2137:
3571:
304:
Here "smooth" may be interpreted as "infinitely differentiable", but often is interpreted as "twice continuously differentiable" or "continuously differentiable" or even just "continuous", since these weaker statements may be strong enough for a given task. "Compactly supported" means "vanishes
988:
1779:
1875:
3389:
2279:
3294:
1238:
2779:
1376:
827:
3138:
2961:
2500:
216:
2605:
1880:
2678:
3027:
2892:
723:
1097:
1860:
2841:
1590:
2426:
3069:
2334:
624:
577:
767:
2132:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=u'_{0},\\f_{1}&=u_{0}+u'_{1},\\f_{2}&=u_{1}+u'_{2}\\\vdots \\f_{n-1}&=u_{n-2}+u'_{n-1},\\f_{n}&=u_{n-1}\end{aligned}}}
1605:
413:
2377:
2540:
1442:
1023:
84:
keeps sign (positive or negative). Several versions of the lemma are in use. Basic versions are easy to formulate and prove. More powerful versions are used when needed.
3358:
819:
278:
143:
3566:{\displaystyle {\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}.}
670:
3378:
787:
644:
493:
473:
453:
433:
375:
355:
298:
246:
111:
525:
335:
2843:
is straightforward; one applies the results for scalar functions to each coordinate separately, or treats the vector-valued case from the beginning.
3178:
1132:
983:{\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-c)(d-x)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}
2853:
2150:
3076:
2899:
50:
can be concentrated on an arbitrarily small interval, but not a single point. Accordingly, the necessary condition of extremum (
3831:
1304:
150:
3826:
3381:
3841:
2687:
1457:
2997:
2862:
675:
1031:
3836:
1800:
3170:
2799:
1536:
2610:
2437:
2794:
2545:
17:
1774:{\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\dots +f_{n}(x)\,h^{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0}
35:
3032:
582:
538:
72:), free of the integration with arbitrary function. The proof usually exploits the possibility to choose
3581:
1469:
728:
69:
51:
380:
2382:
1517:
1501:
1477:
1465:
2290:
851:
3577:
1524:
suffices, and the conclusions are stated everywhere except the finite set of discontinuity points.
1521:
1513:
223:
2339:
2505:
1497:
1397:
1001:
3166:
1505:
1449:
3305:
1516:(rather than continuous differentiability). Sometimes the given functions are assumed to be
55:
2785:=3, and so on; in general, the brackets cannot be opened because of non-differentiability.
792:
251:
116:
226:
649:
3363:
772:
629:
478:
458:
438:
418:
360:
340:
283:
231:
96:
498:
308:
3820:
3300:
995:
2607:
is not necessary. Rather, the necessary and sufficient condition may be written as
68:
is typically used to transform this weak formulation into the strong formulation (
31:
3289:{\displaystyle J=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t}
2147:
This necessary condition is also sufficient, since the integrand becomes
1468:
reduces both statements to the basic version; this case is attributed to
2979:
Similarly to the basic version, one may consider a continuous function
1233:{\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0}
2987:
vanishes on the boundary of Ω (rather than compactly supported).
2274:{\displaystyle (u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'.}
2990:
Here is a version for discontinuous multivariable functions.
415:"; but often a weaker statement suffices, assuming only that
2542:
need not be differentiable twice. The sufficient condition
1508:(thus, in all continuity points), and differentiability of
976:
455:
and a number of its derivatives) vanishes at the endpoints
3133:{\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}
2956:{\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}
1797:), then there exist continuously differentiable functions
1371:{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x=0}
646:
is continuous, it is nonzero with the same sign for some
58:(variational form) integrated with an arbitrary function
2287:= 1 is just the version for two given functions, since
27:
Initial result in using test functions to find extremum
3746:, Lemma on p.22; the proof applies in both situations.
