7046:
6357:
1176:
7041:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}}
558:
1171:{\displaystyle {\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}}
1829:
4215:
5293:
7776:
8750:
4577:
4869:
3800:
3616:
4898:
98:
73:
7392:
8215:
2881:
2866:
2851:
8383:
2836:
2821:
2806:
1460:
7276:
2795:
4249:
4601:
4210:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}}
7982:
3360:
5288:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}}
7771:{\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}}
8745:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}}
3291:
8017:
1824:{\displaystyle \sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )}
7061:
6265:
4572:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}
5939:
2564:
4864:{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}
1307:
8356:
308:
3765:
7787:
5771:
3085:
3611:{\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}}
6083:
5515:
1969:
545:
2213:
8210:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}}
2487:
3108:
1399:
7271:{\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}}
7366:
4903:
6102:
5386:
3365:
3113:
2790:{\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}}
5786:
8388:
8022:
7792:
7397:
6362:
4606:
4254:
3805:
2569:
2131:
563:
1198:
8226:
170:
7977:{\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}}
3635:
5617:
2942:
2027:-invariance would not hold. In fact, there are no nontrivial modular forms of weight 2. Nevertheless, an analogue of the holomorphic Eisenstein series can be defined even for
5591:
2022:
1450:
1426:
406:
363:
2534:
5950:
9157:
5401:
9271:
1851:
427:
3286:{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}}
2126:
2355:
1318:
9058:
7287:
5611:, different products of Eisenstein series having those weights have to be equal up to a scalar multiple. In fact, we obtain the identities:
6260:{\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}
8784:
2555:
9421:
9387:
9324:
9294:
5304:
9239:
Number Theory, Diophantine, Computational and
Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary
9450:
9372:
5780:-expansions of the Eisenstein series given above, they may be restated as identities involving the sums of powers of divisors:
31:
9082:
Dickson, Martin; Neururer, Michael (2018). "Products of
Eisenstein series and Fourier expansions of modular forms at cusps".
5934:{\displaystyle \left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}
9379:
9286:
9440:
1302:{\displaystyle {\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}}
9335:
8791:
3323:
2096:
8351:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).}
303:{\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}
35:
7995:. Following Ramanujan, to put these identities in the simplest form it is necessary to extend the domain of
7386:
gave several interesting identities between the first few
Eisenstein series involving differentiation. Let
3760:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}
9445:
5766:{\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.}
3080:{\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}
8918:
7372:
2537:
314:
9316:
9216:
7383:
6307:
2279:
45:
5574:
2005:
1433:
1409:
389:
346:
9265:
9198:
9128:
9109:
9091:
9040:
8973:
8942:
8908:
8881:
6078:{\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}
4587:
2910:
2502:
8826:
7051:
Many relationships between products of
Eisenstein series can be written in an elegant way using
6096:
is a modular form of weight 4 for the full modular group, which gives the following identities:
9455:
9417:
9397:
9383:
9320:
9290:
9190:
9032:
8993:
8934:
8873:
2035:
9142:
5510:{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}
9350:
9182:
9101:
9024:
8983:
8926:
8863:
8780:
8760:
7992:
3343:
3308:
1964:{\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}
540:{\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}
322:
61:
8361:
Other identities of this type, but not directly related to the preceding relations between
2218:
The article on modular invariants provides expressions for these two functions in terms of
9413:
53:
325:
and its
Fourier expansion given below shows that it extends to a holomorphic function at
8922:
9364:
9309:
9304:
9234:
8374:
6089:
4583:
3771:
3626:
2933:
2219:
2117:
127:
123:
20:
2208:{\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}}
9434:
9402:
9202:
9113:
8946:
8930:
8885:
7052:
2230:
Any holomorphic modular form for the modular group can be written as a polynomial in
57:
2482:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}}
8851:
5565:
337:
49:
9355:
7988:
5392:
3788:
1394:{\displaystyle (m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}}
8868:
1999:, otherwise it would be illegitimate to change the order of summation, and the
9186:
9105:
8988:
8961:
8899:
Obers, N. A.; Pioline, B. (2000-03-07). "Eisenstein Series in String Theory".
