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358:
can not be acquired by a single sensor alone (a constraint found by limitations of hardware or data throughput), rather the partial components of the signal must be collected via a network of sensors, and the partial signal representations are then
4503:
5883:{\displaystyle {\tilde {F}}_{i}={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &&\vdots \\{\tilde {f}}_{i1}&{\tilde {f}}_{i2}&\cdots &{\tilde {f}}_{i|J_{i}|}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\end{bmatrix}}_{N\times |J_{i}|},}
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610:
5661:{\displaystyle F_{i}={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &&\vdots \\f_{i1}&f_{i2}&\cdots &f_{i|J_{i}|}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\end{bmatrix}}_{N\times |J_{i}|},}
5232:
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4670:{\displaystyle S_{W}=\sum v_{i}^{2}T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}^{\ast }T_{{\mathcal {F}}_{i}}=\sum v_{i}^{2}T_{{\mathcal {F}}_{i}}^{\ast }T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}}
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5382:
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2734:
876:
286:. In particular, the lead seems to say that this concept was elaborated for signal processing, but there in nothing about this application in the body of the article.
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2663:
2635:
366:
By construction, fusion frames easily lend themselves to parallel or distributed processing of sensor networks consisting of arbitrary overlapping sensor fields.
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834:{\displaystyle A\|f\|^{2}\leq \sum _{i\in {\mathcal {I}}}v_{i}^{2}{\big \|}P_{W_{i}}f{\big \|}^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in {\mathcal {H}},}
4353:
2985:
84:
354:. It is an additive construct of several, potentially "overlapping" frames. The motivation for this concept comes from the event that a
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351:
3909:{\displaystyle S_{W}\left(f\right)=T_{W}^{\ast }T_{W}\left(f\right)=\sum v_{i}^{2}P_{W_{i}}\left(f\right).}
5980:
4060:
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2763:
949:
are called lower and upper bound, respectively. When the lower and upper bounds are equal to each other,
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3470:{\displaystyle T_{W}\left(f\right)=\{v_{i}P_{W_{i}}\left(f\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}.}
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1602:
1575:
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2578:{\displaystyle \{\left(W_{i},v_{i},\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
2101:{\displaystyle \{\left(W_{i},v_{i},\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
1337:{\displaystyle \{\left(W_{i},v_{i},\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
237:
2640:
2612:
3554:{\displaystyle T_{W}^{\ast }:\{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}\rightarrow {\mathcal {H}}}
2304:
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6012:
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4246:{\displaystyle \{\left(W_{i},v_{i},{\mathcal {F}}_{i}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
3727:{\displaystyle g=\{f_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\in \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}}
375:
6096:
347:
6046:
5475:{\displaystyle S=\sum _{i\in {\mathcal {I}}}v_{i}^{2}F_{i}{\tilde {F}}_{i}^{T},}
3362:{\displaystyle T_{W}:{\mathcal {H}}\rightarrow \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}}
175:
6078:
6038:
4432:{\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}=\{{\tilde {f}}_{ij}\}_{j\in J_{i}}}
6029:
3055:{\displaystyle P_{W}f=\sum \langle f,f_{k}\rangle {\tilde {f}}_{k},}
5080:), the fusion frame operator can be constructed with a matrix. Let
75:
provides insufficient context for those unfamiliar with the subject
6015:; Li, Shidong (2008). "Fusion frames and distributed processing".
193:
2399:{\displaystyle \{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}
2247:{\displaystyle \{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}
1959:{\displaystyle \{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}
4128:
is the identity operator. Therefore, the fusion frame operator
6138:
3777:{\displaystyle S_{W}:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}
3293:
be representation space for projection. The analysis operator
775:
747:
264:
169:
114:
59:
18:
6073:. Contemporary Mathematics. Vol. 345. pp. 87–113.
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3759:
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3629:{\displaystyle T_{W}^{\ast }\left(g\right)=\sum v_{i}f_{i},}
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1565:{\displaystyle \{f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}
1195:{\displaystyle \{f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}
4343:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}}
2877:{\displaystyle P_{W}f=\sum \langle f,x_{n}\rangle x_{n}.}
4919:{\displaystyle T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}^{\ast }}
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3980:{\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
3930:
3924:
Given the lower and upper bounds of the fusion frame
3793:
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1005:{\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
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5227:{\displaystyle \{f_{ij}\}_{j\in {\mathcal {J}}_{i}}}
130:
may be too technical for most readers to understand
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5351:{\displaystyle S:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
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541:
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467:
443:
393:
5033:{\displaystyle \dim {\mathcal {H}}=:N<\infty }
2887:We can also express the orthogonal projection of
3286:{\displaystyle \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}}
1720:
1667:
6060:
6058:
6056:
4757:{\displaystyle T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}}
1752:{\textstyle D=\inf _{i\in {\mathcal {I}}}D_{i}}
1699:{\textstyle C=\inf _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}
1493:{\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
1419:{\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in {\mathcal {H}}}}
542:{\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
444:{\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}
4869:{\displaystyle T_{{\mathcal {F}}_{i}}^{\ast }}
3480:The adjoint is called the synthesis operator
8:
5198:
5181:
5114:
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583:
556:
520:
506:
422:
408:
292:. There might be a discussion about this on
202:introducing citations to additional sources
6017:Applied and Computational Harmonic Analysis
5073:{\displaystyle |{\mathcal {I}}|<\infty }
4988:{\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}
4826:{\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}
53:Learn how and when to remove these messages
6006:
6004:
6002:
6000:
5998:
5996:
549:be a set of positive scalar weights. Then
6112:An introduction to frames and Riesz bases
6028:
5947:
5941:
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671:{\displaystyle 0<A\leq B<\infty }
4712:{\displaystyle T_{{\mathcal {F}}_{i}}}
1032:-tight fusion frame. Furthermore, if
140:make it understandable to non-experts
85:providing more context for the reader
7:
6071:Wavelets, Frames and Operator Theory
4098:{\displaystyle AI\leq S_{W}\leq BI,}
3100:{\displaystyle \{{\tilde {f}}_{k}\}}
2760:. Then the orthogonal projection of
1344:is called a fusion frame system for
5311:{\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}
3107:is a dual frame of the local frame
2783:{\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}
6114:. Boston : Birkhäuser. p. 8.
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5318:. Then the fusion frame operator
34:This article has multiple issues.
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185:relies largely or entirely on a
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3037:
2927:in terms of given local frame
2703:be a closed subspace, and let
2602:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
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394:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
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2585:is a fusion frame system for
2108:is a fusion frame system for
5234:be a frame for the subspace
4926:are synthesis operators for
4470:, the fusion frame operator
4439:, which is a dual frame for
4163:Given a fusion frame system
4155:is positive and invertible.
4027:, the fusion frame operator
2609:with lower and upper bounds
2430:with lower and upper bounds
2278:with lower and upper bounds
2132:with lower and upper bounds
350:is a natural extension of a
16:Mathematical frame extension
4764:are analysis operators for
6175:
6039:10.1016/j.acha.2007.10.001
3737:The fusion frame operator
2669:Local frame representation
363:into the complete signal.
6110:Christensen, Ole (2003).
5377:{\displaystyle N\times N}
4998:For finite frames (i.e.,
3133:{\displaystyle \{f_{k}\}}
2953:{\displaystyle \{f_{k}\}}
2729:{\displaystyle \{x_{n}\}}
1372:Relation to global frames
871:{\displaystyle P_{W_{i}}}
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451:be closed subspaces of
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