7651:
6985:
7646:{\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{}\end{aligned}}}
5638:
5129:
5633:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}
69:
3391:
3051:
3066:
2713:
2728:
3816:
4194:
5815:
5947:
6609:
5082:
1440:
3386:{\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}
2432:
4421:
3690:
6073:
6974:
4529:
3046:{\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}
4076:
6281:
6427:
5649:
3396:
From now on in this article, when the electric or magnetic fields are mentioned, a
Cartesian coordinate system is assumed, and the electric and magnetic fields are with respect to the coordinate system's reference frame, as in the equations above.
4949:
3981:
5830:
6462:
6870:
3605:
1102:
4721:
4266:
1194:
2010:
1009:
4859:
2708:{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}
6142:
1611:
4344:
1873:
2163:
5958:
6881:
4436:
3852:
6990:
6170:
5134:
4316:
1709:
2373:
3811:{\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}
4189:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }
4919:
3905:
3461:
6165:
1814:
6308:
5810:{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}
4039:
626:
3892:
1659:
5114:
6659:
2409:
599:
4591:
2287:
3681:
3648:
5942:{\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}
3511:
2192:
1934:
1902:
1761:
611:
1125:
4617:
2055:
6604:{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}
6645:
it is used as the template for the gauge field strength tensor. By being employed in addition to the local interaction
Lagrangian it reprises its usual role in QED.
4794:
6635:
2216:
1729:
1466:
5077:{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}
2033:
1486:
1149:
6701:
862:
4869:
4628:
631:
4596:
Using the expression relating the
Faraday tensor to the four-potential, one can prove that the above antisymmetric quantity turns to zero identically (
916:
6664:
1028:
641:
8201:
6654:
4619:). The implication of that identity is far-reaching: it means that the EM field theory leaves no room for magnetic monopoles and currents of such.
1435:{\displaystyle F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,}
8508:
4658:
466:
4205:
2415:. This gives the fields in a particular reference frame; if the reference frame is changed, the components of the electromagnetic tensor will
7704:
481:
103:
4641:. This theory stipulated that all the laws of physics should take the same form in all coordinate systems â this led to the introduction of
6456:
extends beyond the classical
Lagrangian established in relativity to incorporate the creation and annihilation of photons (and electrons):
1945:
8503:
953:
4799:
8385:
8064:
4416:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }
361:
7844:
7813:
7790:
7764:
7731:
7679:
93:
6084:
1501:
6068:{\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}
1819:
8266:
6969:{\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}
4524:{\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}
3417:
2064:
276:
6679:
3994:
3821:
1152:
940:
855:
621:
98:
8498:
8117:
8049:
4335:
636:
341:
8493:
8142:
4868:
represents a covariant derivative, as opposed to a partial derivative. These equations are sometimes referred to as the
4331:
2719:
501:
491:
476:
241:
108:
6156:
5821:
4271:
4067:
1664:
541:
231:
8380:
6669:
2302:
2234:
794:
669:
566:
461:
8191:
8011:
7783:
4935:
294:
4878:
8488:
7863:
6449:
6276:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}
5120:
4634:
1732:
848:
809:
336:
326:
266:
261:
201:
8365:
6422:{\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}}
3858:. The sign for the above depends on the convention used for the Levi-Civita symbol. The convention used here is
8447:
8319:
8026:
6299:
5643:
The two middle terms in the parentheses are the same, as are the two outer terms, so the
Lagrangian density is
2416:
1766:
779:
659:
346:
8417:
8104:
8021:
7991:
7756:
6453:
6439:
1905:
784:
754:
186:
176:
171:
46:
42:
8231:
8186:
6148:
4939:
4930:
4727:
4051:
3987:
1158:
376:
151:
3861:
1620:
8457:
8412:
7892:
7837:
3410:
900:
704:
391:
381:
331:
321:
68:
5087:
8432:
8360:
8246:
8112:
8074:
8006:
6642:
6443:
4865:
4742:
3976:{\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}
2423:
2381:
829:
729:
694:
446:
311:
211:
196:
131:
35:
4633:
The field tensor derives its name from the fact that the electromagnetic field is found to obey the
4544:
2243:
1954:
236:
8309:
8132:
8122:
7971:
7956:
7912:
4649:
3057:
2233:
can be obtained from the components of the electromagnetic tensor. The relationship is simplest in
2058:
1492:
936:
789:
769:
764:
571:
556:
441:
411:
306:
3656:
3623:
8442:
8299:
8152:
7966:
7902:
7722:
7670:
4738:
4638:
3855:
3608:
2412:
908:
664:
404:
206:
166:
2168:
1910:
1878:
1737:
3468:
In
Cartesian coordinates, these are simply the three spatial components of the electric field (
1110:
8437:
8345:
8206:
8181:
7996:
7907:
7887:
7809:
7786:
7760:
7727:
7700:
7675:
4599:
3684:
3505:
2038:
1185:
1019:
912:
724:
31:
17:
4645:. The tensor formalism also leads to a mathematically simpler presentation of physical laws.