3576:
The Euler–Lagrange equation plays a prominent role in
211:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)\,\mathrm {d} x=0}
3392:
3366:
3308:
3181:
3079:
3035:
3000:
2902:
2865:
2802:
2690:
2613:
2548:
2508:
2440:
2385:
2342:
2293:
2153:
1878:
1803:
1608:
1539:
1400:
1307:
1135:
1034:
1004:
998:
satisfies the properties in the statement, including
830:
795:
775:
731:
678:
652:
632:
585:
541:
501:
481:
461:
441:
421:
383:
363:
343:
311:
286:
254:
234:
153:
119:
99:
3696:
3565:
3372:
3352:
3288:
3132:
3063:
3021:
2955:
2886:
2835:
2773:
2672:
2599:
2534:
2494:
2420:
2371:
2328:
2273:
2131:
1854:
1773:
1584:
1436:
1370:
1232:
1091:
1017:
982:
813:
781:
761:
717:
664:
638:
618:
571:
519:
487:
467:
447:
427:
407:
369:
349:
329:
292:
272:
240:
210:
137:
105:
3810:Calculus of Variations and Optimal Control Theory
3792:Calculus of variations and optimal control theory
3799:Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996),
2774:{\displaystyle f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0}
3022:{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}
2887:{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}
1496:) may be discontinuous, provided that they are
66:fundamental lemma of the calculus of variations
718:{\displaystyle a<c<{\bar {x}}<d<b}
3144:for all compactly supported smooth functions
2967:for all compactly supported smooth functions
1785:for all compactly supported smooth functions
1244:for all compactly supported smooth functions
1092:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)dx>0,}
8:
3743:
3720:
3672:
3645:
3621:
3755:
3732:
3684:
3604:
18:Fundamental lemma of calculus of variations
1855:{\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{n-1}}
1472:, while the proof of differentiability of
3546:
3545:
3517:
3516:
3483:
3472:
3466:
3464:
3427:
3426:
3393:
3391:
3365:
3335:
3322:
3307:
3278:
3277:
3254:
3253:
3218:
3213:
3206:
3201:
3180:
3116:
3115:
3102:
3084:
3078:
3046:
3034:
3013:
3009:
3008:
2999:
2939:
2938:
2925:
2907:
2901:
2878:
2874:
2873:
2864:
2836:{\displaystyle (a,b)\to \mathbb {R} ^{d}}
2827:
2823:
2822:
2801:
2740:
2727:
2711:
2695:
2689:
2647:
2634:
2618:
2612:
2582:
2566:
2553:
2547:
2526:
2513:
2507:
2474:
2458:
2445:
2439:
2403:
2390:
2384:
2360:
2347:
2341:
2317:
2304:
2292:
2242:
2226:
2188:
2161:
2152:
2113:
2096:
2070:
2051:
2028:
2004:
1991:
1974:
1954:
1941:
1924:
1904:
1887:
1879:
1877:
1840:
1821:
1808:
1802:
1757:
1756:
1732:
1727:
1712:
1681:
1666:
1646:
1631:
1618:
1613:
1607:
1576:
1557:
1544:
1538:
1399:
1354:
1353:
1335:
1317:
1312:
1306:
1216:
1215:
1194:
1166:
1145:
1140:
1134:
1044:
1039:
1033:
1009:
1003:
944:
868:
846:
829:
794:
774:
739:
738:
730:
692:
691:
677:
651:
631:
587:
586:
584:
549:
548:
540:
500:
480:
460:
440:
420:
382:
362:
342:
310:
285:
253:
233:
194:
193:
163:
158:
152:
118:
98:
3771:Jost, JĂĽrgen; Li-Jost, Xianqing (1998),
3708:
3660:
3633:
1585:{\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}}
3592:
2673:{\displaystyle f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0}
2495:{\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,}
1500:(on the given interval). In this case,
2600:{\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0}
3617:
3615:
3613:
725:. Without loss of generality, assume
78:concentrated on an interval on which
7:
3656:
3654:
3600:
3598:
3596:
1484:Versions for discontinuous functions
3780:Gelfand, I.M.; Fomin, S.V. (1963),
3064:{\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}
2983:on the closure of Ω, assuming that
1533:If a tuple of continuous functions
619:{\displaystyle {\bar {x}}\in (a,b)}
572:{\displaystyle f({\bar {x}})\neq 0}
495:; in this case the closed interval
3542:
3486:
3473:
3467:
3452:
3396:
3279:
3117:
3085:
3055:
3001:
2940:
2908:
2866:
1758:
1355:
1217:
1111:If a pair of continuous functions
1010:
969:
966:
963:
960:
957:
954:
951:
948:
945:
762:{\displaystyle f({\bar {x}})>0}
195:
25:
3360:(for an appropriate vector space
3165:This lemma is used to prove that
2434:=2 does not lead to the relation
821:and zero elsewhere, for example
3697:Giaquinta & Hildebrandt 1996
408:{\displaystyle a<c<d<b}
2421:{\displaystyle f_{0}-f'_{1}=0.}
1504:is meant, the conclusions hold
1276:= 0 is just the basic version.
