5039:
5226:
3196:
4105:
1825:
3553:
The glueing properties defining a stack in the first and in the second definition are equivalent; similarly, an atlas in the sense of
Definition 1 induces an atlas in the sense of Definition 2 and vice versa.
4583:
3644:
3816:
3548:
3251:
2489:
2019:
1662:
2280:
993:
1290:
3944:
1142:
1704:
is a prestack satisfying further glueing properties (analogously to the glueing properties satisfied by a sheaf). In order to state such properties precisely, one needs to define (pre)stacks on a
1422:
154:
4145:
2070:
1872:
1760:
1924:
3104:
1176:
4906:
2430:
5295:
55:(i.e. orbifolds, leaf spaces, quotients), which appear naturally in differential geometry but are not differentiable manifolds. For instance, differentiable stacks have applications in
5086:
4463:
4360:
4210:
1546:
1459:
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5661:
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4513:
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5831:
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5681:
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3892:
3728:
3708:
3684:
3664:
3327:
2993:
commutes. Morita equivalence is an equivalence relation between Lie groupoids, weaker than isomorphism but strong enough to preserve many geometric properties.
2991:
2945:
2899:
2879:
2647:
2627:
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1948:
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1045:
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5448:
5353:
5263:
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3032:
3109:
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6447:
4039:
1765:
6548:
4541:
6679:
6518:
3591:
3766:
3491:
3201:
2439:
1973:
1616:
5571:
freely but not necessarily properly on a manifold, then the quotient by it is in general not a manifold but a differentiable space.
2238:
927:
1249:
6767:
3897:
1082:
1383:
115:
4110:
81:
2028:
1830:
1718:
1877:
6201:
4465:
seen as a Lie groupoid over a point (i.e., the Morita equivalence class of any transitive Lie groupoids with isotropy
3071:
1147:
2397:
1607:
5268:
52:
2653:
2383:
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5046:
4436:
4324:
4180:
1514:
1427:
1209:
4007:
between differentiable stacks according to the first definition and Lie groupoids up to Morita equivalence.
37:
3844:
2494:
2132:
2075:
4837:
4535:
defines a differentiable stack via its leaf spaces. It corresponds to the Morita equivalence class of the
3737:
3565:
3367:
3037:
2834:
2808:
2696:
6278:
6161:
6100:
5917:
5774:
5602:
5453:
5034:{\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to (X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}
2433:
1709:
895:
693:
157:
21:
6339:
5221:{\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}
4619:
4150:
2285:
6318:
5948:
5859:
5634:
6207:
4494:
3467:
3256:
2566:
2530:
2361:
2185:
1667:
1585:
796:
752:
728:
622:
382:
264:
214:
166:
91:
5978:
5606:
3423:
2650:
1701:
1488:
345:
33:
4805:
4592:
is a differentiable stack, since it is the Morita equivalence class of a proper Lie groupoid with
850:
654:
6586:
6560:
6510:
6484:
6453:
6425:
6351:
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566:
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29:
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6713:
6570:
6494:
6435:
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6048:
5568:
4759:
4614:
4363:
3949:
3731:
2950:
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2335:
2209:
1464:
1345:
820:
540:
514:
488:
462:
436:
410:
318:
292:
238:
64:
60:
56:
6400:
3280:
1295:
998:
6424:. Contemporary Mathematics. Vol. 450. American Mathematical Society. pp. 25–39.
6396:
5889:
2560:
188:
25:
5492:
5391:
6623:
5358:
4413:
4241:
3821:
6415:
6257:
6140:
6079:
6019:
5993:
5896:
5838:
5816:
5753:
5731:
5709:
5687:
5666:
5613:
5583:
5304:
5091:
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4785:
4739:
4719:
4679:
4657:
4593:
4518:
4468:
4393:
4367:
4304:
4284:
4264:
4221:
4019:
3979:
3877:
3713:
3693:
3669:
3649:
3312:
2976:
2930:
2884:
2864:
2632:
2612:
2312:
2233:
2165:
2108:
1953:
1933:
1551:
1494:
1322:
1244:
1189:
1030:
922:
904:
776:
602:
194:
6472:
5520:
5419:
5324:
5234:
4685:
3003:
6761:
6663:
6514:
5385:
4601:
4000:
2556:
6752:
6590:
6457:
894:
is a groupoid fibration satisfied further glueing properties, expressed in terms of
6667:
5986:
4597:
4536:
4175:
4004:
2605:
41:
6498:
6544:
5381:
722:
6717:
6574:
3191:{\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)}
1693:
6735:
6582:
6506:
6373:
6701:
6627:, Mathematisches Institut Seminars, Universität Göttingen, 2004-05, p. 1-32.
