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36:
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1100:
4939:
111:
2886:
963:
as well as positive, although often the term is restricted to positive divisors. For example, there are six divisors of 4; they are 1, 2, 4, −1, −2, and −4, but only the positive ones (1, 2, and 4) would usually be mentioned.
3520:
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3236:
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2588:; the eight divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 and 42. However, the number of positive divisors is not a totally multiplicative function: if the two numbers
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92:
This article is about an integer that is a factor of another integer. For a number used to divide another number in a division operation, see
3989:
3778:
967:
1 and −1 divide (are divisors of) every integer. Every integer (and its negation) is a divisor of itself. Integers divisible by 2 are called
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2881:{\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}
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4278:"FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois"
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2192:. Equivalently, a prime number is a positive integer that has exactly two positive factors: 1 and itself.
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In definitions that allow the divisor to be 0, the relation of divisibility turns the set
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3650:. The largest element of this lattice is 0 and the smallest is 1. The meet operation
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that allow one to recognize certain divisors of a number from the number's digits.
1081:
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123:
3549:. One interpretation of this result is that a randomly chosen positive integer
5096:
5091:
4938:
4576:
4465:
4422:, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
110:
3515:{\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}
3008:{\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}
4959:
4924:
4445:
3231:{\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}
17:
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4236:
4234:
4045:{\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}
3834:{\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}
412:
181:
2581:{\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}
4928:
4792:
109:
3138:{\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}
4897:
4477:
29:
1305:
103:"Divisible" redirects here. For divisibility of groups, see
1184:
The non-trivial divisors of 6 are 2, −2, 3, −3.
1103:
Plot of the number of divisors of integers from 1 to 1000.
4221:
4219:
3710:– A table of prime and non-prime divisors for 1–1000
1187:
The positive divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
4240:
4109:{\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c}
3898:{\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c}
809:
With the convention without an additional constraint on
2628:
share a common divisor, then it might not be true that
1177:
It can also be said that 42 is divisible by 7, 42 is a
4172:
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4057:
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However, this is a result from the contributions of
1288:{\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}
785:
There are two conventions, distinguished by whether
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2239:raised to some power. This is a consequence of the
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203:that may be multiplied by some integer to produce
195:
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4173:
1854:
2274:if the sum of its proper divisors is less than
2129:but leaves a remainder is sometimes called an
4909:
4489:
2270:if it equals the sum of its proper divisors,
971:, and integers not divisible by 2 are called
8:
1279:
1207:
1068:that is not a trivial divisor is known as a
4293:
4225:
3716:– A table of prime factors for 1–1000
3553:has an average number of divisors of about
3280:{\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}
2888:). Both of these functions are examples of
2188:whose only proper divisor is 1 is called a
1181:of 7, 7 divides 42, or 7 is a factor of 42.
27:Integer that is a factor of another integer
4916:
4902:
4894:
4496:
4482:
4474:
4428:Abstract Algebra: A Computational Approach
4376:, New York: Macmillan Publishing Company,
4171:
4120:
4056:
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2326:The total number of positive divisors of
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162:
135:
80:Learn how and when to remove this message
4399:An Introduction to the Theory of Numbers
4367:(4th ed.). Oxford University Press.
4364:An Introduction to the Theory of Numbers
4152:{\displaystyle \Rightarrow a\mid (b-c).}
3941:{\displaystyle \Rightarrow a\mid (b+c).}
3018:then the number of positive divisors of
1098:
43:This article includes a list of general
4203:
3731:
3584:numbers with "abnormally many" divisors
4264:
4241:Niven, Zuckerman & Montgomery 1991
4210:
3148:and each of the divisors has the form
2686:{\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}
2483:{\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}
3384:{\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}
7:
4267:, p. 57, Chapter III Section 10
4252:
3666:. This lattice is isomorphic to the
2693:The sum of the positive divisors of
114:The divisors of 10 illustrated with
4504:Divisibility-based sets of integers
4430:, New York: John Wiley & Sons,
2713:is another multiplicative function
4337:Unsolved Problems in Number Theory
4061:
4021:
3996:
3850:
3810:
3785:
434:is divisible by a nonzero integer
49:it lacks sufficient corresponding
25:
4542:Fundamental theorem of arithmetic
4317:(6th ed.). New York: Wiley.
3980:{\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}
3769:{\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}
2241:fundamental theorem of arithmetic
1318:There are some elementary rules:
226:In this case, one also says that
4968:
4937:
4550:
1194:of all positive divisors of 60,
34:
4314:Modern Algebra: An Introduction
4143:
4131:
4122:
4088:
4076:
4058:
3993:
3932:
3920:
3911:
3877:
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3847:
3782:
3506:
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3406:
3362:
3356:
3315:{\displaystyle 1\leq i\leq k.}
3129:
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2500:
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2435:
2381:meaning that when two numbers
2365:
2359:
1869:
1857:
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1724:
1646:
1634:
1608:
1596:
1084:have no non-trivial divisors.
