085:
4081:
4076:
4072:
4069:
4063:
4060:
4057:
4054:
4051:
4047:
4042:
4039:
4037:
4035:
4031:
4026:
4022:
4019:
4012:
4009:
4006:
4001:
3996:
3992:
3985:
3978:
3975:
3971:
3965:
3962:
3957:
3953:
3950:
3947:
3944:
3941:
3938:
3934:
3930:
3927:
3921:
3918:
3915:
3910:
3905:
3901:
3894:
3886:
3883:
3879:
3873:
3868:
3864:
3861:
3857:
3853:
3850:
3844:
3841:
3838:
3835:
3832:
3828:
3823:
3820:
3818:
3816:
3813:
3810:
3807:
3804:
3801:
3796:
3791:
3783:
3780:
3776:
3770:
3767:
3764:
3760:
3756:
3753:
3750:
3747:
3744:
3741:
3738:
3735:
3731:
3723:
3720:
3716:
3710:
3707:
3704:
3700:
3696:
3693:
3690:
3687:
3683:
3679:
3676:
3670:
3667:
3664:
3661:
3658:
3654:
3649:
3646:
3644:
3642:
3638:
3633:
3627:
3624:
3617:
3614:
3611:
3606:
3603:
3600:
3597:
3594:
3591:
3585:
3581:
3578:
3575:
3572:
3569:
3566:
3563:
3560:
3556:
3550:
3547:
3540:
3537:
3534:
3529:
3526:
3523:
3520:
3514:
3510:
3507:
3504:
3501:
3497:
3493:
3490:
3484:
3481:
3478:
3475:
3472:
3468:
3463:
3460:
3458:
3456:
3452:
3447:
3441:
3438:
3433:
3430:
3427:
3421:
3417:
3414:
3411:
3408:
3405:
3402:
3399:
3396:
3392:
3386:
3383:
3379:
3374:
3370:
3367:
3364:
3361:
3357:
3353:
3350:
3344:
3341:
3338:
3335:
3332:
3328:
3323:
3320:
3318:
3316:
3312:
3307:
3302:
3299:
3296:
3291:
3285:
3282:
3279:
3274:
3271:
3265:
3260:
3256:
3253:
3250:
3246:
3241:
3236:
3231:
3227:
3224:
3218:
3213:
3209:
3206:
3202:
3198:
3195:
3189:
3186:
3183:
3180:
3177:
3173:
3168:
3165:
3163:
3159:
3156:
3153:
3149:
3143:
3139:
3132:
3127:
3124:
3119:
3113:
3112:
3098:
3097:
3086:
3083:
3078:
3073:
3069:
3063:
3058:
3053:
3049:
3043:
3040:
3037:
3033:
3029:
3026:
3023:
3019:
3015:
3012:
2998:
2997:
2982:
2979:
2976:
2973:
2970:
2964:
2961:
2958:
2953:
2947:
2944:
2941:
2936:
2933:
2927:
2920:
2915:
2910:
2906:
2903:
2897:
2889:
2886:
2883:
2880:
2877:
2873:
2868:
2865:
2863:
2861:
2856:
2853:
2850:
2845:
2839:
2836:
2833:
2828:
2825:
2819:
2812:
2807:
2802:
2798:
2795:
2789:
2779:
2773:
2770:
2765:
2762:
2758:
2752:
2749:
2744:
2741:
2738:
2734:
2728:
2725:
2723:
2719:
2716:
2713:
2709:
2703:
2699:
2692:
2687:
2684:
2679:
2673:
2672:
2649:
2646:
2640:
2637:
2623:
2622:
2605:
2602:
2599:
2594:
2588:
2585:
2582:
2577:
2574:
2568:
2561:
2556:
2551:
2547:
2544:
2538:
2528:
2524:
2521:
2518:
2514:
2510:
2507:
2504:
2500:
2494:
2491:
2489:
2487:
2482:
2479:
2476:
2472:
2466:
2462:
2453:
2450:
2447:
2442:
2438:
2435:
2432:
2428:
2421:
2417:
2410:
2406:
2395:
2391:
2388:
2385:
2381:
2377:
2374:
2371:
2367:
2361:
2358:
2356:
2354:
2349:
2346:
2343:
2339:
2333:
2329:
2320:
2317:
2314:
2311:
2308:
2305:
2302:
2295:
2292:
2289:
2286:
2283:
2280:
2276:
2270:
2267:
2264:
2260:
2256:
2253:
2250:
2247:
2242:
2239:
2236:
2229:
2226:
2222:
2216:
2212:
2204:
2201:
2198:
2191:
2188:
2184:
2178:
2174:
2167:
2164:
2162:
2160:
2155:
2152:
2149:
2145:
2139:
2135:
2128:
2125:
2122:
2119:
2116:
2113:
2110:
2107:
2102:
2099:
2093:
2090:
2088:
2084:
2081:
2078:
2074:
2068:
2064:
2057:
2052:
2049:
2044:
2038:
2037:
2023:
2022:
2011:
2008:
2005:
2002:
1991:
1988:
1985:
1978:
1975:
1971:
1965:
1961:
1957:
1954:
1951:
1925:
1922:
1906:
1903:
1900:
1893:
1888:
1865:
1843:
1819:
1815:
1811:
1791:
1788:
1785:
1782:
1779:
1768:
1767:
1752:
1749:
1746:
1744:
1742:
1736:
1733:
1728:
1725:
1722:
1713:
1710:
1705:
1702:
1699:
1694:
1691:
1688:
1685:
1682:
1679:
1674:
1671:
1666:
1663:
1660:
1655:
1652:
1646:
1643:
1641:
1639:
1633:
1630:
1625:
1622:
1619:
1610:
1607:
1604:
1601:
1596:
1593:
1590:
1587:
1584:
1581:
1575:
1572:
1570:
1568:
1562:
1559:
1554:
1551:
1548:
1538:
1534:
1531:
1528:
1524:
1520:
1514:
1510:
1507:
1504:
1500:
1496:
1493:
1489:
1485:
1482:
1479:
1476:
1473:
1469:
1465:
1459:
1456:
1454:
1448:
1443:
1438:
1435:
1430:
1427:
1424:
1415:
1412:
1409:
1405:
1400:
1397:
1394:
1389:
1386:
1379:
1378:
1364:
1363:
1351:
1347:
1343:
1323:
1319:
1314:
1307:
1304:
1301:
1295:
1291:
1285:
1281:
1276:
1269:
1266:
1263:
1259:
1254:
1251:
1248:
1243:
1240:
1208:
1204:
1200:
1178:
1175:
1172:
1169:
1165:
1161:
1158:
1154:
1150:
1147:
1144:
1124:
1123:
1111:
1107:
1103:
1100:
1096:
1093:
1090:
1087:
1081:
1076:
1073:
1069:
1048:
1045:
1042:
1039:
1032:
1028:
1023:
1020:
1017:
1009:
1005:
1001:
998:
995:
990:
987:
963:
943:
920:
900:
889:
888:
875:
872:
869:
864:
861:
858:
855:
852:
849:
826:
806:
786:
766:
746:
742:
738:
717:
694:
691:
688:
681:
675:
671:
668:
663:
658:
654:
641:
638:
630:
629:
618:
615:
612:
609:
606:
600:
597:
594:
591:
588:
585:
581:
573:
570:
567:
564:
557:
553:
549:
546:
543:
540:
537:
531:
527:
519:
516:
513:
510:
507:
503:
498:
493:
490:
487:
483:
477:
473:
465:
460:
457:
452:
418:
415:
354:
334:
314:
294:
272:
269:
266:
263:
260:
257:
254:
232:
229:
201:
181:
155:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5394:
5383:
5380:
5378:
5375:
5373:
5370:
5369:
5367:
5353:
5349:
5345:
5341:
5337:
5333:
5326:
5323:
5318:
5316:0-471-25708-7
5312:
5308:
5304:
5298:
5295:
5290:
5288:0-07-122661-3
5284:
5280:
5276:
5270:
5267:
5263:
5261:
5257:
5253:
5246:
5244:0-486-64690-4
5240:
5236:
5232:
5231:
5223:
5216:
5213:
5206:
5201:
5197:
5194:
5193:
5189:
5187:
5185:
5181:
5165:
5134:
5131:
5128:
5125:
5118:
5110:
5107:
5104:
5101:
5095:
5089:
5082:
5079:
5076:
5073:
5070:
5066:
5061:
5059:
5050:
5044:
5040:
5034:
5031:
5026:
5022:
5018:
5015:
5009:
5006:
5003:
5000:
4997:
4993:
4988:
4986:
4977:
4973:
4970:
4964:
4961:
4958:
4950:
4946:
4940:
4937:
4932:
4928:
4924:
4921:
4915:
4912:
4909:
4906:
4903:
4899:
4894:
4892:
4883:
4879:
4876:
4873:
4868:
4864:
4858:
4855:
4850:
4847:
4842:
4838:
4832:
4829:
4824:
4820:
4816:
4813:
4807:
4804:
4801:
4798:
4795:
4791:
4786:
4784:
4775:
4770:
4766:
4763:
4760:
4755:
4751:
4747:
4744:
4739:
4735:
4729:
4726:
4721:
4716:
4713:
4710:
4705:
4701:
4697:
4693:
4689:
4686:
4683:
4678:
4674:
4670:
4667:
4662:
4658:
4652:
4649:
4644:
4639:
4636:
4633:
4628:
4625:
4621:
4616:
4612:
4609:
4603:
4600:
4597:
4594:
4591:
4587:
4582:
4580:
4571:
4566:
4562:
4559:
4553:
4550:
4547:
4542:
4537:
4533:
4526:
4519:
4516:
4512:
4506:
4503:
4499:
4494:
4488:
4485:
4482:
4477:
4474:
4471:
4468:
4464:
4460:
4456:
4452:
4449:
4443:
4440:
4437:
4432:
4427:
4423:
4416:
4409:
4406:
4402:
4396:
4392:
4387:
4381:
4378:
4375:
4370:
4367:
4364:
4361:
4358:
4354:
4349:
4345:
4342:
4336:
4333:
4330:
4327:
4324:
4320:
4315:
4313:
4304:
4299:
4295:
4292:
4286:
4283:
4280:
4275:
4270:
4266:
4259:
4252:
4249:
4245:
4239:
4236:
4232:
4227:
4223:
4220:
4215:
4212:
4209:
4204:
4201:
4198:
4195:
4191:
4187:
4183:
4179:
4176:
4170:
4167:
4164:
4159:
4154:
4150:
4143:
4135:
4132:
4128:
4122:
4117:
4112:
4106:
4103:
4100:
4095:
4092:
4089:
4086:
4083:
4079:
4074:
4070:
4067:
4061:
4058:
4055:
4052:
4049:
4045:
4040:
4038:
4029:
4024:
4020:
4017:
4010:
4007:
4004:
3999:
3994:
3990:
3983:
3976:
3973:
3969:
3963:
3960:
3955:
3948:
3945:
3942:
3936:
3932:
3928:
3925:
3919:
3916:
3913:
3908:
3903:
3899:
3892:
3884:
3881:
3877:
3871:
3866:
3862:
3859:
3855:
3851:
3848:
3842:
3839:
3836:
3833:
3830:
3826:
3821:
3819:
3811:
3808:
3805:
3802:
3799:
3794:
3789:
3781:
3778:
3774:
3768:
3765:
3762:
3758:
3754:
3751:
3745:
3742:
3739:
3733:
3729:
3721:
3718:
3714:
3708:
3705:
3702:
3698:
3694:
3691:
3688:
3685:
3681:
3677:
3674:
3668:
3665:
3662:
3659:
3656:
3652:
3647:
3645:
3636:
3631:
3625:
3622:
3615:
3612:
3609:
3604:
3601:
3598:
3595:
3592:
3589:
3583:
3579:
3576:
3570:
3567:
3564:
3558:
3554:
3548:
3545:
3538:
3535:
3532:
3527:
3524:
3521:
3518:
3512:
3508:
3505:
3502:
3499:
3495:
3491:
3488:
3482:
3479:
3476:
3473:
3470:
3466:
3461:
3459:
3450:
3445:
3439:
3436:
3431:
3428:
3425:
3419:
3415:
3412:
3406:
3403:
3400:
3394:
3390:
3384:
3381:
3377:
3372:
3368:
3365:
3362:
3359:
3355:
3351:
3348:
3342:
3339:
3336:
3333:
3330:
3326:
3321:
3319:
3310:
3305:
3300:
3297:
3294:
3289:
3283:
3280:
3277:
3272:
3269:
3263:
3258:
3254:
3251:
3248:
3244:
3239:
3234:
3229:
3225:
3222:
3216:
3211:
3207:
3204:
3200:
3196:
3193:
3187:
3184:
3181:
3178:
3175:
3171:
3166:
3164:
3157:
3154:
3151:
3147:
3141:
3137:
3125:
3122:
3103:
3102:
3101:
3084:
3081:
3076:
3071:
3067:
3061:
3056:
3051:
3047:
3041:
3038:
3035:
3031:
3027:
3024:
3021:
3017:
3013:
3010:
3003:
3002:
3001:
2980:
2977:
2974:
2971:
2968:
2962:
2959:
2956:
2951:
2945:
2942:
2939:
2934:
2931:
2925:
2918:
2913:
2908:
2904:
2901:
2895:
2887:
2884:
2881:
2878:
2875:
2871:
2866:
2864:
2854:
2851:
2848:
2843:
2837:
2834:
2831:
2826:
2823:
2817:
2810:
2805:
2800:
2796:
2793:
2787:
2777:
2771:
2768:
2763:
2760:
2756:
2750:
2747:
2742:
2739:
2736:
2732:
2726:
2724:
2717:
2714:
2711:
2707:
2701:
2697:
2685:
2682:
2663:
2662:
2661:
2647:
2638:
2635:
2603:
2600:
2597:
2592:
2586:
2583:
2580:
2575:
2572:
2566:
2559:
2554:
2549:
2545:
2542:
2536:
2526:
2522:
2519:
2516:
2512:
2508:
2505:
2502:
2498:
2492:
2490:
2480:
2477:
2474:
2470:
2464:
2460:
2451:
2448:
2445:
2440:
2436:
2433:
2430:
2426:
2419:
2415:
2408:
2404:
2393:
2389:
2386:
2383:
2379:
2375:
2372:
2369:
2365:
2359:
2357:
2347:
2344:
2341:
2337:
2331:
2327:
2315:
2312:
2309:
2303:
2300:
2290:
2287:
2284:
2278:
2274:
2268:
2265:
2262:
2254:
2251:
2248:
2240:
2237:
2234:
2227:
2224:
2220:
2214:
2210:
2202:
2199:
2196:
2189:
2186:
2182:
2176:
2172:
2165:
2163:
2153:
2150:
2147:
2143:
2137:
2133:
2126:
2120:
2117:
2114:
2108:
2105:
2100:
2097:
2091:
2089:
2082:
2079:
2076:
2072:
2066:
2062:
2050:
2047:
2028:
2027:
2026:
2009:
2000:
1989:
1986:
1983:
1976:
1973:
1969:
1963:
1959:
1955:
1952:
1949:
1942:
1941:
1940:
1938:
1934:
1929:
1923:
1921:
1904:
1901:
1898:
1891:
1886:
1863:
1841:
1831:
1809:
1789:
1786:
1783:
1780:
1777:
1750:
1745:
1734:
1731:
1726:
1723:
1720:
1711:
1708:
1703:
1700:
1697:
1692:
1689:
1686:
1683:
1680:
1677:
1672:
1669:
1664:
1661:
1658:
1653:
1650:
1644:
1642:
1631:
1628:
1623:
1620:
1617:
1608:
1605:
1602:
1599:
1594:
1591:
1588:
1585:
1582:
1579:
1573:
1571:
1560:
1557:
1552:
1549:
1546:
1536:
1532:
1529:
1526:
1522:
1518:
1512:
1508:
1505:
1502:
1498:
1494:
1491:
1487:
1483:
1480:
1477:
1474:
1471:
1467:
1463:
1457:
1455:
1446:
1441:
1436:
1433:
1428:
1425:
1422:
1410:
1403:
1395:
1387:
1384:
1369:
1368:
1367:
1341:
1321:
1312:
1305:
1302:
1299:
1293:
1289:
1283:
1279:
1274:
1264:
1257:
1249:
1241:
1238:
1227:
1226:
1225:
1223:
1198:
1173:
1167:
1163:
1156:
1152:
1148:
1142:
1133:
1129:
1109:
1105:
1101:
1098:
1091:
1085:
1071:
1067:
1043:
1037:
1030:
1026:
1021:
1018:
1015:
1007:
1003:
996:
988:
985:
977:
976:
975:
961:
941:
932:
918:
898:
873:
870:
867:
862:
859:
856:
853:
850:
847:
840:
839:
838:
824:
804:
784:
764:
736:
715:
692:
689:
686:
679:
673:
669:
666:
661:
656:
652:
639:
637:
635:
616:
613:
610:
607:
604:
598:
595:
592:
589:
586:
583:
579:
571:
568:
565:
562:
555:
547:
544:
541:
538:
529:
525:
517:
514:
511:
508:
505:
501:
496:
491:
488:
485:
481:
475:
471:
458:
455:
440:
439:
438:
436:
432:
428:
424:
416:
414:
412:
408:
404:
400:
396:
390:
388:
383:
381:
377:
373:
372:
366:
352:
332:
312:
292:
267:
264:
261:
255:
252:
230:
227:
219:
215:
199:
179:
171:
168:
153:
145:
141:
137:
133:
129:
125:
117:
113:
109:
105:
101:
97:
93:
89:
85:
81:
76:
69:
65:
61:
58:and variance
57:
53:
50:successes in
49:
45:
41:
37:
32:
19:
5335:
5331:
5325:
5306:
5297:
5278:
5269:
5259:
5255:
5251:
5248:
5229:
5215:
5199:
5183:
5179:
5157:
3099:
2999:
2624:
2024:
1936:
1930:
1927:
1832:
1769:
1365:
1125:
933:
890:
643:
633:
631:
434:
431:neighborhood
426:
422:
420:
410:
406:
402:
398:
394:
391:
384:
369:
367:
127:
121:
111:
107:
99:
95:
91:
87:
83:
79:
67:
63:
59:
55:
51:
47:
44:bean machine
167:independent
5366:Categories
5303:Feller, W.
5352:125977913
5166:≃
5105:−
5096:−
5074:π
5027:−
5019:
5001:π
4989:≃
4974:⋯
4971:−
4933:−
4925:
4907:π
4880:⋯
4877:−
4851:−
4825:−
4817:
4799:π
4767:⋯
4764:−
4748:−
4690:⋯
4671:−
4626:−
4613:
4595:π
4563:⋯
4560:−
4527:−
4504:−
4475:−
4461:−
4453:⋯
4417:−
4368:−
4359:−
4346:
4328:π
4296:⋯
4293:−
4260:−
4237:−
4221:−
4180:⋯
4144:−
4093:−
4084:−
4071:
4053:π
4021:⋯
4018:−
3984:−
3961:−
3946:−
3929:⋯
3893:−
3860:−
3852:
3834:π
3766:−
3755:
3743:−
3695:
3686:−
3678:
3660:π
3602:−
3593:−
3580:
3568:−
3509:
3500:−
3492:
3474:π
3429:−
3416:
3404:−
3369:
3360:−
3352:
3334:π
3298:−
3281:−
3255:
3208:
3197:
3179:π
3167:≃
3155:−
3085:⋯
3082:−
3042:−
3036:≃
3014:
2960:−
2943:−
2879:π
2867:≃
2852:−
2835:−
2764:−
2740:π
2727:≃
2715:−
2645:→
2601:−
2584:−
2520:−
2506:π
2478:−
2449:−
2434:−
2387:−
2373:π
2345:−
2313:−
2304:π
2288:−
2279:−
2266:−
2252:−
2238:π
2225:−
2200:π
2187:−
2166:≃
2151:−
2118:−
2080:−
2007:∞
2004:→
1987:π
1974:−
1956:≃
1818:∞
1814:→
1778:−
1748:→
1732:−
1670:−
1651:−
1629:−
1592:−
1586:−
1558:−
1492:−
1442:−
1350:∞
1346:→
1318:→
1306:μ
1303:−
1290:σ
1284:−
1275:⋅
1207:∞
1203:→
1164:−
1080:∞
1075:∞
1072:−
1068:∫
1027:σ
1022:μ
1019:−
1008:−
962:σ
942:μ
837:given by
745:∞
741:→
662:−
542:−
530:−
509:π
497:≃
489:−
265:−
214:converges
212:trials),
106:based on
102:coins (a
38:(such as
5305:(1968).
