2095:
1571:
2090:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}
1082:
858:
25:
4332:
5056:
1287:
2332:
5932:) gravity, it is difficult to find generic tests. Additionally, since deviations away from General Relativity can be made arbitrarily small in some cases, it is impossible to conclusively exclude some modifications. Some progress can be made, without assuming a concrete form for the function
4075:
1077:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\left(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}
1418:
6821:. Notice that with any nontrivial tensorial dependence, we typically have additional massive spin-2 degrees of freedom, in addition to the massless graviton and a massive scalar. An exception is GaussâBonnet gravity where the fourth order terms for the spin-2 components cancel out.
5806:
4877:
2700:
6791:
3412:
1131:
3707:
6581:
3911:
2106:
3042:
3537:
2553:
761:
2923:
5678:
1294:
5682:
5441:
2592:
163:. A wide range of phenomena can be produced from this theory by adopting different functions; however, many functional forms can now be ruled out on observational grounds, or because of pathological theoretical problems.
352:
6668:
3272:
264:
4442:) theories. This mode is a mixture of massless transverse breathing mode (but not traceless) and massive longitudinal scalar mode. The transverse and traceless modes (also known as tensor modes) propagate at the
3961:
427:
3252:
1507:
3563:
4327:{\displaystyle h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }}
4387:
3176:
6407:
5830:) gravity in which matter is minimally coupled to the metric (i.e., in Jordan frame) is equivalent to a quintessence theory in which the scalar field mediates a fifth force with gravitational strength.)
5130:
4025:
2387:
5861:
independently and varies the action with respect to each of them separately. The matter
Lagrangian is assumed to be independent of the connection. These theories have been shown to be equivalent to
5494:
6028:
1126:
5051:{\displaystyle \Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }}
1576:
863:
3794:
4827:
6355:
6213:
669:
3758:
2927:
4066:
115:. The simplest case is just the function being equal to the scalar; this is general relativity. As a consequence of introducing an arbitrary function, there may be freedom to explain the
1282:{\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).}
819:
4068:
and after some tedious algebra, one can solve for the metric perturbation, which corresponds to the gravitational waves. A particular frequency component, for a wave propagating in the
3082:
4598:
3453:
2392:
1566:
681:
2807:
2731:
4508:
5499:
4873:
4702:
4662:
671:
independently. For completeness we will now briefly mention the basic steps of the variation of the action. The main steps are the same as in the case of the variation of the
5916:) gravity, one generalizes things even further, treating both the metric and connection independently, and assuming the matter Lagrangian depends on the connection as well.
1447:
43:
5264:
2583:
851:
8023:
6865:
598:
2802:
2327:{\displaystyle \delta S=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.}
6601:
6122:) gravity shares many of the same values as General Relativity, and is therefore indistinguishable using these tests. In particular light deflection is unchanged, so
6621:
6390:
563:
6648:
5268:
4535:
2772:
516:
460:
8325:
269:
6288:
6264:
6233:
487:
190:
8131:
3916:
3180:
8053:
4337:
3113:
8629:
8302:
8557:
5074:
3968:
3775:(helicities ±2) and the third (scalar) is coming from the fact that if we take into account a conformal transformation, the fourth order theory
8608:
8116:
6267:
6111:
5889:) theories appear to be in conflict with the Standard Model, may violate Solar system experiments, and seem to create unwanted singularities.
8634:
8286:
8259:
8101:
8016:
7870:
1413:{\displaystyle \delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}
5064:, we obtain exactly the same equations as before. However, the equations are only second order in the derivatives, instead of fourth order.
8379:
8310:
5946:
357:
6954:
Tsujikawa, Shinji (2007). "Matter density perturbations and effective gravitational constant in modified gravity models of dark energy".
5801:{\displaystyle {\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).}
8433:
2695:{\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}
1456:
8614:
8162:
8145:
8086:
630:
85:
4707:
8267:
8096:
6151:
634:
61:
3712:
6786:{\displaystyle \int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })}
4029:
3407:{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}
8009:
5906:
772:
8068:
7359:
Iglesias, A.; Kaloper, N.; Padilla, A.; Park, M. (2007). "How (not) to use the
Palatini formulation of scalar-tensor gravity".
6665:) gravity as presented in the previous sections is a scalar modification of general relativity. More generally, we can have a
2339:
8374:
8296:
5449:
3426:
in the
Fourier space and attribute the extra terms that appear on the right-hand side to an effective gravitational constant
3047:
8567:
7748:
Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev
Goswami, Umananda (2020). "A new f(R) gravity model and properties of gravitational waves in it".
