20:
1654:
1486:
165:
663:
1649:{\displaystyle \operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABC)=\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle OBC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle AOC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABO),}
54:
702:
432:
757:
329:
1479:
1425:
490:
574:
536:
1371:
896:
813:
569:
259:
1678:
Jean Paul de Gua de Malves (1713–1785) published the theorem in 1783, but around the same time a slightly more general version was published by another French mathematician,
1217:
1322:
867:
1293:
1182:
1254:
1047:
1143:
1111:
1079:
285:
989:
962:
935:
360:
1009:
51:), then the square of the area of the face opposite the right-angle corner is the sum of the squares of the areas of the other three faces:
1945:
1679:
1664:
2045:
2050:
816:
363:
40:
668:
377:
718:
290:
1430:
1376:
437:
1980:
Hull, Lewis; Perfect, Hazel; Heading, J. (1978). "62.23 Pythagoras in Higher
Dimensions: Three Approaches".
1764:
Donchian, P. S.; Coxeter, H. S. M. (July 1935). "1142. An n-dimensional extension of
Pythagoras' Theorem".
495:
1347:
872:
789:
545:
235:
160:{\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}
1341:
1187:
1298:
843:
210:
180:
36:
2005:
1997:
1859:
1824:
1789:
1781:
1746:
1259:
1148:
1222:
168:
1014:
2018:
1941:
1913:
1894:
1687:
705:
1950:
1116:
1084:
1052:
658:{\displaystyle \operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\sum _{I}\operatorname {vol} _{k}^{2}(U_{I}),}
264:
1989:
1886:
1851:
1816:
1773:
1736:
1683:
206:
967:
940:
913:
338:
48:
1878:
1703:
994:
539:
2039:
2009:
1807:
Donald R Conant & William A Beyer (Mar 1974). "Generalized
Pythagorean Theorem".
1793:
1750:
1663:-simplices with right-angle corners can also be obtained as a special case from the
2021:
1955:
1916:
229:
1670:
De Gua's theorem can also be generalized to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
213:
by Donald R. Conant and
William A. Beyer (1974), which can be stated as follows.
1699:
371:
202:
44:
28:
1890:
1741:
1682:(1746–1818), as well. However the theorem had also been known much earlier to
19:
1898:
1728:
2026:
1921:
221:
1971:
1708:
838:
770:-simplices with right-angle corners correspond to the special case where
2001:
1863:
1828:
1785:
195:
191:
1993:
1855:
1820:
1777:
1842:
Kheyfits, Alexander (2004). "The
Theorem of Cosines for Pyramids".
18:
167:
De Gua's theorem can be applied for proving a special case of
1879:"A Generalization of de Gua's Theorem with a Vector Proof"
1489:
1433:
1379:
1350:
1301:
1262:
1225:
1190:
1151:
1119:
1087:
1055:
1017:
997:
970:
943:
916:
875:
846:
792:
721:
671:
577:
548:
498:
440:
380:
341:
293:
267:
238:
57:
1850:(5). Mathematical Association of America: 385–388.
1815:(3). Mathematical Association of America: 262–265.
