2254:
27:
1730:
2249:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\max _{|z|=10^{n!-1}}\log |F(z)|\right)/10^{n!-1}&\sim \left(\log {\frac {(10^{n!-1})^{10^{(n-1)!}}}{(10^{(n-1)!})!}}\right)/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)\left/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)(n!-1-(n-1)!)/10^{n!-1-(n-1)!}\\\end{aligned}}}
1368:
1410:
of the ratio outside a given radius as the radius goes to infinity. This is also the limit superior of the maximum of the ratio at a given radius as the radius goes to infinity. The limit superior may exist even if the maximum at radius
220:. When a function is bounded in this way, it is then possible to express it as certain kinds of convergent summations over a series of other complex functions, as well as understanding when it is possible to apply techniques such as
2732:
3270:
1553:
1077:
472:
3046:
2866:
3494:
2556:
3630:
1735:
1644:
3308:
70:, the Gaussian restricted to the real axis. The Gaussian does not have exponential type, but the functions in red and blue are one sided approximations that have exponential type
3144:
1144:
960:
3171:
2960:
2931:
2780:
2608:
2422:
987:
723:
1722:
563:
2902:
2641:
2478:
1116:
218:
68:
1248:
934:
501:
3672:
1689:
833:
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1256:
2342:
286:
158:
1222:
583:
3336:
669:
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603:
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313:
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2306:
1400:
1202:
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3692:
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1429:
647:
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2649:
3179:
1457:
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2968:
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1564:
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2360:
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3278:
3510:
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1121:
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3149:
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2907:
2756:
2584:
2398:
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678:
1694:
876:
836:
529:
233:
118:
106:
2874:
2613:
2450:
1085:
187:
33:
1363:{\displaystyle \tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|}
1227:
913:
480:
3723:
3635:
3354:
2445:
1652:
803:
728:
2311:
863:
cannot be applied either, as it, too, expresses a theorem ultimately anchored in the theory of
3350:
864:
262:
123:
1207:
568:
3715:
3346:
504:
225:
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3735:
3321:
654:
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588:
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3731:
3054:
2746:
2388:
2356:
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1149:
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842:
783:
763:
326:
221:
2727:{\displaystyle K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}x\in {K}\}}
3703:
3677:
3339:
3103:
3083:
2564:
2427:
2366:
2262:
1434:
1414:
1403:
632:
509:
359:
167:
114:
3745:
3342:
353:
20:
161:
102:
2308:
is nevertheless of exponential type 1, as can be seen by looking at the points
2742:
2384:
26:
3265:{\displaystyle |F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}}
2750:
2738:
2392:
1548:{\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}}
1407:
1072:{\displaystyle |F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}}
467:{\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq Me^{\tau r}}
3727:
606:
356:
is said to be of exponential type if there exist real-valued constants
16:
Type of complex function with growth bounded by an exponential function
3100:-complex variables is said to be of exponential type with respect to
3041:{\displaystyle \|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.}
2861:{\displaystyle \|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.}
839:
cannot apply, as it requires functions of exponential type less than
3719:
3489:{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left|f(z)|.}
19:
For exponential types in type theory and programming languages, see
25:
2551:{\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.}
3625:{\displaystyle (\max _{|z|=r}\log \log |F(z)|)/(\log r)}
2348:
Exponential type with respect to a symmetric convex body
565:
to emphasize that the limit must hold in all directions
3680:
3638:
3535:
3365:
3324:
3281:
3182:
3152:
3126:
3106:
3086:
3057:
2991:
2971:
2939:
2910:
2877:
2811:
2791:
2759:
2652:
2616:
2587:
2567:
2489:
2453:
2430:
2401:
2369:
2314:
2285:
2265:
1733:
1697:
1655:
1567:
1460:
1437:
1417:
1379:
1281:
1259:
1230:
1210:
1181:
1152:
1124:
1088:
998:
968:
942:
916:
884:
845:
806:
786:
766:
731:
681:
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635:
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591:
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532:
512:
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382:
362:
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294:
265:
243:
190:
170:
126:
76:
36:
2355:has given a generalization of exponential type for
3686:
3666:
3624:
3488:
3330:
3302:
3264:
3165:
3138:
3112:
3092:
3072:
3040:
2954:
2925:
2896:
2860:
2774:
2726:
2635:
2602:
2573:
2550:
2472:
2436:
2416:
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2336:
2300:
2271:
2248:
1716:
1683:
1638:
1547:
1443:
1423:
1394:
1362:
1242:
1216:
1196:
1167:
1138:
1110:
1071:
981:
954:
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899:
851:
827:
792:
772:
752:
717:
663:
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621:
597:
577:
557:
518:
495:
466:
388:
368:
344:
307:
280:
249:
212:
176:
152:
85:
62:
800:is the smallest number that bounds the growth of
3540:
3386:
2993:
2813:
1744:
1572:
1451:goes to infinity. For example, for the function
1283:
835:along the imaginary axis. So, for this example,
3318:Collections of functions of exponential type
8:
3373:
3366:
3251:
3244:
2979:
2972:
2885:
2878:
2799:
2792:
2721:
2666:
2624:
2617:
2542:
2527:
2520:
2496:
2461:
2454:
1724:term so we have the asymptotic expressions:
1639:{\displaystyle (\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r}
3706:(1957), "Functions of exponential type",
3679:
3649:
3637:
3602:
3594:
3577:
3552:
3544:
3543:
3534:
3478:
3461:
3451:
3443:
3428:
3397:
3396:
3389:
3376:
3364:
3323:
3294:
3290:
3289:
3280:
3254:
3222:
3212:
3200:
3183:
3181:
3157:
3151:
3125:
3105:
3085:
3056:
3029:
3015:
3007:
2996:
2982:
2970:
2946:
2942:
2941:
2938:
2917:
2913:
2912:
2909:
2888:
2876:
2849:
2835:
2827:
2816:
2802:
2790:
2766:
2762:
2761:
2758:
2716:
2705:
2681:
2677:
2676:
2657:
2651:
2627:
2615:
2594:
2590:
2589:
2586:
2566:
2530:
2511:
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2506:
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2464:
2452:
2429:
2408:
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2403:
2400:
2368:
2325:
2313:
2284:
2264:
2206:
2197:
2118:
2109:
2065:
2037:
1970:
1961:
1926:
1894:
1889:
1870:
1860:
1827:
1818:
1808:
1791:
1768:
1756:
1748:
1747:
1734:
1732:
1708:
1696:
1666:
1654:
1628:
1620:
1603:
1584:
1576:
1575:
1566:
1527:
1508:
1503:
1497:
1491:
1480:
1459:
1436:
1416:
1378:
1354:
1337:
1322:
1317:
1308:
1295:
1287:
1286:
1258:
1229:
1209:
1180:
1151:
1132:
1131:
1123:
1097:
1089:
1087:
1062:
1054:
1038:
1028:
1016:
999:
997:
973:
967:
941:
915:
883:
844:
805:
785:
765:
730:
680:
656:
634:
614:
590:
570:
546:
531:
511:
482:
455:
426:
404:
381:
361:
328:
299:
293:
264:
242:
228:, or to perform approximations using the
199:
191:
189:
169:
143:
135:
131:
125:
75:
52:
41:
35:
236:, which defines the analogous notion of
3522:
3303:{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}
2352:
30:The graph of the function in gray is
7:
3146:there exists a real-valued constant
962:there exists a real-valued constant
3353:induced by the countable family of
2424:. It is known that for every such
1492:
1303:
1105:
629:, one then says that the function
490:
266:
244:
207:
14:
3139:{\displaystyle \varepsilon >0}
1139:{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
955:{\displaystyle \varepsilon >0}
232:. The general case is handled by
3166:{\displaystyle A_{\varepsilon }}
2955:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
2926:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2775:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2603:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2417:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
982:{\displaystyle A_{\varepsilon }}
718:{\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}
224:, or, for example, to apply the
1717:{\displaystyle n-1^{\text{st}}}
558:{\displaystyle z=re^{i\theta }}
3619:
3607:
3599:
3595:
3591:
3585:
3578:
3553:
3545:
3536:
3479:
3475:
3469:
3462:
3452:
3444:
3241:
3229:
3201:
3197:
3191:
3184:
3067:
3061:
3030:
3016:
2897:{\displaystyle \|\cdot \|_{K}}
2850:
2836:
2636:{\displaystyle \|\cdot \|_{K}}
2473:{\displaystyle \|\cdot \|_{K}}
2295:
2289:
2234:
2222:
2194:
2188:
2176:
2158:
2155:
2143:
2098:
2086:
2078:
2066:
2050:
2038:
2030:
2015:
2007:
1995:
1947:
1939:
1927:
1919:
1907:
1895:
1886:
1863:
1809:
1805:
1799:
1792:
1757:
1749:
1625:
1621:
1617:
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1604:
1585:
1577:
1568:
1536:
1520:
1470:
1464:
1389:
1383:
1355:
1351:
1345:
1338:
1318:
1309:
1300:
1296:
1288:
1269:
1263:
1191:
1185:
1162:
1156:
1111:{\displaystyle |z|\to \infty }
1102:
1098:
1090:
1063:
1055:
1051:
1039:
1017:
1013:
1007:
1000:
894:
888:
822:
813:
747:
738:
712:
703:
691:
685:
487:
339:
333:
275:
269:
213:{\displaystyle |z|\to \infty }
204:
200:
192:
144:
136:
63:{\displaystyle e^{-\pi z^{2}}}
1:
2782:. Furthermore, we can write
1406:here means the limit of the
1243:{\displaystyle \sigma >0}
929:{\displaystyle \sigma >0}
496:{\displaystyle r\to \infty }
3667:{\displaystyle r=10^{n!-1}}
1684:{\displaystyle r=10^{n!-1}}
1373:is the exponential type of
828:{\displaystyle \sin(\pi z)}
753:{\displaystyle \sin(\pi z)}
3768:
1175:is of exponential type if
18:
2361:several complex variables
2337:{\displaystyle z=10^{n!}}
2259:and this goes to zero as
1431:does not have a limit as
281:{\displaystyle \Psi (z)}
153:{\displaystyle e^{C|z|}}
2480:with the property that
2444:there is an associated
1217:{\displaystyle \sigma }
1204:is of exponential type
861:Euler–Maclaurin formula
760:is of exponential type
578:{\displaystyle \theta }
259:for a general function
230:Euler–Maclaurin formula
3688:
3668:
3626:
3490:
3332:
3304:
3266:
3167:
3140:
3114:
3094:
3074:
3042:
2956:
2927:
2898:
2862:
2776:
2728:
2637:
2604:
2575:
2552:
2474:
2438:
2418:
2377:
2338:
2302:
2279:goes to infinity, but
2273:
2250:
1718:
1685:
1640:
1549:
1496:
1445:
1425:
1396:
1364:
1244:
1218:
1198:
1169:
1140:
1112:
1073:
983:
956:
930:
901:
853:
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794:
774:
754:
719:
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3627:
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3331:{\displaystyle \tau }
3305:
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