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1039:
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1709:
in the category with compatibility conditions. Looking at the equalizer diagram defining the end makes the equivalence clear.
2282:
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1817:
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1421:{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(-),G(-)):\mathbf {C} ^{op}\times \mathbf {C} \to \mathbf {Set} }
97:
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158:
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2451:
2433:
1433:
459:
1253:{\displaystyle \int ^{c}S(c,c)\leftarrow \coprod _{c\in C}S(c,c)\leftleftarrows \coprod _{c\to c'}S(c',c).}
2658:
2424:
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2374:
590:{\displaystyle \int _{c}S(c,c)\to \prod _{c\in C}S(c,c)\rightrightarrows \prod _{c\to c'}S(c,c'),}
2550:
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2601:
2596:
2535:
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2332:
19:
This article is about the type of transformation. For the category of morphisms denoted as
2732:
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1634:
33:
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2764:
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1541:{\displaystyle \int _{c}\mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(c),G(c))=\mathrm {Nat} (F,G)}
2513:
2414:
888:
is an extranatural transformation, such that for every extranatural transformation
26:
2774:
196:
is an extranatural transformation such that for every extranatural transformation
793:{\displaystyle S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }
89:{\displaystyle S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }
2754:
2626:
2496:
436:{\displaystyle e=\int _{c}^{}S(c,c){\text{ or just }}\int _{\mathbf {C} }^{}S.}
2806:
2744:
2357:
2800:
2491:
1125:
is small, then the coend can be described as the coequalizer in the diagram
1107:{\displaystyle d=\int _{}^{c}S(c,c){\text{ or }}\int _{}^{\mathbf {C} }S.}
2869:
2501:
2399:
1432:
In this case, the category of sets is complete, so we need only form the
2839:
2829:
2478:
2389:
2834:
2080:{\displaystyle \mathbf {Top} \times \mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }
2255:
2239:
2233:
Loregian, Fosco (2015). "This is the (co)end, my only (co)friend".
2716:
2267:
1890:
is the category of topological spaces. Moreover, there is a map
2259:
2656:
2309:
2271:
2228:. Springer Science & Business Media. pp. 222–226.
1803:{\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }
600:
where the first morphism being equalized is induced by
2171:
2151:
2118:
2098:
2037:
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1982:
1962:
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935:
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813:
750:
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2423:
2320:
2112:to be the composition of this product functor with
2177:
2157:
2133:
2104:
2087:that takes the product of two topological spaces.
2079:
2023:
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1968:
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1882:
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1854:
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261:
229:
188:
139:
88:
1923:{\displaystyle \gamma :\Delta \to \mathbf {Top} }
1308:{\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {X} }
1591:. Intuitively, a natural transformation from
2283:
1004:{\displaystyle \gamma _{a}=g\circ \zeta _{a}}
312:{\displaystyle \beta _{a}=\omega _{a}\circ h}
8:
2911:
2901:
2728:
2672:
2653:
2429:
2317:
2306:
2290:
2276:
2268:
458:is small, the end can be described as the
2238:
2170:
2150:
2117:
2097:
2066:
2052:
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1769:
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812:
800:is the dual of the definition of an end.
