4966:
3313:
2449:
4920:
5197:
1009:
1869:
5659:
4636:
519:
303:
5069:
2704:
704:
2438:
5461:
2072:
3511:
3720:
3059:
3921:
2262:
2862:
1541:
5344:
1552:
3164:
4088:
5709:
3610:
4628:
5286:
4523:
1299:
58:
Knowing the shortest distance from a point to a line can be useful in various situations—for example, finding the shortest distance to reach a road, quantifying the scatter on a graph, etc. In
5019:
3781:
5554:
4409:
4915:{\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}
5745:
4314:
328:
5192:{\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}
4235:
1004:{\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}
138:
5494:
5381:
5230:
2929:
2570:
1381:
3426:
3302:
3260:
3218:
3983:
2273:
1129:
5809:
5389:
1090:
4098:
It is possible to produce another expression to find the shortest distance of a point to a line. This derivation also requires that the line is not vertical or horizontal.
4139:
5838:
5774:
5542:
4174:
1880:
3438:
3615:
2940:
6141:
3792:
2103:
2749:
66:
in which the degree of imperfection of the fit is measured for each data point as the perpendicular distance of the point from the regression line.
1864:{\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})}
1389:
5294:
5926:
Between
Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples
3071:
3991:
5667:
5843:
Note that cross products only exist in dimensions 3 and 7 and trivially in dimensions 0 and 1 (where the cross product is constant 0).
3522:
4531:
6118:
6088:
6070:
6028:
5247:
5867:
4428:
1231:
5654:{\displaystyle d(\mathrm {P} ,(l))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}
3312:
5947:
If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.
4983:
3725:
4329:
514:{\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}
5718:
6136:
5350:
4246:
298:{\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
5862:
4179:
2699:{\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}
62:, a type of linear curve fitting, if the dependent and independent variables have equal variance this results in
3304:
in terms of the coordinates of P and the coefficients of the equation of the line to get the indicated formula.
5469:
5356:
5205:
2877:
4240:
The point at which these two lines intersect is the closest point on the original line to the point P. Hence:
1307:
4630:, we can deduce that the formula to find the shortest distance between a line and a point is the following:
3399:
5857:
2433:{\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
1152:
This proof is valid only if the line is neither vertical nor horizontal, that is, we assume that neither
3265:
3223:
3181:
63:
5456:{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
3933:
5779:
1095:
5051:
4965:
1057:
5497:
4104:
1051:
44:
40:
32:
5814:
5750:
5518:
6146:
6114:
6084:
6066:
6024:
5852:
2545:
59:
6108:
2564:(both are vertical lines). Corresponding sides of these triangles are in the same ratio, so:
6046:
5513:
4974:
4144:
36:
2067:{\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}
1028:. The numerator is twice the area of the triangle with its vertices at the three points, (x
55:
to the line. The formula for calculating it can be derived and expressed in several ways.
3506:{\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}
1092:, which can be obtained by rearranging the standard formula for the area of a triangle:
3715:{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}
6130:
6059:
5712:
52:
6037:
Ballantine, J.P.; Jerbert, A.R. (1952), "Distance from a line or plane to a point",
5496:
perpendicular to the line. The distance from the point to the line is then just the
4957:+ c = 0, a little algebraic simplification reduces this to the standard expression.
4176:. The equation of the normal of that line which passes through the point P is given
3054:{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
4418:
coordinate of the point of intersection can be found by substituting this value of
3064:
A variation of this proof is to place V at P and compute the area of the triangle ∆
48:
3916:{\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
1225:). The line through these two points is perpendicular to the original line, so
6104:
5037:
2257:{\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}
107:
5500:
of that vector. This more general formula is not restricted to two dimensions.
2857:{\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
5872:
2267:
and we obtain the length of the line segment determined by these two points,
5993:
2448:
1536:{\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}
5339:{\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
2556:
since they are corresponding angles of a transversal to the parallel lines
3159:{\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}
2509:
whose sides are horizontal and vertical line segments with hypotenuse
1211:= 0 and the line perpendicular to it which passes through the point (
6050:
2456:
This proof is valid only if the line is not horizontal or vertical.
591:) to this line is measured along a vertical line segment of length |
553:
is also zero, in which case the equation does not define a line. If
4083:{\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
3396:
to the line is equal to the length of the orthogonal projection of
5704:{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}}
2447:
3605:{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}
621:| in accordance with the formula. Similarly, for vertical lines (
4623:{\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}
4528:
Using the equation for finding the distance between 2 points,
5281:{\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }
3311:
1014:
The denominator of this expression is the distance between
4518:{\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}
1294:{\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}
625:= 0) the distance between the same point and the line is |
79:
In the case of a line in the plane given by the equation
5014:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }
3776:{\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}
1139:
is the perpendicular height from the opposite vertex.
