1147:
886:
2158:
1508:
1812:
1664:
536:
1292:
1922:
141:
1142:{\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}.}
870:
770:
2242:
637:
875:
The product of two displacement operators is another displacement operator whose total displacement, up to a phase factor, is the sum of the two individual displacements. This can be seen by utilizing the
355:
2040:
1362:
1373:
2032:
1672:
1524:
408:
1158:
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288:
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776:
676:
2170:
2303:
877:
2417:
570:
2537:
264:
2153:{\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)}
297:
1503:{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta }{\hat {D}}(\beta ){\hat {D}}(\alpha )}
1300:
2459:
2438:
1807:{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}}
1659:{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}
531:{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}}
2506:
2296:
1982:
1822:
The displacement operator can also be generalized to multimode displacement. A multimode creation operator can be defined as
1287:{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )}
1917:{\displaystyle {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )}
270:
The name of this operator is derived from its ability to displace a localized state in phase space by a magnitude
2464:
2289:
2485:
2562:
2469:
2375:
1953:
136:{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)}
230:
2333:
2511:
360:
2254:
640:
168:
21:
1931:
2312:
174:
541:
201:
2412:
2407:
865:{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha }
765:{\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha }
667:
646:
643:
of the displacement operator can also be interpreted as a displacement of opposite magnitude (
17:
1518:
The
Kermack-McCrae identity gives two alternative ways to express the displacement operator:
273:
150:
2516:
2338:
402:
2532:
2433:
2380:
2443:
2343:
386:
291:
33:
29:
2556:
2237:{\displaystyle |\alpha _{\psi }\rangle \equiv {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )|0\rangle }
1364:
appears in each term of the resulting state, which makes it physically irrelevant.
2359:
390:
2034:. Using this definition, we can write the multimode displacement operator as
2281:
632:{\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )}
1950:
is the wave vector and its magnitude is related to the frequency
2285:
350:{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }
290:. It may also act on the vacuum state by displacing it into a
1357:{\displaystyle e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}}
2027:{\displaystyle |\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c}
670:
of the ladder operators results in their displacement.
2173:
2043:
1985:
1956:
1934:
1831:
1675:
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2400:
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2352:
2326:
2319:
198:is the complex conjugate of that displacement, and
2236:
2152:
2026:
1971:
1942:
1916:
1806:
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1502:
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282:
255:
219:
190:
159:
135:
2297:
1297:When acting on an eigenket, the phase factor
666:). The effect of applying this operator in a
8:
2231:
2189:
372:
344:
330:
2164:and define the multimode coherent state as
2397:
2323:
2304:
2290:
2282:
2276:. Cambridge (England): Cambridge UP, 2005.
1367:It further leads to the braiding relation
2223:
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465:
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434:
413:
412:
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393:of the annihilation (lowering) operator.
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44:
2265:
1972:{\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }}
256:{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}
7:
2272:Christopher Gerry and Peter Knight:
14:
167:is the amount of displacement in
2010:
1992:
1963:
1936:
1907:
1877:
1866:
878:Baker–Campbell–Hausdorff formula
567:is the identity operator. Since
378:{\displaystyle |\alpha \rangle }
401:The displacement operator is a
2507:Hanbury Brown and Twiss effect
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1:
1943:{\displaystyle \mathbf {k} }
2274:Introductory Quantum Optics
191:{\displaystyle \alpha ^{*}}
2579:
560:{\displaystyle {\hat {1}}}
220:{\displaystyle {\hat {a}}}
2538:Creation and annihilation
668:similarity transformation
2486:Transition dipole moment
659:{\displaystyle -\alpha }
2376:Anti-symmetric operator
2369:Operators for operators
1514:Alternative expressions
283:{\displaystyle \alpha }
160:{\displaystyle \alpha }
2238:
2154:
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1818:Multimode displacement
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405:, and therefore obeys
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1152:which shows us that:
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767:
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2313:Operators in physics
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169:optical phase space
22:optical phase space
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