4493:
2604:
3120:
1567:
786:
1085:
2174:
2785:
418:
2768:
850:
2163:
2599:{\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}&=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}-b^{3})^{3}\\a^{3}(a^{3}+2b^{3})^{3}&=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}+b^{3})^{3}\end{aligned}}}
1341:
3417:
3115:{\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\72^{5}&=19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}\\94^{5}&=21^{5}+23^{5}+37^{5}+79^{5}+84^{5}\\107^{5}&=7^{5}+43^{5}+57^{5}+80^{5}+100^{5}\end{aligned}}}
781:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\lambda (1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}))\\x_{2}&=\lambda ((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1)\\x_{3}&=\lambda ((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2})\\x_{4}&=\lambda ((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b))\end{aligned}}}
2625:
3272:
185:
2790:
423:
1434:
1168:
1680:
2630:
2179:
1549:
3954:
411:
1926:
1080:{\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\14132^{5}&=(-220)^{5}+5027^{5}+6237^{5}+14068^{5}\\85359^{5}&=55^{5}+3183^{5}+28969^{5}+85282^{5}\end{aligned}}}
855:
1812:
260:
847:. This was published in a paper comprising just two sentences. A total of three primitive (that is, in which the summands do not all have a common factor) counterexamples are known:
1175:
3291:
818:
3159:
4194:
89:
3124:(Lander & Parkin, 1966); (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967); (Lander, Parkin, Selfridge, second smallest, 1967); (Sastry, 1934, third smallest).
1346:
1104:
4478:
1864:
4343:
1578:
4388:
1488:
1558:
by a direct computer search using techniques suggested by Elkies. This solution is the only one with values of the variables below 1,000,000.
4403:
4160:
3487:
3435:
4022:
39:
4428:
2763:{\displaystyle {\begin{aligned}422481^{4}&=95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}\\353^{4}&=30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}\end{aligned}}}
4187:
3561:
1593:
4448:
4473:
3850:
4418:
3854:
316:
because no term is isolated on one side of the equation. He also provided a complete solution to the four cubes problem as in
4524:
4519:
4180:
330:
4383:
4336:
3630:
4393:
4373:
4363:
4006:
4305:
4433:
4398:
3430:
1751:
4240:
3731:
3585:
3450:
4378:
4285:
4368:
199:
4225:
2158:{\displaystyle (3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2})^{3}+(5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2})^{3}}
4408:
46:
4529:
4497:
4329:
4166:
4468:
4300:
4260:
4255:
4215:
4310:
3445:
833:
4295:
3440:
4033:
829:
189:
The conjecture represents an attempt to generalize Fermat's Last
Theorem, which is the special case
4423:
4280:
4275:
4270:
1917:
1469:. From this initial rational point, one can compute an infinite collection of others. Substituting
4146:
3985:
3971:
3822:
4290:
4265:
4220:
4108:
3801:
3773:
3750:
3699:
3604:
4443:
4413:
1482:
801:
4250:
4143:
4124:
4105:
3483:
3477:
1892:
1832:
1336:{\displaystyle (85v^{2}+484v-313)^{4}+(68v^{2}-586v+10)^{4}+(2u)^{4}=(357v^{2}-204v+363)^{4},}
317:
3686:
Frye, Roger E. (1988), "Finding 95800 + 217519 + 414560 = 422481 on the
Connection Machine",
4235:
4127:
3740:
3691:
3594:
3534:
3616:
4010:
3787:
3612:
3412:{\displaystyle 1409^{8}=90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}}
17:
4453:
4352:
4245:
3455:
2609:
The number 2 100 000 can be expressed as the sum of three cubes in nine different ways.
1584:
1478:
into the identity and removing common factors gives the numerical example cited above.
1441:
1437:
324:
313:
50:
3745:
3726:
3599:
279:(which follows from Fermat's Last Theorem for the third powers), it was disproved for
4513:
4463:
3504:
31:
3703:
3539:
3522:
4458:
3557:
1094:
published a method to construct an infinite sequence of counterexamples for the
1091:
3267:{\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}}
4204:
4003:
3791:
3695:
2168:
A cube as the sum of three cubes can also be parameterized in one of two ways:
42:
4151:
4132:
4113:
3661:
1566:
180:{\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}=b^{k}\implies n\geq k}
4016:
837:
54:
4172:
3796:
3754:
3608:
1172:
A particular case of Elkies' solutions can be reduced to the identity
1087:(Lander & Parkin, 1966); (Scher & Seidl, 1996); (Frye, 2004).
