3389:
2944:
3384:{\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&{\frac {1}{2}}i(\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&\gamma \delta -\alpha \beta \\{\frac {1}{2}}i(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+\beta ^{2}+\delta ^{2})&-i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\\beta \delta -\alpha \gamma &i(\alpha \gamma +\beta \delta )&\alpha \delta +\beta \gamma \end{pmatrix}}{\vec {x}}.}
2339:
2715:
4721:
1335:
2037:
563:
2361:
1597:
895:
2334:{\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-ib\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-ic\ {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-id\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&=a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z},\end{aligned}}}
767:
2710:{\displaystyle X^{\prime }\equiv (x_{1}^{\prime }\sigma _{x}+x_{2}^{\prime }\sigma _{y}+x_{3}^{\prime }\sigma _{z})=U\;X\;U^{\dagger }=(a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z})(x_{1}\sigma _{x}+x_{2}\sigma _{y}+x_{3}\sigma _{z})(a\,I+ib\,\sigma _{x}+ic\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z})}
189:
3964:
1419:
2933:
1330:{\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}}
607:
2026:
558:{\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.}
1853:
1592:{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}}
3843:
2811:
3848:
2816:
2042:
1424:
900:
167:
3507:
therefore corresponds to the transpose of the Euler–Rodrigues matrix given at the head of this article, or, equivalently, to the Euler–Rodrigues matrix for an active rotation of
1608:
is increased by a full rotation of 360 degrees, the arguments of sine and cosine only increase by 180 degrees. The resulting parameters are the opposite of the original values,
2755:
1900:
1750:
3816:
3528:
3548:
4168:
4148:
4108:
4046:
4026:
3986:
3769:
3749:
3709:
4128:
4006:
3729:
3629:
3602:
3575:
4466:
4208:
4188:
4086:
4066:
3836:
3789:
3689:
3669:
3649:
3505:
2791:
4412:
762:{\displaystyle {\vec {x}}'=a^{2}{\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)}
1902:. In other words, the group of unit quaternions with multiplication, modulo the negative sign, is isomorphic to the group of rotations with composition.
4706:
1927:
4571:
3478:
4616:
3415:
4212:
The parametrization here accords with that used in eg
Sakurai and Napolitano (2020), p. 165, and Altmann (1986), eqn. 5 p. 113 / eqn. 9 p. 117.
4396:
E. Pennestrì, P.P. Valentini, G. Figliolini, J. Angeles (2016), "Dual Cayley–Klein parameters and Möbius transform: Theory and applications",
4747:
4631:
4442:
817:
describe the same rotation. Apart from this symmetry, every set of four parameters describes a unique rotation in three-dimensional space.
4656:
3968:
In consequence, while his formula (4-64) is identical symbol-by-symbol to the transformation matrix given here, using his definitions for
4666:
1765:
4488:
4238:
3482:
3474:
3959:{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\;\;a+di&\beta &=c+bi\\\gamma &=-c+bi&\delta &=a-di\end{aligned}}}
4676:
3420:
1858:
Most importantly, the above equations for composition of rotations are precisely the equations for multiplication of quaternions
889:
be the Euler parameters of two rotations. The parameters for the compound rotation (rotation 2 after rotation 1) are as follows:
4701:
2928:{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a-di&\beta &=-c-bi\\\gamma &=c-bi&\delta &=\ a+di\end{aligned}}}
4646:
4380:
1360:
4541:
4611:
4270:
55:
40:
4752:
4564:
2720:
Thus, the Euler parameters are the real and imaginary coordinates in an SU(2) matrix corresponding to an element of the
4601:
4591:
4361:
3430:
4661:
4626:
4606:
4596:
3445:
100:
4433:
4636:
3451:
3399:
4757:
4725:
4557:
62:), a method of calculating the position of a rotated point, is used in some software applications, such as
4696:
4248:
1371:
Any central rotation in three dimensions is uniquely determined by its axis of rotation (represented by a
4313:
2731:
2758:
1861:
4651:
1699:
3794:
2717:, which it can be confirmed by multiplying out gives the Euler–Rodrigues formula as stated above.