5565:
4489:
4216:
1611:
6637:
2436:(viewed as a site with the usual open covering topology), i.e. a 2-functor
6387:
Moerdijk, Ieke (1993). "Foliations, groupoids and
Grothendieck Ă©tendues".
6365:
6650:
4589:
1927:
1697:
1578:
887:
6439:
5564:
is a differentiable stack with trivial stabilizers. For example, if a
4100:{\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)}
6565:
6489:
6430:
6356:
3687:
1820:{\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}
51:
Differentiable stacks are particularly useful to handle spaces with
6606:
5265:
corresponds to the Morita equivalence class of the action groupoid
3841:, i.e. it can be represented by a Lie groupoid. More precisely, if
1700:, their morphisms, and the natural transformations between them. A
1144:
is a groupoid fibration which is actually also a stack. A morphism
6072:
6471:
Tu, Jean-Louis; Xu, Ping; Laurent-Gengoux, Camille (2004-11-01).
5605:
in a certain way (see the reference). This gives the notion of a
4578:{\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}
3639:{\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }
6419:
4834:. It is a differentiable stack presented by the stack morphism
3811:{\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }
3543:{\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}
3246:{\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }
2484:{\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }
2014:{\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }
1657:{\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }
6418:(2008). "Group-like objects in Poisson geometry and algebra".
5924:
5297:. Accordingly, one recovers the following particular cases:
4561:
4500:
3497:
3473:
3262:
3077:
2403:
2367:
2191:
2054:
1986:
1895:
1856:
1796:
1744:
1629:
1591:
1533:
1446:
1395:
1266:
1255:
1228:
1163:
1153:
802:
758:
734:
700:
220:
172:
127:
97:
2275:{\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}}
988:{\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)}
1424:
together with a special kind of representable submersion
1285:{\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}}
4107:, which is trivially presented by the identity morphism
2105:(often called atlas, presentation or cover of the stack
3939:{\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}
3034:, is the Morita equivalence class of some Lie groupoid
2358:
satisfies a further property depending on the category
1137:{\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U}
6638:
Differential characters as stacks and prequantization
6281:
6260:
6210:
6164:
6143:
6103:
6082:
6051:
6022:
5996:
5951:
5920:
5899:
5862:
5841:
5819:
5777:
5756:
5734:
5712:
5690:
5669:
5637:
5616:
5586:
5523:
5495:
5456:
5422:
5394:
5361:
5327:
5307:
5271:
5237:
5114:
5094:
5049:
4909:
4887:
4840:
4808:
4788:
4762:
4742:
4722:
4688:
4660:
4622:
4544:
4521:
4497:
4471:
4439:
4416:
4396:
4370:
4327:
4307:
4287:
4267:
4244:
4224:
4183:
4153:
4113:
4042:
4022:
3982:
3952:
3900:
3880:
3847:
3824:
3769:
3740:
3716:
3696:
3672:
3652:
3594:
3568:
3494:
3470:
3426:
3370:
3335:
3315:
3283:
3259:
3204:
3112:
3074:
3040:
3006:
2979:
2953:
2933:
2907:
2887:
2867:
2837:
2811:
2776:
2744:
2699:
2661:
2635:
2615:
2569:
2533:
2497:
2442:
2400:
2364:
2338:
2315:
2288:
2241:
2212:
2188:
2168:
2135:
2111:
2078:
2031:
1976:
1956:
1936:
1880:
1833:
1768:
1721:
1670:
1619:
1588:
1554:
1517:
1497:
1467:
1430:
1417:{\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }
1386:
1348:
1325:
1298:
1252:
1212:
1192:
1150:
1085:
1053:
1033:
1001:
930:
907:
853:
823:
799:
779:
755:
731:
696:
657:
625:
605:
569:
543:
517:
491:
465:
439:
413:
385:
353:
321:
295:
267:
241:
217:
197:
169:
149:{\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }
118:
94:
5489:
if the action is proper (and therefore the quotient
4140:{\displaystyle {\underline {M}}\to {\underline {M}}}
1548:
is called atlas, presentation or cover of the stack
6651:
Differentiable Stacks, Gerbes, and
Twisted K-Theory
6477:
4174:corresponds to the Morita equivalence class of the
2595:, one obtains the definition of topological stack.
