3701:
2775:
3350:
2243:
3696:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathbf {A} }{dt^{2}}}+{\frac {d}{dt}}(\mathbf {A} \mathbf {\Lambda } ^{*}-\mathbf {\Omega } ^{*}\mathbf {A} )+{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}\mathbf {\Lambda } ^{*}-\mathbf {\Omega } ^{*}{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}+\mathbf {A} \mathbf {\Lambda } ^{*2}+\mathbf {\Omega } ^{*2}\mathbf {A} -2\mathbf {\Omega } ^{*}\mathbf {A} \mathbf {\Lambda } ^{*}\\={}&{-2}\pi G\rho \mathbf {B} \mathbf {A} +{\frac {2p_{c}}{\rho }}\mathbf {A} ^{-1}\end{aligned}}}
2770:{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\frac {a_{1}}{a_{2}}}\Lambda _{3}x_{2}-{\frac {a_{1}}{a_{3}}}\Lambda _{2}x_{3}+{\frac {1}{a_{1}}}{\frac {da_{1}}{dt}}x_{1},\\u_{2}&={\frac {a_{2}}{a_{3}}}\Lambda _{1}x_{3}-{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\Lambda _{3}x_{1}+{\frac {1}{a_{2}}}{\frac {da_{2}}{dt}}x_{2},\\u_{3}&={\frac {a_{3}}{a_{1}}}\Lambda _{2}x_{1}-{\frac {a_{3}}{a_{2}}}\Lambda _{1}x_{2}+{\frac {1}{a_{3}}}{\frac {da_{3}}{dt}}x_{3}.\end{aligned}}}
5167:
4852:
2068:
4875:
59:
said, "In his posthumous paper, edited for publication by
Dedekind, Dirichlet has opened up, in a most remarkable way, an entirely new avenue for investigations on the motion of a self-gravitating homogeneous ellipsoid. The further development of his beautiful discovery has a particular interest to
48:
In the winter of 1856–57, Dirichlet found some solutions of Euler equations and he presented those in his lectures on partial differential equations in July 1857 and published the results in the same month. His work was left unfinished at his sudden death in 1859, but his notes were collated and
2232:
3973:
4700:
5918:
39:
to a system of ordinary differential equations such that the position of a fluid particle in a homogeneous ellipsoid at any time is a linear and homogeneous function of initial position of the fluid particle, using
Lagrangian framework instead of the Eulerian framework.
1922:
5162:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {da_{i}}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j\neq k}(\Lambda _{i}^{2}+\Omega _{i}^{2})(a_{j}^{2}+a_{k}^{2})-2\sum _{i\neq j\neq k}a_{i}a_{j}\Lambda _{k}\Omega _{k}-2\pi G\rho I={\text{constant}}}
2944:
2118:
be the velocity field seen by the observer at rest in the moving frame, which can be regarded as the internal fluid motion since this excludes the uniform rotation seen by the inertial observer. This internal motion is found to given by
1458:
4183:
6104:
3241:
1601:
564:
4274:
1670:
633:
1192:
4450:
2125:
1082:
3758:
4847:{\displaystyle {\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {S} ,\quad {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {\Omega } ^{*}\mathbf {L} ,\quad {\text{and}}\quad \mathbf {S} (0)=\mathbf {L} (0)=\mathbf {I} .}
5259:
3102:
1291:
4689:
1914:
3126:
can be seen to be attributed to the uniform-vorticity motion. The pressure is found to assume a quadratic form, as derived by the equation of motion (and using the vanishing condition at the surface) given by
1805:
293:
1738:
818:
751:
3342:
5410:
3355:
2063:{\displaystyle {\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {S} ,\quad {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {\Omega } ^{*}\mathbf {L} ,\quad \mathbf {S} (0)=\mathbf {L} (0)=\mathbf {I} .}
5595:
4083:
5684:
480:
1342:
2248:
1241:
948:
900:
156:
2116:
1517:
1379:
5647:
4559:
4501:
4363:
5994:
5965:
5676:
4588:
4530:
4392:
2803:
687:
2811:
849:
5943:
3124:
414:
355:
658:
5442:
4639:
4303:
1867:
1836:
1116:
445:
158:
be the semi-axes of the ellipsoid, which varies with time. Since the ellipsoid is homogeneous, the constancy of mass requires the constancy of the volume of the ellipsoid,
4610:
4472:
4325:
3750:
1539:
1480:
502:
1519:
represents a unit normal on the surface of the ellipsoid (true only at the boundary) since a fluid element on the surface moves with the surface. Therefore, we see that
3280:
1384:
4869:
The tensor momentum equation admits three integrals, with regards to conservation of energy, angular momentum and circulation. The energy integral is found to be
5618:
3724:
4088:
6002:
3133:
1544:
507:
4197:
1609:
572:
2227:{\displaystyle \mathbf {u} =\left(\mathbf {A} \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {A} ^{-1}+{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}\mathbf {A} ^{-1}\right)\mathbf {x} }
1124:
4397:
3968:{\displaystyle B_{i}=a_{1}a_{2}a_{3}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a_{i}^{2}+u)\Delta }},\quad \Delta ^{2}=(a_{1}^{2}+u)(a_{2}^{2}+u)(a_{3}^{2}+u).}
956:
6154:
Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and
Applied Mathematics, 20(2), 251–265.