1859:, there are many known solutions. Some of these are listed below.
1429:{\displaystyle u^{2}=22030+28849v-56158v^{2}+36941v^{3}-31790v^{4}.}
293:. It is unknown whether the conjecture fails or holds for any value
3836:
1163:{\displaystyle 20615673^{4}=2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}.}
4037:
4028:
3688:
4321:
1675:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}
4325:
4176:
3792:"Euler's and Fermat's last theorems, the Simpsons and CDC6600"
312:
involving sums of four fourth powers; this, however, is not a
3523:"Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers"
1831:
The special case may be described as the problem of giving a
3837:"A Table of Fifth Powers equal to Sums of Five Fifth Powers"
1868:
1544:{\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}}
3949:{\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}}
4098:
3725:
Lander, L. J.; Parkin, T. R.; Selfridge, J. L. (1967).
406:{\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}}
4099:
EulerNet: Computing
Minimal Equal Sums Of Like Powers
4029:
A Table of Fifth Powers equal to a Fifth Power (2009)
3857:
3479:
The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work
3294:
3162:
2788:
2628:
2177:
1929:
1754:
1596:
1491:
1349:
1178:
1107:
853:
804:
421:
333:
202:
92:
836:
in 1966 when, through a direct computer search on a
3851:The Smallest Solutions to the Diophantine Equation
3774:"MathWorld : Diophantine Equation--3rd Powers"
4094:< 250000 found with a distributed Boinc project
3957:, Mathematics of Computation, v. 72, p. 1054 (See
3948:
3849:Giovanni Resta and Jean-Charles Meyrignac (2002).
3720:
3718:
3716:
3714:
3712:
3411:
3266:
3114:
2762:
2598:
2157:
1806:
1674:
1543:
1428:
1335:
1162:
1079:
812:
780:
405:
254:
179:
3516:
3514:
2770:(R. Frye, 1988); (R. Norrie, smallest, 1911).
1835:of a perfect power into few like powers. For
1807:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}
4337:
4188:
3986:"MathWorld: Diophantine Equation--8th Powers"
3972:"MathWorld: Diophantine Equation--7th Powers"
3823:"MathWorld: Diophantine Equation--5th Powers"
8:
3552:
3550:
3458:, a list of related conjectures and theorems
1485:found the smallest possible counterexample
3768:
3766:
3764:
327:1729. The general solution of the equation
272:Although the conjecture holds for the case
72:th powers of positive integers is itself a
4344:
4330:
4322:
4195:
4181:
4173:
4167:A simple explanation of Euler's Conjecture
4038:All solutions of the Diophantine equation
255:{\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}=b^{k},}
167:
163:
3940:
3927:
3914:
3901:
3888:
3875:
3862:
3856:
3744:
3598:
3538:
3403:
3390:
3377:
3364:
3351:
3338:
3325:
3312:
3299:
3293:
3258:
3245:
3232:
3219:
3206:
3193:
3180:
3167:
3161:
3102:
3089:
3076:
3063:
3050:
3033:
3019:
3006:
2993:
2980:
2967:
2950:
2936:
2923:
2910:
2897:
2884:
2867:
2853:
2840:
2827:
2814:
2797:
2789:
2787:
2750:
2737:
2724:
2711:
2694:
2680:
2667:
2654:
2637:
2629:
2627:
2586:
2576:
2563:
2547:
2534:
2524:
2511:
2498:
2485:
2475:
2462:
2449:
2432:
2422:
2406:
2393:
2379:
2369:
2356:
2340:
2327:
2317:
2301:
2288:
2275:
2265:
2252:
2239:
2222:
2212:
2199:
2186:
2178:
2176:
2149:
2139:
2111:
2092:
2082:
2054:
2035:
2025:
1997:
1978:
1968:
1940:
1928:
1798:
1785:
1780:
1770:
1759:
1753:
1666:
1661:
1651:
1640:
1627:
1622:
1612:
1601:
1595:
1583:In 1967, L. J. Lander, T. R. Parkin, and
1535:
1522:
1509:
1496:
1490:
1417:
1401:
1385:
1354:
1348:
1324:
1299:
1280:
1258:
1233:
1214:
1189:
1177:
1151:
1138:
1125:
1112:
1106:
1067:
1054:
1041:
1028:
1011:
997:
984:
971:
958:
932:
918:
905:
892:
879:
862:
854:
852:
805:
803:
744:
734:
718:
692:
675:
665:
649:
602:
576:
560:
516:
496:
480:
430:
422:
420:
397:
392:
379:
374:
361:
356:
343:
338:
332:
243:
230:
225:
212:
207:
201:
157:
144:
139:
120:
115:
102:
97:
91:
1817:(under the conditions given above) then
1579:Lander, Parkin, and Selfridge conjecture
1565:
3727:"A Survey of Equal Sums of Like Powers"
3468:
3137:As of 2002, there are no solutions for
3662:"Sums of Three Fourth Powers (Part 1)"
1570:One interpretation of Plato's number,
1101:case. His smallest counterexample was
3521:Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966).