2065:{\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}
1867:{\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}
1755:{\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}
6668:"Etendues and stacks as bicategories of fractions"
6309:
6266:
6245:
6192:
6149:
6128:
6088:
6063:
6028:
6002:
5969:
5937:
5905:
5880:
5847:
5825:
5804:
5762:
5740:
5718:
5696:
5675:
5655:
5622:
5592:
5543:
5509:
5479:
5442:
5408:
5370:
5347:
5313:
5289:
5257:
5220:
5100:
5080:
5033:
4893:
4873:
4826:
4794:
4774:
4748:
4728:
4708:
4682:in algebraic geometry. It is defined as the stack
4666:
4646:
4577:
4527:
4507:
4477:
4457:
4425:
4402:
4376:
4354:
4313:
4293:
4273:
4253:
4230:
4204:
4166:
4139:
4099:
4028:
3988:
3968:
3938:
3886:
3866:
3833:
3810:
3752:
3722:
3702:
3678:
3658:
3638:
3580:
3542:
3480:
3456:
3412:
3356:
3321:
3301:
3269:
3245:
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3098:
3052:
3026:
2985:
2965:
2939:
2919:
2893:
2873:
2849:
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2516:
2483:
2424:
2374:
2350:
2321:
2301:
2274:
2224:
2198:
2174:
2154:
2117:
2097:
2064:
2013:
1962:
1942:
1919:{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}
1918:
1866:
1819:
1754:
1684:
1656:
1598:
1560:
1540:
1503:
1479:
1453:
1416:
1360:
1331:
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1284:
1235:
1198:
1170:
1136:
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1039:
1019:
987:
913:
878:
839:
809:
785:
765:
741:
713:
682:
639:
611:
587:
555:
529:
503:
477:
451:
425:
399:
371:
333:
307:
281:
253:
227:
203:
179:
148:
104:
6753:http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack
6253:corresponds one-to-one to the set of gerbes over
3734:). Any other Lie groupoid in the Morita class of
6680:Numérisation de documents anciens mathématiques.
6519:Numérisation de documents anciens mathématiques.
5551:coincides with the stack defined by the orbifold
4321:. It is presented by the trivial stack morphism
3099:{\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} }
2491:, which is also geometric, i.e. admits an atlas
1171:{\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
4600:, since isotropies of proper Lie groupoids are
4433:corresponds to the Morita equivalence class of
599:These properties ensure that, for every object
6706:Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
6045:An epimorphism between differentiable stacks
2425:{\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }
8:
6317:and that come with trivializations of their
5290:{\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}
4452:
4446:
6473:"Twisted K-theory of differentiable stacks"
6421:Poisson Geometry in Mathematics and Physics
3558:Equivalence between the definitions 2 and 3
3488:becomes a fibred category with the functor
3064:Equivalence between the definitions 1 and 2
1292:is representable, i.e. it is isomorphic to
6344:International Mathematics Research Notices
5517:is an orbifold), the differentiable stack
2693:, as well as a partial multiplication map
6564:
6488:
6429:
6355:
6289:
6280:
6259:
6234:
6215:
6209:
6172:
6163:
6142:
6117:
6102:
6081:
6050:
6021:
5995:
5961:
5956:
5950:
5929:
5923:
5922:
5919:
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5872:
5867:
5861:
5840:
5818:
5787:
5782:
5776:
5755:
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5711:
5689:
5668:
5647:
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5636:
5615:
5585:
5530:
5522:
5499:
5494:
5463:
5457:
5455:
5429:
5421:
5416:is a manifold), the differentiable stack
5398:
5393:
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5334:
5326:
5306:
5270:
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4687:
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4560:
4559:
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4543:
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4498:
4496:
4470:
4438:
4415:
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4266:
4243:
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4182:
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4152:
4127:
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4112:
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4068:
4057:
4043:
4041:
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3921:
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3879:
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3846:
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3797:
3788:
3777:
3768:
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3715:
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3651:
3625:
3616:
3605:
3593:
3567:
3505:
3496:
3495:
3493:
3472:
3471:
3469:
3425:
3369:
3334:
3314:
3282:
3261:
3260:
3258:
3232:
3223:
3212:
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3170:
3146:
3131:
3120:
3111:
3085:
3076:
3075:
3073:
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3013:
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2978:
2952:
2932:
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2866:
2836:
2810:
2802:, satisfying group-like compatibilities.