6292:
97:
72:
9194:
9036:
8997:
8938:
8877:
7987:
These identities, like the identities between the series, yield arithmetical
9170:
8806:
8764:
3794:
of the
Eisenstein series, this alternate notation is frequently introduced:
90:
2880:
2865:
2850:
2835:
2820:
2805:
6310:
produce formulas for the number of representations of a positive integer
56:
expansions that may be written down directly. Originally defined for the
6306:
Similar techniques involving holomorphic
Eisenstein series twisted by a
9133:
9044:
9012:
8913:
7361:{\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}}
6314:' as a sum of two, four, or eight squares in terms of the divisors of
9127:
Milne, Steven C. (2000). "Hankel
Determinants of Eisenstein Series".
5520:
The third symmetric relation, on the other hand, is a consequence of
9028:
8852:"PARA-EISENSTEIN SERIES FOR THE MODULAR GROUP GL(2, 𝔽q[T])"
30:
Eisenstein series in dimension 3. For the non-holomorphic case, see
9096:
8978:
2879:
2864:
2849:
2834:
2819:
2804:
96:
71:
4892:
are alternative notations. Then we have the symmetric relations,
9059:"How to prove this series identity involving Eisenstein series?"
2050:
is necessary such that the series converges absolutely, whereas
9171:"On a Ramanujan's Eisenstein series identity of level fifteen"
5381:{\displaystyle E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}}
336:. It is a remarkable fact that the Eisenstein series is a
8767:; and Eisenstein series generalize in a similar fashion.
2056:
needs to be even otherwise the sum vanishes because the
60:, Eisenstein series can be generalized in the theory of
9311:
Modular
Functions and Dirichlet Series in Number Theory
8805:. One can then associate an Eisenstein series to every
8696:
8573:
8464:
8319:
8285:
8189:
8144:
8102:
8048:
7147:
5476:
5345:
5155:
5021:
4933:
1523:
1360:
1256:
1208:
989:
9145:
8386:
8229:
8020:
7790:
7395:
7290:
7064:
6360:
6105:
5953:
5789:
5620:
5577:
5564:
Eisenstein series form the most explicit examples of
5404:
5307:
4901:
4604:
4252:
3803:
3638:
3363:
3111:
2945:
2567:
2512:
2358:
2129:
2008:
1854:
1463:
1436:
1412:
1321:
1201:
561:
430:
392:
349:
173:
9013:"Fourier Coefficients of Certain Eisenstein Series"
2087:the series converges but it is not a modular form.
9401:
9308:
9159:, but this has been accounted for in this article.
9151:
8744:
8350:
8209:
7976:
7770:
7360:
7270:
7040:
6259:
6077:
5933:
5765:
5585:
5509:
5380:
5287:
4863:
4571:
4209:
3759:
3610:
3285:
3079:
2789:
2528:
2481:
2207:
2016:
1963:
1823:
1444:
1420:
1393:
1301:
1170:
539:
400:
357:
302:
8763:generalize the idea of modular forms for general
2522:
2507:
2396:
2383:
7139:
6321:Using the above recurrence relation, all higher
6092:of an eight-dimensional even unimodular lattice
9412:(transl. ed.). New York & Heidelberg:
9241:. Walter de Grutyer & Co. pp. 371–382.
9281:. AMS Translations of Mathematical Monographs
9139:The paper uses a non-equivalent definition of
2120:are given by the first two Eisenstein series:
9219:(1962). "On certain arithmetical functions".
8373:functions, have been proved by Ramanujan and
5596:. Since the space of modular forms of weight
8:
9279:Elements of the Theory of Elliptic Functions
9258:Elements of the Theory of Elliptic Functions
8962:"Lacunary recurrences for Eisenstein series"
2932:is now standard in number theory.) Then the
1744:
1726:
1615:
1597:
1081:
1063:
821:
803:
682:
664:
255:
237:
9169:Bhuvan, E. N.; Vasuki, K. R. (2019-06-24).
1992:. Note that it is important to assume that
9270:: CS1 maint: location missing publisher (
9223:. New York, NY: Chelsea. pp. 136–162.
8960:Mertens, Michael H.; Rolen, Larry (2015).
