3385:
2361:
2902:
1871:
3380:{\displaystyle {\begin{aligned}dY_{s}={}&\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\&{}+\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}}
2356:{\displaystyle {\begin{aligned}dY_{s}={}&d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)u(X_{s},s)+\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,du(X_{s},s)\\&{}+d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}}
4902:
336:
4615:
2850:
6990:
1866:
2566:
3752:
75:
3534:
2610:
1632:
5653:
5990:
6783:
2368:
4897:{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-r(x,t)\,u=f(x,t),}
1057:
6342:
1271:
3581:
63:
It offers a method of solving certain partial differential equations by simulating random paths of a stochastic process. Conversely, an important class of expectations of random processes can be computed by deterministic methods.
6778:
5800:
5030:
56:, Kac attended a presentation of Feynman's and remarked that the two of them were working on the same thing from different directions. The Feynman–Kac formula resulted, which proves rigorously the real-valued case of Feynman's
7197:
5258:
When originally published by Kac in 1949, the
Feynman–Kac formula was presented as a formula for determining the distribution of certain Wiener functionals. Suppose we wish to find the expected value of the function
3392:
5243:
5336:
7211:
has a payoff that is not determined by the underlying price at expiry but by the average underlying price over some predetermined period of time. For these, the
Feynman–Kac formula does not directly apply.
5526:
2907:
1876:
4610:
331:{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,}
6163:
5550:
5890:
5068:
573:
941:
6222:
2845:{\displaystyle d\left(\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)dr\right)=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{s},s)ds.}
6985:{\textstyle A=(r_{t}-\sigma _{t}^{2}/2)\partial _{\ln x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\partial _{\ln x}^{2}=r_{t}x\partial _{x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}x^{2}\partial _{x}^{2}.}
5097:
499:
5867:
7803:
1157:
909:
364:
1861:{\displaystyle Y(s)=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)\,dr}
455:
6655:
6458:
6660:
4499:
1583:
A proof that the above formula is a solution of the differential equation is long, difficult and not presented here. It is however reasonably straightforward to show that,
5665:
1574:
1396:
6217:
5385:
4907:
3915:
2897:
7939:
7864:
1488:
1313:
7086:
2605:
1089:
7046:
4222:
5121:
3787:
7081:
4542:
1623:
1526:
608:
6369:
6190:
6072:
1426:
1340:
1152:
402:
2561:{\displaystyle d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)=-V(X_{s},s)\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,ds,}
5349:. The Feynman–Kac formula says that this expectation is equivalent to the integral of a solution to a diffusion equation. Specifically, under the conditions that
5147:
7010:
6498:
6478:
6409:
6389:
5144:
3576:
3556:
1446:
1360:
1117:
932:
635:
519:
7737:
5153:
7853:
7759:
5262:
7595:
5885:
3747:{\displaystyle Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}
45:
7705:
5390:
7748:
7494:
7405:
7333:
6077:
7628:
7792:
7467:
7298:
3529:{\displaystyle dY_{s}=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.}
7877:
7715:
4554:
7246:
7365:
5809:
5035:
524:
7944:
7934:
7726:
7588:
3389:
The first term contains, in parentheses, the above partial differential equation and is therefore zero. What remains is:
7638:
7256:
7512:"Development of a pure diffusion quantum Monte Carlo method using a full generalized Feynman–Kac formula. I. Formalism"
7261:
6041:
407:
6029:
6503:
7673:
4509:
The proof above that a solution must have the given form is essentially that of with modifications to account for
4227:
7633:
7770:
7658:
7653:
3796:
57:
7929:
7678:
7581:
5648:{\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w.}
5252:
5985:{\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w}
3922:
7903:
7648:
7225:
5073:
611:
460:
7643:
7781:
7668:
7229:
1052:{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t}^{Q},}
642:
341:
7882:
7683:
7663:
7523:
7267:
6033:
6025:
7095:
6669:
6414:
6337:{\displaystyle d\ln S_{t}=\left(r_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\right)dt+\sigma _{t}\,dW_{t}.}
5659:
615:
1531:
1365:
7858:
7447:
6195:
5352:
5248:
2857:
53:
49:
1451:
1276:
60:. The complex case, which occurs when a particle's spin is included, is still an open question.