2775:
2743:
2713:
2698:
2660:
2634:
2614:
2609:consists of two differentiable manifolds
2570:
2568:
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2532:
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2496:
2470:
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2077:
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2052:
2038:
2030:
2000:
1991:
1985:
1984:
1975:
1955:
1935:
1894:
1893:
1882:
1879:
1855:
1854:
1840:
1832:
1795:
1794:
1783:
1769:
1767:
1743:
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1728:
1720:
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1669:
1643:
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1618:
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1589:
1587:
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1522:
1516:
1496:
1466:
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1444:
1435:
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1393:
1385:
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1324:
1303:
1297:
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1265:
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1253:
1251:
1227:
1226:
1217:
1211:
1191:
1162:
1161:
1152:
1151:
1149:
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800:
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699:
698:
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656:
626:
624:
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568:
542:
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438:
412:
386:
384:
352:
320:
294:
268:
266:
240:
219:
218:
216:
196:
171:
170:
168:
135:
126:
125:
117:
96:
95:
93:
6136:is also an epimorphism. For example, if
5081:{\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M}
4458:{\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}
2382:(e.g., for manifold it is asked to be a
2162:is representable, i.e. for every object
6330:
4678:is the differential counterpart of the
4355:{\displaystyle {\underline {pt}}\to BG}
4205:{\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}
3588:gives rise to the differentiable stack
1541:{\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}
1454:{\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}
1236:{\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}}
2599:Definition 3 (via Morita equivalences)
2559:, one recovers the standard notion of
76:Definition 1 (via groupoid fibrations)
5321:is a point, the differentiable stack
3867:{\displaystyle {\underline {M}}\to X}
3763:Conversely, any differentiable stack
2881:between them, i.e. a principal right
2517:{\displaystyle {\underline {M}}\to X}
2155:{\displaystyle {\underline {M}}\to X}
2098:{\displaystyle {\underline {M}}\to X}
1827:, which associated to another object
7:
6617:
6615:
6539:
6537:
6535:
4874:{\displaystyle {\underline {M}}\to }
3894:, then one defines the Lie groupoid
3753:{\displaystyle G\rightrightarrows M}
3581:{\displaystyle G\rightrightarrows M}
3413:{\displaystyle \phi :(U,x)\to (V,y)}
3053:{\displaystyle G\rightrightarrows M}
2850:{\displaystyle H\rightrightarrows N}
2824:{\displaystyle G\rightrightarrows M}
2731:{\displaystyle m:G\times _{M}G\to G}
2434:category of differentiable manifolds
158:category of differentiable manifolds
6624:Some notes on differentiable stacks
6310:{\displaystyle BS^{1}\times X\to X}
6193:{\displaystyle BS^{1}\times X\to X}
1178:of groupoid fibrations is called a
6549:"Differentiable stacks and gerbes"
6338:Blohmann, Christian (2008-01-01).
6129:{\displaystyle G\to G\times _{X}G}
5953:
5938:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
5864:
5805:{\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)}
5779:
5639:
5480:{\displaystyle {\underline {M/G}}}
5166:
5163:
5148:
5145:
4939:
4936:
4933:
4552:
4549:
4546:
4076:
4073:
4070:
4064:
4061:
4058:
3804:
3801:
3798:
3784:
3781:
3778:
3632:
3629:
3626:
3612:
3609:
3606:
3512:
3509:
3506:
3239:
3236:
3233:
3219:
3216:
3213:
3153:
3150:
3147:
3127:
3124:
3121:
3092:
3089:
3086:
2861:if there is a principal bi-bundle
2577:
2574:
2571:
2541:
2538:
2535:
2477:
2474:
2471:
2457:
2454:
2451:
2418:
2415:
2412:
2045:
2042:
2039:
2007:
2004:
2001:
1889:
1886:
1883:
1847:
1844:
1841:
1790:
1787:
1784:
1735:
1732:
1729:
1708:, i.e. a category equipped with a
1678:
1675:
1672:
1650:
1647:
1644:
1410:
1407:
1404:
1106:
1103:
1100:
964:
961:
958:
952:
949:
946:
714:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}
633:
630:
627:
393:
390:
387:
275:
272:
269:
142:
139:
136:
32:. It can be described either as a
14:
4647:{\displaystyle a:M\times G\to M}
4167:{\displaystyle {\underline {M}}}
2302:{\displaystyle {\underline {Z}}}
6275:that are locally isomorphic to
5970:{\displaystyle \Omega _{X}^{*}}
5881:{\displaystyle \Omega _{X}^{0}}
5656:{\displaystyle \Omega _{X}^{p}}
4990:
4676:quotient (differentiable) stack
4238:defines a differentiable stack
4036:defines a differentiable stack
3364:, and whose morphisms are maps
2973:, such that the two actions on
