1137:. In this way, a fast algorithm for the DHT (see below) yields a fast algorithm for convolution. (This is slightly more expensive than the corresponding procedure for the DFT, not including the costs of the transforms below, because the pairwise operation above requires 8 real-arithmetic operations compared to the 6 of a complex multiplication. This count doesn't include the division by 2, which can be absorbed e.g. into the 1/
2246:
1671:
1824:
2943:
7303:
3252:
1854:
3552:
1301:
393:
58:
in 1983 as a more efficient computational tool in the common case where the data are purely real. It was subsequently argued, however, that specialized FFT algorithms for real inputs or outputs can ordinarily be found with slightly fewer operations than any corresponding algorithm for the DHT.
8027:
denotes term by term multiplication. It was also stated in (Boussakta, 1988) that this algorithm reduces the number of multiplications by a factor of 8–20 over other DHT algorithms at a cost of a slight increase in the number of shift and add operations, which are assumed to be simpler than
5397:
1284:, can be directly applied to the DHT of real data for roughly a factor of two less computation than that of the equivalent complex FFT (Frigo and Johnson, 2005). On the other hand, a non-DHT-based adaptation of Rader's algorithm for real-input DFTs is also possible (Chu &
8318:
1253:
5046:
6448:
3756:
4184:
2618:
5557:
2241:{\displaystyle {\hat {X}}(k_{1},k_{2},...,k_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\dots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}x(n_{1},n_{2},...,n_{r}){\rm {cas}}({\frac {2\pi n_{1}k_{1}}{N_{1}}})\dots {\rm {cas}}({\frac {2\pi n_{r}k_{r}}{N_{r}}}).}
7022:
565:
As with the DFT, the overall scale factor in front of the transform and the sign of the sine term are a matter of convention. Although these conventions occasionally vary between authors, they do not affect the essential properties of the transform.
2949:
5927:
4811:
4594:
3258:
7873:
1242:
considerations than by strict operation counts, and a slight difference in arithmetic cost is unlikely to be significant. Since FHT and real-input FFT algorithms have similar computational structures, neither appears to have a substantial
1102:
7705:
4002:
Number theoretic transforms have also been used for solving the MD-DHT, since they perform extremely fast convolutions. In
Boussakta (1988), it was shown how to decompose the MD-DHT transform into a form consisting of convolutions:
1837:
The MD-DHT is widely used in areas like image and optical signal processing. Specific applications include computer vision, high-definition television, and teleconferencing, areas that process or analyze motion images (Zeng, 2000).
1666:{\displaystyle X(k_{1},k_{2},...,k_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\dots \sum _{n_{r}=0}^{N_{r}-1}x(n_{1},n_{2},...,n_{r}){\rm {cas}}({\frac {2\pi n_{1}k_{1}}{N_{1}}}+\dots +{\frac {2\pi n_{r}k_{r}}{N_{r}}}),}
4423:
138:
8503:
5184:
504:
6175:
1819:
Similar to the 1-D case, as a real and symmetric transform, the MD-DHT is simpler than the MD-DFT. For one, the inverse DHT is identical to the forward transform, with the addition of a scaling factor;
1280:) complex-data algorithms for such cases, because the redundancies are hidden behind intricate permutations and/or phase rotations in those algorithms. In contrast, a standard prime-size FFT algorithm,
3997:
2577:
4866:
31:(DFT), with analogous applications in signal processing and related fields. Its main distinction from the DFT is that it transforms real inputs to real outputs, with no intrinsic involvement of
6857:
1177:(1993), has a direct analogue for the discrete Hartley transform. (However, a few of the more exotic FFT algorithms, such as the QFT, have not yet been investigated in the context of the DHT.)
7499:
6269:
3558:
3876:
8003:
7585:
6983:
6003:
4011:
3817:
1846:
As computing speed keeps increasing, bigger multidimensional problems become computationally feasible, requiring the need for fast multidimensional algorithms. Three such algorithms follow.
1815:
1231:/4. In this way, they argued that a DHT of power-of-two length can be computed with, at best, 2 more additions than the corresponding number of arithmetic operations for the real-input DFT.
2938:{\displaystyle X(k_{1},k_{2},...,k_{r})=\sum _{n_{1}=0}^{N-1}\sum _{n_{2}=0}^{N-1}\sum _{n_{r}=0}^{N-1}x(n_{1},n_{2},n_{3}){\rm {cas}}({\frac {2\pi }{N}}(n_{1}k_{1}+n_{2}k_{2}+n_{3}k_{3}))}
1737:
5403:
7298:{\displaystyle X_{4}(g_{1}^{k},g_{2}^{l})=\sum _{n=0}^{N-2}\sum _{m=0}^{M-2}x(g_{1}^{-n},g_{2}^{-m}){\rm {cas}}({\frac {2\pi g_{1}^{(-n+k)}}{N}}+{\frac {2\pi g_{2}^{(-m+l)}}{M}}),}
3247:{\displaystyle =\sum _{n_{1}:even}\sum _{n_{2}:even}\sum _{n_{3}:even}+\sum _{n_{1}:even}\sum _{n_{2}:even}\sum _{n_{3}:odd}+\sum _{n_{1}:even}\sum _{n_{2}:odd}\sum _{n_{3}:even}}
2610:, row-column algorithms can then be implemented. This technique is commonly used due to the simplicity of such R-C algorithms, but they are not optimized for general M-D spaces.
6550:
5148:
1211:(1987). The latter authors obtained what appears to be the lowest published operation count for the DHT of power-of-two sizes, employing a split-radix algorithm (similar to the
8446:
7405:
7354:
6499:
5097:
4643:
4283:
4233:
3547:{\displaystyle +\sum _{n_{1}:even}\sum _{n_{2}:odd}\sum _{n_{3}:odd}+\sum _{n_{1}:odd}\sum _{n_{2}:even}\sum _{n_{3}:even}+\sum _{n_{1}:odd}\sum _{n_{2}:even}\sum _{n_{3}:odd}}
5770:
4860:
4649:
4432:
3922:
5704:
446:
3999:
additions from the row-column approach. The drawback is that the implementation of these radix-type of algorithms is hard to generalize for signals of arbitrary dimensions.
5763:
5609:
6057:
6030:
6262:
6220:
2608:
7015:
8025:
7712:
5642:
6889:
6780:
6748:
6721:
6606:
6579:
5731:
5177:
788:
1207:
operations) than the corresponding DFT algorithm (FFT) specialized for real inputs (or outputs). This was first argued by
Sorensen et al. (1987) and Duhamel &
7590:
6909:
6690:
6670:
6650:
6630:
6097:
6077:
8163:
4292:
388:{\displaystyle H_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\operatorname {cas} \left({\frac {2\pi }{N}}nk\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\left\quad \quad k=0,\dots ,N-1.}
8099:
2613:
Other fast algorithms have been developed, such as radix-2, radix-4, and split radix. For example, Boussakta (2000) developed the 3-D vector radix,
1258:
and Šević, 1994). As a practical matter, highly optimized real-input FFT libraries are available from many sources (e.g. from CPU vendors such as
8463:
8323:
5392:{\displaystyle X_{3}(k,l)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n,0){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}})+\sum _{m=1}^{M-1}x(0,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi ml}{M}})}
8570:
8461:
Bortfeld, Thomas; Dinter, Wolfgang (1995). "Calculation of
Multidimensional Hartley Transforms Using One-Dimensional Fourier Transforms".
8444:
Zeng, Yonghang; Bi, Guoan; Leyman, Abdul Rahim (2000). "Polynomial
Transform Algorithms for Multidimensional Discrete Hartley Transform".
450:
6102:
1166:
8580:
Boussakta, Said; Holt, Alan G. J. (1988). "Fast
Multidimensional Discrete Hartley Transform using Fermat Number Transform".
8523:
Boussakta, Said; Holt, Alan G. J. (1988). "Fast
Multidimensional Discrete Hartley Transform using Fermat Number Transform".
5041:{\displaystyle X_{3}(k,l)=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}x(n,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}+{\frac {2\pi ml}{M}})\;,}
3927:
6443:{\displaystyle X_{4}(k,l)=\sum _{n=1}^{N-1}\sum _{m=1}^{M-1}x(n,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}+{\frac {2\pi ml}{M}}),}
3751:{\displaystyle +\sum _{n_{1}:odd}\sum _{n_{2}:odd}\sum _{n_{3}:even}+\sum _{n_{1}:odd}\sum _{n_{2}:odd}\sum _{n_{3}:odd}.}
2255:
8678:
6785:
4179:{\displaystyle X(k,l)=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}x(n,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}+{\frac {2\pi ml}{M}}),\;}
7417:
3822:
7879:
7504:
6914:
5934:
3763:
1742:
1265:
On the other hand, the redundant computations in FFTs due to real inputs are more difficult to eliminate for large
1170:
28:
8683:
1212:
1125:, et cetera). Thus, just as the DFT transforms a convolution into a pointwise multiplication of complex numbers (
24:
5552:{\displaystyle +\sum _{n=1}^{N-1}\sum _{m=1}^{M-1}x(n,m){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}+{\frac {2\pi ml}{M}}).}
1248:
8653:
Olnejniczak, Kraig J.; Heydt, Gerald T. (March 1994). "Scanning the
Special Section on the Hartley transform".
1678:
632:
1834:. Additionally, the DFT is directly obtainable from the DHT by a simple additive operation (Bracewell, 1983).
1281:
1174:
8303:(1987). "Improved Fourier and Hartley transform algorithms: application to cyclic convolution of real data".
8028:
multiplications. The drawback of this algorithm is the constraint that each dimension of the transform has a
8655:
8614:
8562:
8367:
8197:
8029:
6609:
1184:(FHT) algorithm, and was first described by Bracewell in 1984. This FHT algorithm, at least when applied to
8376:
8054:
68:
51:
5922:{\displaystyle X(k,l)=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}x(n,m)\alpha _{1}^{nk}\alpha _{2}^{ml}\mod F_{t}}
4806:{\displaystyle X_{2}(0,l)=\sum _{m=0}^{M-1}(\sum _{n=0}^{N-1}x(n,m)){\rm {cas}}({\frac {2\pi ml}{M}}),\;}
4589:{\displaystyle X_{1}(k,0)=\sum _{n=0}^{N-1}(\sum _{m=0}^{M-1}x(n,m)){\rm {cas}}({\frac {2\pi nk}{N}}),\;}
8414:
8281:
8139:
6505:
5103:
1285:
7360:
7309:
6454:
5052:
4598:
4238:
4188:
4815:
3881:
2250:
It was shown in
Bortfeld (1995), that the two can be related by a few additions. For example, in 3-D,
8472:
8332:
8321:; Šević, Dragutin (1994). "A new look at the comparison of the fast Hartley and Fourier transforms".
8248:
7411:
5647:
401:
4322:
1203:
As mentioned above, DHT algorithms are typically slightly less efficient (in terms of the number of
8554:
8501:
Boussakta, Said; Alshibami, Osama (2000). "Fast
Algorithm for the 3-D Discrete Hartley Transform".
8381:
8232:
8192:
8094:
5736:
5568:
1197:
55:
44:
1849:
In pursuit of separability for efficiency, we consider the following transform (Bracewell, 1983),
8394:
8214:
8116:
8071:
7868:{\displaystyle Y(k,l)=\sum _{n=0}^{N-2}\sum _{m=0}^{M-2}y(n,m)h(<k-n>_{N},<l-m>_{M})}
6035:
6008:
1157:). There are fast algorithms similar to the FFT, however, that compute the same result in only O(
8635:
6225:
6183:
2584:
6988:
8606:
8566:
8010:
1097:{\displaystyle {\begin{matrix}Z_{k}&=&\left/2\\Z_{N-k}&=&\left/2\end{matrix}}}
518:
40:
36:
5614:
8623:
8589:
8532:
8480:
8426:
8386:
8340:
8277:
8256:
8206:
8172:
8135:
8108:
8063:
1129:
of real and imaginary parts), the DHT transforms a convolution into a simple combination of
7700:{\displaystyle h(n,m)={\rm {cas}}({\frac {2\pi g_{1}^{n}}{N}}+{\frac {2\pi g_{2}^{m}}{M}})}
6862:
6753:
6726:
6699:
6584:
6557:
5709:
5155:
8602:
8300:
1208:
1193:
603:
8476:
8336:
8252:
606:. The matrix is invertible; the inverse transformation, which allows one to recover the
6894:
6675:
6655:
6635:
6615:
6082:
6062:
1831:
1204:
1180:
In particular, the DHT analogue of the Cooley–Tukey algorithm is commonly known as the
1154:
559:
32:
8052:(March 1942). "A More Symmetrical Fourier Analysis Applied to Transmission Problems".
8672:
8177:
8158:
8120:
8049:
5562:
754:, becomes a simple operation after the DHT. In particular, suppose that the vectors
599:
8218:
8075:
3760:
It was also presented in
Boussakta (2000) that this 3D-vector radix algorithm takes
8398:
6693:
4418:{\displaystyle X(k,l)={\begin{cases}X_{1}(k,0)\\X_{2}(0,l)\\X_{3}(k,l)\end{cases}}}
1266:
1239:
1185:
1830:
and second, since the kernel is real, it avoids the computational complexity of
703:
87:
8430:
8067:
8390:
8142:; Heideman, Michael T. (1985). "On computing the discrete Hartley transform".