2571:
1062:
7833:
7688:
7490:
7463:
7401:
7361:
7329:
7294:
7288:
7241:
7221:
7015:
1626:
5106:
3759:
7531:
7437:
7321:
7251:
7051:
6037:
4512:
1593:
1496:
1266:{\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t}^{Q}.}
578:
6347:
6168:
6050:
1404:
1318:
1130:
369:
7618:
7604:
7200:
1096:
37:
3790:
935:
7527:
7381:
6995:
6483:
6463:
6394:
6374:
5129:
3561:
3541:
1431:
1345:
1102:
1092:
917:
620:
504:
6773:{\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=(x-K)^{+}\end{cases}}}
7923:
7871:
5795:{\displaystyle I=\int f(x(0))\exp \left(-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt\right)g(x(t))\,Dx}
5025:{\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}
7824:
7204:
7192:{\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=g(x).\end{cases}}}
7511:
7484:
4551:-dimensional Itô diffusions. The corresponding partial differential equation for
7553:
5803:
7398:
Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications
7892:
7460:
Mark Kac: Probability, Number Theory, and
Statistical Physics, Selected Papers
7325:
1587:, it must have the above form. The proof of that lesser result is as follows:
6657:
Plugging into the
Feynman–Kac formula, we obtain the Black–Scholes equation:
7315:
6028:, the Feynman–Kac formula is used to efficiently calculate solutions to the
5100:
5658:
The
Feynman–Kac formula can also be interpreted as a method for evaluating
17:
1625:
be the solution to the above partial differential equation. Applying the
7421:
41:
7486:
Numerical
Methods in Finance and Economics: A MATLAB-Based Introduction
7451:
29:
Formula relating stochastic processes to partial differential equations
7535:
5238:{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+Au-r(x,t)\,u=f(x,t),}
7442:
7425:
7358:
Stochastic
Differential Equations. An Introduction with Applications
5331:{\displaystyle \exp \left(-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau \right)}
7573:
1401:
Also, allow the particle to decay. If the particle is at location
7205:
options have value at expiry determined by the past stock prices
7577:
7462:. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. pp. 268–280.
52:. In 1947, when Kac and Feynman were both faculty members at
7771:
Feynman's Lost
Lecture: The Motion of Planets Around the Sun
7185:
6766:
5521:{\displaystyle E\left=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}
5342:(τ) is some realization of a diffusion process starting at
1490:. After the particle has decayed, all future cost is zero.
7483:
Paolo
Brandimarte (6 June 2013). "Chapter 1. Motivation".
4605:{\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times \to \mathbb {R} }
1154:
of a particle evolves according to the diffusion process
6158:{\displaystyle dS_{t}=(r_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t})S_{t}}
575:
is the unknown. Then the
Feynman–Kac formula expresses
7510:
Caffarel, Michel; Claverie, Pierre (15 January 1988).
7320:(2 ed.). New York, NY: Springer. pp. 43–44.
6786:
6267:
3158:
1528:
is the expected cost-to-go, if the particle starts at
174:
7804:
Perfectly Reasonable Deviations from the Beaten Track
7089:
7054:
7018:
6998:
6663:
6506:
6486:
6466:
6417:
6397:
6377:
6350:
6225:
6198:
6171:
6080:
6053:
5893:
5812:
5668:
5553:
5393:
5355:
5265:
5156:
5132:
5109:
5076:
5063:{\displaystyle \gamma =\sigma \sigma ^{\mathrm {T} }}
5038:
4910:
4618:
4557:
4515:
4230:
3925:
3799:
3762:
3584:
3564:
3544:
3395:
2905:
2860:
2613:
2574:
2371:
1874:
1635:
1596:
1534:
1499:
1454:
1434:
1407:
1368:
1348:
1321:
1279:
1160:
1133:
1105:
1065:
944:
920:
645:
623:
581:
568:{\displaystyle u:\mathbb {R} \times \to \mathbb {R} }
527:
507:
463:
410:
372:
344:
78:
7317:
Quantum Physics: A Functional Integral Point of View
6992:
More generally, consider an option expiring at time
6460:
Then, the risk-neutral price of the option, at time
7846:
7817:
7697:
7611:
7293:. University of California Press. pp. 115–16.
