3309:
2869:
2362:
1420:
3528:, which it is not. This failure of the Alexander–Whitney map to be a coalgebra map is an example the unavailability of commutative cochain-level models for cohomology over fields of nonzero characteristic, and thus is in a way responsible for much of the subtlety and complication in stable homotopy theory.
508:
3096:
859:
2016:
2643:
2140:
1188:
2595:
2524:
1084:
370:
3304:{\displaystyle \alpha \otimes \beta \mapsto {\Big (}\sigma \mapsto (\alpha \otimes \beta )(F^{*}\Delta ^{*}\sigma )=\sum _{p=0}^{\dim \sigma }\alpha (\sigma |_{\Delta ^{}})\cdot \beta (\sigma |_{\Delta ^{}}){\Big )}}
693:
2958:
1854:
3794:
2864:{\displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\ {\overset {i}{\to }}\ {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(X){\big )}^{*}\ {\overset {G^{*}}{\leftarrow }}\ C^{*}(X\times X){\overset {C^{*}(\Delta )}{\to }}C^{*}(X)}
3486:
2104:
1770:
2357:{\displaystyle G^{*}\colon C^{*}(X\times Y)\rightarrow {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*},\quad F^{*}\colon {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}\rightarrow C^{*}(X\times Y)}
3674:. In light of the Eilenberg–Zilber theorem, the content of the Künneth theorem consists in analysing how the homology of the tensor product complex relates to the homologies of the factors.
3377:
1670:
1606:
362:
2394:. The coproduct does not dualize straightforwardly, because dualization does not distribute over tensor products of infinitely-generated modules, but there is a natural injection of
1415:{\displaystyle FG=\mathrm {id} _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)},\qquad GF-\mathrm {id} _{C_{*}(X\times Y)}=\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}H+H\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}}
553:
3600:
294:
2529:
607:
580:
73:
3672:
3636:
3522:
3034:
2998:
1806:
679:
643:
252:
216:
2400:
1094:
The original theorem was proven in terms of acyclic models but more mileage was gotten in a phrasing by
Eilenberg and Mac Lane using explicit maps. The standard map
3088:
3061:
2392:
3403:
1552:
1529:
1506:
908:
885:
2635:
2615:
2132:
1846:
1826:
1690:
1483:
1463:
1443:
1180:
1160:
1136:
1112:
956:
936:
173:
153:
113:
93:
503:{\displaystyle \partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}(\sigma \otimes \tau )=\partial _{X}\sigma \otimes \tau +(-1)^{p}\sigma \otimes \partial _{Y}\tau }
968:
3835:
854:{\displaystyle F\colon C_{*}(X\times Y)\rightarrow C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y),\quad G\colon C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)\rightarrow C_{*}(X\times Y)}
3750:
911:
3762:
2877:
2011:{\displaystyle H_{*}(X)\otimes H_{*}(Y)\to H_{*}{\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}\ {\overset {\sim }{\to }}\ H_{*}(X\times Y)}
3540:
case using crossed complexes is given in the paper by Andrew Tonks below. This give full details of a result on the (simplicial)
3701:
116:
3411:
2029:
1695:
3830:
3789:
3545:
2395:
2114:
The
Alexander–Whitney and Eilenberg–Zilber maps dualize (over any choice of commutative coefficient ring
2367:
which are also homotopy equivalences, as witnessed by the duals of the preceding equations, using the dual homotopy
3742:
3318:
2023:
1611:
1573:
309:
3525:
3799:
959:
915:
3488:
of cochain complexes were in fact a map of differential graded algebras, then the cup product would make
516:
2637:
induces an isomorphism in cohomology, so one does have the zig-zag of differential graded algebra maps
2590:{\displaystyle \alpha \otimes \beta \mapsto (\sigma \otimes \tau \mapsto \alpha (\sigma )\beta (\tau ))}
3563:
257:
3090:
so the maps all go the same way, one gets the standard cup product on cochains, given explicitly by
3804:
585:
558:
3714:
35:
3557:
2519:{\displaystyle i\colon C^{*}(X)\otimes C^{*}(Y)\to {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}}
52:
3746:
3641:
3605:
3541:
3537:
3491:
3003:
2967:
1775:
648:
612:
221:
185:
176:
3809:
3767:
3706:
3696:
120:
47:
3781:
3726:
3066:
3039:
2370:
3777:
3722:
3382:
1534:
1511:
1488:
890:
867:
17:
2620:
2600:
2117:
1831:
1811:
1675:
1468:
1448:
1428:
1165:
1145:
1121:
1097:
941:
921:
302:
158:
138:
98:
78:
43:
3772:
3824:
3734:
3683:
685:
180:
124:
2961:
31:
27:
Links the homology groups of a product space with those of the individual spaces
3760:
Tonks, Andrew (2003), "On the
Eilenberg–Zilber theorem for crossed complexes",
3813:
1079:{\displaystyle H_{*}(C_{*}(X\times Y))\cong H_{*}(C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)).}
3792:; Higgins, Philip J. (1991), "The classifying space of a crossed complex",
3718:
297:
3556:
The
Eilenberg–Zilber theorem is a key ingredient in establishing the
3710:
2953:{\displaystyle \smile \colon H^{*}(X)\otimes H^{*}(X)\to H^{*}(X)}
3795:
Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
2022:
also called the
Eilenberg–Zilber map, becomes a map of
123:
and Joseph A. Zilber. One possible route to a proof is the
42:
is an important result in establishing the link between the
3544:
of a crossed complex stated but not proved in the paper by
3699:; Zilber, Joseph A. (1953), "On Products of Complexes",
3644:
3608:
3566:
3494:
3414:
3385:
3321:
3099:
3069:
3042:
3006:
2970:
2880:
2646:
2623:
2603:
2532:
2403:
2373:
2143:
2120:
2032:
1857:
1834:
1814:
1778:
1698:
1678:
1614:
1576:
1537:
1514:
1491:
1471:
1451:
1431:
1191:
1168:
1148:
1124:
1100:
971:
944:
924:
893:
870:
696:
651:
615:
588:
561:
519:
373:
312:
260:
224:
188:
161:
141:
101:
81:
55:
3481:{\displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\to C^{*}(X)}
2099:{\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)}
1765:{\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)}
958:. Consequently the two complexes must have the same
115:. The theorem first appeared in a 1953 paper in the
3666:
3630:
3594:
3516:
3480:
3397:
3371:
3303:
3082:
3055:
3028:
2992:
2952:
2863:
2629:
2609:
2597:, the product being taken in the coefficient ring
2589:
2518:
2386:
2356:
2126:
2098:
2010:
1840:
1820:
1800:
1764:
1684:
1664:
1600:
1554:is zero. This is what would come to be known as a
1546:
1523:
1500:
1477:
1457:
1437:
1414:
1174:
1154:
1130:
1106:
1078:
950:
930:
902:
879:
853:
673:
637:
601:
574:
547:
502:
356:
288:
246:
210:
167:
147:
135:The theorem can be formulated as follows. Suppose
107:
87:
67:
3766:, vol. 179, no. 1–2, pp. 199–230,
3296:
3114:
1114:they produce is traditionally referred to as the
1672:which, followed by the Alexander–Whitney
300:or singular chain complexes.) We also have the
3705:, vol. 75, no. 1, pp. 200–204,
3548:and Philip J. Higgins on classifying spaces.
3372:{\displaystyle C^{p}(X)\otimes C_{q}(X)\to k}
2755:
2706:
2505:
2456:
2315:
2266:
2236:
2187:
1962:
1914:
8:
1665:{\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X\times X)}
1601:{\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}
3405:, reduces to the more familiar expression.
3803:
3771:
3649:
3643:
3613:
3607:
3571:
3565:
3499:
3493:
3463:
3441:
3419:
3413:
3384:
3348:
3326:
3320:
3295:
3294:
3265:
3260:
3255:
3219:
3214:
3209:
3187:
3176:
3157:
3147:
3113:
3112:
3098:
3074:
3068:
3047:
3041:
3011:
3005:
2975:
2969:
2935:
2913:
2891:
2879:
2846:
2824:
2814:
2793:
2778:
2769:
2760:
2754:
2753:
2737:
2715:
2705:
2704:
2691:
2673:
2651:
2645:
2622:
2602:
2531:
2510:
2504:
2503:
2487:
2465:
2455:
2454:
2436:
2414:
2402:
2378:
2372:
2333:
2320:
2314:
2313:
2297:
2275:
2265:
2264:
2255:
2241:
2235:
2234:
2218:
2196:
2186:
2185:
2161:
2148:
2142:
2119:
2081:
2059:
2037:
2031:
1987:
1970:
1961:
1960:
1945:
1923:
1913:
1912:
1906:
1884:
1862:
1856:
1833:
1813:
1783:
1777:
1747:
1725:
1703:
1697:
1677:
1641:
1619:
1613:
1575:
1536:
1513:
1490:
1470:
1450:
1430:
1395:
1373:
1368:
1338:
1316:
1311:
1281:
1276:
1268:
1237:
1215:
1210:
1202:
1190:
1167:
1147:
1123:
1099:
1055:
1033:
1020:
989:
976:
970:
943:
923:
892:
869:
830:
808:
786:
757:
735:
707:
695:
656:
650:
620:
614:
593:
587:
566:
560:
530:
518:
491:
475:
444:
405:
383:
378:
372:
364:, whose differential is, by definition,
339:
317:
311:
265:
259:
229:
223:
193:
187:
160:
140:
100:
80:
54:
914:to the identity. Moreover, the maps are
357:{\displaystyle C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}
1808:. With respect to these coproducts on
296:. (The argument applies equally to the
3560:, which expresses the homology groups
7:
1182:and inverse up to homotopy: one has
1090:Statement in terms of composite maps
3763:Journal of Pure and Applied Algebra
3536:An important generalisation to the
2106:itself is not a map of coalgebras.