1200:. Stanford placed this patent in the public domain in 1994 (Bracewell, 1995).
8593:
8536:
1133:
of real frequency components. The inverse DHT then yields the desired vector
8210:
1235:
1149:
Just as for the DFT, evaluating the DHT definition directly would require O(
8112:
1823:
4006:
For the 2-D case (the 3-D case is also covered in the stated reference),
8504:
International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing '00
638:
The DHT can be used to compute the DFT, and vice versa. For real inputs
8484:
8417:(1982). "A prime factor FTT algorithm using distributed arithmetic".
8359:
8344:
1822:
574:
The transform can be interpreted as the multiplication of the vector (
8627:
8261:
8236:
4287:
can be decomposed into 1-D and 2-D circular convolutions as follows,
5561:
At this point we present the Fermat number transform (FNT). The t
1259:
499:{\displaystyle ={\sqrt {2}}\cos \left(z-{\frac {\pi }{4}}\right)}
67:
Formally, the discrete Hartley transform is a linear, invertible
8640:
688:)/2. Conversely, the DHT is equivalent to computing the DFT of
50:
Because there are fast algorithms for the DHT analogous to the
5765:), (Boussakta, 1988). The Fermat number transform is given by
8419:
IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing
8305:
IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing
8286:
IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing
8144:
IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing
6170:{\displaystyle (\alpha _{1}^{N}=\alpha _{2}^{M}=1\mod F_{t})}
35:. Just as the DFT is the discrete analogue of the continuous
1234:
On present-day computers, performance is determined more by
4411:
1262:), whereas highly optimized DHT libraries are less common.
8284:(1987). "Real-valued fast Fourier transform algorithms".
39:(FT), the DHT is the discrete analogue of the continuous
8159:"Fast discrete transform by means of eigenpolynomials"
3992:{\displaystyle ({\frac {9}{2}})N^{3}\log _{2}N+3N^{2}}
793:
8013:
7882:
7715:
7593:
7507:
7420:
7363:
7312:
7025:
6991:
6917:
6897:
6865:
6788:
6756:
6729:
6702:
6678:
6658:
6638:
6618:
6587:
6560:
6508:
6457:
6272:
6228:
6186:
6105:
6085:
6065:
6038:
6011:
5937:
5773:
5739:
5712:
5650:
5617:
5571:
5406:
5187:
5158:
5106:
5055:
4869:
4818:
4652:
4601:
4435:
4295:
4241:
4191:
4014:
3930:
3884:
3825:
3766:
3561:
3261:
2952:
2621:
2587:
2258:
1857:
1745:
1681:
1304:
1292:
Multi-Dimensional Discrete Hartley Transform (MD-DHT)
791:
453:
404:
141:
8607:"Basefield transforms with the convolution property"
8447:
IEEE International Symposium on Circuits and Systems
2572:{\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})={\frac {1}{2}}.}
1296:
The rD-DHT (MD-DHT with "r" dimensions) is given by
8582:
IEE Proceedings G - Electronic Circuits and Systems
8525:
IEE Proceedings G - Electronic Circuits and Systems
6180:Going back to the decomposition, the last term for
1107:where we take all of the vectors to be periodic in
8019:
7997:
7867:
7699:
7579:
7493:
7399:
7348:
7297:
7009:
6977:
6903:
6883:
6852:{\displaystyle (g_{1}^{n}\mod N,g_{2}^{m}\mod M).}
6851:
6774:
6742:
6715:
6684:
6664:
6644:
6624:
6600:
6573:
6544:
6493:
6442:
6256:
6214:
6169:
6091:
6071:
6051:
6024:
5997:
5921:
5757:
5725:
5698:
5636:
5603:
5551:
5391:
5171:
5142:
5091:
5040:
4854:
4805:
4637:
4588:
4417:
4277:
4227:
4178:
3991:
3916:
3870:
3811:
3750:
3546:
3246:
2937:
2602:
2571:
2240:
1809:
1731:
1665:
1096:
498:
440:
387:
8518:
8516:
8514:
8496:
8494:
7494:{\displaystyle Y(k,l)=X_{4}(g_{1}^{k},g_{2}^{l})}
602:; therefore, the discrete Hartley transform is a
8089:
8087:
8085:
3871:{\displaystyle ({\frac {31}{8}})N^{3}\log _{2}N}
7998:{\displaystyle Y(k,l)=FNT^{-1}\{FNT\otimes FNT}
7580:{\displaystyle y(n,m)=x(g_{1}^{-n},g_{2}^{-m})}
6978:{\displaystyle g_{1}^{-n},g_{2}^{-m},g_{1}^{k}}
5998:{\displaystyle k=0,\ldots ,N-1,l=0,\ldots ,M-1}
3812:{\displaystyle ({\frac {7}{4}})N^{3}\log _{2}N}
1810:{\displaystyle {\rm {cas}}(x)=\cos(x)+\sin(x).}
1165:) operations. Nearly every FFT algorithm, from
8164:Computers & Mathematics with Applications
8:
7923:
699:, then taking the real part of the result.
554:which appears in the DFT definition (where
8358:Frigo, Matteo; Johnson, Steven G. (2005).
8157:Bini, Dario Andrea; Bozzo, Enrico (1993).
5034:
4802:
4585:
4175:
54:(FFT), the DHT was originally proposed by
27:of discrete, periodic data similar to the
8380:
8260:
8176:
8100:Journal of the Optical Society of America
8012:
7914:
7881:
7856:
7831:
7779:
7768:
7752:
7741:
7714:
7682:
7677:
7664:
7649:
7644:
7631:
7616:
7615:
7592:
7565:
7560:
7544:
7539:
7506:
7482:
7477:
7464:
7459:
7446:
7419:
7362:
7311:
7262:
7257:
7244:
7214:
7209:
7196:
7181:
7180:
7168:
7163:
7147:
7142:
7120:
7109:
7093:
7082:
7066:
7061:
7048:
7043:
7030:
7024:
7001:
6996:
6990:
6969:
6964:
6948:
6943:
6927:
6922:
6916:
6896:
6864:
6839:
6838:
6828:
6823:
6812:
6811:
6801:
6796:
6787:
6755:
6734:
6728:
6707:
6701:
6677:
6657:
6637:
6617:
6592:
6586:
6565:
6559:
6507:
6456:
6413:
6389:
6374:
6373:
6343:
6332:
6316:
6305:
6277:
6271:
6233:
6227:
6191:
6185:
6158:
6153:
6152:
6136:
6131:
6118:
6113:
6104:
6084:
6064:
6043:
6037:
6016:
6010:
5936:
5913:
5908:
5907:
5894:
5889:
5876:
5871:
5837:
5826:
5810:
5799:
5772:
5738:
5717:
5711:
5649:
5628:
5616:
5589:
5576:
5570:
5522:
5498:
5483:
5482:
5452:
5441:
5425:
5414:
5405:
5365:
5350:
5349:
5319:
5308:
5277:
5262:
5261:
5231:
5220:
5192:
5186:
5163:
5157:
5105:
5054:
5010:
4986:
4971:
4970:
4940:
4929:
4913:
4902:
4874:
4868:
4817:
4775:
4760:
4759:
4726:
4715:
4696:
4685:
4657:
4651:
4600:
4558:
4543:
4542:
4509:
4498:
4479:
4468:
4440:
4434:
4387:
4358:
4329:
4317:
4294:
4240:
4190:
4148:
4124:
4109:
4108:
4078:
4067:
4051:
4040:
4013:
3983:
3961:
3951:
3934:
3929:
3902:
3892:
3883:
3856:
3846:
3829:
3824:
3797:
3787:
3770:
3765:
3725:
3720:
3696:
3691:
3667:
3662:
3632:
3627:
3603:
3598:
3574:
3569:
3560:
3524:
3519:
3492:
3487:
3463:
3458:
3428:
3423:
3396:
3391:
3367:
3362:
3335:
3330:
3306:
3301:
3274:
3269:
3260:
3221:
3216:
3192:
3187:
3160:
3155:
3128:
3123:
3096:
3091:
3064:
3059:
3029:
3024:
2997:
2992:
2965:
2960:
2951:
2923:
2913:
2900:
2890:
2877:
2867:
2845:
2830:
2829:
2820:
2807:
2794:
2772:
2759:
2754:
2738:
2725:
2720:
2704:
2691:
2686:
2670:
2645:
2632:
2620:
2589:
2588:
2586:
2554:
2538:
2522:
2501:
2500:
2488:
2475:
2462:
2441:
2440:
2428:
2415:
2399:
2381:
2380:
2368:
2352:
2339:
2321:
2320:
2307:
2295:
2282:
2269:
2257:
2224:
2213:
2203:
2190:
2175:
2174:
2160:
2149:
2139:
2126:
2111:
2110:
2101:
2076:
2063:
2039:
2034:
2021:
2016:
1995:
1990:
1977:
1972:
1954:
1949:
1936:
1931:
1915:
1890:
1877:
1859:
1858:
1856:
1747:
1746:
1744:
1732:{\displaystyle k_{i}=0,1,\ldots ,N_{i}-1}
1717:
1686:
1680:
1649:
1638:
1628:
1615:
1598:
1587:
1577:
1564:
1549:
1548:
1539:
1514:
1501:
1477:
1472:
1459:
1454:
1433:
1428:
1415:
1410:
1392:
1387:
1374:
1369:
1353:
1328:
1315:
1303:
1082:
1060:
1047:
1032:
1008:
995:
974:
946:
930:
908:
895:
874:
850:
837:
822:
800:
792:
790:
481:
457:
452:
403:
325:
285:
263:
247:
236:
203:
186:
170:
159:
146:
140:
8360:"The Design and Implementation of FFTW3"
5644:. The well known Fermat numbers are for
631:. That is, the DHT is its own inverse (
8041:
8665:(NB. Contains extensive bibliography.)
8464:IEEE Transactions on Signal Processing
8324:IEEE Transactions on Signal Processing
8237:"Computing with the Hartley Transform"
8195:(1984). "The Fast Hartley Transform".
8097:(1983). "Discrete Hartley Transform".
1192:, is the subject of the United States
16:Fourier-related mathematical transform
7:
8638:(1988). "Faster than Fast Fourier".
1196:number 4,646,256, issued in 1987 to
1141:normalization of the inverse DHT.)
778:respectively. Then the elements of
7623:
7620:
7617:
7188:
7185:
7182:
6652:(which are guaranteed to exist if
6545:{\displaystyle l=1,2,\ldots ,M-1.}
6381:
6378:
6375:
5490:
5487:
5484:
5357:
5354:
5351:
5269:
5266:
5263:
5143:{\displaystyle l=1,2,\ldots ,M-1.}
4978:
4975:
4972:
4767:
4764:
4761:
4550:
4547:
4544:
4116:
4113:
4110:
2837:
2834:
2831:
2182:
2179:
2176:
2118:
2115:
2112:
1754:
1751:
1748:
1556:
1553:
1550:
635:), up to an overall scale factor.
516:, and should not be confused with
14:
7400:{\displaystyle l=0,1,\ldots ,M-2}
7349:{\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-2}
6494:{\displaystyle k=1,2,\ldots ,N-1}
5092:{\displaystyle k=1,2,\ldots ,N-1}
4638:{\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-1}
4278:{\displaystyle l=0,1,\ldots ,M-1}
4228:{\displaystyle k=0,1,\ldots ,N-1}
4855:{\displaystyle l=1,2,\dots ,M-1}
3917:{\displaystyle 3N^{3}\log _{2}N}
21:discrete Hartley transform (DHT)
6834:
6807:
6148:
5903:
5699:{\displaystyle t=0,1,2,3,4,5,6}
1153:) arithmetical operations (see
441:{\displaystyle \cos(z)+\sin(z)}
357:
356:
7992:
7989:
7977:
7971:
7956:
7953:
7941:
7935:
7898:
7886:
7862:
7812:
7806:
7794:
7731:
7719:
7694:
7628:
7609:
7597:
7574:
7532:
7523:
7511:
7488:
7452:
7436:
7424:
7289:
7278:
7263:
7230:
7215:
7193:
7177:
7135:
7072:
7036:
6843:
6789:
6769:
6757:
6434:
6386:
6370:
6358:
6295:
6283:
6251:
6239:
6209:
6197:
6164:
6106:
5864:
5852:
5789:
5777:
5543:
5495:
5479:
5467:
5386:
5362:
5346:
5334:
5298:
5274:
5258:
5246:
5210:
5198:
5031:
4983:
4967:
4955:
4892:
4880:
4796:
4772:
4756:
4753:
4741:
4708:
4675:
4663:
4579:
4555:
4539:
4536:
4524:
4491:
4458:
4446:
4405:
4393:
4376:
4364:
4347:
4335:
4311:
4299:
4169:
4121:
4105:
4093:
4030:
4018:
3944:
3931:
3839:
3826:
3780:
3767:
2932:
2929:
2860:
2842:
2826:
2787:
2676:
2625:
2594:
2563:
2560:
2512:
2506:
2494:
2452:
2446:
2434:
2392:
2386:
2374:
2332:
2326:
2317:
2301:
2262:
2232:
2187:
2168:
2123:
2107:
2056:
1921:
1870:
1864:
1842:Fast algorithms for the MD-DHT
1801:
1795:
1783:
1777:
1765:
1759:
1657:
1561:
1545:
1494:
1359:
1308:
1215:) that breaks a DHT of length
695:multiplied by 1 +
435:
429:
417:
411:
1:
5758:{\displaystyle 0\leq t\leq 4}
5604:{\displaystyle F_{t}=2^{b}+1}
1272:, despite the existence of O(
8178:10.1016/0898-1221(93)90004-f
6059:are roots of unity of order
1223:/2 and two real-input DFTs (
6052:{\displaystyle \alpha _{2}}
6025:{\displaystyle \alpha _{1}}
672:)/2 and an imaginary part (
8700:
8605:; Duhamel, Pierre (1994).