1098:
1060:
118:
not both zero, the distance from the line to a point (
5817:
5782:
5753:
5721:
5670:
5557:
5521:
5472:
5392:
5359:
5297:
5250:
5208:
5072:
4986:
4639:
4534:
4431:
4404:{\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}
4332:
4249:
4182:
4147:
4107:
3994:
3936:
3795:
3728:
3618:
3525:
3441:
3402:
3268:
3226:
3184:
3074:
2943:
2880:
2752:
2573:
2276:
2106:
1883:
1555:
1392:
1310:
1234:
707:
331:
141:
1874:
using the above squared equation. But we also have,
6058:
5832:
5803:
5768:
5739:
5703:
5653:
5536:
5488:
5455:
5375:
5338:
5280:
5224:
5191:
5013:
4914:
4622:
4517:
4403:
4308:
4229:
4168:
4133:
4082:
3977:
3915:
3775:
3714:
3604:
3505:
3420:
3296:
3254:
3212:
3158:
3053:
2923:
2856:
2698:
2432:
2256:
2066:
1863:
1535:
1375:
1293:
1183:, so any line perpendicular to it will have slope
1123:
1084:
1003:
513:
297:
5956:
5935:
5740:{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}}
3178:. The distance formula can then used to express
2513:on the given line and horizontal side of length |
565: 0, the line is horizontal and has equation
5938:do not mention this restriction in their article
4309:{\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}
640:|, as measured along a horizontal line segment.
5979:
5914:
5891:
3388:is perpendicular to the line, and the distance
2497:and label its intersection with the given line
5288:is the projected length onto the line and so
5040:in the direction of the line. Then as scalar
3432:. The length of this projection is given by:
8:
5798:
5783:
5645:
5630:
5183:
5120:
5030:is the position of a point on the line, and
4230:{\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}
3737:
3729:
3494:
3486:
2871:is on the line, we can find the value of m,
308:The point on this line which is closest to (
2548:, since they are both right triangles and ∠
1199:) be the point of intersection of the line
1052:Area of a triangle § Using coordinates
5994:"Lines and Distance of a Point to a Line"
5819:
5818:
5816:
5787:
5786:
5781:
5755:
5754:
5752:
5724:
5722:
5720:
5690:
5689:
5673:
5671:
5669:
5634:
5633:
5613:
5612:
5596:
5594:
5587:
5564:
5556:
5544:, the distance between point P and line (
5523:
5522:
5520:
5489:{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
5481:
5473:
5471:
5448:
5440:
5429:
5421:
5404:
5396:
5391:
5376:{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
5368:
5360:
5358:
5331:
5323:
5312:
5304:
5296:
5273:
5262:
5254:
5249:
5225:{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }
5217:
5209:
5207:
5178:
5170:
5159:
5151:
5134:
5126:
5109:
5101:
5090:
5082:
5071:
5006:
4995:
4987:
4985:
4900:
4883:
4877:
4864:
4846:
4843:
4832:
4821:
4793:
4772:
4756:
4749:
4745:
4731:
4720:
4698:
4677:
4661:
4654:
4653:
4646:
4638:
4612:
4602:
4589:
4573:
4563:
4550:
4541:
4533:
4491:
4467:
4451:
4441:
4430:
4383:
4362:
4346:
4339:
4331:
4297:
4272:
4265:
4248:
4221:
4196:
4189:
4181:
4146:
4125:
4112:
4106:
4068:
4055:
4044:
4032:
4016:
4004:
4001:
3993:
3969:
3953:
3935:
3901:
3888:
3877:
3868:
3855:
3833:
3820:
3805:
3802:
3794:
3762:
3749:
3743:
3732:
3727:
3703:
3690:
3668:
3655:
3637:
3619:
3617:
3590:
3577:
3564:
3551:
3526:
3524:
3489:
3479:
3474:
3456:
3451:
3448:
3440:
3403:
3401:
3289:
3274:
3269:
3267:
3247:
3232:
3227:
3225:
3205:
3190:
3185:
3183:
3151:
3136:
3131:
3126:
3111:
3106:
3098:
3083:
3078:
3073:
3039:
3026:
3015:
3003:
2987:
2975:
2972:
2964:
2949:
2944:
2942:
2924:{\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}
2900:
2887:
2879:
2842:
2829:
2818:
2810:
2805:
2793:
2784:
2781:
2773:
2758:
2753:
2751:
2685:
2670:
2665:
2658:
2643:
2638:
2635:
2624:
2609:
2604:
2597:
2582:
2577:
2574:
2572:
2489:= 0. Label the foot of the perpendicular
2418:
2405:
2394:
2382:
2366:
2354:
2351:
2340:
2324:
2308:
2292:
2283:
2275:
2248:
2232:
2216:
2194:
2178:
2162:
2146:
2127:
2114:
2105:
2058:
2042:
2026:
2007:
1979:
1963:
1944:
1925:
1897:
1882:
1852:
1836:
1820:
1804:
1785:
1772:
1756:
1740:
1727:
1705:
1683:
1658:
1642:
1629:
1616:
1597:
1569:
1554:
1515:
1493:
1468:
1452:
1439:
1426:
1410:
1397:
1391:
1383:and by squaring this equation we obtain:
1349:
1321:
1309:
1278:
1260:
1242:
1235:
1233:
1105:
1097:
1067:
1059:
989:
979:
966:
950:
940:
927:
913:
907:
897:
884:
874:
861:
848:
835:
819:
806:
793:
781:
778:
763:
750:
734:
721:
706:
499:
486:
462:
446:
427:
416:
407:
394:
370:
354:
338:
330:
283:
270:
259:
247:
231:
219:
216:
201:
188:
140:
51:which joins the point to the line and is
5202:This formula can be derived as follows:
4964:
4422:into the equation of the original line,
1376:{\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}
6057:Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007),
6023:(7th ed.), John Wiley & Sons,
5884:
4973:The equation of a line can be given in
4969:Illustration of the vector formulation.
4101:The point P is given with coordinates (
3338:) and let the given line have equation
2517:| (see diagram). The vertical side of ∆
6113:(2nd ed.), Springer, p. 86,
4141:). The equation of a line is given by
3421:{\displaystyle {\overrightarrow {QP}}}
648:If the line passes through two points
5967:
5903:
1160:in the equation of the line is zero.
7:
2459:Drop a perpendicular from the point
5057:The distance of an arbitrary point
3316:Diagram for vector projection proof
2505:on the line, draw a right triangle
529:In the general equation of a line,
5728:
5725:
5677:
5674:
5600:
5597:
5565:
3297:{\displaystyle |{\overline {VT}}|}
3255:{\displaystyle |{\overline {VU}}|}
3213:{\displaystyle |{\overline {TU}}|}
1054:. The expression is equivalent to
14:
6142:Vectors (mathematics and physics)
5512:) goes through point A and has a
2493:. Draw the vertical line through
39:to any point on a fixed infinite
5868:Distance from a point to a plane
5482:
5474:
5449:
5441:
5430:
5422:
5405:
5397:
5369:
5361:
5332:
5324:
5313:
5305:
5274:
5263:
5255:
5218:
5210:
5179:
5171:
5160:
5152:
5135:
5127:
5110:
5102:
5091:
5083:
5007:
4996:
4988:
3978:{\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}
3733:
3638:
3490:
3475:
3368:) be any point on this line and
1191:(the negative reciprocal). Let (
4319:We can solve this equation for
3324:be the point with coordinates (
1124:{\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}
5824:
5804:{\displaystyle \|{\vec {u}}\|}
5792:
5760:
5695:
5639:
5625:
5618:
5590:
5581:
5578:
5572:
5561:
5528:
5445:
5434:
5418:
5415:
5409:
5393:
5328:
5317:
5301:
5298:
5267:
5251:
5175:
5164:
5148:
5145:
5139:
5123:
5114:
5079:
4884:
4847:
4609:
4582:
4570:
4543:
4482:
4444:
4045:
4005:
3878:
3874:
3848:
3839:
3813:
3806:
3709:
3683:
3674:
3648:
3596:
3544:
3480:
3452:
3290:
3270:
3248:
3228:
3206:
3186:
3152:
3132:
3127:
3107:
3099:
3079:
3016:
2976:
2965:
2945:
2819:
2811:
2806:
2785:
2774:
2754:
2686:
2666:
2659:
2639:
2625:
2605:
2598:
2578:
2395:
2355:
2337:
2317:
2305:
2285:
2245:
2206:
2200:
2191:
2171:
2159:
2139:
2136:
2133:
2107:
2055:
2016:
2004:
1953:
1941:
1937:
1918:
1909:
1890:
1884:
1858:
1849:
1829:
1817:
1797:
1794:
1791:
1765:
1753:
1733:
1717:
1698:
1695:
1676:
1655:
1635:
1613:
1609:
1590:
1581:
1562:
1556:
1527:
1508:
1505:
1486:
1465:
1445:
1423:
1403:
1361:
1342:
1333:
1314:
1085:{\textstyle h={\frac {2A}{b}}}
986:
959:
947:
920:
914:
854:
828:
812:
786:
782:
772:
769:
743:
714:
468:
433:
376:
344:
260:
220:
210:
207:
181:
148:
1:
6061:Precalculus: A Concise Course
6039:American Mathematical Monthly
5957:Ballantine & Jerbert 1952
5936:Ballantine & Jerbert 1952
3170:drawn to the hypoteneuse of ∆
1135:is the length of a side, and
525:Horizontal and vertical lines
3284:
3242:
3200:
3166:where D is the altitude of ∆
3146:
3121:
3093:
2959:
2768:
2680:
2653:
2619:
2592:
2525:| since the line has slope -
2477:) to the line with equation
5980:Larson & Hostetler 2007
5915:Larson & Hostetler 2007
5892:Larson & Hostetler 2007
4949:for the line with equation
4134:{\displaystyle x_{0},y_{0}}
2452:Diagram for geometric proof
549:cannot both be zero unless
75:Line defined by an equation
6163:
5863:Distance between two lines
5833:{\displaystyle {\vec {u}}}
5769:{\displaystyle {\vec {u}}}
5537:{\displaystyle {\vec {u}}}
5504:Another vector formulation
644:Line defined by two points
47:. It is the length of the
6110:Encyclopedia of Distances
6021:Elementary Linear Algebra
5063:to this line is given by
3308:A vector projection proof
690:) then the distance of (x
6065:, Houghton Mifflin Co.,
5349:is a vector that is the
3930:is a point on the line,
3068:two ways to obtain that
2739:| and the distance from
1163:The line with equation
6107:; Deza, Elena (2013),
6083:, Dover Publications,
6079:Spain, Barry (2007) ,
6019:Anton, Howard (1994),
5858:Line-line intersection
5834:
5811:is the vector norm of
5805:
5770:
5741:
5705:
5655:
5538:
5490:
5457:
5377:
5340:
5282:
5226:
5193:
5015:
4970:
4916:
4624:
4519:
4405:
4310:
4231:
4170:
4169:{\displaystyle y=mx+k}
4135:
4084:
3979:
3917:
3777:
3716:
3606:
3507:
3422:
3317:
3298:
3256:
3214:
3160:
3055:
2925:
2858:
2700:
2453:
2434:
2258:
2068:
1865:
1537:
1377:
1295:
1125:
1086:
1005:
515:
299:
29:from a point to a line
25:perpendicular distance
5835:
5806:
5771:
5742:
5706:
5656:
5539:
5491:
5458:
5378:
5341:
5283:
5227:
5194:
5016:
4968:
4917:
4625:
4520:
4406:
4311:
4232:
4171:
4136:
4085:
3980:
3918:
3778:
3717:
3607:
3508:
3423:
3315:
3299:
3257:
3215:
3161:
3056:
2926:
2859:
2701:
2451:
2435:
2259:
2069:
1866:
1538:
1378:
1296:
1126:
1087:
1006:
577:. The distance from (
516:
300:
70:Cartesian coordinates
64:orthogonal regression
5815:
5780:
5751:
5719:
5668:
5555:
5519:
5470:
5466:is the component of
5390:
5383:onto the line. Thus
5357:
5295:
5248:
5206:
5070:
4984:
4637:
4532:
4429:
4330:
4247:
4180:
4145:
4105:
3992:
3934:
3793:
3726:
3616:
3523:
3439:
3400:
3380:) starting at point
3266:
3224:
3182:
3072:
2941:
2934:and finally obtain:
2878:
2750:
2571:
2274:
2104:
1881:
1553:
1390:
1308:
1232:
1096:
1058:
705:
698:) from the line is:
329:
139:
5873:Skew lines#Distance
557: = 0 and
322:) has coordinates:
6137:Euclidean geometry