4861:
and its adjoint is called as
Dedekind ellipsoid, in other words, both ellipsoid have same shape, but their internal fluid motions are different.
5178:
2958:
4331:
for any state of motions that preserves a ellipsoidal figure, there is an adjoint state of motions that preserves the same ellipsoidal figure
1246:
4647:
1872:
1743:
164:
1679:
756:
692:
3285:
60:
the mathematician even apart from its relevance to the forms of heavenly bodies which initially instigated these investigations."
5270:
36:
5913:{\displaystyle \sum _{i\neq j\neq k}^{2}=\sum _{i\neq j\neq k}a_{i}^{2}a_{j}^{2}(2\Omega _{k}+\zeta _{k})^{2}={\text{constant}}}
6240:
5450:
3981:
24:
1541:
transforms one unit vector on the boundary to another unit vector on the boundary, in other words, it is orthogonal, i.e.,
450:
1296:
1200:
905:
857:
75:
2077:
1485:
1347:
1118:
with diagonal elements being the semi-axes of the ellipsoid, then above equation can be written in matrix form as
854:
Without loss of generality, let us assume that the inertial frame and the moving frame coincide initially, i.e.,
902:. By definition, Dirichlet's problem is looking for a solution which is a linear function of initial condition
2939:{\displaystyle \zeta _{k}=-{\frac {a_{i}^{2}+a_{j}^{2}}{a_{i}a_{j}}}\Lambda _{k},\quad (i\neq j\neq k\neq i).}
5623:
4535:
4477:
4339:
6235:
5970:
5948:
5652:
4564:
4506:
4368:
2786:
663:
823:
3727:
5926:
3107:
360:
301:
6230:
2951:
641:
4276:
is admissible under the conditions of
Dirichlet's problem, then the motion determined by the transpose
6215:
Norman R. Lebovitz (1965), The
Riemann ellipsoids (lecture notes, Inst. Ap., Cointe-Sclessin, Belgium)
5418:
4615:
4279:
1841:
1810:
1090:
851:
is nothing but the time-dependent rotation of the rotating frame with respect to the inertial frame.
419:
6115:
4593:
4455:
4308:
3733:
1522:
1463:
485:
3249:
1453:{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {x} =\mathbf {S} \mathbf {A} _{0}^{-1}\mathbf {x} (0)}
6120:
4858:
69:
56:
50:
31:
configuration at all times of a homogeneous rotating fluid mass in which the motion, in an
2780:
These three components show that the internal motion is composed of two parts: one with a
4178:{\displaystyle a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ p_{c},\ \mathbf {\Lambda } ,\ \mathbf {\Omega } .}
6099:{\displaystyle \Gamma _{k}=\pi a_{i}a_{j}(2\Omega _{k}+\zeta _{k}),\quad i\neq j\neq k.}
5603:
3709:
32:
3236:{\displaystyle p=p_{c}(t)\left(1-\sum _{i=1}^{3}{\frac {x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}}\right)}
1596:{\displaystyle \mathbf {S} \mathbf {S} ^{T}=\mathbf {S} ^{T}\mathbf {S} =\mathbf {I} }
559:{\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {L} ^{T}=\mathbf {L} ^{T}\mathbf {L} =\mathbf {I} }
6224:
4269:{\displaystyle \mathbf {X} (t)=\mathbf {P} (t)\mathbf {A} _{0}^{-1}\mathbf {x} (0)}
1665:{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}={\frac {d\mathbf {S} }{dt}}\mathbf {S} ^{T}}
6163:
Lebovitz, N. R. (1998). The mathematical development of the classical ellipsoids.