27:Disproved conjecture in number theory
7:
4004:A Collection of Algebraic Identities
3666:A Collection of Algebraic Identities
828:Euler's conjecture was disproven by
4404:Euler's continued fraction formula
4147:"Diophantine Equation--4th Powers"
4109:"Euler's Sum of Powers Conjecture"
840:, they found a counterexample for
25:
4429:Euler's pump and turbine equation
3746:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0
3600:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9
4492:
4491:
4449:Euler equations (fluid dynamics)
4439:Euler's sum of powers conjecture
1745:, the conjecture states that if
308:Euler was aware of the equality
53:in 1769. It states that for all
4036:, J.-C. Meyrignac, U. Beckert,
3804:from the original on 2021-12-11
3540:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3
3144:whose final term is †730000.
4389:EulerâPoissonâDarboux equation
2583:
2553:
2531:
2504:
2482:
2455:
2429:
2399:
2376:
2346:
2324:
2294:
2272:
2245:
2219:
2192:
2146:
2101:
2089:
2044:
2032:
1987:
1975:
1930:
1702:are positive integers for all
1321:
1289:
1277:
1267:
1255:
1223:
1211:
1179:
955:
945:
771:
768:
753:
741:
711:
708:
681:
672:
642:
636:
621:
618:
591:
582:
553:
550:
535:
532:
505:
502:
473:
470:
455:
446:
164:
64:greater than 1, if the sum of
1:
3505:"Euler's Extended Conjecture"
3476:Dunham, William, ed. (2007).
4419:Euler's four-square identity
3436:ProuhetâTarryâEscott problem
80:is greater than or equal to
4474:EulerâBernoulli beam theory
3503:Titus, III, Piezas (2005).
4546:
4128:"Euler Quartic Conjecture"
3732:Mathematics of Computation
3586:Mathematics of Computation
3451:Generalized taxicab number
1576:
820:are any rational numbers.
813:{\displaystyle {\lambda }}
4487:
4384:EulerâMascheroni constant
4359:
4211:
4169:at Maths Is Good For You!
4163:at library.thinkquest.org
4017:Equal Sums of Like Powers
3696:10.1109/SUPERC.1988.74138
3660:Piezas III, Tito (2010).
4434:Euler's rotation theorem
3482:. The MAA. p. 220.
18:Euler quartic conjecture
4394:EulerâRodrigues formula
4374:EulerâMaclaurin formula
4364:EulerâLagrange equation
1738:. In the special case
4469:Euler number (physics)
4399:EulerâTricomi equation
4023:Math Games, Power Sums
3950:
3431:JacobiâMadden equation
3413:
3268:
3116:
2764:
2600:
2159:
1808:
1775:
1676:
1656:
1617:
1574:
1545:
1430:
1337:
1164:
1081:
814:
782:
407:
256:
181:
49:. It was proposed by
4525:Disproved conjectures
4520:Diophantine equations
4409:Euler's critical load
4379:EulerâMaruyama method
4231:Euler's sum of powers
4015:Jaroslaw Wroblewski,
3951:
3527:Bull. Amer. Math. Soc
3446:Pythagorean quadruple
3414:
3269:
3117:
2765:
2601:
2160:
1809:
1755:
1677:
1636:
1597:
1587:conjectured that if
1569:
1546:
1431:
1338:
1165:
1082:
815:
783:
408:
257:
182:
47:Fermat's Last Theorem
4369:EulerâLotka equation
3855:
3690:, pp. 106â116,
3292:
3276:(M. Dodrill, 1999).
3160:
2786:
2626:
2175:
1927:
1752:
1594:
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