2841:
4200:
2370:
1816:
330:
3943:
4018:
2836:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}.}
1602:
1613:
2118:
487:
108:
3756:
877:
4195:{\displaystyle \left({\frac {1}{\beta }}\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}e^{\frac {1}{\beta }}\gamma \left({\frac {\alpha }{\beta }},{\frac {1}{\beta }}\right)=\{{\alpha },\alpha (\alpha +\beta ),\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ),\dots \}\;}
3051:
3174:
1480:
4364:
1811:{\displaystyle u_{k}={\begin{cases}1+\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor &n=1\\\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-2)}(x)}}\right\rfloor \!\left(1+\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-1)}(x)}}\right\rfloor \right)&n\geq 2\end{cases}}}
3344:
1894:
681:
2928:
1327:
3487:
1237:
359:
997:
2375:
325:{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots ={\frac {1}{a_{1}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}
3938:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}}={\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )}}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}}+\cdots .}
696:(1202). This claim appears to refer to Fibonacci's compound fraction notation in which a sequence of numerators and denominators sharing the same fraction bar represents an ascending continued fraction:
3590:
3257:
3401:
decreases and the process of constructing the Engel expansion must terminate in a finite number of steps. Every rational number also has a unique infinite Engel expansion: using the identity
4461:
3979:
1418:
1096:
100:
702:
4011:
1065:
2198:
2936:
2245:
3059:
4253:
1469:
3701:
2292:
1597:{\displaystyle h(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor g(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor \!\left(x\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +x-1\right)}
935:
4220:
1140:
4484:. However, the set of real numbers in the interval (0,1] whose Engel expansions coincide with their greedy expansions has measure zero, and Hausdorff dimension 1/2.
3663:
2358:
1886:
1857:
4261:
3735:
2312:
2113:{\displaystyle (x)=\sum _{y:g(y)=x}{\frac {f(y)}{\left|{\frac {d}{dz}}g(z)\right|_{z=y}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f\left({\frac {x+1}{n+1}}\right)}{n+1}}}
3268:
543:
4548:
4523:
3744:
3710:
3672:
2857:
4481:
1248:
3407:
1163:
482:{\displaystyle e={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots }
4493:
943:
886:, the result is an Engel expansion. However, Engel expansion as a general technique does not seem to be described by Fibonacci.
512:
4877:
3506:
4743:
4628:
3182:
4882:
4887:
4410:
3950:
4464:
4223:
872:{\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\cfrac {c+{\cfrac {b+{\cfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}
336:
1338:
1073:
40:
4807:
4741:
Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004), "On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients",
3984:
3357:
Every positive rational number has a unique finite Engel expansion. In the algorithm for Engel expansion, if
3046:{\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6}
4401:
3596:
3169:{\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20}
1155:
1008:
3617:, and Szüsz asked for nontrivial bounds on the length of the finite Engel expansion of a rational number
2129:
2361:
2207:
351:
21:
4232:
1635:
4728:
4626:
Pierce, T. A. (1929), "On an algorithm and its use in approximating roots of algebraic equations",
4474:
4405:
1423:
4760:
4645:
4393:
3682:
3630:
534:
4660:
3614:
2250:
4856:
1827:
904:
508:
496:
4205:
1112:
4816:
4783:
4774:
4752:
4700:
4637:
3604:
2328:
1099:
4828:
4797:
4714:
4359:{\displaystyle e^{1/\beta }-1=\{1\beta ,2\beta ,3\beta ,4\beta ,5\beta ,6\beta ,\dots \}\;}
4824:
4793:
4710:
4688:
3648:
3626:
2334:
1862:
1833:
492:
686:
They claim that ascending continued fractions such as this have been studied as early as
3339:{\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}
4586:
3720:
2297:
4820:
676:{\displaystyle x={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}.}
4871:
4764:
4684:
4656:
3610:
4860:
4618:
Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher
Philologen und Schulmaenner in Marburg
4371:
1474:
Yet another equivalent method, called the modified Engel expansion calculated by
4805:
Wu, Jun (2003), "How many points have the same Engel and
Sylvester expansions?",
533:
observe that an Engel expansion can also be written as an ascending variant of a
4538:
4513:
4480:
The same typical growth rate applies to the terms in expansion generated by the
4383:
2923:{\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;}
882:
If such a notation has all numerators 0 or 1, as occurs in several instances in
692:
4756:
4473:
of the interval for which this is not the case is still large enough that its
4397:
4788:
1322:{\displaystyle u_{k}=1+\left\lfloor {\frac {1}{g^{(n-1)}(x)}}\right\rfloor }
687:
4664:
3482:{\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.}
1232:{\displaystyle g(x)=x\!\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}
3600:
522:, in which alternating terms are negative, is called a Pierce expansion.