766:De Gua's theorem and its generalisation (above) to
16:
1648:
1473:
1419:
1365:
1316:
1287:
1248:
1211:
1176:
1137:
1105:
1073:
1041:
1003:
983:
956:
929:
890:
861:
807:
751:
696:
657:
563:
530:
484:
426:
354:
323:
279:
253:
159:
47:has a right-angle corner (like the corner of a
1940:. Mathematical Association of America, 1983,
209:in 1935. This, in turn, is a special case of
8:
1973:Note on an n-dimensional Pythagorean theorem
1451:
1439:
1397:
1385:
1280:
1268:
1169:
1157:
1132:
1120:
1100:
1088:
1068:
1056:
1036:
1018:
746:
728:
479:
447:
318:
300:
697:{\displaystyle \operatorname {vol} _{k}(U)}
427:{\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}
1938:Great Moments in Mathematics (before 1650)
1659:The generalisation of de Gua's theorem to
752:{\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}
324:{\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}
23:Tetrahedron with a right-angle corner in O
1740:
1616:
1611:
1577:
1572:
1538:
1533:
1499:
1494:
1488:
1474:{\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO}
1438:
1432:
1420:{\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC}
1384:
1378:
1357:
1353:
1352:
1349:
1300:
1267:
1261:
1240:
1230:
1224:
1189:
1156:
1150:
1118:
1086:
1054:
1016:
996:
975:
969:
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921:
915:
882:
878:
877:
874:
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799:
795:
794:
791:
720:
676:
670:
643:
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622:
612:
587:
582:
576:
555:
551:
550:
547:
522:
503:
497:
485:{\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}
473:
454:
439:
416:
411:
390:
385:
379:
346:
340:
292:
266:
245:
241:
240:
237:
151:
138:
125:
112:
99:
86:
73:
62:
56:
183:and de Gua's theorem are special cases (
1719:
1729:"The Theorem of Cosines for Pyramids"
205:corner, proved by P. S. Donchian and
35:is a three-dimensional analog of the
7:
1481:, so the Conant–Beyer theorem says
531:{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
113:
1628:
1589:
1550:
1511:
1459:
1405:
1302:
1197:
991:-axes, respectively. The subsets
847:
87:
14:
1809:The American Mathematical Monthly
1665:Cayley–Menger determinant formula
139:
1727:Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020).
1366:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
1184:is the orthogonal projection of
891:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
808:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
715:and the sum is over all subsets
564:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
254:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1877:Tran, Quang Hung (2023-08-02).
1844:The College Mathematics Journal
1212:{\displaystyle U=\triangle ABC}
1883:The Mathematical Intelligencer
1733:The Mathematical Intelligencer
1640:
1625:
1601:
1586:
1562:
1547:
1523:
1508:
691:
685:
649:
636:
602:
596:
1:
1976:, Carnegie Mellon University.
1680:Charles de Tinseau d'Amondans
1317:{\displaystyle \triangle OBC}
862:{\displaystyle \triangle ABC}
1049:with exactly 2 elements are
1656:which is de Gua's theorem.
1288:{\displaystyle U_{\{2,3\}}}
1177:{\displaystyle U_{\{2,3\}}}
2067:
1891:10.1007/s00283-023-10288-0
1742:10.1007/s00283-020-09996-8
1249:{\displaystyle x_{2}x_{3}}
211:a yet more general theorem
41:Jean Paul de Gua de Malves
1042:{\displaystyle \{1,2,3\}}
1766:The Mathematical Gazette
819:. For example, suppose
1138:{\displaystyle \{1,2\}}
1106:{\displaystyle \{1,3\}}
1074:{\displaystyle \{2,3\}}
280:{\displaystyle k\leq n}
1650:
1475:
1421:
1367:
1318:
1289:
1250:
1213:
1178:
1139:
1107:
1075:
1043:
1005:
985:
958:
931:
892:
863:
809:
753:
698:
659:
565:
532:
486:
428:
356:
325:
281:
255:
161:
43:. It states that if a
24:
1936:Howard Whitley Eves:
1651:
1476:
1422:
1368:
1319:
1290:
1251:
1214:
1179:
1140:
1108:
1076:
1044:
1006:
986:
984:{\displaystyle x_{3}}
959:
957:{\displaystyle x_{2}}
932:
930:{\displaystyle x_{1}}
893:
864:
815:with vertices on the
810:
754:
699:
660:
566:
533:
487:
429:
364:orthogonal projection
357:
355:{\displaystyle U_{I}}
326:
282:
256:
162:
22:
2046:Theorems in geometry
1982:Mathematical Gazette
1487:
1431:
1377:
1348:
1299:
1260:
1223:
1188:
1149:
1117:
1085:
1053:
1015:
995:
968:
941:
914:
873:
844:
790:
719:
669:
575:
546:
496:
438:
378:
339:
291:
265:
236:
55:
1970:Sergio A. Alvarez:
1621:
1582:
1543:
1504:
709:-dimensional volume
632:
592:
287:). For any subset
181:Pythagorean theorem
156:
130:
104:
78:
37:Pythagorean theorem
2051:Euclidean geometry
2022:"de Gua's theorem"
2019:Weisstein, Eric W.