8431:10.1109/tassp.1982.1163875
8068:10.1109/JRPROC.1942.234333
7017:, one gets the following,
6257:{\displaystyle X_{4}(k,l)}
6215:{\displaystyle X_{3}(k,l)}
2603:{\displaystyle {\hat {X}}}
702:As with the DFT, a cyclic
29:discrete Fourier transform
8391:10.1109/jproc.2004.840301
8146:. ASSP-33 (4): 1231–1238.
7010:{\displaystyle g_{2}^{l}}
132:according to the formula
111:are transformed into the
25:Fourier-related transform
8594:10.1049/ip-g-1.1988.0036
8537:10.1049/ip-g-1.1988.0036
8280:; Heideman, Michael T.;
8020:{\displaystyle \otimes }
8656:Proceedings of the IEEE
8615:Proceedings of the IEEE
8563:Oxford University Press
8368:Proceedings of the IEEE
8288:. ASSP-35 (6): 849–863.
8211:10.1109/proc.1984.12968
8198:Proceedings of the IEEE
5637:{\displaystyle b=2^{t}}
620:, is simply the DHT of
8415:Burrus, Charles Sidney
8282:Burrus, Charles Sidney
8140:Burrus, Charles Sidney
8113:10.1364/josa.73.001832
8055:Proceedings of the IRE
8021:
7999:
7869:
7790:
7763:
7701:
7581:
7495:
7401:
7350:
7299:
7131:
7104:
7011:
6979:
6905:
6885:
6853:
6776:
6744:
6717:
6686:
6666:
6646:
6626:
6602:
6575:
6546:
6495:
6444:
6354:
6327:
6258:
6216:
6171:
6093:
6073:
6053:
6026:
5999:
5923:
5848:
5821:
5759:
5727:
5700:
5638:
5605:
5553:
5463:
5436:
5393:
5330:
5242:
5173:
5144:
5093:
5042:
4951:
4924:
4856:
4807:
4737:
4707:
4639:
4590:
4520:
4490:
4419:
4279:
4229:
4180:
4089:
4062:
3993:
3918:
3878:additions compared to
3872:
3813:
3752:
3548:
3248:
2939:
2783:
2749:
2715:
2604:
2573:
2242:
2052:
2008:
1967:
1827:
1811:
1733:
1667:
1490:
1446:
1405:
1182:fast Hartley transform
1173:to Winograd (1985) to
1098:
739:) to produce a vector
500:
442:
389:
258:
181:
52:fast Fourier transform
8559:The Hartley Transform
8276:Sorensen, Henrik V.;
8134:Sorensen, Henrik V.;
8022:
8000:
7870:
7764:
7737:
7702:
7582:
7496:
7402:
7351:
7300:
7105:
7078:
7012:
6980:
6906:
6886:
6884:{\displaystyle n,m,k}
6854:
6777:
6775:{\displaystyle (n,m)}
6745:
6743:{\displaystyle g_{2}}
6718:
6716:{\displaystyle g_{1}}
6687:
6667:
6647:
6627:
6603:
6601:{\displaystyle g_{2}}
6576:
6574:{\displaystyle g_{1}}
6547:
6496:
6445:
6328:
6301:
6259:
6217:
6172:
6094:
6074:
6054:
6027:
6000:
5924:
5822:
5795:
5760:
5728:
5726:{\displaystyle F_{t}}
5701:
5639:
5606:
5554:
5437:
5410:
5394:
5304:
5216:
5174:
5172:{\displaystyle X_{3}}
5145:
5094:
5043:
4925:
4898:
4857:
4808:
4711:
4681:
4640:
4591:
4494:
4464:
4420:
4280:
4230:
4181:
4063:
4036:
3994:
3919:
3873:
3814:
3753:
3549:
3249:
2940:
2750:
2716:
2682:
2605:
2574:
2243:
2012:
1968:
1927:
1826:
1812:
1734:
1668:
1450:
1406:
1365:
1219:into a DHT of length
1099:
506:is sometimes denoted
501:
443:
390:
232:
155:
8555:Bracewell, Ronald N.
8241:Computers in Physics
8233:Bracewell, Ronald N.
8193:Bracewell, Ronald N.
8095:Bracewell, Ronald N.
8050:Hartley, Ralph V. L.
8011:
7880:
7713:
7591:
7505:
7418:
7412:circular convolution
7361:
7310:
7023:
6989:
6915:
6895:
6863:
6786:
6754:
6727:
6700:
6676:
6656:
6636:
6616:
6585:
6558:
6506:
6455:
6270:
6226:
6184:
6103:
6083:
6063:
6036:
6009:
5935:
5771:
5737:
5710:
5648:
5615:
5569:
5404:
5185:
5156:
5104:
5053:
4867:
4816:
4650:
4599:
4433:
4293:
4239:
4189:
4012:
3928:
3924:multiplications and
3882:
3823:
3819:multiplications and
3764:
3559:
3259:
2950:
2619:
2585:
2256:
1855:
1743:
1679:
1302:
789:
451:
402:
139:
43:(HT), introduced by
8679:Discrete transforms
8477:1995ITSP...43.1306B
8337:1994ITSP...42.2178P
8307:. ASSP-35: 818–824.
8253:1995ComPh...9..373B
7687:
7654:
7573:
7552:
7487:
7469:
7282:
7234:
7176:
7155:
7071:
7053:
7006:
6974:
6956:
6935:
6833:
6806:
6222:will be denoted as
6141:
6123:
5902:
5884:
1198:Stanford University
86:denotes the set of
56:Ronald N. Bracewell
45:Ralph V. L. Hartley
8319:Поповић , Миодраг
8017:
7995:
7865:
7697:
7673:
7640:
7577:
7556:
7535:
7491:
7473:
7455:
7397:
7346:
7295:
7253:
7205:
7159:
7138:
7057:
7039:
7007:
6992:
6975:
6960:
6939:
6918:
6901:
6881:
6849:
6819:
6792:
6772:
6740:
6713:
6682:
6662:
6642:
6622:
6598:
6571:
6542:
6491:
6440:
6254:
6212:
6167:
6127:
6109:
6089:
6069:
6049:
6022:
5995:
5919:
5885:
5867:
5755:
5723:
5696:
5634:
5601:
5549:
5389:
5169:
5140:
5089:
5038:
4852:
4803:
4635:
4586:
4415:
4410:
4275:
4225:
4176:
3989:
3914:
3868:
3809:
3748:
3744:
3715:
3686:
3654:
3622:
3593:
3544:
3543:
3514:
3482:
3450:
3418:
3386:
3354:
3325:
3296:
3244:
3243:
3211:
3182:
3147:
3118:
3086:
3051:
3019:
2987:
2935:
2600:
2569:
2238:
1828:
1807:
1729:
1663:
1094:
1092:
766:denote the DHT of
496:
438:
385:
8485:10.1109/78.382424
8345:10.1109/78.301854
8299:Duhamel, Pierre;
8278:Jones, Douglas L.
8136:Jones, Douglas L.
8107:(12): 1832–1835.
7692:
7659:
7287:
7239:
6904:{\displaystyle l}
6685:{\displaystyle N}
6665:{\displaystyle M}
6645:{\displaystyle M}
6625:{\displaystyle N}
6432:
6408:
6092:{\displaystyle M}
6072:{\displaystyle N}
5541:
5517:
5384:
5296:
5029:
5005:
4794:
4577:
4167:
4143:
3942:
3837:
3778:
3716:
3687:
3658:
3623:
3594:
3565:
3515:
3483:
3454:
3419:
3387:
3358:
3326:
3297:
3265:
3212:
3183:
3151:
3119:
3087:
3055:
3020:
2988:
2956:
2858:
2597:
2509:
2449:
2389:
2329:
2315:
2230:
2166:
1867:
1655:
1604:
1282:Rader's algorithm
1247:speed advantage (
750:), all of length
654:has a real part (
645:, the DFT output
489:
462:
338:
298:
216:
41:Hartley transform
37:Fourier transform
8691:
8684:Fourier analysis
8664:
8649:
8636:O'Neill, Mark A.
8631:
8628:10.1109/5.272145
8611:
8603:Vetterli, Martin
8601:Hong, Jonathan;
8597:
8576:
8572:978-0-19503969-6
8541:
8540:
8520:
8509:
8508:
8498:
8489:
8488:
8471:(5): 1306–1310.
8458:
8452:
8451:
8441:
8435:
8434:
8410:
8404:
8402:
8384:
8364:
8355:
8349:
8348:
8331:(8): 2178–2182.
8315:
8309:
8308:
8301:Vetterli, Martin
8296:
8290:
8289:
8273:
8267:
8266:
8264:
8262:10.1063/1.168534
8229:
8223:
8222:
8205:(8): 1010–1018.
8189:
8183:
8182:
8180:
8154:
8148:
8147:
8131:
8125:
8124:
8091:
8080:
8079:
8046:
8026:
8024:
8023:
8018:
8004:
8002:
8001:
7996:
7922:
7921:
7874:
7872:
7871:
7866:
7861:
7860:
7836:
7835:
7789:
7778:
7762:
7751:
7706:
7704:
7703:
7698:
7693:
7688:
7686:
7681:
7665:
7660:
7655:
7653:
7648:
7632:
7627:
7626:
7586:
7584:
7583:
7578:
7572:
7564:
7551:
7543:
7500:
7498:
7497:
7492:
7486:
7481:
7468:
7463:
7451:
7450:
7406:
7404:
7403:
7398:
7355:
7353:
7352:
7347:
7304:
7302:
7301:
7296:
7288:
7283:
7281:
7261:
7245:
7240:
7235:
7233:
7213:
7197:
7192:
7191:
7175:
7167:
7154:
7146:
7130:
7119:
7103:
7092:
7070:
7065:
7052:
7047:
7035:
7034:
7016:
7014:
7013:
7008:
7005:
7000:
6984:
6982:
6981:
6976:
6973:
6968:
6955:
6947:
6934:
6926:
6910:
6908:
6907:
6902:
6890:
6888:
6887:
6882:
6858:
6856:
6855:
6850:
6832:
6827:
6805:
6800:
6781:
6779:
6778:
6773:
6749:
6747:
6746:
6741:
6739:
6738:
6722:
6720:
6719:
6714:
6712:
6711:
6691:
6689:
6688:
6683:
6671:
6669:
6668:
6663:
6651:
6649:
6648:
6643:
6631:
6629:
6628:
6623:
6607:
6605:
6604:
6599:
6597:
6596:
6580:
6578:
6577:
6572:
6570:
6569:
6551:
6549:
6548:
6543:
6500:
6498:
6497:
6492:
6449:
6447:
6446:
6441:
6433:
6428:
6414:
6409:
6404:
6390:
6385:
6384:
6353:
6342:
6326:
6315:
6282:
6281:
6263:
6261:
6260:
6255:
6238:
6237:
6221:
6219:
6218:
6213:
6196:
6195:
6176:
6174:
6173:
6168:
