2082:
5878:
3704:. The idea of solving minimization problems while restricting the values on the boundary can be further generalized by looking on function spaces where the trace is fixed only on a part of the boundary, and can be arbitrary on the rest.
2814:
A functional with this property is sometimes called coercive. Showing sequential lower semi-continuity is usually the most difficult part when applying the direct method. See below for some theorems for a general class of functionals.
5342:
6008:
3042:
3584:
that satisfy some desired boundary conditions. This is similar to solving the Euler–Lagrange equation with
Dirichlet boundary conditions. Additionally there are settings in which there are minimizers in
1121:
4267:
1892:
2646:
1818:
3809:
2917:
2730:
4350:
6537:
5048:
4088:
3645:
3481:
118:
5633:
1319:
6153:
3945:
3848:
3702:
3538:
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1456:
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3103:
2464:
2163:
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6281:
5786:
4792:
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5671:
5493:
4589:
4176:
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6584:
5747:
5238:
5095:
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1195:
6384:
5700:
5522:
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6686:
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5151:
5125:
4955:
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6634:
6484:
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5392:
5365:
5261:
5191:
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4975:
4692:
4612:
4444:
4021:
3998:
3888:
3868:
3582:
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3412:
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2374:
2354:
2330:
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2226:
2197:
1878:
1742:
1690:
1667:
1515:
1379:
1251:
1066:
5270:
1230:. But seeking a minimizer amongst functions satisfying these may lead to false conclusions if the existence of a minimizer is not established beforehand.
6894:
Acerbi Emilio, Fusco Nicola. "Semicontinuity problems in the calculus of variations." Archive for
Rational Mechanics and Analysis 86.2 (1984): 125-145
6871:
6856:
6838:
6724:
1720:
To see that this shows the existence of a minimizer, consider the following characterization of sequentially lower-semicontinuous functions.
2994:
982:
455:
1075:
4207:
519:
2077:{\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}}
997:. As well as being used to prove the existence of a solution, direct methods may be used to compute the solution to desired accuracy.
956:
6789:
475:
193:
2577:
1749:
3721:
2829:
460:
2678:
6907:
3106:
796:
470:
445:
127:
4272:
6587:
6489:
5750:
5000:
4033:
3588:
3424:
578:
525:
406:
5526:
1259:
232:
204:
6101:
3893:
3818:
3650:
3486:
3294:
1227:
315:
1384:
829:
437:
275:
247:
37:
3707:
The next section presents theorems regarding weak sequential lower semi-continuity of functionals of the above type.
3236:
2229:
3067:
700:
664:
441:
320:
214:
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1008:
6188:
5756:
4699:
464:
300:
978:
599:
159:
5368:
4024:
5263:
is convex. The following theorem proves sequential lower semi-continuity using a weaker notion of convexity:
4394:
4355:
913:
705:
594:
5641:
5463:
4559:
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1693:
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305:
266:
172:
6542:
5705:
5196:
5053:
4486:
4449:
2945:
928:
908:
834:
503:
422:
396:
310:
2537:
1823:
4091:
3288:, but it is not reflexive. When applying the direct method, the functional is usually defined on a
1156:
990:
903:
873:
863:
750:
604:
401:
257:
140:
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6328:
5679:
5501:
4839:
4533:
4181:
2787:
2735:
3564:
in the image of the trace operator. This restriction allows finding minimizers of the functional
3111:
1559:
868:
771:
755:
695:
649:
530:
449:
355:
350:
154:
1599:
690:
685:
149:
6867:
6852:
6834:
6785:
6720:
5873:{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
1324:
This condition is not enough to know that a minimizer exists, but it shows the existence of a
942:
776:
554:
432:
385:
242:
237:
6290:
4801:
3950:
3169:
2925:
2761:
2235:
1523:
1467:
1331:
1226:
The standard tool for obtaining necessary conditions for a function to be a minimizer is the
5417:
3351:
1200:
1130:
786:
680:
654:
515:
427:
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6887:
6807:
3189:
2379:
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1699:
1632:
6883:
4400:
3415:
2203:
2200:
918:
791:
745:
740:
627:
540:
485:
16:
Method for constructing existence proofs and calculating solutions in variational calculus
6665:
6639:
6593:
6419:
6389:
6020:
5130:
5104:
4930:
4900:
4647:
4621:
977:
is a general method for constructing a proof of the existence of a minimizer for a given
3143:
6619:
6469:
6449:
6166:
6081:
6054:
5443:
5397:
5377:
5350:
5337:{\displaystyle F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )}
5246:
5176:
5156:
4980:
4960:
4677:
4597:
4429:
4006:
3983:
3873:
3853:
3567:
3547:
3541:
3397:
3377:
3216:
3047:
2974:
2655:
2534:
is weakly sequentially lower semi-continuous, i.e., for any weakly convergent sequence
2517:
2495:
2472:
2406:
2359:
2339:
2315:
2268:
2211:
2182:
1863:
1727:
1675:
1652:
1500:
1364:
1236:
1069:
1051:
801:
609:
376:
6901:
6799:
3289:
3285:
2333:
986:
781:
545:
295:
252:
5674:
5496:
2206:
535:
280:
3166:
When deriving the Euler–Lagrange equation, the common approach is to assume
6866:. (Transl. from French original 1967 by A.Kufner and G.Tronel), Springer, 2012,
2823:
The typical functional in the calculus of variations is an integral of the form
1554:
970:
898:
644:
568:
290:
285:
189:
5193:, is weakly sequentially lower semi-continuous if, and only if the function