7060:
Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev
Goswami, Umananda (2020). "A new f(R) gravity model and properties of gravitational waves in it".
4537:
model), the third polarization mode is a pure breathing mode and propagate with the speed of light through the spacetime.
3422:
are the
Newtonian potentials and use the field equations to first order. After some lengthy calculations, one can define a
8091:
7416:
7240:
1093:
3702:{\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},}
8681:
6830:
8352:
7715:
4832:
2742:
1087:
672:
184:
8246:
8236:
8111:
8194:
7007:
Liang, Dicong; Gong, Yungui; Hou, Shaoqi; Liu, Yunqi (2017). "Polarizations of gravitational waves in f(R) gravity".
6576:{\displaystyle f(R)=R-{\frac {\alpha }{\pi }}R_{c}\cot ^{-1}\left({\frac {R_{c}^{2}}{R^{2}}}\right)-\beta R_{c}\left}
2586:
7971:
Kalvakota, Vaibhav R., (2021) "Investigating f(R)" gravity and cosmologies". Mathematical physics preprint archive,
6941:
6293:
639:
8552:
8058:
5068:
5139:
8346:
8341:
7821:
7812:
4838:
180:
8562:
8272:
6835:
6814:
8449:
8443:
5858:
8410:
8477:
7537:
7298:
4613:
8278:
8188:
5862:
5822:. (At least, equivalent up to the caveat that we have not yet specified matter couplings, so (for example)
3906:{\displaystyle \Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},}
1519:
8394:
7965:
Salvatore
Capozziello and Mariafelicia De Laurentis, (2015) "F(R) theories of gravitation". Scholarpedia,
7113:
Gogoi, Dhruba Jyoti; Dev
Goswami, Umananda (2022). "Gravitational Waves in f(R) Gravity Power Law Model".
5819:
3262:
1510:
7406:
Barausse, E.; Sotiriou, T. P.; Miller, J. C. (2008). "A no-go theorem for polytropic spheres in
Palatini
8526:
8505:
8498:
8438:
6393:
6239:
6143:
6033:
2705:
1128:
is the difference of two connections, it should transform as a tensor. Therefore, it can be written as
160:
116:
8063:
4468:
7984:
3037:{\displaystyle -2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},}
8593:
8512:
8491:
8484:
8359:
8214:
8172:
7938:
7889:
7840:
7767:
7662:
7619:
7556:
7501:
7435:
7380:
7317:
7259:
7189:
7132:
7079:
7026:
6973:
6913:
6874:
3434:
2100:
1450:
155:
for the name of the arbitrary function). It has become an active field of research following work by
144:
6131:
1425:
4431:
3107:
2775:
120:
4563:
2558:
826:
8655:
8121:
8106:
8078:
7954:
7928:
7905:
7879:
7856:
7830:
7783:
7757:
7635:
7609:
7580:
7546:
7517:
7491:
7451:
7425:
7370:
7341:
7307:
7275:
7249:
7179:
7148:
7122:
7095:
7069:
7042:
7016:
6989:
6963:
5847:
4667:
4627:
3784:
3768:
156:
92:
3265:
is time and scale dependent. To see this, add a small scalar perturbation to the metric (in the
568:
3532:{\displaystyle \Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }}
2781:
530:. While the two formalisms lead to the same field equations for General Relativity, i.e., when
8639:
8547:
8291:
8219:
7600:
7572:
7482:
7361:
7333:
7217:
6904:
6902:
Starobinsky, A. A. (1980). "A new type of isotropic cosmological models without singularity".
6810:
2548:{\displaystyle F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+\leftF(R)=\kappa T_{\mu \nu },}
756:{\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }}
7598:
Clifton, T. (2008). "Parametrized post-Newtonian limit of fourth-order theories of gravity".
6586:
4434:
from general relativity, while the third corresponds to the new massive polarization mode of
8621:
8315:
8209:
7946:
7897:
7848:
7808:
7775:
7670:
7653:
Starobinsky, A.A (1980). "A new type of isotropic cosmological models without singularity".