6163:
6162:
6140:
6135:
6122:
6117:
6098:
6096:
6095:
6090:
6078:
6076:
6075:
6070:
6058:
6056:
6055:
6050:
6048:
6047:
6031:
6029:
6028:
6023:
6021:
6020:
6004:
6002:
6001:
5996:
5928:
5926:
5925:
5920:
5918:
5917:
5901:
5893:
5883:
5875:
5847:
5836:
5820:
5809:
5764:
5762:
5761:
5756:
5732:
5730:
5729:
5724:
5722:
5721:
5705:
5703:
5702:
5697:
5643:
5641:
5640:
5635:
5633:
5632:
5610:
5608:
5607:
5602:
5594:
5593:
5581:
5580:
5558:
5556:
5555:
5550:
5542:
5537:
5523:
5518:
5513:
5499:
5494:
5493:
5462:
5451:
5435:
5424:
5398:
5396:
5395:
5390:
5385:
5380:
5366:
5361:
5360:
5329:
5318:
5297:
5292:
5278:
5273:
5272:
5241:
5230:
5197:
5196:
5178:
5176:
5175:
5170:
5168:
5167:
5149:
5147:
5146:
5141:
5098:
5096:
5095:
5090:
5047:
5045:
5044:
5039:
5030:
5025:
5011:
5006:
5001:
4987:
4982:
4981:
4950:
4939:
4923:
4912:
4879:
4878:
4861:
4859:
4858:
4853:
4812:
4810:
4809:
4804:
4795:
4790:
4776:
4771:
4770:
4736:
4725:
4706:
4695:
4662:
4661:
4644:
4642:
4641:
4636:
4595:
4593:
4592:
4587:
4578:
4573:
4559:
4554:
4553:
4519:
4508:
4489:
4478:
4445:
4444:
4424:
4422:
4421:
4416:
4414:
4413:
4392:
4391:
4363:
4362:
4334:
4333:
4284:
4282:
4281:
4276:
4234:
4232:
4231:
4226:
4185:
4183:
4182:
4177:
4168:
4163:
4149:
4144:
4139:
4125:
4120:
4119:
4088:
4077:
4061:
4050:
3998:
3996:
3995:
3990:
3988:
3987:
3966:
3965:
3956:
3955:
3943:
3935:
3923:
3921:
3920:
3915:
3907:
3906:
3897:
3896:
3877:
3875:
3874:
3869:
3861:
3860:
3851:
3850:
3838:
3830:
3818:
3816:
3815:
3810:
3802:
3801:
3792:
3791:
3779:
3771:
3757:
3755:
3754:
3749:
3743:
3730:
3729:
3714:
3701:
3700:
3685:
3672:
3671:
3653:
3637:
3636:
3621:
3608:
3607:
3592:
3579:
3578:
3553:
3551:
3550:
3545:
3542:
3529:
3528:
3513:
3497:
3496:
3481:
3468:
3467:
3449:
3433:
3432:
3417:
3401:
3400:
3385:
3372:
3371:
3353:
3340:
3339:
3324:
3311:
3310:
3295:
3279:
3278:
3253:
3251:
3250:
3245:
3242:
3226:
3225:
3210:
3197:
3196:
3181:
3165:
3164:
3146:
3133:
3132:
3117:
3101:
3100:
3085:
3069:
3068:
3050:
3034:
3033:
3018:
3002:
3001:
2986:
2970:
2969:
2944:
2942:
2941:
2936:
2928:
2927:
2918:
2917:
2905:
2904:
2895:
2894:
2882:
2881:
2872:
2871:
2859:
2854:
2846:
2841:
2840:
2825:
2824:
2812:
2811:
2799:
2798:
2782:
2771:
2764:
2763:
2748:
2737:
2730:
2729:
2714:
2703:
2696:
2695:
2675:
2674:
2650:
2649:
2637:
2636:
2609:
2607:
2606:
2601:
2599:
2598:
2590:
2578:
2576:
2575:
2570:
2559:
2558:
2543:
2542:
2527:
2526:
2511:
2510:
2502:
2493:
2492:
2480:
2479:
2467:
2466:
2451:
2450:
2442:
2433:
2432:
2420:
2419:
2404:
2403:
2391:
2390:
2382:
2373:
2372:
2357:
2356:
2344:
2343:
2331:
2330:
2322:
2316:
2308:
2300:
2299:
2287:
2286:
2274:
2273:
2247:
2245:
2244:
2239:
2231:
2229:
2228:
2219:
2218:
2217:
2208:
2207:
2191:
2186:
2185:
2167:
2165:
2164:
2155:
2154:
2153:
2144:
2143:
2127:
2122:
2121:
2106:
2105:
2081:
2080:
2068:
2067:
2051:
2044:
2043:
2033:
2026:
2025:
2007:
2000:
1999:
1989:
1982:
1981:
1966:
1959:
1958:
1948:
1941:
1940:
1920:
1919:
1895:
1894:
1882:
1881:
1869:
1868:
1860:
1816:
1814:
1813:
1808:
1758:
1757:
1738:
1736:
1735:
1730:
1722:
1721:
1691:
1690:
1672:
1670:
1669:
1664:
1656:
1654:
1653:
1644:
1643:
1642:
1633:
1632:
1616:
1605:
1603:
1602:
1593:
1592:
1591:
1582:
1581:
1565:
1560:
1559:
1544:
1543:
1519:
1518:
1506:
1505:
1489:
1482:
1481:
1471:
1464:
1463:
1445:
1438:
1437:
1427:
1420:
1419:
1404:
1397:
1396:
1386:
1379:
1378:
1358:
1357:
1333:
1332:
1320:
1319:
1257:
1227:DHTs) of length
1103:
1101:
1100:
1095:
1093:
1086:
1081:
1077:
1076:
1072:
1071:
1070:
1052:
1051:
1037:
1036:
1024:
1020:
1019:
1018:
1000:
999:
985:
984:
957:
956:
934:
929:
925:
924:
920:
919:
918:
900:
899:
885:
884:
866:
862:
861:
860:
842:
841:
827:
826:
805:
804:
627:multiplied by 1/
553:
542:
514:
505:
503:
502:
497:
495:
491:
490:
482:
463:
458:
447:
445:
444:
439:
398:The combination
394:
392:
391:
386:
355:
351:
350:
346:
339:
334:
326:
310:
306:
299:
294:
286:
268:
267:
257:
246:
228:
224:
217:
212:
204:
191:
190:
180:
169:
151:
150:
8699:
8698:
8694:
8693:
8692:
8690:
8689:
8688:
8669:
8668:
8652:
8634:
8609:
8600:
8579:
8573:
8553:
8550:
8548:Further reading
8545:
8544:
8522:
8521:
8512:
8507:(4): 2302–2305.
8500:
8499:
8492:
8460:
8459:
8455:
8443:
8442:
8438:
8412:
8411:
8407:
8362:
8357:
8356:
8352:
8317:
8316:
8312:
8298:
8297:
8293:
8275:
8274:
8270:
8231:
8230:
8226:
8191:
8190:
8186:
8156:
8155:
8151:
8133:
8132:
8128:
8093:
8092:
8083:
8048:
8047:
8043:
8038:
8009:
8008:
7910:
7878:
7877:
7852:
7827:
7711:
7710:
7666:
7633:
7589:
7588:
7503:
7502:
7442:
7416:
7415:
7410:Which is now a
7359:
7358:
7308:
7307:
7246:
7198:
7026:
7021:
7020:
6987:
6986:
6913:
6912:
6893:
6892:
6861:
6860:
6784:
6783:
6752:
6751:
6730:
6725:
6724:
6703:
6698:
6697:
6674:
6673:
6654:
6653:
6634:
6633:
6614:
6613:
6610:primitive roots
6588:
6583:
6582:
6561:
6556:
6555:
6504:
6503:
6453:
6452:
6415:
6391:
6273:
6268:
6267:
6229:
6224:
6223:
6187:
6182:
6181:
6154:
6101:
6100:
6081:
6080:
6061:
6060:
6039:
6034:
6033:
6012:
6007:
6006:
5933:
5932:
5909:
5769:
5768:
5735:
5734:
5713:
5708:
5707:
5646:
5645:
5624:
5613:
5612:
5585:
5572:
5567:
5566:
5524:
5500:
5402:
5401:
5367:
5279:
5188:
5183:
5182:
5159:
5154:
5153:
5102:
5101:
5051:
5050:
5012:
4988:
4870:
4865:
4864:
4814:
4813:
4777:
4653:
4648:
4647:
4597:
4596:
4560:
4436:
4431:
4430:
4409:
4408:
4383:
4380:
4379:
4354:
4351:
4350:
4325:
4318:
4291:
4290:
4237:
4236:
4187:
4186:
4150:
4126:
4010:
4009:
3979:
3957:
3947:
3926:
3925:
3898:
3888:
3880:
3879:
3852:
3842:
3821:
3820:
3793:
3783:
3762:
3761:
3721:
3692:
3663:
3628:
3599:
3570:
3557:
3556:
3520:
3488:
3459:
3424:
3392:
3363:
3331:
3302:
3270:
3257:
3256:
3217:
3188:
3156:
3124:
3092:
3060:
3025:
2993:
2961:
2948:
2947:
2919:
2909:
2896:
2886:
2873:
2863:
2847:
2816:
2803:
2790:
2755:
2721:
2687:
2666:
2641:
2628:
2617:
2616:
2583:
2582:
2550:
2534:
2518:
2484:
2471:
2458:
2424:
2411:
2395:
2364:
2348:
2335:
2291:
2278:
2265:
2254:
2253:
2220:
2209:
2199:
2192:
2156:
2145:
2135:
2128:
2097:
2072:
2059:
2035:
2017:
1991:
1973:
1950:
1932:
1911:
1886:
1873:
1853:
1852:
1844:
1832:complex numbers
1741:
1740:
1713:
1682:
1677:
1676:
1645:
1634:
1624:
1617:
1594:
1583:
1573:
1566:
1535:
1510:
1497:
1473:
1455:
1429:
1411:
1388:
1370:
1349:
1324:
1311:
1300:
1299:
1294:
1251:
1213:split-radix FFT
1147:
1145:Fast algorithms
1124:
1116:
1091:
1090:
1056:
1043:
1042:
1038:
1028:
1004:
991:
990:
986:
970:
969:
965:
963:
958:
942:
939:
938:
904:
891:
890:
886:
870:
846:
833:
832:
828:
818:
817:
813:
811:
806:
796:
787:
786:
748:
737:
726:
717:of two vectors
693:
686:
680:
671:
662:
653:
643:
625:
618:
611:
604:linear operator
590:
580:
572:
544:
517:
508:
474:
470:
449:
448:
400:
399:
327:
324:
320:
287:
284:
280:
273:
269:
259:
205:
202:
198:
182:
142:
137:
136:
131:
121:
110:
100:
65:
33:complex numbers
17:
12:
11:
5:
8697:
8695:
8687:
8686:
8681:
8671:
8670:
8667:
8666:
8650:
8632:
8622:(3): 400–412.
8598:
8588:(6): 235–237.
8577:
8571:
8561:(1 ed.).
8549:
8546:
8543:
8542:
8531:(6): 235–237.
8510:
8490:
8453:
8436:
8425:(2): 217–227.
8405:
8382:10.1.1.66.3097
8375:(2): 216–231.
8350:
8310:
8291:
8268:
8247:(4): 373–379.
8224:
8184:
8149:
8126:
8081:
8062:(3): 144–150.
