278:
508:
1502:
1037:
1254:
1657:
2360:
135:
353:
2146:
364:
1785:
127:
1363:
917:
1116:
1526:
1966:
2456:
1881:
641:
2188:
1344:
1318:
273:{\displaystyle (\!(x)\!)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ;\\0,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}}
1285:
289:
2037:
503:{\displaystyle D(a,b;c)=\sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {an}{c}}\right)\!\!\right)\!\left(\!\!\left({\frac {bn}{c}}\right)\!\!\right),}
1668:
84:
2568:
2528:
2541:
1497:{\displaystyle s(b,c)={\frac {1}{4c}}\sum _{n=1}^{c-1}\cot \left({\frac {\pi n}{c}}\right)\cot \left({\frac {\pi nb}{c}}\right).}
1032:{\displaystyle \sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {n+x}{c}}\right)\!\!\right)=(\!(x)\!),\qquad \forall x\in \mathbb {R} .}
1249:{\displaystyle s(b,c)={\frac {-1}{c}}\sum _{\omega }{\frac {1}{(1-\omega ^{b})(1-\omega )}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4c}},}
1652:{\displaystyle s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.}
1892:
2479:
59:. Dedekind sums have a large number of functional equations; this article lists only a small fraction of these.
2390:
1823:
2589:
2584:
2355:{\displaystyle D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.}
29:
1972:
575:
48:
2156:
1323:
164:
1290:
44:
2564:
2524:
79:
25:
1270:
2496:
2488:
67:
63:
2552:
2545:
2500:
2474:
2382:
2167:
725:
in its first two arguments, the third argument being the length of the period for both,
2556:
2538:
2516:
2366:
1264:
2578:
2012:
52:
2492:
2170:
found the following generalization of the reciprocity law for
Dedekind sums: If
17:
348:{\displaystyle D:\mathbb {Z} ^{2}\times (\mathbb {Z} -\{0\})\to \mathbb {R} }
2141:{\displaystyle \delta =s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}}
56:
40:
2477:(1954). "Generalization of the reciprocity formula for Dedekind sums".
1095:
36:
1780:{\displaystyle 12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\right)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,}
122:{\displaystyle (\!(\,)\!):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
266:
2521:
Modular functions and
Dirichlet Series in Number Theory
243:
202:
2393:
2191:
2162:
2040:
1895:
1826:
1671:
1529:
1366:
1326:
1293:
1273:
1119:
920:
911:
There is a proof for the last equality making use of
578:
367:
292:
138:
87:
2450:
2354:
2163:Rademacher's generalization of the reciprocity law
2140:
1971:A relation that is prominent in the theory of the
1960:
1875:
1779:
1651:
1496:
1338:
1312:
1279:
1248:
1031:
635:
502:
347:
272:
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1004:
994:
982:
981:
954:
953:
491:
490:
466:
465:
459:
453:
452:
428:
427:
152:
142:
99:
91:
51:. They have subsequently been much studied in
2539:Dedekind sums: a discrete geometric viewpoint
2381:) is a Markov triple, i.e. a solution of the
2182:are pairwise coprime positive integers, then
8:
1961:{\displaystyle 12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.}
331:
325:
179:
173:
2424:
2411:
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2392:
2339:
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2283:
2273:
2190:
2115:
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2039:
1948:
1947:
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1865:
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1825:
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1737:
1670:
1636:
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1600:
1587:
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1418:
1407:
1388:
1365:
1325:
1298:
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1272:
1228:
1215:
1185:
1166:
1160:
1141:
1118:
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1021:
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300:
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255:
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159:
137:
115:
114:
107:
106:
95:
86:
55:, and have occurred in some problems of
2466:
2451:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=3abc.}
219:
2011: = 1 (thus belonging to the
1987: − 1). Then given integers
66:in a commentary on fragment XXVIII of
2365:Hence, the above triple sum vanishes
1876:{\displaystyle 12bc\,s(c,b)=0\mod kc}
7:
2523:(1990), Springer-Verlag, New York.
1520:are coprime positive integers then
646:and that, by the oddness of (( )),
1012:
636:{\displaystyle D(a,b;c)=D(b,a;c),}
521: = 1, one often writes
24:are certain sums of products of a
14:
2563:, Carus Math. Monographs, 1972.