5190:See also
1997:as
1388:′
1242:′
989:′
40:Galton's
707:, with
429:in the
417:Theorem
325:is not
216:to the
5350:
5313:
5285:
5241:
5158:Each "
911:at 3,
602:
126:, the
5348:S2CID
5225:(PDF)
5207:Notes
5186:→ ∞.
3100:Then
2025:Thus
640:Proof
636:→ ∞.
401:) is
285:, as
5311:ISBN
5283:ISBN
5239:ISBN
614:>
5340:doi
5016:exp
4922:exp
4814:exp
4610:exp
4343:exp
4068:exp
3849:exp
3675:exp
3489:exp
3349:exp
3194:exp
1887:0.5
1833:As
1334:as
433:of
421:As
374:by
345:or
122:In
62:(1−
5368::
5346:.
5336:49
5334:.
5247:.
5237:.
5235:78
3752:ln
3692:ln
3577:ln
3506:ln
3413:ln
3366:ln
3252:ln
3205:ln
3011:ln
1830:.
1134:,
435:np
365:.
60:np
56:np
5354:.
5342::
5319:.
5291:.
5260:n
5256:n
5252:n
5202:.
5200:n
5184:n
5180:n
5135:q
5132:p
5129:n
5126:2
5119:2
5115:)
5111:p
5108:n
5102:k
5099:(
5090:e
5083:q
5080:p
5077:n
5071:2
5067:1
5062:=
5051:}
5045:2
5041:x
5035:2
5032:1
5023:{
5010:q
5007:p
5004:n
4998:2
4994:1
4978:}
4968:)
4965:q
4962:+
4959:p
4956:(
4951:2
4947:x
4941:2
4938:1
4929:{
4916:q
4913:p
4910:n
4904:2
4900:1
4895:=
4884:}
4874:p
4869:2
4865:x
4859:2
4856:1
4848:q
4843:2
4839:x
4833:2
4830:1
4821:{
4808:q
4805:p
4802:n
4796:2
4792:1
4787:=
4776:}
4771:)
4761:p
4756:2
4752:x
4745:p
4740:2
4736:x
4730:2
4727:1
4722:+
4717:q
4714:p
4711:n
4706:x
4702:(
4698:+
4694:)
4687:+
4684:q
4679:2
4675:x
4668:q
4663:2
4659:x
4653:2
4650:1
4645:+
4640:q
4637:p
4634:n
4629:x
4622:(
4617:{
4604:q
4601:p
4598:n
4592:2
4588:1
4583:=
4572:}
4567:)
4554:q
4551:n
4548:2
4543:p
4538:2
4534:x
4520:q
4517:n
4513:p
4507:x
4500:(
4495:)
4489:q
4486:p
4483:n
4478:x
4472:q
4469:n
4465:(
4457:)
4450:+
4444:p
4441:n
4438:2
4433:q
4428:2
4424:x
4410:p
4407:n
4403:q
4397:x
4393:(
4388:)
4382:q
4379:p
4376:n
4371:x
4365:p
4362:n
4355:(
4350:{
4337:q
4334:p
4331:n
4325:2
4321:1
4316:=
4305:}
4300:)
4287:q
4284:n
4281:2
4276:p
4271:2
4267:x
4253:q
4250:n
4246:p
4240:x
4233:(
4228:)
4224:n
4216:q
4213:p
4210:n
4205:x
4202:+
4199:p
4196:n
4192:(
4188:+
4184:)
4177:+
4171:p
4168:n
4165:2
4160:q
4155:2
4151:x
4136:p
4133:n
4129:q
4123:x
4118:(
4113:)
4107:q
4104:p
4101:n
4096:x
4090:p
4087:n
4080:(
4075:{
4062:q
4059:p
4056:n
4050:2
4046:1
4041:=
4030:}
4025:)
4011:q
4008:n
4005:2
4000:p
3995:2
3991:x
3977:q