8040:
8039:
8037:
8034:
8030:primitive root
8016:
7994:
7991:
7988:
7985:
7982:
7979:
7976:
7973:
7970:
7967:
7964:
7961:
7958:
7955:
7952:
7949:
7946:
7943:
7940:
7937:
7934:
7931:
7928:
7925:
7920:
7917:
7913:
7909:
7906:
7903:
7900:
7897:
7894:
7891:
7888:
7885:
7864:
7859:
7855:
7851:
7848:
7845:
7842:
7839:
7834:
7830:
7826:
7823:
7820:
7817:
7814:
7811:
7808:
7805:
7802:
7799:
7796:
7793:
7788:
7785:
7782:
7777:
7774:
7771:
7767:
7761:
7758:
7755:
7750:
7747:
7744:
7740:
7736:
7733:
7730:
7727:
7724:
7721:
7718:
7696:
7691:
7685:
7680:
7676:
7672:
7669:
7663:
7658:
7652:
7647:
7643:
7639:
7636:
7630:
7625:
7622:
7619:
7614:
7611:
7608:
7605:
7602:
7599:
7596:
7576:
7571:
7568:
7563:
7559:
7555:
7550:
7547:
7542:
7538:
7534:
7531:
7528:
7525:
7522:
7519:
7516:
7513:
7510:
7490:
7485:
7480:
7476:
7472:
7467:
7462:
7458:
7454:
7449:
7445:
7441:
7438:
7435:
7432:
7429:
7426:
7423:
7396:
7393:
7390:
7387:
7384:
7381:
7378:
7375:
7372:
7369:
7366:
7345:
7342:
7339:
7336:
7333:
7330:
7327:
7324:
7321:
7318:
7315:
7294:
7291:
7286:
7280:
7277:
7274:
7271:
7268:
7265:
7260:
7256:
7252:
7249:
7243:
7238:
7232:
7229:
7226:
7223:
7220:
7217:
7212:
7208:
7204:
7201:
7195:
7190:
7187:
7184:
7179:
7174:
7171:
7166:
7162:
7158:
7153:
7150:
7145:
7141:
7137:
7134:
7129:
7126:
7123:
7118:
7115:
7112:
7108:
7102:
7099:
7096:
7091:
7088:
7085:
7081:
7077:
7074:
7069:
7064:
7060:
7056:
7051:
7046:
7042:
7038:
7033:
7029:
7004:
6999:
6995:
6972:
6967:
6963:
6959:
6954:
6951:
6946:
6942:
6938:
6933:
6930:
6925:
6921:
6900:
6880:
6877:
6874:
6871:
6868:
6848:
6845:
6842:
6837:
6831:
6826:
6822:
6818:
6815:
6810:
6804:
6799:
6795:
6791:
6771:
6768:
6765:
6762:
6759:
6737:
6733:
6710:
6706:
6681:
6661:
6641:
6621:
6595:
6591:
6568:
6564:
6541:
6538:
6535:
6532:
6529:
6526:
6523:
6520:
6517:
6514:
6511:
6490:
6487:
6484:
6481:
6478:
6475:
6472:
6469:
6466:
6463:
6460:
6439:
6436:
6431:
6427:
6424:
6421:
6418:
6412:
6407:
6403:
6400:
6397:
6394:
6388:
6383:
6380:
6377:
6372:
6369:
6366:
6363:
6360:
6357:
6352:
6349:
6346:
6341:
6338:
6335:
6331:
6325:
6322:
6319:
6314:
6311:
6308:
6304:
6300:
6297:
6294:
6291:
6288:
6285:
6280:
6276:
6253:
6250:
6247:
6244:
6241:
6236:
6232:
6211:
6208:
6205:
6202:
6199:
6194:
6190:
6166:
6161:
6157:
6151:
6147:
6144:
6139:
6134:
6130:
6126:
6121:
6116:
6112:
6108:
6088:
6068:
6046:
6042:
6019:
6015:
5994:
5991:
5988:
5985:
5982:
5979:
5976:
5973:
5970:
5967:
5964:
5961:
5958:
5955:
5952:
5949:
5946:
5943:
5940:
5916:
5912:
5906:
5900:
5897:
5892:
5888:
5882:
5879:
5874:
5870:
5866:
5863:
5860:
5857:
5854:
5851:
5846:
5843:
5840:
5835:
5832:
5829:
5825:
5819:
5816:
5813:
5808:
5805:
5802:
5798:
5794:
5791:
5788:
5785:
5782:
5779:
5776:
5754:
5751:
5748:
5745:
5742:
5720:
5716:
5695:
5692:
5689:
5686:
5683:
5680:
5677:
5674:
5671:
5668:
5665:
5662:
5659:
5656:
5653:
5631:
5627:
5623:
5620:
5600:
5597:
5592:
5588:
5584:
5579:
5575:
5548:
5545:
5540:
5536:
5533:
5530:
5527:
5521:
5516:
5512:
5509:
5506:
5503:
5497:
5492:
5489:
5486:
5481:
5478:
5475:
5472:
5469:
5466:
5461:
5458:
5455:
5450:
5447:
5444:
5440:
5434:
5431:
5428:
5423:
5420:
5417:
5413:
5409:
5388:
5383:
5379:
5376:
5373:
5370:
5364:
5359:
5356:
5353:
5348:
5345:
5342:
5339:
5336:
5333:
5328:
5325:
5322:
5317:
5314:
5311:
5307:
5303:
5300:
5295:
5291:
5288:
5285:
5282:
5276:
5271:
5268:
5265:
5260:
5257:
5254:
5251:
5248:
5245:
5240:
5237:
5234:
5229:
5226:
5223:
5219:
5215:
5212:
5209:
5206:
5203:
5200:
5195:
5191:
5166:
5162:
5139:
5136:
5133:
5130:
5127:
5124:
5121:
5118:
5115:
5112:
5109:
5088:
5085:
5082:
5079:
5076:
5073:
5070:
5067:
5064:
5061:
5058:
5037:
5033:
5028:
5024:
5021:
5018:
5015:
5009:
5004:
5000:
4997:
4994:
4991:
4985:
4980:
4977:
4974:
4969:
4966:
4963:
4960:
4957:
4954:
4949:
4946:
4943:
4938:
4935:
4932:
4928:
4922:
4919:
4916:
4911:
4908:
4905:
4901:
4897:
4894:
4891:
4888:
4885:
4882:
4877:
4873:
4851:
4848:
4845:
4842:
4839:
4836:
4833:
4830:
4827:
4824:
4821:
4801:
4798:
4793:
4789:
4786:
4783:
4780:
4774:
4769:
4766:
4763:
4758:
4755:
4752:
4749:
4746:
4743:
4740:
4735:
4732:
4729:
4724:
4721:
4718:
4714:
4710:
4705:
4702:
4699:
4694:
4691:
4688:
4684:
4680:
4677:
4674:
4671:
4668:
4665:
4660:
4656:
4634:
4631:
4628:
4625:
4622:
4619:
4616:
4613:
4610:
4607:
4604:
4584:
4581:
4576:
4572:
4569:
4566:
4563:
4557:
4552:
4549:
4546:
4541:
4538:
4535:
4532:
4529:
4526:
4523:
4518:
4515:
4512:
4507:
4504:
4501:
4497:
4493:
4488:
4485:
4482:
4477:
4474:
4471:
4467:
4463:
4460:
4457:
4454:
4451:
4448:
4443:
4439:
4412:
4407:
4404:
4401:
4398:
4395:
4390:
4386:
4382:
4381:
4378:
4375:
4372:
4369:
4366:
4361:
4357:
4353:
4352:
4349:
4346:
4343:
4340:
4337:
4332:
4328:
4324:
4323:
4321:
4316:
4313:
4310:
4307:
4304:
4301:
4298:
4274:
4271:
4268:
4265:
4262:
4259:
4256:
4253:
4250:
4247:
4244:
4224:
4221:
4218:
4215:
4212:
4209:
4206:
4203:
4200:
4197:
4194:
4174:
4171:
4166:
4162:
4159:
4156:
4153:
4147:
4142:
4138:
4135:
4132:
4129:
4123:
4118:
4115:
4112:
4107:
4104:
4101:
4098:
4095:
4092:
4087:
4084:
4081:
4076:
4073:
4070:
4066:
4060:
4057:
4054:
4049:
4046:
4043:
4039:
4035:
4032:
4029:
4026:
4023:
4020:
4017:
3986:
3982:
3978:
3975:
3972:
3969:
3964:
3960:
3954:
3950:
3946:
3941:
3938:
3933:
3913:
3910:
3905:
3901:
3895:
3891:
3887:
3867:
3864:
3859:
3855:
3849:
3845:
3841:
3836:
3833:
3828:
3808:
3805:
3800:
3796:
3790:
3786:
3782:
3777:
3774:
3769:
3747:
3742:
3739:
3736:
3733:
3728:
3724:
3719:
3713:
3710:
3707:
3704:
3699:
3695:
3690:
3684:
3681:
3678:
3675:
3670:
3666:
3661:
3657:
3652:
3649:
3646:
3643:
3640:
3635:
3631:
3626:
3620:
3617:
3614:
3611:
3606:
3602:
3597:
3591:
3588:
3585:
3582:
3577:
3573:
3568:
3564:
3541:
3538:
3535:
3532:
3527:
3523:
3518:
3512:
3509:
3506:
3503:
3500:
3495:
3491:
3486:
3480:
3477:
3474:
3471:
3466:
3462:
3457:
3453:
3448:
3445:
3442:
3439:
3436:
3431:
3427:
3422:
3416:
3413:
3410:
3407:
3404:
3399:
3395:
3390:
3384:
3381:
3378:
3375:
3370:
3366:
3361:
3357:
3352:
3349:
3346:
3343:
3338:
3334:
3329:
3323:
3320:
3317:
3314:
3309:
3305:
3300:
3294:
3291:
3288:
3285:
3282:
3277:
3273:
3268:
3264:
3241:
3238:
3235:
3232:
3229:
3224:
3220:
3215:
3209:
3206:
3203:
3200:
3195:
3191:
3186:
3180:
3177:
3174:
3171:
3168:
3163:
3159:
3154:
3150:
3145:
3142:
3139:
3136:
3131:
3127:
3122:
3116:
3113:
3110:
3107:
3104:
3099:
3095:
3090:
3084:
3081:
3078:
3075:
3072:
3067:
3063:
3058:
3054:
3049:
3046:
3043:
3040:
3037:
3032:
3028:
3023:
3017:
3014:
3011:
3008:
3005:
3000:
2996:
2991:
2985:
2982:
2979:
2976:
2973:
2968:
2964:
2959:
2955:
2934:
2931:
2926:
2922:
2916:
2912:
2908:
2903:
2899:
2893:
2889:
2885:
2880:
2876:
2870:
2866:
2862:
2857:
2853:
2850:
2844:
2839:
2836:
2833:
2828:
2823:
2819:
2815:
2810:
2806:
2802:
2797:
2793:
2789:
2786:
2781:
2778:
2775:
2770:
2767:
2762:
2758:
2753:
2747:
2744:
2741:
2736:
2733:
2728:
2724:
2719:
2713:
2710:
2707:
2702:
2699:
2694:
2690:
2685:
2681:
2678:
2673:
2669:
2665:
2662:
2659:
2656:
2653:
2648:
2644:
2640:
2635:
2631:
2627:
2624:
2596:
2593:
2568:
2565:
2562:
2557:
2553:
2549:
2546:
2541:
2537:
2533:
2530:
2525:
2521:
2517:
2514:
2508:
2505:
2499:
2496:
2491:
2487:
2483:
2478:
2474:
2470:
2465:
2461:
2457:
2454:
2448:
2445:
2439:
2436:
2431:
2427:
2423:
2418:
2414:
2410:
2407:
2402:
2398:
2394:
2388:
2385:
2379:
2376:
2371:
2367:
2363:
2360:
2355:
2351:
2347:
2342:
2338:
2334:
2328:
2325:
2319:
2314:
2311:
2306:
2303:
2298:
2294:
2290:
2285:
2281:
2277:
2272:
2268:
2264:
2261:
2237:
2234:
2227:
2223:
2216:
2212:
2206:
2202:
2198:
2195:
2189:
2184:
2181:
2178:
2173:
2170:
2163:
2159:
2152:
2148:
2142:
2138:
2134:
2131:
2125:
2120:
2117:
2114:
2109:
2104:
2100:
2096:
2093:
2090:
2087:
2084:
2079:
2075:
2071:
2066:
2062:
2058:
2055:
2050:
2047:
2042:
2038:
2032:
2029:
2024:
2020:
2015:
2011:
2006:
2003:
1998:
1994:
1988:
1985:
1980:
1976:
1971:
1965:
1962:
1957:
1953:
1947:
1944:
1939:
1935:
1930:
1926:
1923:
1918:
1914:
1910:
1907:
1904:
1901:
1898:
1893:
1889:
1885:
1880:
1876:
1872:
1866:
1863:
1843:
1840:
1806:
1803:
1800:
1797:
1794:
1791:
1788:
1785:
1782:
1779:
1776:
1773:
1770:
1767:
1764:
1761:
1756:
1753:
1750:
1728:
1725:
1720:
1716:
1712:
1709:
1706:
1703:
1700:
1697:
1694:
1689:
1685:
1662:
1659:
1652:
1648:
1641:
1637:
1631:
1627:
1623:
1620:
1614:
1611:
1608:
1601:
1597:
1590:
1586:
1580:
1576:
1572:
1569:
1563:
1558:
1555:
1552:
1547:
1542:
1538:
1534:
1531:
1528:
1525:
1522:
1517:
1513:
1509:
1504:
1500:
1496:
1493:
1488:
1485:
1480:
1476:
1470:
1467:
1462:
1458:
1453:
1449:
1444:
1441:
1436:
1432:
1426:
1423:
1418:
1414:
1409:
1403:
1400:
1395:
1391:
1385:
1382:
1377:
1373:
1368:
1364:
1361:
1356:
1352:
1348:
1345:
1342:
1339:
1336:
1331:
1327:
1323:
1318:
1314:
1310:
1307:
1293:
1290:
1205:floating-point
1155:Big O notation
1146:
1143:
1122:
1114:
1105:
1104:
1089:
1085:
1080:
1075:
1069:
1066:
1063:
1059:
1055:
1050:
1046:
1041:
1035:
1031:
1027:
1023:
1017:
1014:
1011:
1007:
1003:
998:
994:
989:
983:
980:
977:
973:
968:
964:
962:
959:
955:
952:
949:
945:
941:
940:
937:
933:
928:
923:
917:
914:
911:
907:
903:
898:
894:
889:
883:
880:
877:
873:
869:
865:
859:
856:
853:
849:
845:
840:
836:
831:
825:
821:
816:
812:
810:
807:
803:
799:
795:
794:
782:are given by:
746:
735:
724:
691:
684:
676:
667:
658:
649:
641:
623:
616:
609:
585:
578:
571:
568:
560:imaginary unit
494:
488:
485:
480:
477:
473:
469:
466:
461:
456:
437:
434:
431:
428:
425:
422:
419:
416:
413:
410:
407:
396:
395:
384:
381:
378:
375:
372:
369:
366:
363:
360:
354:
349:
345:
342:
337:
333:
330:
323:
319:
316:
313:
309:
305:
302:
297:
293:
290:
283:
279:
276:
272:
266:
262:
256:
253:
250:
245:
242:
239:
235:
231:
227:
223:
220:
215:
211:
208:
201:
197:
194:
189:
185:
179:
176:
173:
168:
165:
162:
158:
154:
149:
145:
126:
119:
105:
98:
64:
61:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
8696:
8685:
8682:
8680:
8677:
8676:
8674:
8662:
8658:
8657:
8651:
8648:(4): 293–300.
8647:
8643:
8642:
8637:
8633:
8629:
8625:
8621:
8617:
8616:
8608:
8604:
8599:
8595:
8591:
8587:
8583:
8578:
8574:
8568:
8564:
8560:
8556:
8552:
8551:
8547:
8538:
8534:
8530:
8526:
8519:
8517:
8515:
8511:
8506:
8505:
8497:
8495:
8491:
8486:
8482:
8478:
8474:
8470:
8466:
8465:
8457:
8454:
8450:(V): 517–520.