1487:described above is asked to be
40:which admits an atlas, or as a
6553:Journal of Symplectic Geometry
6301:
6246:{\displaystyle H^{2}(X,S^{1})}
6240:
6221:
6184:
6107:
6055:
5799:
5793:
5538:
5524:
5437:
5423:
5342:
5328:
5281:
5252:
5238:
5209:
5203:
5197:
5194:
5182:
5176:
5134:
5072:
5028:
5009:
4997:
4994:
4984:
4978:
4975:
4961:
4958:
4955:
4943:
4926:
4920:
4868:
4854:
4851:
4818:
4766:
4703:
4689:
4638:
4569:
4566:
4556:
4508:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4443:
4343:
4196:
4193:
4187:
4124:
4094:
4082:
3930:
3858:
3794:
3744:
3622:
3572:
3534:
3531:
3519:
3502:
3481:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
3445:
3439:
3436:
3430:
3407:
3395:
3392:
3389:
3377:
3351:
3345:
3296:
3284:
3270:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
3229:
3185:
3179:
3163:
3143:
3082:
3044:
3021:
3007:
2957:
2911:
2841:
2815:
2786:
2754:
2722:
2677:
2584:{\displaystyle \mathrm {Mfd} }
2548:{\displaystyle \mathrm {Mfd} }
2508:
2467:
2375:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2342:
2216:
2199:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2146:
2089:
2059:
2049:
1997:
1913:
1901:
1861:
1851:
1814:
1802:
1749:
1739:
1685:{\displaystyle \mathrm {Grp} }
1640:
1599:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
1528:
1471:
1441:
1400:
1352:
1223:
1158:
1128:
1125:
1113:
1096:
1063:
1014:
1002:
982:
970:
890:, thus explaining the name. A
873:
867:
810:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
766:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
742:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
677:
671:
640:{\displaystyle \mathrm {Mfd} }
579:
573:
547:
521:
511:, there exists a unique arrow
495:
469:
443:
417:
400:{\displaystyle \mathrm {Mdf} }
363:
357:
325:
299:
282:{\displaystyle \mathrm {Mfd} }
245:
228:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
180:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
132:
105:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
1:
6636:Eugene Lerman, Anton Malkin,
6011:: one thus has the notion of
4609:Quotient differentiable stack
3760:induces an isomorphic stack.
3457:{\displaystyle X(\phi )(y)=x}
1582:(of groupoids) on a category
1572:Definition 2 (via 2-functors)
6499:10.1016/j.ansens.2004.10.002
5388:(and therefore the quotient
4827:{\displaystyle \phi :P\to M}
4716:associating to any manifold
879:{\displaystyle \pi ^{-1}(U)}
683:{\displaystyle \pi ^{-1}(U)}
82:category fibred in groupoids
6702:"Cohomologie non abélienne"
4261:, which sends any manifold
3646:, which sends any manifold
3198:. Conversely, any prestack
588:{\displaystyle w\to v\to u}
372:{\displaystyle W\to V\to U}
6784:
6389:Rev. Acad. Cienc. Zaragoza
5575:With Grothendieck topology
4736:the category of principal
4680:quotient (algebraic) stack
3277:, whose objects are pairs
2686:{\displaystyle s,t:G\to M}
995:, whose objects are pairs
749:made up by all objects of
6718:10.1007/978-3-662-62103-5
6678:(3): 243–303 – via
6575:10.4310/JSG.2011.v9.n3.a2
6200:is a gerbe. A theorem of
5631:. For example, the sheaf
4881:defined for any manifold
4362:, sending a point to the
4003:states an equivalence of
3874:is an atlas of the stack
3357:{\displaystyle x\in X(U)}
3253:gives rise to a category
2072:and a morphism of stacks
1339:) as groupoid fibrations;
88:) consists of a category
2795:{\displaystyle i:G\to G}
2763:{\displaystyle u:M\to G}
1180:representable submersion
1072:{\displaystyle f:U\to X}
112:together with a functor
38:differentiable manifolds
5579:A differentiable stack
2563:. Similarly, replacing
6672:Compositio Mathematica
6311:
6268:
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308:{\displaystyle v\to u}
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254:{\displaystyle V\to U}
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191:, i.e. for any object
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5601:may be equipped with
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2797:
2770:, and an inverse map
2765:
2733:
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2644:
2624:
2591:with the category of
2586:
2555:with the category of
2550:
2527:Note that, replacing
2519:
2486:
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2332:the induces morphism
2324:
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1020:{\displaystyle (U,f)}
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842:
812:
793:and all morphisms of
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768:
744:
716:
685:
647:, one can define its
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3313:
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3257:
3202:
3110:
3106:defines the 2-sheaf
3072:
3068:Any fibred category
3038:
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2998:differentiable stack
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2649:, together with two
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2613:
2567:
2531:
2524:as described above.