3974:n
3970:p
3964:x
3956:(
3952:)
3949:n
3943:k
3940:(
3937:+
3933:)
3926:+
3920:p
3917:n
3914:2
3909:q
3904:2
3900:x
3885:p
3882:n
3878:q
3872:x
3867:(
3863:k
3856:{
3843:q
3840:p
3837:n
3831:2
3827:1
3822:=
3812:1
3809:=
3806:q
3803:+
3800:p
3795:}
3790:)
3782:q
3779:n
3775:p
3769:x
3763:1
3759:(
3749:)
3746:n
3740:k
3737:(
3734:+
3730:)
3722:p
3719:n
3715:q
3709:x
3706:+
3703:1
3699:(
3689:k
3682:{
3669:q
3666:p
3663:n
3657:2
3653:1
3648:=
3637:}
3632:)
3626:q
3623:n
3616:q
3613:p
3610:n
3605:x
3599:p
3596:n
3590:n
3584:(
3574:)
3571:n
3565:k
3562:(
3559:+
3555:)
3549:p
3546:n
3539:q
3536:p
3533:n
3528:x
3525:+
3522:p
3519:n
3513:(
3503:k
3496:{
3483:q
3480:p
3477:n
3471:2
3467:1
3462:=
3451:}
3446:)
3440:q
3437:n
3432:k
3426:n
3420:(
3410:)
3407:n
3401:k
3398:(
3395:+
3391:)
3385:p
3382:n
3378:k
3373:(
3363:k
3356:{
3343:q
3340:p
3337:n
3331:2
3327:1
3322:=
3311:}
3306:)
3301:k
3295:n
3290:)
3284:k
3278:n
3273:q
3270:n
3264:(
3259:(
3249:+
3245:)
3240:k
3235:)
3230:k
3226:p
3223:n
3217:(
3212:(
3201:{
3188:q
3185:p
3182:n
3176:2
3172:1
3158:k
3152:n
3148:q
3142:k
3138:p
3131:)
3126:k
3123:n
3118:(
3077:3
3072:3
3068:x
3062:+
3057:2
3052:2
3048:x
3039:x
3032:)
3028:x
3025:+
3022:1
3018:(
2981:1
2978:=
2975:q
2972:+
2969:p
2963:k
2957:n
2952:)
2946:k
2940:n
2935:q
2932:n
2926:(
2919:k
2914:)
2909:k
2905:p
2902:n
2896:(
2888:q
2885:p
2882:n
2876:2
2872:1
2855:k
2849:n
2844:)
2838:k
2832:n
2827:q
2824:n
2818:(
2811:k
2806:)
2801:k
2797:p
2794:n
2788:(
2778:)
2772:n
2769:k
2761:1
2757:(
2751:n
2748:k
2743:n
2737:2
2733:1
2718:k
2712:n
2708:q
2702:k
2698:p
2691:)
2686:k
2683:n
2678:(
2648:p
2639:n
2636:k
2604:k
2598:n
2593:)
2587:k
2581:n
2576:q
2573:n
2567:(
2560:k
2555:)
2550:k
2546:p
2543:n
2537:(
2527:)
2523:k
2517:n
2513:(
2509:k
2503:2
2499:n
2493:=
2481:k
2475:n
2471:q
2465:k
2461:p
2452:k
2446:n
2441:)
2437:k
2431:n
2427:(
2420:k
2416:k
2409:n
2405:n
2394:)
2390:k
2384:n
2380:(
2376:k
2370:2
2366:n
2360:=
2348:k
2342:n
2338:q
2332:k
2328:p
2319:)
2316:k
2310:n
2307:(
2301:2
2294:)
2291:k
2285:n
2282:(
2275:e
2269:k
2263:n
2259:)
2255:k
2249:n
2246:(
2241:k
2235:2
2228:k
2221:e
2215:k
2211:k
2203:n
2197:2
2190:n
2183:e
2177:n
2173:n
2154:k
2148:n
2144:q
2138:k
2134:p
2127:!