8449:
8448:
8440:
8437:
8432:
8428:
8424:
8420:
8416:
8409:
8406:
8400:
8396:
8392:
8388:
8383:
8378:
8374:
8370:
8369:
8361:
8354:
8351:
8346:
8342:
8338:
8334:
8330:
8326:
8325:
8320:
8314:
8311:
8306:
8302:
8295:
8292:
8287:
8283:
8279:
8272:
8269:
8263:
8258:
8254:
8250:
8246:
8242:
8238:
8234:
8228:
8225:
8220:
8216:
8212:
8208:
8204:
8200:
8199:
8194:
8188:
8185:
8179:
8174:
8170:
8166:
8165:
8160:
8153:
8150:
8145:
8141:
8137:
8130:
8127:
8122:
8118:
8114:
8110:
8106:
8102:
8101:
8096:
8090:
8088:
8086:
8082:
8077:
8073:
8069:
8065:
8061:
8057:
8056:
8051:
8045:
8042:
8035:
8033:
8031:
8014:
8005:
7986:
7983:
7980:
7974:
7968:
7965:
7962:
7959:
7950:
7947:
7944:
7938:
7932:
7929:
7926:
7918:
7915:
7911:
7907:
7904:
7901:
7895:
7892:
7889:
7883:
7875:
7857:
7853:
7849:
7846:
7843:
7840:
7837:
7832:
7828:
7824:
7821:
7818:
7815:
7809:
7803:
7800:
7797:
7791:
7786:
7783:
7780:
7775:
7772:
7769:
7765:
7759:
7756:
7753:
7748:
7745:
7742:
7738:
7734:
7728:
7725:
7722:
7716:
7708:
7689:
7683:
7678:
7674:
7670:
7667:
7661:
7656:
7650:
7645:
7641:
7637:
7634:
7612:
7606:
7603:
7600:
7594:
7569:
7566:
7561:
7557:
7553:
7548:
7545:
7540:
7536:
7529:
7526:
7520:
7517:
7514:
7508:
7483:
7478:
7474:
7470:
7465:
7460:
7456:
7447:
7443:
7439:
7433:
7430:
7427:
7421:
7413:
7408:
7394:
7391:
7388:
7385:
7382:
7379:
7376:
7373:
7370:
7367:
7364:
7356:
7343:
7340:
7337:
7334:
7331:
7328:
7325:
7322:
7319:
7316:
7313:
7305:
7292:
7284:
7275:
7272:
7269:
7266:
7258:
7254:
7250:
7247:
7241:
7236:
7227:
7224:
7221:
7218:
7210:
7206:
7202:
7199:
7172:
7169:
7164:
7160:
7156:
7151:
7148:
7143:
7139:
7132:
7127:
7124:
7121:
7116:
7113:
7110:
7106:
7100:
7097:
7094:
7089:
7086:
7083:
7079:
7075:
7067:
7062:
7058:
7054:
7049:
7044:
7040:
7031:
7027:
7018:
7002:
6997:
6993:
6970:
6965:
6961:
6957:
6952:
6949:
6944:
6940:
6936:
6931:
6928:
6923:
6919:
6898:
6878:
6875:
6872:
6869:
6866:
6846:
6840:
6835:
6829:
6824:
6820:
6816:
6813:
6808:
6802:
6797:
6793:
6766:
6763:
6760:
6735:
6731:
6708:
6704:
6695:
6679:
6659:
6639:
6619:
6611:
6593:
6589:
6566:
6562:
6552:
6539:
6536:
6533:
6530:
6527:
6524:
6521:
6518:
6515:
6512:
6509:
6501:
6488:
6485:
6482:
6479:
6476:
6473:
6470:
6467:
6464:
6461:
6458:
6450:
6437:
6429:
6425:
6422:
6419:
6416:
6410:
6405:
6401:
6398:
6395:
6392:
6367:
6364:
6361:
6355:
6350:
6347:
6344:
6339:
6336:
6333:
6329:
6323:
6320:
6317:
6312:
6309:
6306:
6302:
6298:
6292:
6289:
6286:
6278:
6274:
6265:
6248:
6245:
6242:
6234:
6230:
6206:
6203:
6200:
6192:
6188:
6178:
6159:
6155:
6149:
6145:
6142:
6137:
6132:
6128:
6124:
6119:
6114:
6110:
6099:respectively
6086:
6066:
6044:
6040:
6017:
6013:
5992:
5989:
5986:
5983:
5980:
5977:
5974:
5971:
5968:
5965:
5962:
5959:
5956:
5953:
5950:
5947:
5944:
5941:
5938:
5929:
5914:
5910:
5904:
5898:
5895:
5890:
5886:
5880:
5877:
5872:
5868:
5861:
5858:
5855:
5849:
5844:
5841:
5838:
5833:
5830:
5827:
5823:
5817:
5814:
5811:
5806:
5803:
5800:
5796:
5792:
5786:
5783:
5780:
5774:
5766:
5752:
5749:
5746:
5743:
5740:
5733:is prime for
5718:
5714:
5693:
5690:
5687:
5684:
5681:
5678:
5675:
5672:
5669:
5666:
5663:
5660:
5657:
5654:
5651:
5629:
5625:
5621:
5618:
5598:
5595:
5590:
5586:
5582:
5577:
5573:
5564:
5563:Fermat number
5559:
5546:
5538:
5534:
5531:
5528:
5525:
5519:
5514:
5510:
5507:
5504:
5501:
5476:
5473:
5470:
5464:
5459:
5456:
5453:
5448:
5445:
5442:
5438:
5432:
5429:
5426:
5421:
5418:
5415:
5411:
5407:
5399:
5381:
5377:
5374:
5371:
5368:
5343:
5340:
5337:
5331:
5326:
5323:
5320:
5315:
5312:
5309:
5305:
5301:
5293:
5289:
5286:
5283:
5280:
5255:
5252:
5249:
5243:
5238:
5235:
5232:
5227:
5224:
5221:
5217:
5213:
5207:
5204:
5201:
5193:
5189:
5180:
5164:
5160:
5150:
5137:
5134:
5131:
5128:
5125:
5122:
5119:
5116:
5113:
5110:
5107:
5099:
5086:
5083:
5080:
5077:
5074:
5071:
5068:
5065:
5062:
5059:
5056:
5048:
5035:
5026:
5022:
5019:
5016:
5013:
5007:
5002:
4998:
4995:
4992:
4989:
4964:
4961:
4958:
4952:
4947:
4944:
4941:
4936:
4933:
4930:
4926:
4920:
4917:
4914:
4909:
4906:
4903:
4899:
4895:
4889:
4886:
4883:
4875:
4871:
4862:
4849:
4846:
4843:
4840:
4837:
4834:
4831:
4828:
4825:
4822:
4819:
4799:
4791:
4787:
4784:
4781:
4778:
4750:
4747:
4744:
4738:
4733:
4730:
4727:
4722:
4719:
4716:
4712:
4703:
4700:
4697:
4692:
4689:
4686:
4682:
4678:
4672:
4669:
4666:
4658:
4654:
4645:
4632:
4629:
4626:
4623:
4620:
4617:
4614:
4611:
4608:
4605:
4602:
4582:
4574:
4570:
4567:
4564:
4561:
4533:
4530:
4527:
4521:
4516:
4513:
4510:
4505:
4502:
4499:
4495:
4486:
4483:
4480:
4475:
4472:
4469:
4465:
4461:
4455:
4452:
4449:
4441:
4437:
4428:
4425:
4402:
4399:
4396:
4388:
4384:
4373:
4370:
4367:
4359:
4355:
4344:
4341:
4338:
4330:
4326:
4319:
4314:
4308:
4305:
4302:
4296:
4288:
4285:
4272:
4269:
4266:
4263:
4260:
4257:
4254:
4251:
4248:
4245:
4242:
4222:
4219:
4216:
4213:
4210:
4207:
4204:
4201:
4198:
4195:
4192:
4172:
4164:
4160:
4157:
4154:
4151:
4145:
4140:
4136:
4133:
4130:
4127:
4102:
4099:
4096:
4090:
4085:
4082:
4079:
4074:
4071:
4068:
4064:
4058:
4055:
4052:
4047:
4044:
4041:
4037:
4033:
4027:
4024:
4021:
4015:
4007:
4004:
4000:
3984:
3980:
3976:
3973:
3970:
3967:
3962:
3958:
3952:
3948:
3939:
3936:
3911:
3908:
3903:
3899:
3893:
3889:
3885:
3865:
3862:
3857:
3853:
3847:
3843:
3834:
3831:
3806:
3803:
3798:
3794:
3788:
3784:
3775:
3772:
3758:
3745:
3740:
3737:
3734:
3731:
3726:
3722:
3717:
3711:
3708:
3705:
3702:
3697:
3693:
3688:
3682:
3679:
3676:
3673:
3668:
3664:
3659:
3655:
3650:
3647:
3644:
3641:
3638:
3633:
3629:
3624:
3618:
3615:
3612:
3609:
3604:
3600:
3595:
3589:
3586:
3583:
3580:
3575:
3571:
3566:
3562:
3554:
3539:
3536:
3533:
3530:
3525:
3521:
3516:
3510:
3507:
3504:
3501:
3498:
3493:
3489:
3484:
3478:
3475:
3472:
3469:
3464:
3460:
3455:
3451:
3446:
3443:
3440:
3437:
3434:
3429:
3425:
3420:
3414:
3411:
3408:
3405:
3402:
3397:
3393:
3388:
3382:
3379:
3376:
3373:
3368:
3364:
3359:
3355:
3350:
3347:
3344:
3341:
3336:
3332:
3327:
3321:
3318:
3315:
3312:
3307:
3303:
3298:
3292:
3289:
3286:
3283:
3280:
3275:
3271:
3266:
3262:
3254:
3239:
3236:
3233:
3230:
3227:
3222:
3218:
3213:
3207:
3204:
3201:
3198:
3193:
3189:
3184:
3178:
3175:
3172:
3169:
3166:
3161:
3157:
3152:
3148:
3143:
3140:
3137:
3134:
3129:
3125:
3120:
3114:
3111:
3108:
3105:
3102:
3097:
3093:
3088:
3082:
3079:
3076:
3073:
3070:
3065:
3061:
3056:
3052:
3047:
3044:
3041:
3038:
3035:
3030:
3026:
3021:
3015:
3012:
3009:
3006:
3003:
2998:
2994:
2989:
2983:
2980:
2977:
2974:
2971:
2966:
2962:
2957:
2953:
2945:
2924:
2920:
2914:
2910:
2906:
2901:
2897:
2891:
2887:
2883:
2878:
2874:
2868:
2864:
2855:
2851:
2848:
2821:
2817:
2813:
2808:
2804:
2800:
2795:
2791:
2784:
2779:
2776:
2773:
2768:
2765:
2760:
2756:
2751:
2745:
2742:
2739:
2734:
2731:
2726:
2722:
2717:
2711:
2708:
2705:
2700:
2697:
2692:
2688:
2683:
2679:
2671:
2667:
2663:
2660:
2657:
2654:
2651:
2646:
2642:
2638:
2633:
2629:
2622:
2614:
2611:
2591:
2579:
2566:
2555:
2551:
2547:
2544:
2539:
2535:
2531:
2528:
2523:
2519:
2515:
2503:
2497:
2489:
2485:
2481:
2476:
2472:
2468:
2463:
2459:
2455:
2443:
2437:
2429:
2425:
2421:
2416:
2412:
2408:
2405:
2400:
2396:
2383:
2377:
2369:
2365:
2361:
2358:
2353:
2349:
2345:
2340:
2336:
2323:
2312:
2309:
2304:
2296:
2292:
2288:
2283:
2279:
2275:
2270:
2266:
2259:
2251:
2248:
2235:
2225:
2221:
2214:
2210:
2204:
2200:
2196:
2193:
2171:
2161:
2157:
2150:
2146:
2140:
2136:
2132:
2129:
2102:
2098:
2094:
2091:
2088:
2085:
2082:
2077:
2073:
2069:
2064:
2060:
2053:
2048:
2045:
2040:
2036:
2030:
2027:
2022:
2018:
2013:
2009:
2004:
2001:
1996:
1992:
1986:
1983:
1978:
1974:
1969:
1963:
1960:
1955:
1951:
1945:
1942:
1937:
1933:
1928:
1924:
1916:
1912:
1908:
1905:
1902:
1899:
1896:
1891:
1887:
1883:
1878:
1874:
1861:
1850:
1847:
1841:
1839:
1835:
1833:
1825:
1821:
1817:
1804:
1798:
1792:
1789:
1786:
1780:
1774:
1771:
1768:
1762:
1726:
1723:
1718:
1714:
1710:
1707:
1704:
1701:
1698:
1695:
1692:
1687:
1683:
1673:
1660:
1650:
1646:
1639:
1635:
1629:
1625:
1621:
1618:
1612:
1609:
1606:
1599:
1595:
1588:
1584:
1578:
1574:
1570:
1567:
1540:
1536:
1532:
1529:
1526:
1523:
1520:
1515:
1511:
1507:
1502:
1498:
1491:
1486:
1483:
1478:
1474:
1468:
1465:
1460:
1456:
1451:
1447:
1442:
1439:
1434:
1430:
1424:
1421:
1416:
1412:
1407:
1401:
1398:
1393:
1389:
1383:
1380:
1375:
1371:
1366:
1362:
1354:
1350:
1346:
1343:
1340:
1337:
1334:
1329:
1325:
1321:
1316:
1312:
1305:
1297:
1291:
1289:
1287:
1283:
1279:
1275:
1271:
1268:
1263:
1261:
1255:
1250:
1246:
1241:
1237:
1232:
1230:
1226:
1222:
1218:
1214:
1210:
1206:
1201:
1199:
1195:
1191:
1187:
1183:
1178:
1176:
1172:
1168:
1164:
1160:
1156:
1152:
1144:
1142:
1140:
1136:
1132:
1128:
1121:
1117:
1110:
1087:
1083:
1078:
1073:
1067:
1064:
1061:
1057:
1053:
1048:
1044:
1039:
1033:
1029:
1025:
1021:
1015:
1012:
1009:
1005:
1001:
996:
992:
987:
981:
978:
975:
971:
966:
960:
953:
950:
947:
943:
935:
931:
926:
921:
915:
912:
909:
905:
901:
896:
892:
887:
881:
878:
875:
871:
867:
863:
857:
854:
851:
847:
843:
838:
834:
829:
823:
819:
814:
808:
801:
797:
785:
784:
783:
781:
777:
773:
769:
765:
761:
757:
753:
749:
742:
738:
731:
727:
720:
716:
712:
708:
705:
700:
698:
694:
687:
679:
675:
670:
666:
661:
657:
652:
648:
644:
636:
634:
630:
626:
619:
612:
605:
601:
598:
594:
588:
584:
577:
569:
567:
563:
561:
557:
551:
547:
540:
536:
532:
528:
524:
522:
515:
512:
492:
486:
483:
478:
475:
471:
467:
464:
459:
454:
432:
426:
423:
420:
414:
408:
405:
382:
379:
376:
373:
370:
367:
364:
361:
358:
352:
347:
343:
340:
335:
331:
328:
321:
317:
314:
311:
307:
303:
300:
295:
291:
288:
281:
277:
274:
270:
264:
260:
254:
251:
248:
243:
240:
237:
233:
229:
225:
221:
218:
213:
209:
206:
199:
195:
192:
187:
183:
177:
174:
171:
166:
163:
160:
156:
152:
147:
143:
135:
134:
133:
129:
125:
118:
115:real numbers
114:
108:
104:
97:
94:real numbers
93:
89:
85:
81:
77:
73:
70:
62:
60:
57:
53:
48:
46:
42:
38:
34:
30:
26:
22:
8660:
8654:
8645:
8639:
8619:
8613:
8585:
8581:
8558:
8528:
8524:
8502:
8468:
8462:
8456:
8445:
8439:
8422:
8418:
8413:Chu, Shuni;
8408:
8372:
8366:
8353:
8328:
8322:
8313:
8304:
8294:
8285:
8271:
8244:
8240:
8227:
8202:
8196:
8187:
8171:(9): 35–52.
