2306:
3772:
1213:. It is known that the least order of a finite group for which there exists two commutators whose product is not a commutator is 96; in fact there are two nonisomorphic groups of order 96 with this property.
2683:
2148:
2834:
3581:
3528:
3446:
2996:
2893:
2641:
2614:
2209:
3040:
1663:
3309:
1869:
3249:
2866:
545:
480:
However, the notation is somewhat arbitrary and there is a non-equivalent variant definition for the commutator that has the inverses on the right hand side of the equation:
317:
1188:
952:
903:
3183:
1932:
2497:
2046:
3396:
592:
2795:
2703:
1036:
3607:
2939:
2377:
1440:
1316:
1283:
779:
854:
1116:
639:
475:
388:
2459:
105:
2540:
999:
3466:
3357:
3125:
3092:
3064:
2763:
2743:
2723:
2584:
2564:
2428:
1466:
976:
428:
408:
250:
230:
202:
182:
148:
128:
1359:
1254:
678:
349:
2228:
150:. So in some sense it provides a measure of how far the group is from being abelian; the larger the commutator subgroup is, the "less abelian" the group is.
2386:, which may or may not be trivial. For an infinite group, the derived series need not terminate at a finite stage, and one can continue it to infinite
3718:
3982:
3953:
3931:
2649:
3974:
3104:}. Equivalently, if and only if the group equals its abelianization. See above for the definition of a group's abelianization.
4039:
4017:
3970:
3822:
1958:
4044:
4012:
2052:
2800:
2949:
2868:. As usual for objects defined by universal mapping properties, this shows the uniqueness of the abelianization
1323:
54:
3547:
3494:
3412:
2974:
2871:
2619:
2592:
2156:
3701:
3001:
1493:
3137:. Equivalently, if and only if the abelianization of the group is trivial. This is "opposite" to abelian.
2965:
51:
4007:
3269:
4034:
2391:
1687:
1193:
However, the product of two or more commutators need not be a commutator. A generic example is in the
3209:
2839:
2968:
of the category of groups, defined as a full subcategory whose inclusion functor has a left adjoint.
3923:
3542:
3489:
3407:
2317:
483:
255:
1160:
908:
859:
3810:
3531:
3143:
1878:
47:
3709:
2464:
1942:
1004:
65:
2012:
3362:
550:
3978:
3949:
3927:
3648:
3621:
2768:
2688:
1122:
1009:
3586:
2898:
2324:
1367:
1288:
721:
3661:
3631:
2945:
785:
352:
35:
1041:
597:
433:
361:
3788:
3638:
3317:
955:
68:
2436:
82:
2505:
2301:{\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}
1263:
981:
3945:
3783:
3451:
3342:
3312:
3195:
3110:
3077:
3049:
3043:
2748:
2728:
2708:
2569:
2549:
2431:
2413:
2387:
1451:
1446:
961:
413:
393:
235:
215:
187:
167:
133:
113:
108:
72:
1332:
1227:
651:
322:
4028:
3535:
3482:
3478:
3334:
3129:
3096:
2383:
2220:
76:
3708:
induces an automorphism of the abelianization. Since the abelianization is abelian,
3614:
3403:
2399:
1150:
1138:
31:
3962:
3767:{\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}
1194:
1145:. This is in fact a generalization of the second identity, since we can take
209:
159:
58:
1129:
is closed under inversion and conjugation. If in the third identity we take
699:
Here are some simple but useful commutator identities, true for any elements
17:
1953:
it shows that the commutator subgroup is stable under every endomorphism of
3992:
3903:, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society
692:= is always a commutator, and it is the only commutator if and only if
2952:
to the category of groups. The existence of the abelianization functor
1938:
1968:
The commutator subgroup can also be defined as the set of elements
1945:, some implications of which are explored below. Moreover, taking
2895:
up to canonical isomorphism, whereas the explicit construction
3133:
if and only if the derived group equals the group itself: =
2678:{\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}
27:
Smallest normal subgroup by which the quotient is commutative
1937:
This shows that the commutator subgroup can be viewed as a
1137:, we get that the set of commutators is stable under any
2646:
There is a useful categorical interpretation of the map
2382:
For a finite group, the derived series terminates in a
64:
The commutator subgroup is important because it is the
3754:
3721:
3589:
3550:
3497:
3454:
3415:
3365:
3345:
3272:
3212:
3146:
3113:
3080:
3052:
3004:
2977:
2901:
2874:
2842:
2803:
2771:
2751:
2731:
2711:
2691:
2652:
2622:
2595:
2572:
2552:
2508:
2467:
2439:
2416:
2327:
2231:
2159:
2055:
2015:
1881:
1690:
1496:
1454:
1370:
1335:
1291:
1266:
1230:
1163:
1044:
1012:
984:
964:
911:
862:
788:
724:
654:
600:
553:
486:
436:
416:
396:
364:
325:
258:
238:
218:
190:
170:
136:
116:
85:
1329:
It follows from this definition that any element of
1965:, a property considerably stronger than normality.