573:
563:
6003:{\displaystyle F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz}
994:
639:
381:
338:
27:
5243:
However, there are many interesting cases where one cannot assume that
3037:{\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}
6048:
2179:
The direct method may often be applied with success when the space
3715:
As many functionals in the calculus of variations are of the form
1116:{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}
6486:
is sequentially weakly lower semi-continuous, then for any given
4997:
is sequentially weakly lower semi-continuous, then for any given
4262:{\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}
4178:
such that the following inequality holds true for almost every
6878:
T. RoubĂÄŤek (2000). "Direct method for parabolic problems".
2641:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}
1813:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}
3804:{\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}
2912:{\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}
1253:
must be bounded from below to have a minimizer. This means
2725:{\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta }
1460:
The direct method may be broken into the following steps
4345:{\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)}
3374:, which is a reflexive Banach space. The derivatives of
2652:
The second part is usually accomplished by showing that
6688:, since then quasiconvexity is equivalent to convexity.
6532:{\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}
6159:
A converse like theorem in this case is the following:
5043:{\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}
4107:
6810:
6668:
6642:
6622:
6596:
6545:
6492:
6472:
6452:
6422:
6392:
6331:
6293:
6191:
6169:
6104:
6084:
6057:
6023:
5891:
5794:
5759:
5708:
5682:
5644:
5529:
5504:
5466:
5446:
5420:
5400:
5380:
5353:
5273:
5249:
5199:
5179:
5159:
5133:
5107:
5056:
5003:
4983:
4963:
4933:
4903:
4842:
4804:
4702:
4680:
4650:
4624:
4600:
4562:
4536:
4489:
4452:
4432:
4403:
4358:
4275:
4210:
4184:
4142:
4099:
4083:{\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}
4036:
4009:
3986:
3953:
3896:
3876:
3856:
3821:
3724:
3653:
3640:{\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
3591:
3570:
3550:
3489:
3476:{\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
3427:
3400:
3380:
3354:
3297:
3284:. This space is a Banach space when endowed with the
3239:
3219:
3192:
3172:
3146:
3114:
3070:
3050:
2997:
2977:
2948:
2928:
2832:
2790:
2764:
2738:
2681:
2658:
2580:
2540:
2520:
2498:
2475:
2429:
2409:
2382:
2362:
2342:
2318:
2291:
2271:
2238:
2214:
2185:
2097:
1895:
1866:
1826:
1752:
1730:
1702:
1678:
1655:
1635:
1602:
1562:
1526:
1503:
1470:
1387:
1367:
1334:
1262:
1239:
1203:
1159:
1133:
1078:
1054:
1011:
40:
5628:{\displaystyle |F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})}
2423:, the direct method may be applied to a functional
6864:Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations
6823:
6680:
6654:
6628:
6608:
6578:
6531:
6478:
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6438:
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6317:
6275:
6175:
6147:
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6039:
6002:
5872:
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5741:
5694:
5665:
5627:
5516:
5487:
5452:
5432:
5406:
5386:
5359:
5336:
5255:
5232:
5185:
5165:
5145:
5119:
5089:
5042:
4989:
4969:
4949:
4919:
4889:
4828:
4786:
4686:
4662:
4636:
4606:
4583:
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4522:
4470:
4438:
4418:
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4261:
4196:
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3992:
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3939:
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3862:
3842:
3803:
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3639:
3576:
3556:
3532:
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3386:
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3205:
3178:
3155:
3132:
3097:
3056:
3036:
2983:
2963:
2934:
2911:
2802:
2776:
2750:
2724:
2664:
2640:
2566:
2526:
2504:
2481:
2458:
2415:
2395:
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2348:
2324:
2304:
2277:
2257:
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2157:
2076:
1872:
1852:
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1736:
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1661:
1641:
1621:
1588:
1545:
1509:
1489:
1450:
1373:
1353:
1314:{\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,}
1313:
1245:
1215:
1189:
1145:
1115:
1060:
1040:
1005:The calculus of variations deals with functionals
112:
6148:{\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
5344:is a function that has the following properties:
4000:is a function that has the following properties:
3940:{\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
3843:{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}
3697:{\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
3533:{\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
3341:{\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
6849:Multiple Integrals in the Calculus of Variations
6098:is sequentially weakly lower semi-continuous in
5173:, assuming reasonable growth and boundedness on
2582:
2120:
2039:
1973:
1935:
1896:
1754:
1451:{\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.}
1410:
1263:
113:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
3890:is weakly sequentially lower-semicontinuous in
3277:{\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
6804:Modern Methods in the Calculus of Variations:
3213:boundary and let the domain of definition for
1123:. The main interest of the subject is to find
4614:is sequentially weakly lower semi-continuous.