1807:). The Dirichlet's ellipsoidal problem then reduces to finding whether the matrix
628:{\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\mathbf {L} ^{T}}
1603:. In a similar manner as before, we can define another anti-symmetric matrix as
1187:{\displaystyle \mathbf {X} (t)=\mathbf {P} \mathbf {A} _{0}^{-1}\mathbf {x} (0)}
35:, is a linear function of the coordinates. Dirichlet's basic idea was to reduce
4445:{\displaystyle \mathbf {A} ,\ \mathbf {\Lambda } ^{*},\ \mathbf {\Omega } ^{*}}
4336:
By taking transpose of the tensor momentum equation, one sees that the role of
1077:{\displaystyle X_{i}(t)=\sum _{j=1}^{3}P_{ij}(t){\frac {x_{j}(0)}{a_{j}(0)}}.}
28:
5254:{\displaystyle I=a_{1}a_{2}a_{3}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{\Delta }}.}
3978:
The tensor momentum equation and the conservation of mass equation, i.e.,
3097:{\displaystyle (x_{1}d\ln a_{1}/dt,x_{2}d\ln a_{2}/dt,x_{3}d\ln a_{3}/dt)}
5996:, where thye circulation components (in the inertial frame) are given by
6204:Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite.
5620:
is the total mass. Since the problem is invariant to the interchange of
1286:{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {L} \mathbf {P} }
4684:{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {S} }
1909:{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {S} }
1869:
and that it is expressible in terms of two orthogonal matrices as in
1800:{\displaystyle 2\Lambda _{i}=\varepsilon _{ijk}\Lambda _{jk}^{*}}
288:{\displaystyle a_{1}(t)a_{2}(t)a_{3}(t)=a_{1}(0)a_{2}(0)a_{3}(0)}
1733:{\displaystyle \Lambda _{ij}^{*}=\varepsilon _{ijk}\Lambda _{k}}
813:{\displaystyle 2\Omega _{i}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}^{*}}
746:{\displaystyle \Omega _{ij}^{*}=\varepsilon _{ijk}\Omega _{k}}
72:
in 1860 and by Norman R. Lebovitz in modern form in 1965. Let
3337:{\displaystyle \nabla p=-2p_{c}\mathbf {A} ^{-2}\mathbf {x} }
3344:. Substituting this back in the equation of motion leads to
5405:{\displaystyle \sum _{i\neq j\neq k}^{2}={\text{constant}}}
4641:. The following relations confirms the previous statement.
3752:
is diagonal matrix, whose diagonal elements are given by
5590:{\displaystyle L_{i}={\frac {M}{5}},\quad i\neq j\neq k}
4078:{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}=a_{1}(0)a_{2}(0)a_{3}(0)}
298:
same as the initial volume. Consider an inertial frame
6005:
5973:
5951:
5929:
5687:
5655:
5626:
5606:
5453:
5444:, where the angular momentum components are given by
5421:
5273:
5181:
4878:
4703:
4650:
4618:
4596:
4567:
4538:
4509:
4480:
4458:
4400:
4371:
4342:
4311:
4282:
4200:
4091:
4085:
provides us with ten equations for the ten unknowns,
3984:
3761:
3736:
3712:
3353:
3288:
3252:
3136:
3110:
2961:
2814:
2789:
2246:
2128:
2080:
1925:
1875:
1844:
1813:
1746:
1682:
1612:
1547:
1525:
1488:
1466:
1387:
1350:
1299:
1249:
1203:
1127:
1093:
959:
908:
860:
826:
759:
695:
666:
644:
575:
510:
488:
475:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {L} \mathbf {X} }
453:
422:
363:
304:
167:
78:
6145:(Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.