31:
28:
3496:
in a finite Engel expansion can be replaced by an infinite sequence of (
4649:
35:
4691:(1991), "New bounds on the length of finite Pierce and Engel series",
3751:
The Engel expansion for arithmetic progressions can be represented as
2851:
To find the Engel expansion of 1.175, we perform the following steps.
4837:
4470:
3595:
This is analogous to the fact that any rational number with a finite
4724:"Approximation to quadratic irrationals and their Pierce expansions"
4705:
4641:
992:{\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil \!,}
3394:. Therefore, at each step, the numerator in the remaining fraction
4723:
3603:). An infinite Engel expansion in which all terms are equal is a
3737:= (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...) (sequence
4616:
3349:
and the Engel expansion of 1.175 is (1, 6, 20).
503:
is rational, its Engel expansion provides a representation of
4772:
Wu, Jun (2000), "A problem of
Galambos on Engel expansions",
1904:
4542:
4517:
3739:
3705:
3667:
3500: + 1)s without changing its value. For example,
1804:
3665:= (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...) (sequence
3703:= (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...) (sequence
4581:. Wu credits the result that the limit is almost always
846:
829:
812:
800:
786:
772:
650:
626:
602:
584:
570:
556:
849:
832:
815:
803:
789:
775:
653:
629:
605:
587:
573:
559:
4413:
4264:
4235:
4208:
4021:
3987:
3953:
3759:
3723:
3685:
3651:
3585:{\displaystyle 1.175=(1,6,20)=(1,6,21,21,21,\dots ).}
3509:
3410:
3271:
3185:
3062:
2939:
2860:
2373:
2337:
2300:
2253:
2210:
2132:
1897:
1865:
1836:
1616:
1483:
1426:
1341:
1251:
1166:
1115:
1076:
1011:
946:
907:
760:
705:
546:
362:
111:
43:
526:
Engel expansions, continued fractions, and
Fibonacci
3252:{\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0}
4455:
4358:
4247:
4214:
4194:
4005:
3973:
3937:
3729:
3695:
3657:
3584:
3481:
3338:
3251:
3168:
3045:
2922:
2835:
2352:
2306:
2286:
2239:
2192:
2112:
1880:
1851:
1810:
1596:
1463:
1412:
1321:
1231:
1134:
1090:
1059:
991:
929:
871:
675:
481:
324:
94:
4370:More Engel expansions for constants can be found
3625: ; this question was answered by Erdős and
3599:also has an infinite decimal representation (see
1725:
1550:
1185:
1150:Iterated functions for computing Engel expansions
985:
264:
235:
4415:
4562:
4456:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}}
3633:that the number of terms in the expansion is O(
4722:Paradis, J.; Viader, P.; Bibiloni, L. (1998),
3974:{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} }
3641:Engel expansions for some well-known constants
4839:Arithmetic Progression-Representing Constants
1154:Another equivalent method is to consider the
8:
4672:Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.