3711:Sequential lower semi-continuity of integrals
3098:{\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}
989:around 1900. The method relies on methods of
950:
8:
6782:Direct Methods in the Calculus of Variations
4380:
4359:
4324:
4303:
2707:
2700:
2672:admits some growth condition. An example is
2459:{\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}
2158:{\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}}
2152:
2123:
2071:
2042:
1928:
1899:
1442:
1413:
1295:
1266:
1110:
1104:
1041:{\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}
6636:and coincides with the previous claim when
6276:{\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}
5781:{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
4787:{\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}
3850:is open, theorems characterizing functions
975:direct method in the calculus of variations
6851:. Springer, 1966 (reprinted 2008), Berlin
4670:the following converse-like theorem holds
957:
943:
823:
729:
633:
509:
344:
178:
18:
6815:
6809:
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6471:
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6421:
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5758:
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3723:
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3623:
3601:
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2296:
2290:
2285:has a subsequence that converges to some
2270:
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1998:
1976:
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1865:
1844:
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1757:
1751:
1729:
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1677:
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1366:
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1310:
1281:
1261:
1238:
1202:
1158:
1132:
1127:for such functionals, that is, functions
1097:
1096:
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1080:
1079:
1077:
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1027:
1025:
1024:
1010:
73:
50:
45:
39:
1744:is sequentially lower-semicontinuous if
6698:
763:
732:
672:
553:
481:Differentiating under the integral sign
414:
368:
265:
224:
181:
26:
4386:{\displaystyle \langle a(x),A\rangle }
5666:{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}
5488:{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}
4584:{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}
7:
6715:I. M. Gelfand; S. V. Fomin (1991).
6590:. The claim is true even when both
4171:{\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}
4129:{\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}
6511:
6124:
5976:
5849:
5841:
5689:
5511:
5328:
5280:
5022:
4543:
4191:
4162:
4056:
3976:In general one has the following:
3916:
3822:
3777:
3745:
3673:
3616:
3509:
3452:
3317:
3253:
3173:
3115:
3077:
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2929:
2885:
2853:
2592:
2232:implies that any bounded sequence
1983:
1945:
1764:
1304:
1107:
22:Part of a series of articles about
14:
6579:{\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}
5742:{\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}
5233:{\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}
5090:{\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}
4523:{\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}
4471:{\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}}
3483:which is the affine sub space of
3421:Another common function space is
2230:sequential Banach–Alaoglu theorem
6882:. Vol. 10. pp. 57–65.
2964:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
6774:References and further reading
6573:
6555:
6549:
6505:
6493:
6432:
6424:
6402:
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6373:
6369:
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6353:
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4743:
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4077:
4053:
3934:
3913:
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3765:
3753:
3734:
3728:
3691:
3670:
3634:
3613:
3527:
3506:
3470:
3449:
3335:
3314:
3271:
3250:
3127:
3121:
3080:
2900:
2897:
2891:
2879:
2873:
2861:
2842:
2836:
2691:
2685:
2635:
2622:
2613:
2600:
2589:
2567:{\displaystyle u_{n}\to u_{0}}
2551:
2450:
2439:
2252:
2239:
2139:
2135:
2129:
2114:
2101:
2058:
2054:
2048:
2033:
2020:
2011:
1991:
1980:
1966:
1953:
1942:
1915:
1911:
1905:
1853:{\displaystyle u_{n}\to u_{0}}
1837:
1807:
1794:
1785:
1772:
1761:
1583:
1563:
1540:
1527:
1484:
1471:
1429:
1425:
1419:
1407:
1404:
1391:
1348:
1335:
1282:
1278:
1272:
1184:
1178:
1169:
1163:
1087:
1032:
1021:
107:
101:
92:
86:
70:
64:
1:
3064:is a differentiable function
2991:is a real-valued function on
1886:The conclusions follows from
1696:with respect to the topology
1228:Euler–Lagrange equation
1190:{\displaystyle J(v)\leq J(u)}
407:Integral of inverse functions
6446:, and locally integrable in
6379:{\displaystyle a(x,|y|,|A|)}
6183:is continuous and satisfies
5695:{\displaystyle x\in \Omega }
5517:{\displaystyle x\in \Omega }
4957:, and locally integrable in
4890:{\displaystyle a(x,|y|,|A|)}
4694:is continuous and satisfies
4549:{\displaystyle x\in \Omega }
4197:{\displaystyle x\in \Omega }
2803:{\displaystyle \beta \geq 0}
2751:{\displaystyle \alpha >0}
2492:any minimizing sequence for
1820:for any convergent sequence
1629:with respect to a topology
6780:Dacorogna, Bernard (1989).