8168:
8162:
8152:
8143:
8129:
8104:
8098:
8059:
8053:
8044:
8006:
7876:
7709:
7409:
7357:
7306:
7019:
6859:So, mapping
6553:
6502:
6451:
6266:
6179:
5930:
5767:
5565:is given by
5560:
5400:
5181:
5151:
5100:
5049:
4863:
4646:
4429:
4426:
4289:
4286:
4008:
4005:
4001:
3759:
3555:
3255:
2946:
2615:
2612:
2580:
2252:
2249:
1851:
1848:
1845:
1836:
1829:
1818:
1674:
1298:
1295:
1277:
1273:
1269:
1264:
1244:
1240:CPU pipeline
1233:
1228:
1224:
1220:
1216:
1202:
1189:
1186:power-of-two
1181:
1179:
1171:prime-factor
1167:Cooley–Tukey
1162:
1158:
1150:
1148:
1138:
1134:
1130:
1126:
1119:
1112:
1108:
1106:
779:
775:
771:
767:
763:
759:
755:
751:
744:
740:
733:
729:
722:
718:
714:
710:
706:
701:
696:
689:
682:
677:
673:
668:
664:
659:
655:
650:
646:
639:
637:
628:
621:
614:
607:
596:
592:
586:
582:
575:
573:
564:
555:
549:
545:
538:
534:
530:
526:
520:
510:
507:
397:
127:
123:
116:
112:
106:
102:
95:
91:
88:real numbers
83:
79:
75:
71:
66:
49:
20:
18:
5152:Developing
1252: [
704:convolution
537: sin(
8673:Categories
8663:: 372–380.
8036:References
7707:, one has
1739:and where
633:involutory
570:Properties
63:Definition
8377:CiteSeerX
8121:120611904
8015:⊗
7960:⊗
7916:−
7847:−
7822:−
7784:−
7766:∑
7757:−
7739:∑
7671:π
7638:π
7567:−
7546:−
7392:−
7383:…
7341:−
7332:…
7267:−
7251:π
7219:−
7203:π
7170:−
7149:−
7125:−
7107:∑
7098:−
7080:∑
6950:−
6929:−
6537:−
6528:…
6486:−
6477:…
6420:π
6396:π
6348:−
6330:∑
6321:−
6303:∑
6129:α
6111:α
6041:α
6014:α
5990:−
5981:…
5960:−
5951:…
5887:α
5869:α
5842:−
5824:∑
5815:−
5797:∑
5750:≤
5744:≤
5529:π
5505:π
5457:−
5439:∑
5430:−
5412:∑
5372:π
5324:−
5306:∑
5284:π
5236:−
5218:∑
5179:further,
5135:−
5126:…
5084:−
5075:…
5017:π
4993:π
4945:−
4927:∑
4918:−
4900:∑
4847:−
4838:…
4782:π
4731:−
4713:∑
4701:−
4683:∑
4630:−
4621:…
4565:π
4514:−
4496:∑
4484:−
4466:∑
4270:−
4261:…
4220:−
4211:…
4155:π
4131:π
4083:−
4065:∑
4056:−
4038:∑
3968:
3909:
3863:
3804:
3718:∑
3689:∑
3660:∑
3625:∑
3596:∑
3567:∑
3517:∑
3485:∑
3456:∑
3421:∑
3389:∑
3360:∑
3328:∑
3299:∑
3267:∑
3214:∑
3185:∑
3153:∑
3121:∑
3089:∑
3057:∑
3022:∑
2990:∑
2958:∑
2852:π
2777:−
2752:∑
2743:−
2718:∑
2709:−
2684:∑
2595:^
2548:−
2532:−
2516:−
2507:^
2498:−
2456:−
2447:^
2409:−
2387:^
2362:−
2327:^
2197:π
2172:…
2133:π
2046:−
2014:∑
2010:…
2002:−
1970:∑
1961:−
1929:∑
1865:^
1793:
1775:
1724:−
1708:…
1622:π
1610:⋯
1571:π
1484:−
1452:∑
1448:…
1440:−
1408:∑
1399:−
1367:∑
1288:, 1982).
1065:−
1054:−
1026:−
1013:−
979:−
951:−
913:−
902:−
879:−
855:−
613:from the
484:π
479:−
468:
427:
409:
380:−
371:…
332:π
318:
292:π
278:
252:−
234:∑
210:π
196:
175:−
157:∑
47:in 1942.
8557:(1986).
8235:(1995).
8219:21988816
8076:51644127
1245:a priori
1209:Vetterli
591:) by an
581:, ....,
69:function
8473:Bibcode
8399:6644892
8333:Bibcode
8249:Bibcode
7414:. With
6696:) then
6264:, then
5611:, with
1249:Popović
1175:Bruun's
558:is the
548:= cis(−
122:, ...,
101:, ...,
90:). The
82:(where
8569:
8397:
8379:
8217:
8119:
8074:
8007:where
7587:, and
4427:where
1286:Burrus
1194:patent
1188:sizes
774:, and
762:, and
728:) and
600:matrix
529:= cos(
8610:(PDF)
8395:S2CID
8363:(PDF)
8215:S2CID
8117:S2CID
8072:S2CID
6694:prime
5931:with
1675:with
1267:prime
1260:Intel
1256:]
1236:cache
1131:pairs
1127:pairs
543:, or
23:is a
8641:BYTE
8567:ISBN
7854:>
7841:<
7829:>
7816:<
6985:and
6891:and
6750:map
6723:and
6692:are
6672:and
6632:and
6608:are
6581:and
6079:and
6032:and
2581:For
1276:log
1238:and
1161:log
595:-by-
533:) +
519:cis(
509:cas(
8624:doi
8590:doi
8586:135
8533:doi
8529:135
8481:doi
8427:doi
8387:doi
8341:doi
8257:doi
8207:doi
8173:doi
8109:doi
8064:doi
6911:to
6836:mod
6809:mod
6782:to
6612:of
6554:If
6150:mod
5905:mod
3959:log
3900:log
3854:log
3795:log
1790:sin
1772:cos
1225:not
1169:to
743:= (
732:= (
721:= (
678:N−k
669:N−k
562:).
465:cos
424:sin
406:cos
315:sin
275:cos
193:cas
8675::
8661:82
8659:.
8646:13
8644:.
8620:82
8618:.
8612:.
8584:.
8565:.
8527:.
8513:^
8493:^
8479:.
8469:43
8467:.
8423:30
8421:.
8393:.
8385:.
8373:93
8371:.
8365:.
8339:.
8329:42
8327:.
8255:.
8243:.
8239:.
8213:.
8203:72
8201:.
8169:26
8167:.
8161:.
8138:;
8115:.
8105:73
8103:.
8084:^
8070:.
8060:30
8058:.
8032:.
7501:,
7407:.
6540:1.
6177:.
6005:.
5138:1.
4235:,
3832:31
1254:sr
1118:=
770:,
758:,
709:=
681:−
663:+
589:−1
525:=
383:1.
130:−1
109:−1
78:→
74::
19:A
8630:.
8626::
8596:.
8592::
8575:.
8539:.
8535::
8487:.
8483::
8475::
8433:.
8429::
8403:}
8401:.
8389::
8347:.
8343::
8335::
8265:.
8259::
8251::
8245:9
8221:.
8209::
8181:.
8175::
8123:.
8111::
8078:.
8066::
7993:]
7990:)
7987:m
7984:,
7981:n
7978:(
7975:h
7972:[
7969:T
7966:N
7963:F
7957:]
7954:)
7951:m
7948:,
7945:n
7942:(
7939:y
7936:[
7933:T
7930:N
7927:F
7924:{
7919:1
7912:T
7908:N
7905:F
7902:=
7899:)
7896:l
7893:,
7890:k
7887:(
7884:Y
7863:)
7858:M
7850:m
7844:l
7838:,
7833:N
7825:n
7819:k
7813:(
7810:h
7807:)
7804:m
7801:,
7798:n
7795:(
7792:y
7787:2
7781:M
7776:0
7773:=
7770:m
7760:2
7754:N
7749:0
7746:=
7743:n
7735:=
7732:)
7729:l
7726:,
7723:k
7720:(
7717:Y
7695:)
7690:M
7684:m
7679:2
7675:g
7668:2
7662:+
7657:N
7651:n
7646:1
7642:g
7635:2
7629:(
7624:s
7621:a
7618:c
7613:=
7610:)
7607:m
7604:,
7601:n
7598:(
7595:h
7575:)
7570:m
7562:2
7558:g
7554:,
7549:n
7541:1
7537:g
7533:(
7530:x
7527:=
7524:)
7521:m
7518:,
7515:n
7512:(
7509:y
7489:)
7484:l
7479:2
7475:g
7471:,
7466:k
7461:1
7457:g
7453:(
7448:4
7444:X
7440:=
7437:)
7434:l
7431:,
7428:k
7425:(
7422:Y
7395:2
7389:M
7386:,
7380:,
7377:1
7374:,
7371:0
7368:=
7365:l
7344:2
7338:N
7335:,
7329:,
7326:1
7323:,
7320:0
7317:=
7314:k
7293:,
7290:)
7285:M
7279:)
7276:l
7273:+
7270:m
7264:(
7259:2
7255:g
7248:2
7242:+
7237:N
7231:)
7228:k
7225:+
7222:n
7216:(
7211:1
7207:g
7200:2
7194:(
7189:s
7186:a
7183:c
7178:)
7173:m
7165:2
7161:g
7157:,
7152:n
7144:1
7140:g
7136:(
7133:x
7128:2
7122:M
7117:0
7114:=
7111:m
7101:2
7095:N
7090:0
7087:=
7084:n
7076:=
7073:)
7068:l
7063:2
7059:g
7055:,
7050:k
7045:1
7041:g
7037:(
7032:4
7028:X
7003:l
6998:2
6994:g
6971:k
6966:1
6962:g
6958:,
6953:m
6945:2
6941:g
6937:,
6932:n
6924:1
6920:g
6899:l
6879:k
6876:,
6873:m
6870:,
6867:n
6847:.
6844:)
6841:M
6830:m
6825:2
6821:g
6817:,
6814:N
6803:n
6798:1
6794:g
6790:(
6770:)
6767:m
6764:,
6761:n
6758:(
6736:2
6732:g
6709:1
6705:g
6680:N
6660:M
6640:M
6620:N
6594:2
6590:g
6567:1
6563:g
6534:M
6531:,
6525:,
6522:2
6519:,
6516:1
6513:=
6510:l
6489:1
6483:N
6480:,
6474:,
6471:2
6468:,
6465:1
6462:=
6459:k
6438:,
6435:)
6430:M
6426:l
6423:m
6417:2
6411:+
6406:N
6402:k
6399:n
6393:2
6387:(
6382:s
6379:a
6376:c
6371:)
6368:m
6365:,
6362:n
6359:(
6356:x
6351:1
6345:M
6340:1
6337:=
6334:m
6324:1
6318:N
6313:1
6310:=
6307:n
6299:=
6296:)
6293:l
6290:,
6287:k
6284:(
6279:4
6275:X
6252:)
6249:l
6246:,
6243:k
6240:(
6235:4
6231:X
6210:)
6207:l
6204:,
6201:k
6198:(
6193:3
6189:X
6165:)
6160:t
6156:F
6146:1
6143:=
6138:M
6133:2
6125:=
6120:N
6115:1
6107:(
6087:M
6067:N
6045:2
6018:1
5993:1
5987:M
5984:,
5978:,
5975:0
5972:=
5969:l
5966:,
5963:1
5957:N
5954:,
5948:,
5945:0
5942:=
5939:k
5915:t
5911:F
5899:l
5896:m
5891:2
5881:k
5878:n
5873:1
5865:)
5862:m
5859:,
5856:n
5853:(
5850:x
5845:1
5839:M
5834:0
5831:=
5828:m
5818:1
5812:N
5807:0
5804:=
5801:n
5793:=
5790:)
5787:l
5784:,
5781:k
5778:(
5775:X
5753:4
5747:t
5741:0
5719:t
5715:F
5706:(
5694:6
5691:,
5688:5
5685:,
5682:4
5679:,
5676:3
5673:,
5670:2
5667:,
5664:1
5661:,
5658:0
5655:=
5652:t
5630:t
5626:2
5622:=
5619:b
5599:1
5596:+
5591:b
5587:2
5583:=
5578:t
5574:F
5547:.