1337:{\displaystyle \mathbf {A} _{0}^{-1}\mathbf {x} (0)}
566:. We can define an anti-symmetric matrix with this,
6098:
5988:
5959:
5937:
5912:
5670:
5641:
5612:
5589:
5436:
5404:
5253:
5161:
4846:
4683:
4633:
4604:
4582:
4553:
4524:
4495:
4466:
4444:
4386:
4357:
4319:
4297:
4268:
4177:
4077:
3967:
3744:
3718:
3695:
3336:
3274:
3235:
3118:
3096:
2938:
2797:
2769:
2226:
2110:
2062:
1908:
1861:
1830:
1799:
1732:
1664:
1595:
1533:
1511:
1474:
1452:
1373:
1336:
1285:
1235:
1186:
1110:
1076:
942:
894:
843:
812:
745:
681:
652:
627:
558:
496:
474:
439:
408:
349:
287:
150:
4857:The typical configuration of this theorem is the
4474:, there exists another solution with the role of
6191:Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik
1236:{\displaystyle \mathbf {A} _{0}=\mathbf {A} (0)}
27:, asks under what conditions there can exist an
6178:Nach. von der König. Gesell. der Wiss. zu Gött.
943:{\displaystyle \mathbf {X} (0)=\mathbf {x} (0)}
895:{\displaystyle \mathbf {X} (0)=\mathbf {x} (0)}
5967:. This integral signifies the conservation of
1344:linearly to the same vector at any later time
151:{\displaystyle a_{1}(t),\ a_{2}(t),\ a_{3}(t)}
4329:In other words, the theorem can be stated as
2111:{\displaystyle \mathbf {u} =d\mathbf {x} /dt}
1512:{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {x} }
1374:{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {x} }
8:
6165:International journal of engineering science
4394:are interchanged. If there is solution for
2237:whose components, explicitly, are given by
447:being the linear transformation such that
6137:
6135:
6065:
6052:
6036:
6026:
6010:
6004:
5980:
5975:
5972:
5952:
5950:
5930:
5928:
5905:
5896:
5886:
5873:
5857:
5852:
5842:
5837:
5815:
5802:
5792:
5782:
5772:
5756:
5743:
5738:
5725:
5720:
5692:
5686:
5662:
5657:
5654:
5633:
5628:
5625:
5605:
5559:
5549:
5539:
5523:
5510:
5505:
5492:
5487:
5467:
5458:
5452:
5428:
5423:
5420:
5397:
5388:
5378:
5368:
5358:
5342:
5329:
5324:
5311:
5306:
5278:
5272:
5233:
5227:
5222:
5212:
5202:
5192:
5180:
5154:
5127:
5117:
5107:
5097:
5075:
5056:
5051:
5038:
5033:
5017:
5012:
4999:
4994:
4969:
4955:
4946:
4925:
4915:
4904:
4893:
4879:
4877:
4836:
4819:
4802:
4796:
4787:
4781:
4776:
4756:
4750:
4741:
4735:
4730:
4710:
4704:
4702:
4676:
4671:
4665:
4660:
4651:
4649:
4625:
4620:
4617:
4597:
4595:
4574:
4569:
4566:
4545:
4540:
4537:
4516:
4511:
4508:
4487:
4482:
4479:
4459:
4457:
4436:
4431:
4418:
4413:
4401:
4399:
4378:
4373:
4370:
4349:
4344:
4341:
4312:
4310:
4289:
4284:
4281:
4252:
4243:
4238:
4233:
4218:
4201:
4199:
4167:
4156:
4144:
4128:
4112:
4096:
4090:
4060:
4041:
4022:
4009:
3999:
3989:
3983:
3947:
3942:
3920:
3915:
3893:
3888:
3872:
3843:
3838:
3820:
3814:
3809:
3799:
3789:
3779:
3766:
3760:
3737:
3735:
3711:
3680:
3675:
3662:
3652:
3644:
3639:
3622:
3618:
3605:
3600:
3594:
3588:
3583:
3571:
3562:
3557:
3544:
3539:
3533:
3514:
3508:
3502:
3497:
3487:
3482:
3465:
3459:
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3442:
3437:
3427:
3422:
3416:
3398:
3386:
3372:
3366:
3359:
3354:
3352:
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3320:
3315:
3308:
3287:
3257:
3251:
3220:
3215:
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3200:
3194:
3188:
3177:
3147:
3135:
3111:
3109:
3080:
3074:
3055:
3037:
3031:
3012:
2994:
2988:
2969:
2960:
2896:
2883:
2873:
2861:
2856:
2843:
2838:
2831:
2819:
2813:
2790:
2788:
2754:
2733:
2723:
2715:
2706:
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2675:
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2659:
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2052:
2035:
2018:
2009:
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1812:
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1301:
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907:
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825:
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708:
700:
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665:
645:
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577:
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537:
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522:
517:
511:
509:
489:
487:
467:
462:
454:
452:
423:
421:
397:
384:
371:
362:
338:
325:
312:
303:
270:
251:
232:
210:
191:
172:
166:
133:
108:
83:
77:
3104:. Particularly, the physical meaning of
6206:Verlag der Dieterichschen Buchhandlung.