6748:Dacorogna, pp. 66–74.
6739:Dacorogna, pp. 74–79.
4530:is convex for almost every
3133:{\displaystyle \nabla u(x)}
1589:{\displaystyle (u_{n_{k}})}
1464:Take a minimizing sequence
830:Calculus on Euclidean space
248:Logarithmic differentiation
6924:
6705:Dacorogna, pp. 1–43.
5440:: There exists a constant
2356:is sequentially closed in
1622:{\displaystyle u_{0}\in V}
6802:; Giovanni Leoni (2007).
564:Summand limit (term test)
3973:is of great importance.
243:Implicit differentiation
233:Differentiation notation
160:Inverse function theorem
6325:, and a fixed function
6318:{\displaystyle (x,y,A)}
4836:, and a fixed function
4829:{\displaystyle (x,y,A)}
4395:Frobenius inner product
3966:{\displaystyle p\geq 1}
3544:is some fixed function
3179:{\displaystyle \Omega }
2935:{\displaystyle \Omega }
2777:{\displaystyle q\geq 1}
2258:{\displaystyle (u_{n})}
1546:{\displaystyle (u_{n})}
1490:{\displaystyle (u_{n})}
1354:{\displaystyle (u_{n})}
706:Helmholtz decomposition
6908:Calculus of variations
6825:
6719:. Dover Publications.
6717:Calculus of Variations
6682:
6656:
6630:
6610:
6580:
6533:
6480:
6460:
6440:
6410:
6380:
6319:
6277:
6177:
6149:
6092:
6065:
6041:
6004:
5874:
5782:
5753:: there exists a cube
5743:
5696:
5667:
5629:
5518:
5489:
5454:
5434:
5433:{\displaystyle p>1}
5408:
5388:
5361:
5338:
5257:
5234:
5187:
5167:
5147:
5121:
5091:
5044:
4991:
4971:
4951:
4921:
4891:
4830:
4788:
4688:
4664:
4638:
4608:
4585:
4550:
4524:
4472:
4440:
4420:
4387:
4346:
4263:
4198:
4172:
4130:
4084:
4017:
3994:
3967:
3941:
3884:
3864:
3844:
3805:
3698:
3641:
3578:
3558:
3534:
3477:
3414:must then be taken as
3408:
3388:
3368:
3367:{\displaystyle p>1}
3342:
3278:
3227:
3207:
3180:
3157:
3134:
3099:
3058:
3038:
2985:
2965:
2936:
2913:
2804:
2778:
2752:
2726:
2666:
2642:
2568:
2528:
2506:
2489:is bounded from below,
2483:
2460:
2417:
2397:
2370:
2350:
2326:
2306:
2279:
2259:
2222:
2193:
2159:
2078:
1874:
1854:
1814:
1738:
1710:
1686:
1663:
1643:
1623:
1596:, that converges to a
1590:
1547:
1511:
1491:
1452:
1375:
1355:
1328:, that is, a sequence
1315:
1247:
1217:
1216:{\displaystyle u\in V}
1191:
1147:
1146:{\displaystyle v\in V}
1117:
1062:
1042:
840:Limit of distributions
660:Directional derivative
316:FaĂ di Bruno's formula
114:
6826:
6824:{\displaystyle L^{p}}
6683:
6657:
6631:
6611:
6581:
6534:
6481:
6461:
6441:
6411:
6381:
6320:
6278:
6178:
6150:
6093:
6066:
6042:
6005:
5875:
5783:
5744:
5697:
5668:
5630:
5519:
5490:
5455:
5435:
5409:
5389:
5369:Carathéodory function
5362:
5339:
5258:
5235:
5188:
5168:
5148:
5122:
5092:
5045:
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4972:
4952:
4922:
4892:
4831:
4789:
4689:
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