3766:
3601:
3575:
3522:
3460:
3440:
3390:
3351:
3321:; this is weaker than solvable, which is the case
3303:
3243:
3177:
3119:
3086:
3058:
3034:
2990:
2933:
2887:
2860:
2828:
2789:
2757:
2737:
2717:
2697:
2677:
2635:
2608:
2578:
2558:
2534:
2491:
2453:
2422:
2371:
2300:
2203:
2142:
2040:
1972:of the group that have an expression as a product
1926:
1863:
1657:
1460:
1434:
1353:
1310:
1277:
1248:
1182:
1110:
1030:
993:
970:
946:
897:
848:
773:
672:
633:
586:
539:
469:
422:
402:
382:
343:
311:
244:
224:
196:
176:
142:
122:
99:
3199:; this is weaker than abelian, which is the case
3100:if and only if the derived group is trivial: = {
2143:{\displaystyle G^{(n)}:=\quad n\in \mathbf {N} }
1121:The first and second identities imply that the
2829:{\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}
688:is called a commutator. The identity element
1998:that can be rearranged to give the identity.
8:
3918:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004),
3298:
3292:
3238:
3232:
3172:
3166:
3853:
3875:
3576:{\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}
3523:{\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}
3441:{\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}
75:of the original group by this subgroup is
3753:
3720:
3588:
3555:
3549:
3502:
3496:
3453:
3420:
3414:
3370:
3364:
3344:
3277:
3271:
3217:
3211:
3151:
3145:
3112:
3079:
3051:
3025:
3024:
3009:
3003:
2982:
2976:
2911:
2900:
2879:
2873:
2841:
2814:
2802:
2770:
2750:
2730:
2710:
2690:
2669:
2651:
2627:
2621:
2600:
2594:
2571:
2551:
2512:
2507:
2466:
2443:
2438:
2415:
2348:
2332:
2326:
2280:
2261:
2242:
2230:
2183:
2164:
2158:
2135:
2107:
2082:
2060:
2054:
2020:
2014:
1880:
1849:
1827:
1799:
1777:
1749:
1736:
1717:
1704:
1689:
1646:
1641:
1628:
1623:
1604:
1599:
1586:
1581:
1565:
1552:
1539:
1520:
1507:
1495:
1453:
1423:
1410:
1391:
1378:
1369:
1334:
1296:
1290:
1265:
1229:
1174:
1162:
1043:
1011:
983:
963:
935:
916:
910:
880:
867:
861:
834:
821:
805:
787:
741:
723:
653:
599:
552:
528:
515:
485:
435:
415:
395:
363:
324:
294:
281:
257:
237:
217:
189:
169:
135:
115:
89:
84:
3886:
3846:
3712:act trivially, hence this yields a map
2991:{\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}
2888:{\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}
2636:{\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}
2609:{\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}
2315:. This should not be confused with the
2204:{\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }
1665:, the commutator subgroup is normal in
3359:has derived subgroup equal to itself,
3035:{\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}
2398:, which eventually terminates at the
1658:{\displaystyle (\cdots )^{s}=\cdots }
1221:This motivates the definition of the
7:
3864:
2971:Another important interpretation of
2705:is universal for homomorphisms from
130:contains the commutator subgroup of
3993:"Derived Subgroups and Commutators"
3304:{\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}
2797:there exists a unique homomorphism
2219:, and so forth, and the descending
2006:This construction can be iterated:
3942:A First Course In Abstract Algebra
2948:of the inclusion functor from the
2944:The abelianization functor is the
1864:{\displaystyle f(\cdots )=\cdots }
25:
3315:, possibly infinite, is called a
3244:{\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}
2861:{\displaystyle f=F\circ \varphi }
2136:
3660:The commutator subgroup of the
3637:The commutator subgroup of the
3620:The commutator subgroup of the
3488:The commutator subgroup of the
3477:The commutator subgroup of any
2542:is an abelian group called the
2128:
540:{\displaystyle =ghg^{-1}h^{-1}}
312:{\displaystyle =g^{-1}h^{-1}gh}
3761:
3746:
3737:
3734:
3728:
3700:Since the derived subgroup is
3570:
3564:
3517:
3511:
3435:
3429:
3377:
3371:
3325:is finite (a natural number).