4460:
4671:
4641:
3510:
4537:
4525:
4499:
4484:
4448:
4438:
4375:
4234:
3533:
3440:
3395:
2352:
601:
parameter. In standard vector notation, the
Rodrigues rotation formula takes the compact form
4153:
4133:
4093:
4031:
4011:
3971:
3754:
3734:
3694:
1921:
matrices. The SU(2)-matrix corresponding to a rotation, in terms of its Euler parameters, is
4503:
4404:
4325:
4113:
3991:
3714:
2725:
63:
59:
4271:"Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana"
3607:
3580:
3553:
4293:
17:
4408:
4330:
4681:
4580:
4226:
4193:
4173:
4071:
4051:
3821:
3774:
3674:
3654:
3634:
3490:
2776:
51:
4314:"Euler–Rodrigues formula variations, quaternion conjugation and intrinsic connections"
4741:
4691:
4428:
2798:
4686:
4416:
2938:
In terms of these parameters the Euler–Rodrigues formula can then also be written
4281:
4521:
4353:
3403:
2802:
2021:{\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}.}
1372:
28:
4452:
2721:
1674:
4508:
2762:
1911:
32:
4262:
Computer-Aided
Analysis and Optimization of Mechanical Systems Dynamics
67:
39:
describes the rotation of a vector in three dimensions. It is based on
4378:(1980), "The Cayley-Klein Parameters and Related Quantities". §4-5 in
3425:
1756:
1413:. The Euler parameters for this rotation are calculated as follows:
2724:
Spin(3), which maps by a double cover mapping to a rotation in the
4088:
above lead to the (active) Euler–Rodrigues matrix presented here.
3435:
1914:
4549:
78:
A rotation about the origin is represented by four real numbers,
1917:
can be used to represent three-dimensional rotations in complex
4553:
1848:{\displaystyle \left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}
2447:
2419:
2391:
2370:
1673:
The Euler parameters can be viewed as the coefficients of a
1631:
In particular, the identity transformation (null rotation,
825:
The composition of two rotations is itself a rotation. Let
4269:
Garza, Eduardo; Pacheco
Quintanilla, M. E. (June 2011).
2973:
2213:
2162:
2114:
2066:
1942:
218:
4196:
4176:
4156:
4136:
4116:
4096:
4074:
4054:
4034:
4014:
3994:
3974:
3846:
3824:
3797:
3777:
3757:
3737:
3717:
3697:
3677:
3657:
3637:
3610:
3583:
3556:
3550:. Taking this into account, it is apparent that his
3536:
3513:
3493:
2947:
2814:
2779:
2734:
2364:
2040:
1930:
1864:
1768:
1702:
1693:
are the imaginary parts. Thus we have the quaternion
1422:
1340:
It is straightforward, though tedious, to check that
898:
610:
192:
103:
1658:. Rotations of 180 degrees about any axis result in
3398:used the parameters extensively in connection with
4202:
4182:
4162:
4142:
4122:
4102:
4080:
4060:
4040:
4020:
4000:
3980:
3958:
3830:
3810:
3783:
3763:
3743:
3723:
3703:
3683:
3663:
3643:
3623:
3596:
3569:
3542:
3522:
3499:
3383:
2927:
2785:
2749:
2709:
2333:
2020:
1894:
1847:
1744:
1591:
1329:
761:
557:
172:When the rotation is applied, a point at position
161:
4532:, vol 1. (Teubner, 1897). Translated (2008) as:
4090:Pennestrì et al (2016) similarly define their
4068:, whereas the definitions based on the matrix
3485:(covariant, or "alibi") transformation here.
3481:, or "alias") transformation, rather than the
4565:
4384:, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. p. 153
8:
2757:as the unique three-dimensional irreducible
4392:
4390:
4371:
4369:
3406:in their discussion of gyroscope dynamics.
4572:
4558:
4550:
4465:: CS1 maint: location missing publisher (
3862:
3861:
3469:
3467:
2475:
2471:
162:{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}
4329:
4195:
4175:
4155:
4135:
4115:
4095:
4073:
4053:
4033:
4013:
3993:
3973:
3847:
3845:
3823:
3802:
3796:
3776:
3756:
3736:
3716:
3696:
3676:
3656:
3636:
3615:
3609:
3588:
3582:
3561:
3555:
3535:
3512:
3492:
3367:
3366:
3258:
3245:
3232:
3219:
3202:
3191:
3178:
3165:
3152:
3132:
3102:
3089:
3076:
3063:
3043:
3032:
3019:
3006:
2993:
2976:
2968:
2950:
2949:
2946:
2815:
2813:
2778:
2741:
2737:
2736:
2733:
2698:
2693:
2678:
2673:
2658:
2653:
2640:
2625:
2615:
2602:
2592:
2579:
2569:
2553:
2548:
2533:
2528:
2513:
2508:
2495:
2480:
2456:
2446:
2441:
2428:
2418:
2413:
2400:
2390:
2385:
2369:
2363:
2318:
2313:
2298:
2293:
2278:
2273:
2260:
2208:
2157:
2109:
2061:
2041:
2039:
1937:
1929:
1886:
1881:
1875:
1863:
1833:
1820:
1807:
1794:
1781:
1767:
1755:which is a quaternion of unit length (or
1701:
1572:
1560:
1529:
1517:
1486:
1474:
1443:
1423:
1421:
1314:
1304:
1291:
1281:
1268:
1258:
1245:
1235:
1208:
1198:
1185:
1175:
1162:
1152:
1139:
1129:
1102:
1092:
1079:
1069:
1056:
1046:
1033:
1023:
996:
986:
973:
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917:
899:
897:
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725:
724:
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681:
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666:
665:
642:
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541:
540:
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500:
487:
395:
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356:
264:
251:
238:
225:
213:
195:
194:
191:
147:
134:
121:
108:
102:
4481:Rotations, Quaternions and Double Groups
1681:is the real part, the vector parameters
43:, but uses a different parametrization.