2124:)
2121:k
2115:n
2112:(
2109:!
2106:k
2101:!
2098:n
2092:=
2083:k
2077:n
2073:q
2067:k
2063:p
2056:)
2051:k
2048:n
2043:(
2010:.
2001:n
1990:n
1984:2
1977:n
1970:e
1964:n
1960:n
1953:!
1950:n
1937:n
1905:q
1902:p
1899:n
1892:/
1864:c
1842:k
1810:n
1790:q
1787:p
1784:n
1781:c
1751:1
1735:c
1727:q
1724:p
1721:n
1712:q
1709:+
1704:q
1701:p
1698:n
1693:q
1690:c
1687:+
1684:q
1681:p
1678:n
1673:q
1665:q
1662:p
1659:n
1654:c
1645:=
1632:c
1624:q
1621:p
1618:n
1609:q
1606:+
1603:q
1600:k
1595:q
1589:k
1583:p
1580:n
1574:=
1561:c
1553:q
1550:p
1547:n
1537:)
1533:k
1530:,
1527:n
1523:(
1519:p
1513:)
1509:k
1506:,
1503:n
1499:(
1495:p
1488:)
1484:1
1481:+
1478:k
1475:,
1472:n
1468:(
1464:p
1458:=
1447:k
1437:p
1434:n
1429:q
1426:p
1423:n
1414:)
1411:x
1408:(
1404:f
1399:)
1396:x
1393:(
1385:f
1362:.
1342:n
1322:1
1313:)
1300:x
1294:2
1280:(
1268:)
1265:x
1262:(
1258:f
1253:)
1250:x
1247:(
1239:f
1199:n
1177:)
1174:k
1171:(
1168:p
1160:)
1157:1
1153:+
1149:k
1146:(
1143:p
1122:.
1110:1
1106:=
1102:x
1099:d
1095:)
1092:x
1089:(
1086:f
1047:)
1044:x
1041:(
1038:f
1031:2
1016:x
1004:=
1000:)
997:x
994:(
986:f
919:k
899:c
874:q
871:p
868:n
863:c
860:+
857:p
854:n
851:=
848:k
825:k
805:X
785:c
765:X
737:n
716:X
693:q
690:p
687:n
680:/
674:)
670:p
667:n
657:X
653:(
634:n
617:0
611:q
608:,
605:p
599:,
596:1
593:=
590:q
587:+
584:p
580:,
572:q
569:p
566:n
563:2
556:2
552:)
548:p
545:n
539:k
536:(
526:e
518:q
515:p
512:n
506:2
502:1
492:k
486:n
482:q
476:k
472:p
464:)
459:k
456:n
451:(
427:k
423:n
411:n
407:n
399:n
395:n
353:1
333:0
313:p
293:n
271:)
268:p
262:1
259:(
256:p
253:n
231:p
228:n
200:n
180:p
154:n
118:.
112:n
108:n
100:n
96:k
92:k
88:n
84:k
80:n
70:.
68:p
64:p
52:n
48:k
42:"
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