4566:
4352:
4292:
4188:
4114:
530:
4693:Journal de théorie des nombres de Bordeaux
4355:
4191:
1413:{\displaystyle g^{(n)}(x)=g(g^{(n-1)}(x))}
1091:{\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }
95:{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots )}
4787:
4704:
4549:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
4524:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
4443:
4439:
4434:
4418:
4412:
4392:of the Engel expansion typically exhibit
4273:
4269:
4263:
4234:
4207:
4117:
4096:
4083:
4064:
4048:
4041:
4027:
4020:
3986:
3967:
3966:
3952:
3881:
3851:
3838:
3802:
3791:
3781:
3775:
3764:
3758:
3722:
3686:
3684:
3650:
3508:
3467:
3445:
3439:
3428:
3411:
3409:
3312:
3291:
3278:
3270:
3213:
3203:
3190:
3184:
3146:
3133:
3090:
3080:
3067:
3061:
3023:
3010:
2967:
2957:
2944:
2938:
2897:
2884:
2865:
2859:
2799:
2761:
2701:
2676:
2645:
2623:
2580:
2573:
2567:
2556:
2535:
2523:
2478:
2460:
2450:
2439:
2421:
2409:
2387:
2382:
2374:
2372:
2336:
2299:
2252:
2211:
2209:
2133:
2131:
2066:
2056:
2050:
2039:
2018:
1986:
1964:
1937:
1909:
1903:
1902:
1896:
1864:
1835:
1751:
1741:
1691:
1681:
1648:
1630:
1621:
1615:
1563:
1536:
1503:
1482:
1431:
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1380:
1346:
1340:
1285:
1275:
1256:
1250:
1205:
1165:
1120:
1114:
1075:
1045:
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1016:
1010:
973:
964:
951:
945:
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850:
833:
816:
804:
797:
790:
783:
776:
769:
759:
706:
704:
659:
654:
635:
630:
611:
606:
588:
581:
574:
567:
560:
553:
545:
443:
416:
395:
382:
369:
361:
285:
276:
256:
247:
227:
218:
200:
190:
180:
170:
158:
148:
138:
127:
118:
110:
77:
64:
51:
42:
890:Algorithm for computing Engel expansions
4505:
4482:greedy algorithm for Egyptian fractions
4006:{\displaystyle 0<\alpha \leq \beta }
1822:The transfer operator of the Engel map
499:have an infinite Engel expansion. If
495:have a finite Engel expansion, while
7:
3353:Engel expansions of rational numbers
1102:(the smallest integer not less than
1060:{\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}
4863:. MathWorld–A Wolfram Web Resource.
4665:"On Engel's and Sylvester's series"
2193:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}=n+1}
511:. Engel expansions are named after
4598:
4578:
4494:Euler's continued fraction formula
4425:
4378:Growth rate of the expansion terms
3776:
3440:
2568:
2451:
2240:{\displaystyle {\frac {x+1}{n+1}}}
2051:
14:
4563:Erdős, Rényi & Szüsz (1958)
894:To find the Engel expansion of
4422:
4248:{\displaystyle \alpha =\beta }
4179:
4164:
4161:
4149:
4140:
4128:
3920:
3905:
3902:
3890:
3872:
3860:
3829:
3814:
3576:
3540:
3534:
3516:
3464:
3451:
2820:
2808:
2779:
2767:
2745:
2733:
2727:
2715:
2666:
2638:
2620:
2607:
2601:
2589:
2516:
2507:
2495:
2489:
2402:
2396:
2347:
2341:
2269:
2257:
2175:
2166:
2154:
2148:
2010:
2004:
1976:
1970:
1953:
1947:
1927:
1921:
1918:
1898:
1875:
1869:
1846:
1840:
1775:
1769:
1764:
1752:
1715:
1709:
1704:
1692:
1526:
1520:
1493:
1487:
1449:
1443:
1438:
1432:
1407:
1404:
1398:
1393:
1381:
1373:
1364:
1358:
1353:
1347:
1309:
1303:
1298:
1286:
1176:
1170:
346:1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
89:
44:
1:
4821:10.1016/S0022-314X(03)00017-9
4629:American Mathematical Monthly
1464:{\displaystyle g^{(0)}(x)=x.}
518:An expansion analogous to an
3262:The series ends here. Thus,
515:, who studied them in 1913.
3696:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
4904:
4744:Monatshefte für Mathematik
4567:Erdős & Shallit (1991)
4539:Sloane, N. J. A.
4514:Sloane, N. J. A.
2287:{\displaystyle x(n+1)-1=y}
2247:which is found by solving
4757:10.1007/s00605-004-0246-3
4224:Incomplete gamma function
531:Kraaikamp & Wu (2004)
4836:Llorente, A. G. (2023),
4808:Journal of Number Theory
2319:Relation to the Riemann
930:{\displaystyle u_{1}=x,}
342:has the Engel expansion
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