7191:
7075:
7040:
7004:
6984:
6772:
6649:
6492:
6472:
6452:
6403:
6383:
6363:
6336:
6211:
6184:
6157:
6066:
5984:
5861:
5794:
5647:
5520:
5379:
5330:
5237:
5138:
5115:
5091:
5062:
5024:
4896:
4604:
4536:
4493:
4216:
3919:The desired result is obtained by observing that:
3909:
3781:
3746:
3570:
3550:
3528:
3379:
2891:
2844:
2599:
2560:
2355:
1860:
1617:
1568:
1520:
1482:
1440:
1420:
1390:
1354:
1334:
1307:
1265:
1146:
1111:
1083:
1051:
926:
903:
629:
602:
567:
513:
493:
449:
396:
358:
330:
7430:Transactions of the American Mathematical Society
6219:is the volatility. Equivalently, by Itô's lemma,
4464:
4187:
874:
7426:"On Distributions of Certain Wiener Functionals"
5247:This expectation can then be approximated using
4547:The expectation formula above is also valid for
7356:Øksendal, Bernt (2003). "Theorem 3.2.1.(iii)".
3793:, which has expectation zero, it follows that:
7865:Quantum Man: Richard Feynman's Life in Science
7589:
7360:(6th ed.). Springer-Verlag. p. 30.
7048:. The same calculation shows that its price
8:
7458:Baclawski, K.; Donsker, M. D., eds. (1979).
7738:QED: The Strange Theory of Light and Matter
1273:Let the particle incur "cost" at a rate of
72:Consider the partial differential equation
7596:
7582:
7574:
7558:Functional Integration and Quantum Physics
6344:Now consider a European call option on an
3789:, and observing that the right side is an
7760:What Do You Care What Other People Think?
7441:
7127:
7102:
7090:
7088:
7053:
7029:
7017:
6997:
6973:
6968:
6958:
6948:
6943:
6929:
6920:
6907:
6894:
6883:
6873:
6868:
6854:
6839:
6824:
6818:
6813:
6800:
6785:
6757:
6701:
6676:
6664:
6662:
6621:
6606:
6600:
6584:
6563:
6553:
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6540:
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6485:
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6396:
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6355:
6349:
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6203:
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5316:
5289:
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5131:
5108:
5082:
5081:
5075:
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5052:
5037:
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4957:
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4915:
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4805:
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4732:
4718:
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4657:
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4619:
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4598:
4597:
4570:
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4514:
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4386:
4381:
4357:
4352:
4336:
4314:
4299:
4283:
4278:
4229:
4197:
4192:
4186:
4185:
4184:
4177:
4162:
4140:
4125:
4109:
4104:
4080:
4075:
4053:
4031:
4016:
4000:
3995:
3951:
3924:
3868:
3825:
3798:
3767:
3761:
3756:Upon taking expectations, conditioned on
3734:
3714:
3684:
3669:
3653:
3648:
3624:
3619:
3583:
3563:
3543:
3516:
3496:
3466:
3451:
3435:
3430:
3403:
3394:
3363:
3343:
3313:
3298:
3282:
3277:
3254:
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3208:
3201:
3186:
3173:
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3096:
3068:
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2024:
1988:
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189:
173:
135:
79:
77:
7940:Parabolic partial differential equations
46:parabolic partial differential equations
7279:
5886:parabolic partial differential equation
7264:(also known as Fokker–Planck equation)
5092:{\displaystyle \sigma ^{\mathrm {T} }}
2607:and can be dropped. We also have that
494:{\displaystyle \mu ,\sigma ,\psi ,V,f}
6074:undergoing geometric Brownian motion
5862:{\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx}
5802:where the integral is taken over all
7:
7706:There's Plenty of Room at the Bottom
7314:Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987).
6047:For example, consider a stock price
404:, subject to the terminal condition
7290:Enigmas of Chance: An Autobiography
6192:is the risk-free interest rate and
7793:The Pleasure of Finding Things Out
7749:Surely You're Joking, Mr. Feynman!
