3778:
3575:
2527:
79:
While the exact definition is not immediately straightforward, intuitively the essential supremum of a function is the smallest value that is greater than or equal to the function values everywhere while ignoring what the function does at a set of points of measure zero. For example, if one takes the
2344:
3468:
2148:
2412:
3236:
2912:
3339:
2038:
1773:
3773:{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}
2601:
respectively. However, from the point of view of the
Lebesgue measure, the set of rational numbers is of measure zero; thus, what really matters is what happens in the complement of this set, where the function is given as
955:
3032:
1839:
2231:
1247:
1880:
173:
then the supremum of the function equals one. However, its essential supremum is zero if we apply the
Lebesgue-Borel measure and are allowed to ignore what the function does at the single point where
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866:
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1918:
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3158:
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1943:
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2943:
3915:
3514:
1554:
1073:
1173:
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respectively, which are of measure zero. Everywhere else, the function takes the value 2. Thus, the essential supremum and the essential infimum of this function are both 2.
1132:
3817:
5419:
4486:
672:
3153:
2549:
5436:
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753:
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2599:
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2206:
2171:
2061:
2573:
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640:
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2372:
1100:
1629:
1574:
1394:
1267:
107:
2522:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}
875:
133:
2755:
1675:
436:
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348:
324:
304:
284:
264:
240:
220:
192:
1786:
2348:
The supremum of this function (largest value) is 5, and the infimum (smallest value) is â4. However, the function takes these values only on the sets
4603:
2947:
5259:
202:
As is often the case in measure-theoretic questions, the definition of essential supremum and infimum does not start by asking what a function
5090:
787:
4630:
5251:
4435:
4086:
5431:
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4361:
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4417:
5378:
5188:
4861:
3037:
4397:
4377:
5426:
4717:
4493:
4214:
3972:
2339:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
5373:
5267:
5173:
4427:
4331:
3075:
1885:
1199:
is measurable. Similar to the supremum, the essential supremum of a function is characterised by the following property:
5292:
5272:
5236:
5160:
4880:
4596:
1301:
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3521:
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5241:
5017:
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4382:
984:
465:
5326:
4455:
4402:
5409:
4855:
4786:
4476:
4722:
4392:
3463:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}
2143:{\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}
5502:
5178:
4936:
4896:
4589:
4079:
5461:
5361:
5183:
4905:
4751:
4407:
4336:
4229:
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376:
5097:
5022:
4975:
4970:
4965:
4807:
4690:
4648:
4234:
4126:
2917:
1176:
3875:
3478:
1514:
3231:{\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}
2907:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}
1140:
5331:
5297:
5205:
4915:
4870:
4712:
4635:
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3675:
2838:
2436:
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4626:
4568:
4356:
4239:
4178:
4147:
645:
55:
3334:{\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}
3123:
2532:
5507:
5466:
5226:
5211:
4910:
4791:
4769:
4538:
4440:
4346:
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1579:
1344:
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2578:
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5075:
4982:
4900:
4685:
4658:
4326:
4038:
2662:
2188:
2153:
2043:
68:
63:
2558:
2555:. This function is unbounded both from above and from below, so its supremum and infimum are
2377:
758:
138:
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5309:
5085:
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4528:
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4288:
4188:
4143:
4131:
3918:
3566:
2634:
2182:
2033:{\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}
1768:{\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}
1402:
1275:
619:
512:
3830:
2351:
1078:
5476:
5456:
5231:
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5124:
5102:
4960:
4925:
4845:
4739:
2552:
1614:
1559:
1379:
1252:
83:
3917:
is contained in a set of measure zero. Alternatively, one can assume that the measure is
112:
2737:
1657:
418:
5366:
5221:
5216:
5027:
5002:
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4885:
4865:
4825:
4815:
4612:
4341:
4157:
3366:
3346:
3241:
2211:
1637:
1494:
1466:
1182:
1019:
960:
703:
677:
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353:
333:
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249:
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177:
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5050:
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4920:
4890:
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4835:
4830:
4820:
4734:
4653:
4553:
4548:
4533:
4523:
4224:
4138:
4113:
3473:
5065:
4987:
4727:
4310:
4109:
4764:
3565:
consisting of all of measurable functions that are bounded almost everywhere is a
17:
4930:
696:
408:
31:
3872:
For nonmeasurable functions the definition has to be modified by assuming that
4774:
4563:
4254:
4054:
4756:
4700:
4695:
4558:
4543:
950:{\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}
869:
4050:
3027:{\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}
4781:
4640:
4198:
4167:
4118:
4095:
4041:: Treatise On Analysis, Vol. II. Associated Press, New York 1976. p 172f.