7627:
7564:
7509:
7443:
7388:
7325:
7267:
7207:
7197:
7140:
7087:
7034:
6981:
6921:
6882:
6840:
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6606:
6360:
6064:
3423:
3085:
533:
463:
108:
6626:
4513:
2918:{\displaystyle 3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}}
8320:
8241:
8201:
8167:
7919:
4554:
3266:
2748:
492:
436:
132:
89:
7901:
5673:{\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left}
7942:
7893:
7844:
7771:
7666:
7623:
7560:
7505:
7447:
7439:
7384:
7321:
7263:
7193:
7136:
7083:
7030:
6977:
6917:
6878:
629:) gravity, one arrives at the field equations by varying the action with respect to the
8520:
7804:
7212:
7167:
6273:
6249:
6218:
5133:
4443:
4411:
519:
472:
7779:
7271:
7091:
103:) gravity is actually a family of theories, each one defined by a different function,
8675:
8457:
8126:
7958:
7787:
7674:
7521:
7455:
7279:
7152:
7099:
7046:
6993:
6925:
5941:
430:
7909:
7860:
7639:
7584:
7345:
7296:
Olmo, G. J. (2005). "The
Gravity Lagrangian According to Solar System Experiments".
5818:) theories to describe the accelerating universe is practically equivalent to using
8415:
7688:
7568:
6794:
6114:
is designed to be able to constrain generic modified theories of gravity. However,
3788:
766:
7972:
7950:
7329:
7238:
Flanagan, E. E. (2004). "The conformal frame freedom in theories of gravitation".
2103:
on the second and third terms (and neglected the boundary contributions), we get:
675:(see the article for more details) but there are also some important differences.
3767:
This class of theories when linearized exhibits three polarization modes for the
8384:
7966:
6798:
6130:) gravity, like General Relativity, is entirely consistent with the bounds from
6060:
4415:
128:
124:
7631:
7513:
7392:
7144:
7038:
6985:
2336:
By demanding that the action remains invariant under variations of the metric,
8598:
7852:
5436:{\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left}
3106:
represent the matter and radiation densities respectively; these satisfy the
8603:
8585:
8389:
8366:
6887:
6860:
347:{\displaystyle S=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}
7576:
7337:
7221:
8001:
7917:
Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). "Extended Theories of Gravity".
6942:
L. Amendola and S. Tsujikawa (2013) âDark Energy, Theory and Observationsâ
8660:
8470:
8463:
6243:
3772:
259:{\displaystyle S=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}
7202:
8032:
6067:
correction to the gravitational potential. The best current bounds are
7996:
7430:
7312:
7254:
131:. Some functional forms may be inspired by corrections arising from a
3956:{\displaystyle \Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}}
7803:
See Chapter 29 in the textbook on "Particles and Quantum Fields" by
4545:
Under certain additional conditions we can simplify the analysis of
422:{\displaystyle \kappa ={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}},g=\det g_{\mu \nu }}
7762:
7127:
7074:
7021:
6266:
was still large. However, it is not suited to describe the present
8252:
7933:
7884:
7835:
7614:
7551:
7496:
7375:
7184:
6968:
7819:
Sotiriou, T. P.; Faraoni, V. (2010). "f(R) Theories of Gravity".
5810:
This is general relativity coupled to a real scalar field: using
3247:{\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.}
1502:{\displaystyle \square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}
7692:
6937:
6935:
8005:
4382:{\displaystyle h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},}
3261:
An interesting feature of these theories is the fact that the
18:
3433:. Doing so, we get the gravitational potential (valid on sub-
3171:{\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;}
3088:, the dot is the derivative with respect to the cosmic time
7480:) gravity: Gravitational radiation and Solar System tests".
4800:
2712:
2652:
823:
Therefore, its variation with respect to the inverse metric
7535:
Cembranos, J. A. R. (2009). "Dark Matter from R Gravity".
5125:{\displaystyle {\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },}
4020:{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}
7868:
Sotiriou, T. P. (2009). "6+1 lessons from f(R) gravity".