2222:) is the 4-current density 1-form, is the differential forms version of Maxwell's equations.
8452:
8350:
8127:
8094:
8079:
7961:
7830:
7776:
4943:
4751:
4734:
4427:
1166:
876:
824:
739:
699:
689:
576:
531:
514:
431:
366:
136:
60:
6620:
2201:
1714:
8422:
8370:
8314:
8294:
8196:
8084:
7951:
7922:
6078:
The quantity in parentheses above is just the field tensor, so this finally simplifies to
2195:
1170:
1162:
759:
684:
679:
546:
421:
386:
281:
246:
146:
799:
1448:
8462:
8427:
8407:
8324:
8157:
8147:
8137:
8059:
8031:
8016:
8001:
7917:
7802:
6674:
6152:
4535:
4063:
4059:
2230:
2226:
2219:
2018:
1471:
1134:
719:
714:
536:
426:
351:
301:
251:
224:
181:
156:
126:
119:
915:. The tensor allows related physical laws to be written concisely, and allows for the
8482:
8399:
8304:
8216:
8089:
6865:{\displaystyle T_{}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})}
4327:
4055:
1128:
834:
819:
804:
744:
456:
371:
356:
271:
256:
161:
3600:{\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-2\left({\frac {E^{2}}{c^{2}}}-B^{2}\right)}
8467:
8271:
8256:
8221:
8069:
8054:
6615:
4319:
3615:
814:
709:
674:
616:
551:
436:
316:
191:
471:
8355:
8329:
8251:
7940:
7879:
6638:
4872:. Again, the second equation implies charge conservation (in curved spacetime):
3898:
734:
586:
416:
78:
4637:, this general property of physical laws being recognised after the advent of
1097:{\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}
8236:
3651:
1022:â an antisymmetric rank-2 tensor fieldâon Minkowski space. In component form,
451:
8211:
8162:
774:
749:
561:
486:
83:
30:
For an explanation and meanings of the index notation in this article, see
903:
in spacetime. The field tensor was first used after the four-dimensional
8241:
8226:
4716:{\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}
526:
521:
141:
41:"Electromagnetic field strength" redirects here. Not to be confused with
27:
Mathematical object that describes the electromagnetic field in spacetime
4261:{\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta }}
7935:
7897:
2419:, and the fields in the new frame will be given by the new components.
496:
4054:
as four vector calculus equations into two tensor field equations. In
8261:
7853:
4642:
3405:
The matrix form of the field tensor yields the following properties:
904:
581:
88:
2005:{\displaystyle {\begin{cases}dF=0\\{\star }d{\star }F=J\end{cases}}}
1004:{\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}
4854:{\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}
7826:
6147:
That equation is another way of writing the two inhomogeneous
6137:{\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}
3504:
If one forms an inner product of the field strength tensor a
1606:{\displaystyle A=A_{x}\ dx+A_{y}\ dy+A_{z}\ dz-(\phi /c)\ dt}
920:
6614:
where the first part in the right hand side, containing the
6468:
6414:
6314:
5910:
5856:
5655:
5139:
4955:
1868:{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}
3983:
which is proportional to the square of the above invariant.
1998:
7822:
2158:{\displaystyle J=-J_{x}\ dx-J_{y}\ dy-J_{z}\ dz+\rho \ dt}
7699:(3rd ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley.