3827:
3570:
3517:
439:
327:
73:
47:
978:
43:
1834:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}
3856: â Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces
4581:
194:
is peculiar. The essential infimum is defined in a similar way.
4585:
4068:
1242:{\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }
58:, where one often deals with statements that are not valid for
1875:{\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,}
4064:
3528:
3766:
2900:
2515:
2332:
3065:{\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }
2040:
if the set of essential lower bounds is nonempty, and as
2063:
otherwise; again there is an alternative expression as
4013:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup |f|=-\infty .}
3001:
861:{\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}
4260:
3975:
3940:
3878:
3833:
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3578:
3524:
3481:
3389:
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3349:
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3161:
3126:
3078:
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2950:
2920:
2817:
2789:
2763:
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2698:
2665:
2637:
2608:
2581:
2561:
2535:
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2354:
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1946:
1888:
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1683:
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1582:
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1517:
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1278:
1255:
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379:
356:
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292:
272:
252:
228:
208:
180:
141:
115:
86:
3106:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}
1179:
space and, for simplicity, assume that the function
5449:
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5250:
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1913:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }
4273:
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3961:
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3355:
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2937:
2906:
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2749:
2726:
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2567:
2543:
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2200:
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1548:
1503:
1475:
1455:
1417:
1388:
1368:
1334:{\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
1333:
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1167:
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949:
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747:
712:
686:
666:
634:
605:
571:{\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
570:
527:
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430:
399:
362:
342:
318:
298:
278:
258:
234:
214:
186:
165:
127:
101:
1456:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}
4059:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
3982:
3684:
3598:
3557:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}
3448:
3429:
3396:
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3085:
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2076:
1962:
1953:
1895:
1805:
1796:
1438:
1227:
1109:
1052:
1043:
988:
649:
484:
1775:be the set of essential upper bounds. Then the
266:), but rather by asking for the set of points
4597:
4080:
8:
5342:RieszâMarkovâKakutani representation theorem
3664:
3601:
3586:
3579:
3343:If the essential supremums of two functions
2991:
2957:
2390:
2381:
2361:
2355:
2137:
2088:
2027:
2015:
1988:
1965:
1762:
1702:
1328:
1319:
943:
892:
855:
822:
565:
556:
462:is characterized by the following property:
1009:{\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}
499:{\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }
109:that is equal to zero everywhere except at
5437:Vitale's random BrunnâMinkowski inequality
5354:
4604:
4590:
4582:
4504:Vitale's random BrunnâMinkowski inequality
4461:
4087:
4073:
4065:
2631:It follows that the essential supremum is
2409:As another example, consider the function
4265:
4259:
3993:
3985:
3974:
3939:
3883:
3877:
3838:
3832:
3789:
3737:
3702:
3695:
3687:
3670:
3656:
3645:
3628:
3616:
3612:
3611:
3589:
3577:
3533:
3527:
3526:
3523:
3480:
3438:
3388:
3368:
3348:
3263:
3243:
3160:
3125:
3077:
3050:
3045:
3039:
3015:
3007:
3000:
2977:
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2966:
2949:
2928:
2927:
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2883:
2857:
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2816:
2788:
2762:
2739:
2718:
2697:
2692:On the other hand, consider the function
2672:
2664:
2641:
2636:
2607:
2580:
2560:
2537:
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2454:
2443:
2431:
2414:
2379:
2353:
2324:
2295:
2266:
2250:
2233:
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2190:
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50:, but adapted to
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