2382:{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0}
6238:
Starobinsky gravity provides a mechanism for the cosmic
5881:. Due to the structure of the theory, however, Palatini
6290:
is very small. This implies that the quadratic term in
6043:
can be set to one as in general relativity. For metric
5489:{\displaystyle {\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }}
39:
6059:) gravity), the quadratic term is best constrained by
4457: = 1), this mode is dispersive. However, in
368:
6671:
6629:
6609:
6589:
6410:
6363:
6296:
6276:
6252:
6221:
6154:
5949:
5685:
5502:
5452:
5271:
5142:
5077:
4880:
4841:
4710:
4670:
4630:
4566:
4516:
4471:
4340:
4078:
4032:
3971:
3919:
3797:
3715:
3566:
3456:
3275:
3183:
3116:
3050:
2930:
2810:
2784:
2751:
2708:
2595:
2561:
2395:
2342:
2109:
1574:
1522:
1459:
1428:
1297:
1134:
1096:
861:
829:
775:
684:
642:
571:
536:
495:
475:
439:
360:
272:
193:
6023:{\displaystyle f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots }
1121:{\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
8648:
8580:
8538:
8424:
8403:
8334:
8181:
8155:
8144:
8077:
8046:
8039:
6051:) gravity (as opposed to Palatini or metric-affine
469:There are two ways to track the effect of changing
34:
may be too technical for most readers to understand
6785:
6642:
6615:
6595:
6575:
6384:
6349:
6282:
6258:
6227:
6207:
6022:
5800:
5672:
5488:
5435:
5258:
5124:
5050:
4867:
4821:
4696:
4656:
4592:
4529:
4502:
4381:
4326:
4060:
4019:
3955:
3905:
3752:
3701:
3531:
3406:
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3170:
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3036:
2917:
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2766:
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2547:
2381:
2326:
2089:
1560:
1501:
1441:
1412:
1281:
1120:
1076:
845:
813:
755:
663:
592:
557:
510:
481:
454:
421:
346:
258:
7472:Berry, C. P. L.; Gair, J. R. (2011). "Linearized
6866:Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
7733:Marcus Y. Yoo (2011). "Unexpected connections".
6861:"Non-linear Lagrangians and cosmological theory"
4704:. Then, one obtains the O'Hanlon (1972) action:
403:
123:of the Universe without adding unknown forms of
7973:https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/c/21/21-38.pdf
4822:{\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left.}
4446:, but the massive scalar mode moves at a speed
3965:Working to first order of perturbation theory:
678:The variation of the determinant is as always:
8326:Degenerate Higher-Order Scalar-Tensor theories
7166:De Felice, Antonio; Tsujikawa, Shinji (2010).
6350:{\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}
6208:{\displaystyle f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}}
4430:. The first two terms correspond to the usual
1086:For the second step see the article about the
664:{\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }}
8017:
6623:are two dimensionless positive constants and
6404:Gogoi-Goswami gravity has the following form
3753:{\displaystyle m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.}
8:
7233:
7231:
4061:{\displaystyle \Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi }
6148:Starobinsky gravity has the following form
814:{\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}
8152:
8043:
8024:
8010:
8002:
4465:) gravity metric formalism, for the model
3771:, of which two correspond to the massless
527:
7932:
7883:
7834:
7761:
7613:
7550:
7495:
7429:
7374:
7311:
7291:
7289:
7253:
7211:
7201:
7183:
7126:
7073:
7020:
6967:
6886:
6765:
6746:
6730:
6717:
6700:
6690:
6681:
6676:
6670:
6650:is a characteristic curvature constant.
6634:
6628:
6608:
6588:
6555:
6546:
6515:
6493:
6483:
6478:
6472:
6456:
6446:
6432:
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6318:
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6251:
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5765:
5764:
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5739:
5727:
5723:
5702:
5701:
5687:
5686:
5684:
5651:
5650:
5636:
5635:
5626:
5610:
5609:
5598:
5597:
5581:
5567:
5566:
5546:
5533:
5532:
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5513:
5501:
5481:
5468:
5454:
5453:
5451:
5420:
5400:
5391:
5367:
5366:
5363:
5348:
5334:
5333:
5313:
5300:
5299:
5294:
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5270:
5245:
5221:
5220:
5217:
5202:
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5178:
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5158:
5157:
5141:
5110:
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5008:
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4748:
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4515:
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3992:
3976:
3970:
3942:
3932:
3929:
3918:
3913:and use the field equations above to get
3853:
3830:
3823:
3822:
3796:
3732:
3722:
3714:
3678:
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3618:
3606:
3588:
3572:
3571:
3565:
3549:is a perturbation in the matter density,
3522:
3521:
3506:
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3476:
3455:
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3274:
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3198:
3197:
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3185:
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3151:
3131:
3130:
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3115:
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3057:
3049:
3020:
3019:
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3001:
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2960:
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2940:
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2903:
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2657:
2651:
2650:
2639:
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2615:
2600:
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2560:
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2341:
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1983:
1973:
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359:
335:
330:
328:
318:
291:
271:
247:
242:
240:
230:
212:
192:
62:Learn how and when to remove this message
46:, without removing the technical details.