3847:{\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}
7424:
7249:
7113:
7004:
4975:
3137:
2795:
2457:
6988:
6884:
6704:
6623:
6465:
6311:
6168:
6087:
5961:
5833:
5652:
5132:
5090:
4952:
4881:
4802:
4754:
4661:
4602:
4547:
4439:
4347:
4274:
4208:
4079:
3997:
3908:
3864:
3824:
3693:
3659:
3626:
3514:
3420:
3069:
2731:
2435:
2384:
2305:
2246:
2204:
2171:
2067:
2041:
2021:
1948:
1913:
1881:
1822:
1769:
1740:
1717:
1667:
1623:
1504:
1474:
1451:
1197:
1137:
1113:
1031:
956:
4925:
Lagrangian formulation of classical electromagnetism
931:
The electromagnetic tensor, conventionally labelled
8398:
8338:
8287:
8280:
8172:
8103:
8040:
7984:
7931:
7878:
7871:
6660:
Covariant formulation of classical electromagnetism
7801:
7775:
7645:
6968:
6864:
6629:
6603:
6421:
6275:
6136:
6067:
5941:
5809:
5632:
5108:
5076:
4913:
4853:
4788:
4715:
4611:
4585:
4523:
4415:
4310:
4260:
4199:and reduce to the inhomogeneous Maxwell equation:
4188:
4033:
3975:
3886:
3846:
3810:
3675:
3642:
3599:
3455:
3385:
3045:
2707:
2403:
2367:
2281:
2210:
2186:
2157:
2049:
2027:
2004:
1928:
1896:
1867:
1808:
1755:
1723:
1703:
1653:
1605:
1480:
1460:
1434:
1143:
1119:
1096:
1003:
7800:Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995).
6302:density can be obtained with the usual relation,
4311:{\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}
1704:{\displaystyle -{\vec {\nabla }}\phi ={\vec {E}}}
4648:The inhomogeneous Maxwell equation leads to the
3909:
2368:{\displaystyle B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},}
7720:J. A. Wheeler; C. Misner; K. S. Thorne (1973).
7668:J. A. Wheeler; C. Misner; K. S. Thorne (1973).
899:) is a mathematical object that describes the
7838:
3607:meaning this number does not change from one
1468:is the time element times the speed of light
856:
8:
7753:Modern Problems in Classical Electrodynamics
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4538:for the antisymmetric part of the tensor:
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964:
963:
955:
917:quantization of the electromagnetic field
8202:Covariance and contravariance of vectors
6655:Classification of electromagnetic fields
6434:Quantum electrodynamics and field theory
5952:So the EulerâLagrange equation becomes:
1809:{\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}
1176:, will be used throughout this article.
919:by the Lagrangian formulation described
7804:An Introduction to Quantum Field Theory
7660:
6496:
4629:Maxwell's equations in curved spacetime
4034:{\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}
612:Electromagnetism and special relativity
59:
2426:form with metric signature (+,-,-,-),
1733:irrotational/conservative vector field
1180:Relationship with the classical fields
632:Maxwell equations in curved spacetime
7:
6665:Electromagnetic stressâenergy tensor
1163:particle physicist's sign convention
4536:index notation with square brackets
4050:This tensor simplifies and reduces
3887:{\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}
1654:{\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}
8065:Tensors in curvilinear coordinates
7611:
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25:
5109:{\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}
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3803:
3795:
1159:SI units for Maxwell's equations
7697:Introduction to Electrodynamics
4368:
4114:
2718:The covariant form is given by
2404:{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
7634:
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5866:
4870:curved space Maxwell equations
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1920:
1904:is a vector potential for the
1888:
1859:
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1829:
1803:
1791:
1782:
1776:
1747:
1731:is a scalar potential for the
1695:
1677:
1648:
1636:
1627:
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1577:
1315:
1294:
1270:
1249:
1225:
1204:
941:electromagnetic four-potential
18:Electromagnetic field strength
1:
8509:Tensors in general relativity
8118:Exterior covariant derivative
8050:Tensor (intrinsic definition)
6290:take the values 1, 2, and 3.
1495:of its 1-form antiderivative
637:Relativistic electromagnetism
8143:Raising and lowering indices
3676:{\displaystyle G^{\mu \nu }}
3643:{\displaystyle F^{\mu \nu }}
2035:is the exterior derivative,
885:electromagnetic field tensor
8381:Gluon field strength tensor
7784:John Wiley & Sons, Inc.