2495:
2440:
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2392:differentiable stack
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1606:, also known as a 2-
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1378:differentiable stack
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541:
515:
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319:
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167:
116:
92:
18:differentiable stack
6547:; Xu, Ping (2011).
6366:10.1093/imrn/rnn082
6340:"Stacky Lie Groups"
5979:exterior derivative
5966:
5877:
5792:
5652:
5510:{\displaystyle M/G}
5409:{\displaystyle M/G}
4281:to the category of
3666:to the category of
3562:Every Lie groupoid
2927:, a principal left
1319:(for some manifold
1186:for every manifold
847:. By construction,
20:is the analogue in
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6264:
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5983:complex of sheaves
5967:
5952:
5935:
5914:and is denoted by
5903:
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5863:
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5653:
5638:
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5590:
5556:Differential space
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4802:-equivariant maps
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4772:
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2805:Two Lie groupoids
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2619:
2593:topological spaces
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2011:
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1558:
1538:
1501:
1477:
1461:(every submersion
1451:
1414:
1358:
1329:
1309:
1282:
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1168:
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1069:
1037:
1017:
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783:
763:
739:
711:
680:
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585:
553:
527:
501:
475:
449:
423:
397:
369:
331:
305:
289:there is an arrow
279:
251:
225:
201:
177:
146:
102:
86:groupoid fibration
46:Morita equivalence
30:algebraic geometry
6727:978-3-540-05307-1
6664:Pronk, Dorette A.
6621:Jochen Heinloth:
6449:978-0-8218-4423-6
6267:{\displaystyle X}
6150:{\displaystyle X}
6089:{\displaystyle X}
6029:{\displaystyle X}
6003:{\displaystyle X}
5906:{\displaystyle X}
5848:{\displaystyle U}
5826:{\displaystyle p}
5763:{\displaystyle U}
5741:{\displaystyle X}
5719:{\displaystyle x}
5697:{\displaystyle X}
5676:{\displaystyle p}
5623:{\displaystyle X}
5593:{\displaystyle X}
5458:
5380:if the action is
5314:{\displaystyle M}
5108:-equivariant map
5101:{\displaystyle G}
4911:
4894:{\displaystyle X}
4842:
4795:{\displaystyle G}
4749:{\displaystyle G}
4729:{\displaystyle X}
4667:{\displaystyle M}
4537:holonomy groupoid
4528:{\displaystyle M}
4478:{\displaystyle G}
4403:{\displaystyle G}
4388:classifying space
4377:{\displaystyle G}
4329:
4314:{\displaystyle N}
4294:{\displaystyle G}
4274:{\displaystyle N}
4231:{\displaystyle G}
4155:
4128:
4115:
4044:
4029:{\displaystyle M}
3989:{\displaystyle X}
3976:is isomorphic to
3887:{\displaystyle X}
3849:
3791:
3732:principal bundles
3723:{\displaystyle G}
3703:{\displaystyle N}
3679:{\displaystyle G}
3659:{\displaystyle N}
3619:
3322:{\displaystyle U}
3226:
2986:{\displaystyle P}
2940:{\displaystyle G}
2894:{\displaystyle H}
2874:{\displaystyle P}
2859:Morita equivalent
2642:{\displaystyle M}
2622:{\displaystyle G}
2499:
2464:
2322:{\displaystyle Z}
2309:(for some object
2290:
2282:is isomorphic to
2263:
2243:
2206:and any morphism
2175:{\displaystyle Y}
2137:
2118:{\displaystyle X}
2080:
1994:
1963:{\displaystyle M}
1943:{\displaystyle N}
1770:
1637:
1561:{\displaystyle X}
1504:{\displaystyle X}
1332:{\displaystyle Y}
1206:and any morphism
1199:{\displaystyle U}
1047:and a smooth map
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