5544:)
5539:M
5535:l
5532:m
5526:2
5520:+
5515:N
5511:k
5508:n
5502:2
5496:(
5491:s
5488:a
5485:c
5480:)
5477:m
5474:,
5471:n
5468:(
5465:x
5460:1
5454:M
5449:1
5446:=
5443:m
5433:1
5427:N
5422:1
5419:=
5416:n
5408:+
5387:)
5382:M
5378:l
5375:m
5369:2
5363:(
5358:s
5355:a
5352:c
5347:)
5344:m
5341:,
5338:0
5335:(
5332:x
5327:1
5321:M
5316:1
5313:=
5310:m
5302:+
5299:)
5294:N
5290:k
5287:n
5281:2
5275:(
5270:s
5267:a
5264:c
5259:)
5256:0
5253:,
5250:n
5247:(
5244:x
5239:1
5233:N
5228:0
5225:=
5222:n
5214:=
5211:)
5208:l
5205:,
5202:k
5199:(
5194:3
5190:X
5165:3
5161:X
5132:M
5129:,
5123:,
5120:2
5117:,
5114:1
5111:=
5108:l
5087:1
5081:N
5078:,
5072:,
5069:2
5066:,
5063:1
5060:=
5057:k
5036:,
5032:)
5027:M
5023:l
5020:m
5014:2
5008:+
5003:N
4999:k
4996:n
4990:2
4984:(
4979:s
4976:a
4973:c
4968:)
4965:m
4962:,
4959:n
4956:(
4953:x
4948:1
4942:M
4937:0
4934:=
4931:m
4921:1
4915:N
4910:0
4907:=
4904:n
4896:=
4893:)
4890:l
4887:,
4884:k
4881:(
4876:3
4872:X
4850:1
4844:M
4841:,
4835:,
4832:2
4829:,
4826:1
4823:=
4820:l
4800:,
4797:)
4792:M
4788:l
4785:m
4779:2
4773:(
4768:s
4765:a
4762:c
4757:)
4754:)
4751:m
4748:,
4745:n
4742:(
4739:x
4734:1
4728:N
4723:0
4720:=
4717:n
4709:(
4704:1
4698:M
4693:0
4690:=
4687:m
4679:=
4676:)
4673:l
4670:,
4667:0
4664:(
4659:2
4655:X
4633:1
4627:N
4624:,
4618:,
4615:1
4612:,
4609:0
4606:=
4603:k
4583:,
4580:)
4575:N
4571:k
4568:n
4562:2
4556:(
4551:s
4548:a
4545:c
4540:)
4537:)
4534:m
4531:,
4528:n
4525:(
4522:x
4517:1
4511:M
4506:0
4503:=
4500:m
4492:(
4487:1
4481:N
4476:0
4473:=
4470:n
4462:=
4459:)
4456:0
4453:,
4450:k
4447:(
4442:1
4438:X
4406:)
4403:l
4400:,
4397:k
4394:(
4389:3
4385:X
4377:)
4374:l
4371:,
4368:0
4365:(
4360:2
4356:X
4348:)
4345:0
4342:,
4339:k
4336:(
4331:1
4327:X
4320:{
4315:=
4312:)
4309:l
4306:,
4303:k
4300:(
4297:X
4273:1
4267:M
4264:,
4258:,
4255:1
4252:,
4249:0
4246:=
4243:l
4223:1
4217:N
4214:,
4208:,
4205:1
4202:,
4199:0
4196:=
4193:k
4173:,
4170:)
4165:M
4161:l
4158:m
4152:2
4146:+
4141:N
4137:k
4134:n
4128:2
4122:(
4117:s
4114:a
4111:c
4106:)
4103:m
4100:,
4097:n
4094:(
4091:x
4086:1
4080:M
4075:0
4072:=
4069:m
4059:1
4053:N
4048:0
4045:=
4042:n
4034:=
4031:)
4028:l
4025:,
4022:k
4019:(
4016:X
3985:2
3981:N
3977:3
3974:+
3971:N
3963:2
3953:3
3949:N
3945:)
3940:2
3937:9
3932:(
3912:N
3904:2
3894:3
3890:N
3886:3
3866:N
3858:2
3848:3
3844:N
3840:)
3835:8
3827:(
3807:N
3799:2
3789:3
3785:N
3781:)
3776:4
3773:7
3768:(
3746:.
3741:d
3738:d
3735:o
3732::
3727:3
3723:n
3712:d
3709:d
3706:o
3703::
3698:2
3694:n
3683:d
3680:d
3677:o
3674::
3669:1
3665:n
3656:+
3651:n
3648:e
3645:v
3642:e
3639::
3634:3
3630:n
3619:d
3616:d
3613:o
3610::
3605:2
3601:n
3590:d
3587:d
3584:o
3581::
3576:1
3572:n
3563:+
3540:d
3537:d
3534:o
3531::
3526:3
3522:n
3511:n
3508:e
3505:v
3502:e
3499::
3494:2
3490:n
3479:d
3476:d
3473:o
3470::
3465:1
3461:n
3452:+
3447:n
3444:e
3441:v
3438:e
3435::
3430:3
3426:n
3415:n
3412:e
3409:v
3406:e
3403::
3398:2
3394:n
3383:d
3380:d
3377:o
3374::
3369:1
3365:n
3356:+
3351:d
3348:d
3345:o
3342::
3337:3
3333:n
3322:d
3319:d
3316:o
3313::
3308:2
3304:n
3293:n
3290:e
3287:v
3284:e
3281::
3276:1
3272:n
3263:+
3240:n
3237:e
3234:v
3231:e
3228::
3223:3
3219:n
3208:d
3205:d
3202:o
3199::
3194:2
3190:n
3179:n
3176:e
3173:v
3170:e
3167::
3162:1
3158:n
3149:+
3144:d
3141:d
3138:o
3135::
3130:3
3126:n
3115:n
3112:e
3109:v
3106:e
3103::
3098:2
3094:n
3083:n
3080:e
3077:v
3074:e
3071::
3066:1
3062:n
3053:+
3048:n
3045:e
3042:v
3039:e
3036::
3031:3
3027:n
3016:n
3013:e
3010:v
3007:e
3004::
2999:2
2995:n
2984:n
2981:e
2978:v
2975:e
2972::
2967:1
2963:n
2954:=
2933:)
2930:)
2925:3
2921:k
2915:3
2911:n
2907:+
2902:2
2898:k
2892:2
2888:n
2884:+
2879:1
2875:k
2869:1
2865:n
2861:(
2856:N
2849:2
2843:(
2838:s
2835:a
2832:c
2827:)
2822:3
2818:n
2814:,
2809:2
2805:n
2801:,
2796:1
2792:n
2788:(
2785:x
2780:1
2774:N
2769:0
2766:=
2761:r
2757:n
2746:1
2740:N
2735:0
2732:=
2727:2
2723:n
2712:1
2706:N
2701:0
2698:=
2693:1
2689:n
2680:=
2677:)
2672:r
2668:k
2664:,
2661:.
2658:.
2655:.
2652:,
2647:2
2643:k
2639:,
2634:1
2630:k
2626:(
2623:X
2592:X
2567:.
2564:]
2561:)
2556:3
2552:k
2545:,
2540:2
2536:k
2529:,
2524:1
2520:k
2513:(
2504:X
2495:)
2490:3
2486:k
2482:,
2477:2
2473:k
2469:,
2464:1
2460:k
2453:(
2444:X
2438:+
2435:)
2430:3
2426:k
2422:,
2417:2
2413:k
2406:,
2401:1
2397:k
2393:(
2384:X
2378:+
2375:)
2370:3
2366:k
2359:,
2354:2
2350:k
2346:,
2341:1
2337:k
2333:(
2324:X
2318:[
2313:2
2310:1
2305:=
2302:)
2297:3
2293:k
2289:,
2284:2
2280:k
2276:,
2271:1
2267:k
2263:(
2260:X
2236:.
2233:)
2226:r
2222:N
2215:r
2211:k
2205:r
2201:n
2194:2
2188:(
2183:s
2180:a
2177:c
2169:)
2162:1
2158:N
2151:1
2147:k
2141:1
2137:n
2130:2
2124:(
2119:s
2116:a
2113:c
2108:)
2103:r
2099:n
2095:,
2092:.
2089:.
2086:.
2083:,
2078:2
2074:n
2070:,
2065:1
2061:n
2057:(
2054:x
2049:1
2041:r
2037:N
2031:0
2028:=
2023:r
2019:n
2005:1
1997:2
1993:N
1987:0
1984:=
1979:2
1975:n
1964:1
1956:1
1952:N
1946:0
1943:=
1938:1
1934:n
1925:=
1922:)
1917:r
1913:k
1909:,
1906:.
1903:.
1900:.
1897:,
1892:2
1888:k
1884:,
1879:1
1875:k
1871:(
1862:X
1805:.
1802:)
1799:x
1796:(
1787:+
1784:)
1781:x
1778:(
1769:=
1766:)
1763:x
1760:(
1755:s
1752:a
1749:c
1727:1
1719:i
1715:N
1711:,
1705:,
1702:1
1699:,
1696:0
1693:=
1688:i
1684:k
1661:,
1658:)
1651:r
1647:N
1640:r
1636:k
1630:r
1626:n
1619:2
1613:+
1607:+
1600:1
1596:N
1589:1
1585:k
1579:1
1575:n
1568:2
1562:(
1557:s
1554:a
1551:c
1546:)
1541:r
1537:n
1533:,
1530:.
1527:.
1524:.
1521:,
1516:2
1512:n
1508:,
1503:1
1499:n
1495:(
1492:x
1487:1
1479:r
1475:N
1469:0
1466:=
1461:r
1457:n
1443:1
1435:2
1431:N
1425:0
1422:=
1417:2
1413:n
1402:1
1394:1
1390:N
1384:0
1381:=
1376:1
1372:n
1363:=
1360:)
1355:r
1351:k
1347:,
1344:.
1341:.
1338:.
1335:,
1330:2
1326:k
1322:,
1317:1
1313:k
1309:(
1306:X
1278:N
1274:N
1270:N
1229:N
1221:N
1217:N
1190:N
1163:N
1159:N
1151:N
1139:N
1135:z
1123:0
1120:X
1115:N
1113:X
1111:(
1109:N
1088:2
1084:/
1079:]
1074:)
1068:k
1062:N
1058:Y
1049:k
1045:Y
1040:(
1034:k
1030:X
1022:)
1016:k
1010:N
1006:Y
1002:+
997:k
993:Y
988:(
982:k
976:N
972:X
967:[
961:=
954:k
948:N
944:Z
936:2
932:/
927:]
922:)
916:k
910:N
906:Y
897:k
893:Y
888:(
882:k
876:N
872:X
868:+
864:)
858:k
852:N
848:Y
844:+
839:k
835:Y
830:(
824:k
820:X
815:[
809:=
802:k
798:Z
780:Z
776:z
772:y
768:x
764:Z
760:Y
756:X
752:N
747:n
745:z
741:z
736:n
734:y
730:y
725:n
723:x
719:x
715:y
713:∗
711:x
707:z
697:i
692:n
690:x
685:k
683:H
674:H
665:H
660:k
656:H
651:k
647:X
642:n
640:x
629:N
624:k
622:H
617:k
615:H
610:n
608:x
597:N
593:N
587:N
583:x
579:0
576:x
556:i
552:)
550:z
546:e
541:)
539:z
535:i
531:z
527:e
523:)
521:z
513:)
511:z
493:)
487:4
476:z
472:(
460:2
455:=
436:)
433:z
430:(
421:+
418:)
415:z
412:(
377:N
374:,
368:,
365:0
362:=
359:k
353:]
348:)
344:k
341:n
336:N
329:2
322:(
312:+
308:)
304:k
301:n
296:N
289:2
282:(
271:[
265:n
261:x
255:1
249:N
244:0
241:=
238:n
230:=
226:)
222:k
219:n
214:N
207:2
200:(
188:n
184:x
178:1
172:N
167:0
164:=
161:n
153:=
148:k
144:H
128:N
124:H
120:0
117:H
113:N
107:N
103:x
99:0
96:x
92:N
84:R
80:R
76:R
72:H
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.