513:the terms on the right being the
62:Dedekind sums were introduced by
2536:Matthias Beck and Sinai Robins,
1943:
1861:
1259:where the sum extends over the
1011:
43:introduced them to express the
2267:
2249:
2240:
2222:
2213:
2195:
2109:
2097:
2062:
2050:
1921:
1909:
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1840:
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1689:
1566:
1554:
1545:
1533:
1382:
1370:
1339:{\displaystyle \omega \not =1}
1206:
1194:
1191:
1172:
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1123:
1005:
1001:
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153:
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111:
100:
96:
92:
88:
1:
2493:10.1215/s0012-7094-54-02140-7
1313:{\displaystyle \omega ^{c}=1}
1790:it follows that the number 6
1267:other than 1, i.e. over all
784:is a positive integer, then
2606:
2480:Duke Mathematical Journal
1357:> 0 are coprime, then
1979:= 3, 5, 7 or 13 and let
1280:{\displaystyle \omega }
2452:
2356:
2142:
1975:is the following. Let
1962:
1877:
1781:
1653:
1498:
1429:
1340:
1314:
1281:
1250:
1033:
947:
721:By the periodicity of
637:
504:
421:
349:
274:
123:
2453:
2357:
2143:
1973:Dedekind eta function
1963:
1878:
1782:
1654:
1499:
1403:
1341:
1315:
1282:
1251:
1034:
921:
638:
505:
395:
350:
275:
124:
70:'s collected papers.
49:Dedekind eta function
28:, and are given by a
2391:
2189:
2038:
1893:
1824:
1669:
1527:
1364:
1324:
1291:
1271:
1117:
918:
768:), for all integers
576:
365:
290:
136:
85:
2549:, (2005 or earlier)
45:functional equation
2544:2011-05-18 at the
2448:
2352:
2138:
1958:
1873:
1777:
1662:Rewriting this as
1649:
1494:
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1310:
1277:
1246:
1165:
1029:
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206:
119:
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2334:
2281:
2136:
2089:
2027:for some integer
1806:) is an integer.
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1626:
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1595:
1580:
1485:
1453:
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1241:
1223:
1210:
1156:
1154:
1082:Alternative forms
975:
484:
446:
246:
205:
80:sawtooth function
26:sawtooth function
2597:
2532:(See chapter 3.)
2505:
2504:
2475:Rademacher, Hans
2471:
2457:
2455:
2454:
2449:
2429:
2428:
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2353:
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2308:
2307:
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2282:
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2145:
2144:
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2135:
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1935:
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1784:
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1755:
1754:
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1637:
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1627:
1619:
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1601:
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1400:
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561:is symmetric in
509:
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268:
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203:
192:
128:
126:
125:
120:
118:
110:
68:Bernhard Riemann
64:Richard Dedekind
2605:
2604:
2600:
2599:
2598:
2596:
2595:
2594:
2575:
2574:
2553:Hans Rademacher
2546:Wayback Machine
2513:
2511:Further reading
2508:
2473:
2472:
2468:
2464:
2420:
2407:
2394:
2389:
2388:
2383:Markov equation
2323:
2312:
2299:
2286:
2285:
2187:
2186:
2168:Hans Rademacher
2165:
2128:
2117:
2081:
2070:
2036:
2035:
2031:> 0, define
2019:chosen so that
1927:
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1890:
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1821:
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1666:
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1582:
1525:
1524:
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1508:Reciprocity law
1471:
1465:
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1436:
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1361:
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1171:
1143:
1115:
1114:
1098:, we may write
1084:
961:
955:
952:
948:
916:
915:
574:
573:
555:
553:Simple formulae
517:. For the case
473:
467:
464:
460:
435:
429:
426:
422:
363:
362:
299:
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287:
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263:
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231:
230:
199:
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133:
83:
82:
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12:
11:
5:
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2601:
2593:
2592:
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2577:
2576:
2573:
2572:
2557:Emil Grosswald
2550:
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2517:Tom M. Apostol
2512:
2509:
2507:
2506:
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2463:
2460:
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2438:
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2410:
2406:
2401:
2397:
2367:if and only if
2363:
2362:
2351:
2346:
2343:
2338:
2332:
2329:
2326:
2319:
2315:
2311:
2306:
2302:
2298:
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2257:
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2242:
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2227:
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2161:
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2102:
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2055:
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2046:
2043:
1969:
1968:
1957:
1954:
1951:
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1917:
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1857:
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