6105:Deza, Michel Marie
5830:
5801:
5766:
5737:
5701:
5651:
5534:
5486:
5453:
5373:
5336:
5278:
5244:on the line. Then
5222:
5189:
5011:
4971:
4961:Vector formulation
4912:
4620:
4515:
4401:
4306:
4227:
4166:
4131:
4080:
3975:
3913:
3773:
3712:
3602:
3503:
3418:
3318:
3294:
3252:
3210:
3156:
3051:
2921:
2854:
2696:
2521:will have length |
2463:with coordinates (
2454:
2430:
2254:
2064:
1861:
1533:
1373:
1291:
1148:An algebraic proof
1121:
1082:
1001:
511:
295:
45:Euclidean geometry
6081:Analytical Conics
5853:Hesse normal form
5827:
5795:
5763:
5735:
5698:
5684:
5649:
5642:
5621:
5607:
5531:
5232:is a vector from
4907:
4906:
4838:
4806:
4711:
4618:
4504:
4396:
4288:
4212:
4075:
4074:
3908:
3907:
3768:
3632:
3539:
3498:
3469:
3416:
3287:
3245:
3203:
3149:
3124:
3096:
3046:
3045:
2962:
2916:
2849:
2848:
2771:
2713:has coordinates (
2691:
2683:
2656:
2630:
2622:
2595:
2546:similar triangles
2444:A geometric proof
2425:
2424:
2346:
1286:
1273:
1113:
1080:
996:
995:
506:
419:
414:
290:
289:
60:Deming regression
6154:
6123:
6093:
6075:
6064:
6053:
6033:
6006:
6005:
6003:
6001:
5989:
5983:
5977:
5971:
5965:
5959:
5954:
5948:
5945:
5939:
5933:
5927:
5924:
5918:
5912:
5906:
5901:
5895:
5889:
5839:
5837:
5836:
5831:
5829:
5828:
5820:
5810:
5808:
5807:
5802:
5797:
5796:
5788:
5775:
5773:
5772:
5767:
5765:
5764:
5756:
5746:
5744:
5743:
5738:
5736:
5731:
5723:
5710:
5708:
5707:
5702:
5700:
5699:
5691:
5685:
5680:
5672:
5660:
5658:
5657:
5652:
5650:
5648:
5644:
5643:
5635:
5628:
5624:
5623:
5622:
5614:
5608:
5603:
5595:
5588:
5568:
5543:
5541:
5540:
5535:
5533:
5532:
5524:
5514:direction vector
5495:
5493:
5492:
5487:
5485:
5477:
5462:
5460:
5459:
5454:
5452:
5444:
5433:
5425:
5408:
5400:
5382:
5380:
5379:
5374:
5372:
5364:
5345:
5343:
5342:
5337:
5335:
5327:
5316:
5308:
5287:
5285:
5284:
5279:
5277:
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5258:
5243:
5237:
5231:
5229:
5228:
5223:
5221:
5213:
5198:
5196:
5195:
5190:
5182:
5174:
5163:
5155:
5138:
5130:
5113:
5105:
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5086:
5062:
5049:
5035:
5029:
5020:
5018:
5017:
5012:
5010:
4999:
4991:
4921:
4919:
4918:
4913:
4908:
4905:
4904:
4889:
4888:
4887:
4882:
4881:
4869:
4868:
4850:
4844:
4839:
4837:
4836:
4831:
4827:
4826:
4825:
4807:
4805:
4798:
4797:
4787:
4777:
4776:
4761:
4760:
4750:
4736:
4735:
4730:
4726:
4725:
4724:
4712:
4710:
4703:
4702:
4692:
4682:
4681:
4666:
4665:
4655:
4647:
4629:
4627:
4626:
4621:
4619:
4617:
4616:
4607:
4606:
4594:
4593:
4578:
4577:
4568:
4567:
4555:
4554:
4542:
4524:
4522:
4521:
4516:
4505:
4503:
4496:
4495:
4485:
4472:
4471:
4456:
4455:
4442:
4410:
4408:
4407:
4402:
4397:
4395:
4388:
4387:
4377:
4367:
4366:
4351:
4350:
4340:
4315:
4313:
4312:
4307:
4302:
4301:
4289:
4284:
4277:
4276:
4266:
4236:
4234:
4233:
4228:
4226:
4225:
4213:
4208:
4201:
4200:
4190:
4175:
4173:
4172:
4167:
4140:
4138:
4137:
4132:
4130:
4129:
4117:
4116:
4089:
4087:
4086:
4081:
4076:
4073:
4072:
4060:
4059:
4050:
4049:
4048:
4037:
4036:
4021:
4020:
4008:
4002:
3984:
3982:
3981:
3976:
3974:
3973:
3958:
3957:
3922:
3920:
3919:
3914:
3909:
3906:
3905:
3893:
3892:
3883:
3882:
3881:
3873:
3872:
3860:
3859:
3838:
3837:
3825:
3824:
3809:
3803:
3782:
3780:
3779:
3774:
3769:
3767:
3766:
3754:
3753:
3744:
3736:
3721:
3719:
3718:
3713:
3708:
3707:
3695:
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