3284:
3278:
3224:
3218:
3158:
3152:
3029:
3015:
2928:
2916:
2905:
2820:
2781:
2662:
2529:
2517:
2480:
2468:
2366:
2341:
2287:
2281:
2268:
2262:
2249:
2243:
2190:
2184:
2171:
2165:
2125:
2120:
2108:
2095:
2083:
2075:
2067:
2061:
2027:
2021:
1921:
1909:
1903:
1900:
1888:
1885:
1858:
1855:
1842:
1833:
1820:
1814:
1808:
1805:
1792:
1783:
1770:
1764:
1758:
1755:
1729:
1723:
1697:
1694:
1652:
1616:
1610:
1574:
1562:
1558:
1532:
1526:
1500:
1497:
1429:
1403:
1397:
1371:
1348:
1336:
1303:
1297:
1243:
1231:
1190:, to get the second identity.
1183:{\displaystyle x\mapsto x^{s}}
1167:
1102:
1099:
1093:
1084:
1078:
1072:
1066:
1063:
1051:
1048:
1022:
947:{\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}
898:{\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}
840:
814:
802:
789:
765:
753:
738:
725:
667:
655:
622:
610:
581:
569:
499:
487:
464:
452:
338:
326:
271:
259:
1:
3971:Graduate Texts in Mathematics
3178:{\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}
1959:fully characteristic subgroup
1927:{\displaystyle f()\subseteq }
3823:target of the Artin transfer
3402:. This includes non-abelian
3066:with integral coefficients.
4013:Encyclopedia of Mathematics
2765:and homomorphism of groups
2589:. It is usually denoted by
2492:{\displaystyle \subseteq N}
4061:
3940:Fraleigh, John B. (1976),
3332:
2950:category of abelian groups
2461:is abelian if and only if
2396:transfinite derived series
2041:{\displaystyle G^{(0)}:=G}
390:, that is, if and only if
157:
3991:Suárez-Alvarez, Mariano.
3944:(2nd ed.), Reading:
3899:Suprunenko, D.A. (1976),
3854:Dummit & Foote (2004)
3391:{\displaystyle G^{(1)}=G}
587:{\displaystyle gh\neq hg}
2790:{\displaystyle f:G\to H}
2745:: for any abelian group
2698:{\displaystyle \varphi }
2394:, thereby obtaining the
1669:. For any homomorphism
1326:by all the commutators.
1031:{\displaystyle f:G\to H}
3615:field with two elements
3602:{\displaystyle n\neq 2}
2934:{\displaystyle G\to G/}
2372:{\displaystyle G_{n}:=}
2213:second derived subgroup
1435:{\displaystyle \cdots }
1311:{\displaystyle G^{(1)}}
774:{\displaystyle ^{-1}=,}
34:, more specifically in
3768:
3704:, any automorphism of
3691:} is = {1, −1}.
3603:
3577:
3524:
3462:
3442:
3392:
3353:
3305:
3245:
3179:
3121:
3088:
3060:
3036:
2992:
2966:reflective subcategory
2935:
2889:
2862:
2830:
2791:
2759:
2739:
2719:
2699:
2679:
2637:
2610:
2580:
2560:
2536:
2493:
2455:
2424:
2373:
2302:
2217:third derived subgroup
2205:
2144:
2042:
1928:
1865:
1659:
1462:
1436:
1355:
1312:
1279:
1250:
1184:
1149:to be the conjugation
1112:
1032:
995:
972:
948:
899:
850:
849:{\displaystyle ^{s}=,}
775:
674:
635:
588:
541:
471:
430:commute. In general,
424:
404:
384:
345:
313:
246:
226:
198:
178:
144:
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