6670:Gluon field strength tensor
6159:) using the substitutions:
5820:Substituting this into the
3466:Six independent components:
2296:is the speed of light, and
8525:
8504:Tensor physical quantities
8192:Cartan formalism (physics)
8012:Penrose graphical notation
6680:RiemannâSilberstein vector
6437:
4936:Classical electromagnetism
4928:
4626:
3620:The product of the tensor
2187:{\displaystyle {\vec {J}}}
1929:{\displaystyle {\vec {B}}}
1897:{\displaystyle {\vec {A}}}
1756:{\displaystyle {\vec {E}}}
362:LiĂŠnardâWiechert potential
40:
29:
7864:Glossary of tensor theory
7860:
7778:Classical Electrodynamics
7774:Jackson, John D. (1999).
7751:Brau, Charles A. (2004).
7726:. W.H. Freeman & Co.
7674:. W.H. Freeman & Co.
4635:tensor transformation law
4332:Gauss's law for magnetism
1120:{\displaystyle \partial }
947:, a differential 1-form:
627:Mathematical descriptions
337:Electromagnetic radiation
327:Electromagnetic induction
267:Magnetic vector potential
262:Magnetic scalar potential
8448:Gregorio Ricci-Curbastro
8320:Riemann curvature tensor
8027:Van der Waerden notation
7695:D. J. Griffiths (2007).
5116:is over space and time.
4942:can be derived from the
4612:{\displaystyle \equiv 0}
4336:MaxwellâFaraday equation
2196:electric current density
2050:{\displaystyle {\star }}
8418:Elwin Bruno Christoffel
8351:Angular momentum tensor
8022:Tetrad (index notation)
7992:Abstract index notation
7757:Oxford University Press
6454:quantum electrodynamics
6440:Quantum electrodynamics
5824:of motion for a field:
5822:EulerâLagrange equation
4041:which is equal to zero.
2220:electric charge density
1906:solenoidal vector field
177:Electrostatic induction
172:Electrostatic discharge
47:Magnetic field strength
43:Electric field strength
8232:Levi-Civita connection
7808:. Perseus Publishing.
7647:
6970:
6866:
6631:
6605:
6423:
6277:
6157:Ampère's circuital law
6138:
6069:
5943:
5811:
5634:
5110:
5078:
4931:Classical field theory
4915:
4855:
4790:
4789:{\displaystyle F_{}=0}
4728:conservation of charge
4717:
4613:
4587:
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4068:Ampère's circuital law
4035:
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3644:
3601:
3483:) and magnetic field (
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1482:
1462:
1436:
1145:
1121:
1098:
1005:
887:(sometimes called the
881:electromagnetic tensor
607:Electromagnetic tensor
8458:Jan Arnoldus Schouten
8413:Augustin-Louis Cauchy
7893:Differential geometry
7648:
6971:
6867:
6632:
6630:{\displaystyle \psi }
6606:
6424:
6278:
6139:
6070:
5944:
5812:
5635:
5111:
5079:
4916:
4856:
4791:
4743:covariant derivatives
4718:
4614:
4588:
4526:
4418:
4330:and magnetodynamics,
4313:
4263:
4191:
4036:
3978:
3889:
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3602:
3458:
3388:
3056:The Faraday tensor's
3048:
2710:
2417:transform covariantly
2406:
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2235:Cartesian coordinates
2213:
2211:{\displaystyle \rho }
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1006:
901:electromagnetic field
889:field strength tensor
600:Covariant formulation
392:Synchrotron radiation
332:Electromagnetic pulse
322:Electromagnetic field
8499:Theory of relativity
8433:Carl Friedrich Gauss
8366:stressâenergy tensor
8361:Cauchy stress tensor
8113:Covariant derivative
8075:Antisymmetric tensor
8007:Multi-index notation
6986:
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6643:quantum field theory
6621:
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6444:quantum field theory
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4940:Maxwell's equations
4739:partial derivatives
4650:continuity equation
4052:Maxwell's equations
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1186:differential 2-form
1020:differential 2-form
937:exterior derivative
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412:Alternating current
347:Jefimenko equations
307:Cyclotron radiation
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377:Maxwell equations
32:Einstein notation
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