7467:
7465:
6392:which is General Relativity with a null
6036:and must be small. The next coefficient
523:
143:) gravity was first proposed in 1970 by
8630:Gravitational interaction of antimatter
6851:
5071:. By performing a conformal rescaling:
3077:{\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}
179:) gravity, one seeks to generalize the
6112:parameterized post-Newtonian formalism
5061:
4557:
3419:
3415:
1291:Substituting into the equation above:
565:, the field equations may differ when
8635:Physics in the medieval Islamic world
8558:(2+1)-dimensional topological gravity
8054:Newton's law of universal gravitation
7871:Journal of Physics: Conference Series
6793:coupling involving invariants of the
5924:As there are many potential forms of
5857:) gravity, one treats the metric and
1568:, the variation in the action reads:
1561:{\displaystyle F(R)={\frac {df}{dR}}}
44:make it understandable to non-experts
7:
8380:Asymptotic safety in quantum gravity
7689:"Will the Universe expand forever?"
2737:The generalized Friedmann equations
2389:, one obtains the field equations:
8132:GibbonsâHawkingâYork boundary term
7809:World Scientific (Singapore, 2016)
6677:
6357:is negligible, i.e., one tends to
6063:measurements, since it leads to a
5768:
5742:
5704:
5653:
5612:
5600:
5514:
5482:
5456:
5417:
5409:
5382:
5378:
5369:
5236:
5232:
5223:
5194:
5190:
5149:
5103:
5067:We are currently working with the
5023:
4988:
4974:
4964:
4881:
4853:
4783:
4768:
4688:
4631:
4453: < 1 (in units where
4365:
4360:
4287:
4055:
4040:
4033:
3947:
3943:
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3573:
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3481:
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3457:
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3375:
3355:
3316:
3309:
3277:
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3226:
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3202:
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3153:
3132:
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2989:
2986:
2961:
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2854:
2851:
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2487:
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2266:
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1970:
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1480:
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1375:
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1217:
1188:
1139:
1101:
1048:
1035:
1014:
1001:
644:
331:
243:
14:
8247:Modified Newtonian dynamics, MOND
8163:Classical theories of gravitation
4503:{\displaystyle f(R)=\alpha R^{2}}
23:
8069:History of gravitational theory
7780:10.1140/epjc/s10052-020-08684-3
7750:The European Physical Journal C
7092:10.1140/epjc/s10052-020-08684-3
7062:The European Physical Journal C
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3821:
8375:Causal dynamical triangulation
8064:Poisson's equation for gravity
7967:doi:10.4249/scholarpedia.31422
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7714:Biron, Lauren (7 April 2015).
7569:10.1103/PhysRevLett.102.141301
6780:
6704:
6420:
6414:
6373:
6367:
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6300:
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4110:
4092:
4072:-direction, may be written as
3891:
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1591:
1585:
1532:
1526:
1442:{\displaystyle \nabla _{\mu }}
581:
575:
546:
540:
505:
499:
449:
443:
315:
309:
282:
276:
203:
197:
1:
7951:10.1016/j.physrep.2011.09.003
7448:10.1088/0264-9381/25/6/062001
7417:Classical and Quantum Gravity
7330:10.1103/PhysRevLett.95.261102
7241:Classical and Quantum Gravity
4553:) theories by introducing an
617:Derivation of field equations
526:and the second is to use the
518:, i.e., to obtain the theory
7997:Extended Theories of Gravity
7675:10.1016/0370-2693(80)90670-X
7172:Living Reviews in Relativity
6926:10.1016/0370-2693(80)90670-X
6831:Extended theories of gravity
6235:has the dimensions of mass.
5443:after integrating by parts.
5259:{\displaystyle R=\Phi \left}
4593:{\displaystyle f''(R)\neq 0}
2774:we can find the generalized
2578:{\displaystyle T_{\mu \nu }}
846:{\displaystyle g^{\mu \nu }}
8237:Infinite derivative gravity
7272:10.1088/0264-9381/21/15/N02
6032:The first term is like the
4868:{\displaystyle V'(\Phi )=R}
4697:{\displaystyle R=V'(\Phi )}
4657:{\displaystyle \Phi =f'(R)}
3763:Massive gravitational waves
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