1772:inducing the standard coproduct on
1608:induces a map of cochain complexes
684:Then the theorem says that we have
548:{\displaystyle \sigma \in C_{p}(X)}
3798:, vol. 110, pp. 95–120,
3262:
3216:
3154:
2833:
1577:
1365:
1308:
1272:
1269:
1206:
1203:
590:
563:
488:
441:
375:
25:
3595:{\displaystyle H_{*}(X\times Y)}
3315:which, since cochain evaluation
289:{\displaystyle C_{*}(X\times Y)}
3702:American Journal of Mathematics
2250:
1257:
1142:. The maps are natural in both
775:
117:American Journal of Mathematics
3836:Theorems in algebraic topology
3661:
3655:
3625:
3619:
3589:
3577:
3511:
3505:
3475:
3469:
3456:
3453:
3447:
3431:
3425:
3363:
3360:
3354:
3338:
3332:
3291:
3284:
3266:
3256:
3248:
3239:
3232:
3220:
3210:
3202:
3166:
3140:
3137:
3125:
3122:
3109:
3023:
3017:
2987:
2981:
2947:
2941:
2928:
2925:
2919:
2903:
2897:
2858:
2852:
2836:
2830:
2816:
2811:
2799:
2771:
2749:
2743:
2727:
2721:
2693:
2685:
2679:
2663:
2657:
2584:
2581:
2575:
2569:
2563:
2557:
2545:
2542:
2499:
2493:
2477:
2471:
2451:
2448:
2442:
2426:
2420:
2351:
2339:
2326:
2309:
2303:
2287:
2281:
2230:
2224:
2208:
2202:
2182:
2179:
2167:
2134:with unity) to a pair of maps
2093:
2087:
2071:
2065:
2052:
2049:
2043:
2024:differential graded coalgebras
2005:
1993:
1972:
1957:
1951:
1935:
1929:
1899:
1896:
1890:
1874:
1868:
1795:
1789:
1759:
1753:
1737:
1731:
1718:
1715:
1709:
1659:
1647:
1634:
1631:
1625:
1586:
1407:
1401:
1385:
1379:
1350:
1344:
1328:
1322:
1299:
1287:
1249:
1243:
1227:
1221:
1070:
1067:
1061:
1045:
1039:
1026:
1010:
1007:
995:
982:
848:
836:
823:
820:
814:
798:
792:
769:
763:
747:
741:
728:
725:
713:
668:
662:
632:
626:
542:
536:
472:
462:
434:
422:
417:
411:
395:
389:
351:
345:
329:
323:
283:
271:
241:
235:
205:
199:
1:
3773:10.1016/S0022-4049(02)00160-3
3408:Note that if this direct map
602:{\displaystyle \partial _{Y}}
575:{\displaystyle \partial _{X}}
3036:are isomorphisms. Replacing
2960:in cohomology, known as the
2396:differential graded algebras
1485:such that further, each of
1116:Alexander–Whitney map
3852:
3743:Cambridge University Press
3526:commutative graded algebra
1140:Eilenberg–Zilber map
3814:10.1017/S0305004100070158
179:, Then we have the three
68:{\displaystyle X\times Y}
3667:{\displaystyle H_{*}(Y)}
3631:{\displaystyle H_{*}(X)}
3517:{\displaystyle C^{*}(X)}
3029:{\displaystyle H^{*}(G)}
2993:{\displaystyle H^{*}(i)}
1801:{\displaystyle H_{*}(X)}
674:{\displaystyle C_{*}(Y)}
638:{\displaystyle C_{*}(X)}
247:{\displaystyle C_{*}(Y)}
211:{\displaystyle C_{*}(X)}
131:Statement of the theorem
75:and those of the spaces
40:Eilenberg–Zilber theorem
18:Eilenberg-Zilber theorem
2110:Statement in cohomology
3668:
3632:
3596:
3518:
3482:
3399:
3373:
3305:
3198:
3084:
3057:
3030:
2994:
2954:
2865:
2631:
2611:
2591:
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