6131:
5953:
5642:{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}}
4554:{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}}
4496:{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}}
4358:{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}}
2791:
6193:(Vol. 8). Dieterichschen Buchhandlung.
5989:{\displaystyle \mathbf {\Gamma } ^{2}}
5960:{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}
5671:{\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}
4583:{\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}
4525:{\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}
4387:{\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}
2798:{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}
682:{\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{*}}
68:Dirichlet's problem is generalized by
5923:where we substituted the formula for
5678:, from the above integral, we obtain
844:{\displaystyle \mathbf {\Omega } (t)}
7:
5415:which signifies the conservation of
1243:. It can shown then that the matrix
950:. Let us assume the following form,
5938:{\displaystyle \mathbf {\Lambda } }
3119:{\displaystyle \mathbf {\Lambda } }
409:{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}
350:{\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3})}
6143:Ellipsoidal figures of equilibrium
6049:
6007:
5870:
5789:
5753:
5556:
5520:
5375:
5339:
5243:
5228:
5124:
5114:
5009:
4991:
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3858:
3815:
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2893:
2684:
2637:
2512:
2465:
2340:
2293:
1838:exists that determines the vector
1780:
1751:
1721:
1684:
793:
764:
734:
697:
653:{\displaystyle \mathbf {\Omega } }
14:
5945:in terms of the vorticity vector
3282:is the central pressure, so that
5976:
5931:
5658:
5629:
5437:{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}
5424:
4837:
4820:
4803:
4788:
4777:
4757:
4742:
4731:
4711:
4677:
4672:
4661:
4652:
4634:{\displaystyle \mathbf {P} ^{T}}
4621:
4598:
4570:
4541:
4532:interchanged. But interchanging
4512:
4483:
4460:
4432:
4414:
4402:
4374:
4345:
4313:
4298:{\displaystyle \mathbf {P} ^{T}}
4285:
4253:
4234:
4219:
4202:
4168:
4157:
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3645:
3640:
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3595:
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3540:
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3483:
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3373:
3330:
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3112:
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2201:
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2149:
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2130:
2093:
2082:
2053:
2036:
2019:
2010:
1999:
1979:
1964:
1953:
1933:
1902:
1897:
1886:
1877:
1846:
1815:
1652:
1635:
1615:
1589:
1581:
1570:
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1549:
1527:
1505:
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1437:
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1404:
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1367:
1353:
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1274:
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1251:
1220:
1206:
1171:
1152:
1146:
1129:
1095:
1087:and we define a diagonal matrix
927:
910:
879:
862:
828:
669:
646:
615:
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5571:
4801:
4795:
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3867:
2905:
2017:
1971:
1862:{\displaystyle \mathbf {X} (t)}
1831:{\displaystyle \mathbf {P} (t)}
1111:{\displaystyle \mathbf {A} (t)}
440:{\displaystyle \mathbf {L} (t)}
21:Dirichlet's ellipsoidal problem
6071:
6042:
5893:
5863:
5799:
5749:
5713:
5710:
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3932:
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3905:
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3263:
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3153:
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2930:
2906:
2046:
2040:
2029:
2023:
1856:
1850:
1825:
1819:
1447:
1441:
1331:
1325:
1230:
1224:
1181:
1175:
1139:
1133:
1105:
1099:
1065:
1059:
1044:
1038:
1022:
1016:
976:
970:
937:
931:
920:
914:
889:
883:
872:
866:
838:
832:
434:
428:
403:
364:
344:
305:
282:
276:
263:
257:
244:
238:
222:
216:
203:
197:
184:
178:
145:
139:
120:
114:
95:
89:
25:Peter Gustav Lejeune Dirichlet
1:
1676:where its dual is defined as
6189:Dirichlet, P. G. L. (1860).