1917:"de Gua's theorem"
1914:Weisstein, Eric W.
1646:
1607:
1568:
1529:
1490:
1471:
1417:
1363:
1314:
1285:
1246:
1209:
1174:
1145:. By definition,
1135:
1103:
1071:
1039:
1001:
981:
954:
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859:
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655:
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617:
578:
561:
528:
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352:
321:
277:
251:
157:
149:
134:
123:
108:
97:
82:
58:
25:
1004:{\displaystyle I}
608:
2058:
2032:
2031:
2013:
1988:(421): 206–211.
1959:
1934:
1928:
1927:
1926:
1909:
1903:
1902:
1874:
1868:
1867:
1839:
1833:
1832:
1804:
1798:
1797:
1761:
1755:
1754:
1744:
1735:. SpringerLink.
1724:
1686:(1580–1635) and
1684:Johann Faulhaber
1655:
1653:
1652:
1647:
1620:
1615:
1581:
1576:
1542:
1537:
1503:
1498:
1480:
1478:
1477:
1472:
1455:
1454:
1426:
1424:
1423:
1418:
1401:
1400:
1372:
1370:
1369:
1364:
1362:
1361:
1356:
1323:
1321:
1320:
1315:
1295:is the triangle
1294:
1292:
1291:
1286:
1284:
1283:
1255:
1253:
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1245:
1244:
1235:
1234:
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1216:
1215:
1210:
1183:
1181:
1180:
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1141:
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1110:
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988:
987:
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961:
960:
955:
953:
952:
936:
934:
933:
928:
926:
925:
897:
895:
894:
889:
887:
886:
881:
868:
866:
865:
860:
832:
825:
817:co-ordinate axes
814:
812:
811:
806:
804:
803:
798:
758:
756:
755:
750:
703:
701:
700:
695:
681:
680:
664:
662:
661:
656:
648:
647:
631:
626:
616:
591:
586:
570:
568:
567:
562:
560:
559:
554:
537:
535:
534:
529:
527:
526:
508:
507:
491:
489:
488:
483:
478:
477:
459:
458:
433:
431:
430:
425:
423:
422:
421:
420:
397:
396:
395:
394:
361:
359:
358:
353:
351:
350:
330:
328:
327:
322:
286:
284:
283:
278:
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258:
257:
252:
250:
249:
244:
207:H. S. M. Coxeter
189:
166:
164:
163:
158:
155:
150:
129:
124:
103:
98:
77:
72:
33:De Gua's theorem
2066:
2065:
2061:
2060:
2059:
2057:
2056:
2055:
2036:
2035:
2017:
2016:
1994:10.2307/3616695
1979:
1967:
1962:
1935:
1931:
1912:
1911:
1910:
1906:
1876:
1875:
1871:
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1841:
1840:
1836:
1821:10.2307/2319528
1806:
1805:
1801:
1778:10.2307/3605876
1763:
1762:
1758:
1726:
1725:
1721:
1717:
1696:
1676:
1485:
1484:
1434:
1429:
1428:
1380:
1375:
1374:
1351:
1346:
1345:
1297:
1296:
1263:
1258:
1257:
1236:
1226:
1221:
1220:
1186:
1185:
1152:
1147:
1146:
1115:
1114:
1083:
1082:
1051:
1050:
1013:
1012:
993:
992:
971:
966:
965:
944:
939:
938:
917:
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