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212:
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172:
171:
160:
120:
81:
73:
60:
59:
54:
45:
2226:Categories For the Working Mathematician
2203:
1117:Characterization as colimit: Dually, if
922:{\displaystyle \gamma :S{\ddot {\to }}x}
189:{\displaystyle \omega :e{\ddot {\to }}S}
2196:
881:{\displaystyle \zeta :S{\ddot {\to }}d}
230:{\displaystyle \beta :x{\ddot {\to }}S}
7:
725:{\displaystyle S(c',c')\to S(c,c')}
2024:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
1963:
1903:
1780:
1777:
1772:
1519:
1516:
1513:
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1458:
1333:
1330:
1327:
768:
765:
64:
61:
14:
1551:the natural transformations from
654:{\displaystyle S(c,c)\to S(c,c')}
2910:
2900:
2891:
2890:
2643:
2165:is the geometric realization of
2134:{\displaystyle dT\times \gamma }
2073:
2070:
2067:
2059:
2056:
2053:
2045:
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1301:
1293:
1092:
786:
778:
759:
419:
330:By abuse of language the object
115:More explicitly, this is a pair
82:
74:
55:
929:there exists a unique morphism
237:there exists a unique morphism
2063:
2031:. Finally there is a functor
1943:
1937:
1906:
1883:{\displaystyle \mathbf {Top} }
1838:
1786:
1676:
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1476:
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1064:
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497:
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446:Characterization as limit: If
405:
393:
253:
215:
174:
134:
122:
78:
1:
661:and the second is induced by
2585:Constructions on categories
140:{\displaystyle (e,\omega )}
2953:
2692:Higher-dimensional algebra
832:{\displaystyle (d,\zeta )}
18:
2886:
2665:
2652:
2641:
2316:
2305:
1273:Suppose we have functors
1269:Natural transformations:
954:{\displaystyle g:d\to x}
262:{\displaystyle h:x\to e}
98:dinatural transformation
2502:Cokernels and quotients
2425:Universal constructions
1969:{\displaystyle \Delta }
355:{\displaystyle \omega }
2659:Higher category theory
2405:Natural transformation
2179:
2159:
2135:
2106:
2081:
2025:
1990:
1970:
1950:
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1884:
1856:
1804:
1758:
1734:
1714:Geometric realizations
1703:
1683:
1654:
1625:
1605:
1585:
1565:
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1309:
1254:
1108:
1005:
955:
923:
882:
833:
794:
740:The definition of the
726:
655:
591:
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356:
313:
263:
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2107:
2082:
2026:
1991:
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1566:
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2528:Algebraic categories
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2149:
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1960:
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1768:
1748:
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1664:
1653:{\displaystyle F(c)}
1635:
1615:
1595:
1575:
1555:
1443:
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1132:
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933:
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851:
811:
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665:
604:
469:
369:
346:
334:is often called the
277:
241:
200:
159:
119:
44:
16:Mathematical concept
2697:Homotopy hypothesis
2375:Commutative diagram
1930:sending the object
1631:is a morphism from
1097:
1060:
807:consists of a pair
426:
410: or just
389:
2410:Universal property
2222:Mac Lane, Saunders
2175:
2155:
2131:
2102:
2077:
2021:
1986:
1966:
1946:
1920:
1880:
1852:
1800:
1754:
1730:
1699:
1679:
1650:
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1601:
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1561:
1538:
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1305:
1250:
1223:
1181:
1121:is cocomplete and
1104:
1084:
1049:
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919:
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829:
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2923:
2882:
2881:
2878:
2877:
2860:monoidal category
2815:
2814:
2687:Enriched category
2639:
2638:
2635:
2634:
2612:Quotient category
2607:Opposite category
2522:
2521:
2178:{\displaystyle T}
2158:{\displaystyle S}
2105:{\displaystyle S}
1989:{\displaystyle n}
1812:discrete topology
1757:{\displaystyle T}
1733:{\displaystyle T}
1702:{\displaystyle c}
1624:{\displaystyle G}
1604:{\displaystyle F}
1584:{\displaystyle G}
1564:{\displaystyle F}
1436:and in this case
1203:
1166:
1082:
1011:for every object
913:
872:
843:is an object of
803:Thus, a coend of
540:
503:
411:
362:) and is written
319:for every object
221:
180:
2944:
2914:
2913:
2904:
2903:
2894:
2893:
2729:
2707:Simplex category
2682:Categorification
2673:
2654:
2647:
2617:Product category
2602:Kleisli category
2597:Functor category
2442:Terminal objects
2430:
2365:Adjoint functors
2318:
2307:
2292:
2285:
2278:
2269:
2244:
2242:
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2184:
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2137:
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2109:
2108:
2103:
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