4605:{\displaystyle \mathbf {P} }
4467:{\displaystyle \mathbf {A} }
4320:{\displaystyle \mathbf {P} }
3745:{\displaystyle \mathbf {B} }
1534:{\displaystyle \mathbf {S} }
1482:, we can realize the vector
1475:{\displaystyle \mathbf {A} }
638:where we can write the dual
497:{\displaystyle \mathbf {L} }
64:Riemann–Lebovitz formulation
5264:Next, we have the integral
4590:is equivalent to replacing
6257:
6141:Chandrasekhar, S. (1969).
4194:if a motion determined by
1460:. From the definition of
3275:{\displaystyle p_{c}(t)}
53:posthumously in 1860.
16:Problem in hydrodynamics
4187:
6241:Equations of astronomy
6176:Dirichlet G. Lejeune,
6100:
5990:
5961:
5939:
5914:
5672:
5643:
5614:
5591:
5438:
5406:
5255:
5163:
4909:
4848:
4685:
4635:
4606:
4584:
4555:
4526:
4497:
4468:
4446:
4388:
4359:
4321:
4299:
4270:
4179:
4079:
3969:
3746:
3728:gravitational constant
3720:
3697:
3338:
3276:
3237:
3193:
3120:
3098:
2940:
2799:
2771:
2228:
2112:
2064:
1910:
1863:
1832:
1801:
1734:
1666:
1597:
1535:
1513:
1476:
1454:
1375:
1338:
1293:transforms the vector
1287:
1237:
1188:
1112:
1078:
1002:
944:
896:
845:
814:
747:
683:
654:
629:
560:
498:
476:
441:
410:
351:
289:
152:
6101:
5991:
5962:
5940:
5915:
5673:
5644:
5615:
5592:
5439:
5407:
5256:
5164:
4889:
4849:
4686:
4636:
4607:
4585:
4556:
4527:
4498:
4469:
4447:
4389:
4360:
4322:
4300:
4271:
4180:
4080:
3970:
3747:
3721:
3698:
3339:
3277:
3238:
3173:
3121:
3099:
2952:stagnation point flow
2949:and the other with a
2941:
2800:
2772:
2229:
2113:
2065:
1911:
1864:
1833:
1802:
1735:
1667:
1598:
1536:
1514:
1477:
1455:
1376:
1339:
1288:
1238:
1189:
1113:
1079:
982:
945:
897:
846:
815:
748:
684:
655:
630:
561:
504:is orthogonal, i.e.,
499:
482:and it is clear that
477:
442:
411:
357:and a rotating frame
352:
290:
153:
6202:Riemann, B. (1860).
6167:, 36(12), 1407–1420.
6003:
5971:
5949:
5927:
5685:
5653:
5624:
5604:
5451:
5419:
5271:
5179:
4876:
4701:
4648:
4616:
4594:
4565:
4536:
4507:
4478:
4456:
4452:, then for the same
4398:
4369:
4340:
4309:
4280:
4198:
4089:
3982:
3759:
3734:
3710:
3351:
3286:
3250:
3134:
3108:
2959:
2812:
2787:
2244:
2126:
2078:
1923:
1873:
1842:
1811:
1744:
1680:
1610:
1545:
1523:
1486:
1464:
1385:
1348:
1297:
1247:
1201:
1125:
1091:
957:
906:
858:
824:
757:
693:
664:
642:
573:
508:
486:
451:
420:
361:
302:
165:
76:
6116:Maclaurin ellipsoid
5862:
5847:
5748:
5730:
5515:
5497:
5334:
5316:
5232:
5061:
5043:
5022:
5004:
4327:is also admissible.
4251:
3952:
3925:
3898:
3848:
3819:
3225:
3210:
2866:
2848:
1796:
1700:
1435:
1319:
1169:
809:
713:
6096:
5986:
5957:
5935:
5910:
5848:
5833:
5832:
5734:
5716:
5709:
5668:
5639:
5610:
5587:
5501:
5483:
5434:
5402:
5320:
5302:
5295:
5251:
5218:
5159:
5092:
5047:
5029:
5008:
4990:
4986:
4844:
4681:
4631:
4602:
4580:
4551:
4522:
4493:
4464:
4442:
4384:
4355:
4317:
4295:
4266:
4232:
4188:Dedekind's theorem
4175:
4075:
3965:
3938:
3911:
3884:
3834:
3805:
3742:
3716:
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