4345:
3838:. This then gives his parametrization
3791:, correspond to the elements of matrix
3463:
3416:Rotation formalisms in three dimensions
4458:
4294:"A Survey of Attitude Representations"
4301:Journal of the Astronautical Sciences
4280:(in Spanish): 109–113. Archived from
7:
4409:10.1016/j.mechmachtheory.2016.08.008
4331:10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004
1628:; they represent the same rotation.
1906:Connection with SU(2) spin matrices
4632:Euler's continued fraction formula
4358:The mathematical theory of the top
1638:) corresponds to parameter values
46:The rotation is described by four
25:
4657:Euler's pump and turbine equation
3631:in eqn 4-67 (p.153) are equal to
4720:
4719:
4677:Euler equations (fluid dynamics)
4667:Euler's sum of powers conjecture
3421:Quaternions and spatial rotation
2750:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2031:which can be written as the sum
1367:Rotation angle and rotation axis
4170:in terms of the passive matrix
4617:Euler–Poisson–Darboux equation
4190:rather than the active matrix
3372:
3338:
3320:
3293:
3275:
3264:
3212:
3197:
3145:
3108:
3056:
3038:
2986:
2955:
2704:
2634:
2631:
2562:
2559:
2489:
2462:
2378:
1895:{\displaystyle q=q_{2}\,q_{1}}
1777:
1771:
751:
745:
730:
721:
712:
692:
686:
671:
662:
647:
618:
546:
478:
460:
452:
434:
424:
406:
347:
329:
319:
301:
293:
275:
200:
1:
4536:, vol 1. Boston: Birkhauser.
4530:Über die Theorie des Kreisels
4312:Dai, Jian S. (October 2015).
4255:. Cambridge University Press.
3818:here, rather than the matrix
3771:, the elements of his matrix
3473:Goldstein (1980) considers a
2795:Cayley–Klein parameters
1745:{\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}
183:rotates to its new position,
37:Euler–Rodrigues formula
4748:Rotation in three dimensions
4647:Euler's four-square identity
4398:Mechanism and Machine Theory
4318:Mechanism and Machine Theory
4292:Shuster, Malcolm D. (1993).
3811:{\displaystyle U^{\dagger }}
1361:Euler's four-square identity
4702:Euler–Bernoulli beam theory
4437:(3rd ed.). Cambridge.
3431:Spinors in three dimensions
2797:, after the mathematicians
2773:The elements of the matrix
1669:Connection with quaternions
1363:, also used by Rodrigues.)
56:Rodrigues' rotation formula
41:Rodrigues' rotation formula
4774:
4483:. Oxford:Clarendon Press.
4431:; Napolitano, Jim (2020).
4278:Revista Mexicana de Física
18:Euler–Rodrigues parameters
4715:
4612:Euler–Mascheroni constant
4587:
3523:{\displaystyle -\varphi }
1407:) and the rotation angle
4662:Euler's rotation theorem
4434:Modern Quantum Mechanics
4360:, New York: Scribner. p.
3543:{\displaystyle \varphi }
821:Composition of rotations
4622:Euler–Rodrigues formula
4602:Euler–Maclaurin formula
4592:Euler–Lagrange equation
4504:Cayley-Klein Parameters
4253:Elements of Quaternions
4163:{\displaystyle \delta }
4143:{\displaystyle \gamma }
4103:{\displaystyle \alpha }
4041:{\displaystyle \delta }
4021:{\displaystyle \gamma }
3981:{\displaystyle \alpha }
3764:{\displaystyle \delta }
3744:{\displaystyle \gamma }
3704:{\displaystyle \alpha }
2769:Cayley–Klein parameters
1677:; the scalar parameter
1359:. (This is essentially
4697:Euler number (physics)
4627:Euler–Tricomi equation
4204:
4184:
4164:
4144:
4124:
4123:{\displaystyle \beta }
4104:
4082:
4062:
4042:
4022:
4002:
4001:{\displaystyle \beta }
3982:
3960:
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3812:
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