1:
3648:complete distributive lattice
1144:{\displaystyle 7\times 6=42,}
1116:7 is a divisor of 42 because
1107:have exactly 2 divisors, and
776:{\displaystyle m\not \mid n.}
3631:{\displaystyle \mathbb {N} }
1884:{\displaystyle \gcd(a,b)=1,}
1655:{\displaystyle a\mid (b-c).}
4450:. New York: Facts on File.
4447:Encyclopedia of mathematics
1748:{\displaystyle (a+c)\mid b}
1614:{\displaystyle a\mid (b+c)}
1406:that is, divisibility is a
454:if there exists an integer
5144:
4296:, p. 264, Theorem 320
3609:
3601:Divisibility (ring theory)
3598:
2735:{\displaystyle \sigma (n)}
1759:always hold (for example,
928:for every nonzero integer
102:
91:
5008:
4966:
4935:
4739:Superior highly composite
4548:
4426:Sims, Charles C. (1984),
4393:; Zuckerman, Herbert S.;
3547:Euler–Mascheroni constant
1840:{\displaystyle a\mid bc,}
1811:but 5 does not divide 6).
1314:Further notions and facts
1298:by divisibility, has the
1170:{\displaystyle 7\mid 42.}
882:With the convention that
805:is permitted to be zero:
541:This may be read as that
5123:Elementary number theory
4636:Constrained divisor sums
4372:Herstein, I. N. (1986),
4361:; Wright, E. M. (1960).
4311:Durbin, John R. (2009).
2195:Any positive divisor of
2024:{\displaystyle p\mid b.}
1969:{\displaystyle p\mid ab}
1913:{\displaystyle a\mid c.}
1710:{\displaystyle c\mid b,}
1576:{\displaystyle a\mid c,}
1461:{\displaystyle b\mid a,}
1399:{\displaystyle a\mid c;}
1370:{\displaystyle b\mid c,}
1109:highly composite numbers
531:{\displaystyle m\mid n.}
363:; this implies dividing
98:Divisor (disambiguation)
4294:Hardy & Wright 1960
4226:Hardy & Wright 1960
4188:greatest common divisor
3658:and the join operation
3656:greatest common divisor
3538:{\displaystyle \gamma }
2348:multiplicative function
2053:that is different from
1995:{\displaystyle p\mid a}
1804:{\displaystyle 3\mid 6}
1778:{\displaystyle 2\mid 6}
1681:{\displaystyle a\mid b}
1547:{\displaystyle a\mid b}
1432:{\displaystyle a\mid b}
1341:{\displaystyle a\mid b}
921:{\displaystyle m\mid 0}
850:{\displaystyle m\mid 0}
64:more precise citations.
5128:Division (mathematics)
4444:Tanton, James (2005).
4180:
4153:
4110:
4046:
3981:
3942:
3899:
3835:
3770:
3714:Table of prime factors
3698:Fraction (mathematics)
3632:
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3575:{\displaystyle \ln n.}
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2181:{\displaystyle n>1}
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2067:
2047:
2033:A positive divisor of
2025:
1996:
1970:
1947:is a prime number and
1941:
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220:
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174:
147:
119:
96:. For other uses, see
94:Division (mathematics)
4517:Integer factorization
4403:John Wiley & Sons
4181:
4179:{\displaystyle \gcd }
4154:
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3703:Integer factorization
3664:least common multiple
3644:partially ordered set
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1519:{\displaystyle a=-b.}
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4729:Colossally abundant
4560:Factorization forms
4395:Montgomery, Hugh L.
3693:Euclidean algorithm
3590:In abstract algebra
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3202:
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506:This is written as
303:by another integer
4945:Division and ratio
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4702:With many divisors
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3708:Table of divisors
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2046:{\displaystyle n}
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1296:partially ordered
1061:{\displaystyle n}
1021:are known as the
991:{\displaystyle n}
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681:{\displaystyle n}
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316:{\displaystyle m}
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239:{\displaystyle n}
196:{\displaystyle m}
118:: 1, 2, 5, and 10
90:
89:
82:
16:(Redirected from
5135:
5087:Musical interval
5000:
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4754:Aliquot sequence
4734:Highly composite
4658:Multiply perfect
4554:
4532:Divisor function
4498:
4491:
4484:
4475:
4469:
4440:
4416:
4401:(5th ed.).
4386:
4374:Abstract Algebra
4368:
4353:
4339:(3rd ed.),
4328:
4324:978-0470-38443-5
4297:
4291:
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3674:of the infinite
3654:is given by the
3642:integers into a
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3606:Division lattice
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3003:
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