9354:
9144:
9132:
9095:
8987:
8977:
8912:
8867:
8809:of the Hilbert–Blumenthal modular group.
8711:
8695:
8631:
8620:
8588:
8572:
8544:
8513:
8502:
8479:
8463:
8435:
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8406:
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8300:
8284:
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8188:
8163:
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8021:
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7955:
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7063:
7028:
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6689:
6684:
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172:
164:is an integer, by the following series:
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1723:
1594:
1060:
800:
661:
234:
68:Eisenstein series for the modular group
34:. For the higher dimensional case, see
9334:Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999).
9263:
9237:(1998). "On some modular identities".
4221:Identities involving Eisenstein series
2554:occur in the series expansion for the
1985:is therefore a modular form of weight
9369:Spectral Methods of Automorphic Forms
7:
9175:Proceedings - Mathematical Sciences
8785:totally real algebraic number field
6333:can be expressed as polynomials in
44:, named after German mathematician
9146:
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7561:
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7072:
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6150:
6111:
6088:and similarly for the others. The
5894:
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5405:
5298:Basic algebra immediately implies
4516:
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2572:
2511:
2387:
1469:
935:
340:. Indeed, the key property is its
14:
8827:"Gotthold Eisenstein - Biography"
6284:of vectors of the squared length
2248:. Specifically, the higher order
16:Series representing modular forms
9408:. Graduate Texts in Mathematics
9378:(2nd ed.). Providence, RI:
8856:Taiwanese Journal of Mathematics
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8078:
8074:
6212:
5726:
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5652:
32:Real analytic Eisenstein series
9315:(2nd ed.). New York, NY:
8850:Gekeler, Ernst-Ulrich (2011).
8732:
8717:
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2091:Relation to modular invariants
2034:, although it would only be a
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1952:
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266:
252:
240:
216:
204:
193:
187:
1:
9380:American Mathematical Society
9356:10.1090/S0002-9939-99-04832-7
9287:American Mathematical Society
8901:Classical and Quantum Gravity
5560:Products of Eisenstein series
5391:an expression related to the
3350:th powers of the divisors of
317:to a holomorphic function of
132:holomorphic Eisenstein series
93:. Negative numbers are black.
8011:to include zero, by setting
5586:{\displaystyle \mathbb {Z} }
2936:of the Eisenstein series is
2017:{\displaystyle \mathbb {Z} }
1445:{\displaystyle \mathbb {Z} }
1421:{\displaystyle \mathbb {Z} }
401:{\displaystyle \mathbb {Z} }
358:{\displaystyle \mathbb {Z} }
9276:Translated into English as
5568:for the full modular group
2905:. (Some older books define
2529:{\displaystyle n \choose k}
2260:can be written in terms of
368:-covariance. Explicitly if
9472:
9063:Mathematics Stack Exchange
8931:10.1088/0264-9381/17/5/330
25:
18:
9187:10.1007/s12044-019-0498-4
9106:10.1016/j.jnt.2017.12.013
9011:Karel, Martin L. (1974).
8989:10.1007/s40993-015-0010-x
8966:Research in Number Theory
7991:identities involving the
7055:, e.g. Garvan's identity
6293:root lattice of the type
3354:. In particular, one has
9084:Journal of Number Theory
8869:10.11650/twjm/1500406358
4586:which normally uses the
3787:. When working with the
36:Siegel Eisenstein series
19:Not to be confused with
9152:{\displaystyle \Delta }
8790:, one then defines the
7993:sum-of-divisor function
3324:Riemann's zeta function
3090:where the coefficients
126:with strictly positive
9451:Analytic number theory
9404:A Course in Arithmetic
9336:"On Eisenstein Series"
9153:
8746:
8636:
8518:
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2080:terms cancel out. For
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304:
115:
101:The imaginary part of
94:
26:This article is about
9343:Proc. Amer. Math. Soc
9260:(in Russian). Moscow.
9154:
9017:Annals of Mathematics
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3629:; that is, one has
3621:The summation over
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2226:Recurrence relation
46:Gotthold Eisenstein
9398:Serre, Jean-Pierre
9285:. Providence, RI:
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