1106:Version for two given functions
3537:
3534:
3528:
3510:
3504:
3492:
3447:
3444:
3438:
3420:
3414:
3402:
3344:
3341:
3315:
3274:
3271:
3265:
3247:
3241:
3229:
3191:
3185:
3156:, that is, almost everywhere).
3112:
3106:
3099:
3093:
3058:
3052:
2935:
2929:
2922:
2916:
2818:
2815:
2803:
2758:
2750:
2720:
2704:
2657:
2627:
2329:{\displaystyle f=f_{0}=u'_{0}}
2261:
2255:
2243:
2219:
2203:
2181:
2171:
2154:
1753:
1750:
1744:
1739:
1733:
1724:
1718:
1696:
1690:
1678:
1672:
1656:
1650:
1643:
1637:
1624:
1425:
1419:
1410:
1404:
1350:
1344:
1332:
1326:
1212:
1209:
1203:
1191:
1185:
1176:
1170:
1163:
1157:
1151:
1071:
1065:
1059:
1053:
901:
889:
886:
874:
840:
834:
808:
796:
750:
744:
735:
697:
613:
601:
592:
560:
554:
545:
514:
502:
324:
312:
267:
255:
190:
184:
178:
172:
132:
120:
1:
3624:, Lemma 1 on p.9 (and Remark)
1279:Here is the special case for
3812:, Princeton University Press
3790:Hestenes, Magnus R. (1966),
2372:{\displaystyle f_{1}=u_{0},}
1458:continuous differentiability
2535:{\displaystyle f_{2}=u_{1}}
1437:{\displaystyle h(a)=h(b)=0}
1018:{\displaystyle C^{\infty }}
3858:
1102:we reach a contradiction.
3808:Liberzon, Daniel (2012),
3699:, section 2.3: Mollifiers
1600:) satisfies the equality
1382:for all smooth functions
1299:) satisfies the equality
1287:If a continuous function
1127:) satisfies the equality
93:If a continuous function
54:equal zero) appears in a
3801:Calculus of Variations I
3744:Gelfand & Fomin 1963
3721:Gelfand & Fomin 1963
3673:Gelfand & Fomin 1963
3646:Gelfand & Fomin 1963
3622:Gelfand & Fomin 1963
1512:is interpreted as local
1283:= 0 (often sufficient).
3786:(transl. from Russian).
3756:Jost & Li-Jost 1998
3733:Jost & Li-Jost 1998
3685:Jost & Li-Jost 1998
3605:Jost & Li-Jost 1998
3382:Euler–Lagrange equation
3353:{\displaystyle y:\to V}
2894:satisfies the equality
2847:Multivariable functions
2795:vector-valued functions
2789:Vector-valued functions
1260:is differentiable, and
145:satisfies the equality
3832:Calculus of variations
3782:Calculus of variations
3775:, Cambridge University
3773:Calculus of variations
3758:, Lemma 3.2.3 on p.170
3567:
3374:
3354:
3290:
3134:
3065:
3023:
2957:
2888:
2854:multivariable function
2837:
2775:
2674:
2601:
2536:
2496:
2430:In contrast, the case
2422:
2373:
2330:
2275:
2133:
1856:
1775:
1586:
1438:
1372:
1234:
1093:
1019:
984:
815:
783:
763:
719:
666:
640:
620:
573:
521:
489:
469:
449:
429:
409:
371:
351:
331:
294:
274:
242:
212:
139:
107:
36:calculus of variations
34:, specifically in the
3711:, Lemma 13.1 on p.105
3687:, Lemma 1.2.1 on p.13
3582:differential geometry
3568:
3375:
3355:
3291:
3135:
3071:satisfy the equality
3066:
3024:
2958:
2889:
2838:
2776:
2675:
2602:
2537:
2497:
2423:
2374:
2331:
2276:
2134:
1857:
1776:
1587:
1488:The given functions (
1470:Joseph-Louis Lagrange
1439:
1373:
1272:The special case for
1235:
1094:
1020:
985:
816:
814:{\displaystyle (c,d)}
784:
764:
720:
667:
641:
621:
574:
522:
490:
470:
450:
430:
410:
372:
352:
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