7099:
6965:
6917:
6880:
6836:
6673:
5945:
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828:
732:
228:
214:
146:
138:
90:
82:
25:
7567:Quantum Theory for Mathematicians
7203:do not have a fixed expiry. Some
904:{\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left}
359:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
450:{\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}
7878:Feynman Prize in Nanotechnology
7716:The Feynman Lectures on Physics
7629:Wheeler–Feynman absorber theory
7516:The Journal of Chemical Physics
3538:Integrating this equation from
1362:. Let it incur a final cost at
7176:
7170:
7161:
7149:
7070:
7058:
7035:
7022:
6832:
6793:
6754:
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6735:
6723:
6650:{\displaystyle u(x,t)=E\left.}
6607:
6597:
6577:
6522:
6510:
6453:{\displaystyle (X_{T}-K)^{+}.}
6438:
6418:
6142:
6097:
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5970:
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1639:
1627:product rule for Itô processes
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155:
132:
120:
111:
99:
1:
7727:The Character of Physical Law
4494:{\displaystyle u(x,t)=E\left}
44:, establishes a link between
7257:Kolmogorov backward equation
7199:Some other options like the
6042:affine term structure models
1569:{\displaystyle (t,X_{t}=x).}
1391:{\displaystyle \psi (X_{T})}
7456:This paper is reprinted in
7262:Kolmogorov forward equation
6212:{\displaystyle \sigma _{t}}
5380:{\displaystyle uV(x)\geq 0}
3910:{\displaystyle E=E=u(x,t).}
2892:{\displaystyle du(X_{s},s)}
1448:, then it decays with rate
7961:
7674:Quantum cellular automaton
7247:Kunita–Watanabe inequality
7224:, it is used to solve the
1483:{\displaystyle V(X_{s},s)}
1308:{\displaystyle f(X_{s},s)}
1127:Suppose that the position
7654:Path integral formulation
7489:. John Wiley & Sons.
7326:10.1007/978-1-4612-4728-9
6411:. At expiry, it is worth
5253:quasi-Monte Carlo methods
5150:of the diffusion process,
5126:More succinctly, letting
2600:{\displaystyle O(dt\,du)}
1084:{\displaystyle W_{t}^{Q}}
7679:Rogers Commission Report
7639:Hellmann–Feynman theorem
7041:{\displaystyle g(S_{T})}
4217:{\displaystyle E=E\left}
2854:Applying Itô's lemma to
1123:Intuitive interpretation
7905:The Challenger Disaster
7649:Feynman parametrization
5992:with initial condition
5148:infinitesimal generator
5116:{\displaystyle \sigma }
3782:{\displaystyle X_{t}=x}
612:conditional expectation
7644:Feynman slash notation
7193:
7077:
7076:{\displaystyle u(x,t)}
7042:
7006:
6986:
6774:
6651:
6494:
6474:
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6385:
6365:
6338:
6213:
6186:
6159:
6068:
6030:Black–Scholes equation
5986:
5863:
5796:
5662:of a certain form. If
5649:
5522:
5381:
5332:
5239:
5140:
5117:
5093:
5064:
5026:
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4769:
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4662:
4606:
4538:
4537:{\displaystyle f(x,t)}
4495:
4218:
3911:
3783:
3748:
3578:, one concludes that:
3572:
3552:
3530:
3381:
2893:
2846:
2601:
2562:
2357:
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1619:
1618:{\displaystyle u(x,t)}
1570:
1522:
1521:{\displaystyle u(x,t)}
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1422:
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1356:
1336:
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1053:
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905:
631:
604:
603:{\displaystyle u(x,t)}
569:
515:
495:
451:
398:
360:
332:
7782:The Meaning of It All
7669:One-electron universe
7634:Bethe–Feynman formula
7230:Diffusion Monte Carlo
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7078:
7043:
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6185:{\displaystyle r_{t}}
6160:
6069:
6067:{\displaystyle S_{t}}
5987:
5884:is a solution to the
5864:
5797:
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1335:{\displaystyle X_{s}}
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1147:{\displaystyle X_{t}}
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1054:
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605:
570:
516:
501:are known functions,
496:
452:
399:
397:{\displaystyle t\in }
361:
333:
7945:Mathematical finance
7935:Stochastic processes
7684:Feynman checkerboard
7664:Sticky bead argument
7565:Hall, B. C. (2013).
7396:Pham, Huyên (2009).
7268:Stochastic mechanics
7226:Schrödinger equation
7087:
7052:
7016:
6996:
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6169:
6078:
6051:
6026:quantitative finance
5891:
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5666:
5660:functional integrals
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1585:if a solution exists
1532:
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525:
521:is a parameter, and
505:
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408:
370:
342:
76:
50:stochastic processes
7624:Feynman–Kac formula
7528:1988JChPh..88.1088C
7400:. Springer-Verlag.
6978:
6953:
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6878:
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1045:
800:
777:
704:
616:probability measure
34:Feynman–Kac formula
7859:Cargo cult science
7287:Kac, Mark (1987).
7207:. For example, an
7189:
7184:
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5982:
5859:
5792:
5716:
5645:
5518:
5475:
5419:
5377:
5338:in the case where
5328:
5280:
5235:
5136:
5113:
5089:
5060:
5022:
4894:
4602:
4534:
4491:
4377:
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