1320:
3610:
1852:
1134:
4138:
1605:
614:
3948:
4294:
1315:{\displaystyle \cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots }
3418:
1620:
907:
2517:
3214:
2325:
1030:
291:
3110:
3383:
3759:
2016:
1126:
2880:
2749:
3957:
3278:
1460:
760:
464:
3808:
666:
4145:
3605:{\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .}
1847:{\displaystyle \pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.}
2434:
2600:
2197:
409:
4336:
2796:
2652:
810:
1421:
1386:
3801:
2151:
3015:
2832:
2098:
1056:
353:
2922:
2368:
2046:
120:
1924:
3641:
3410:
2979:
2949:
696:
2066:
1879:
148:
314:
3305:
2439:
1448:
436:
72:
933:
3141:
798:
456:
373:
2209:
945:
177:
3038:
3310:
2371:
3673:
1931:
1061:
2837:
2672:
4390:
4133:{\displaystyle \pi _{*}(\alpha )_{b}(\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=\int _{}\beta =\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.}
4408:
2663:
1600:{\displaystyle \alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.}
3230:
609:{\displaystyle \beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots ,{\widetilde {w_{k-m}}}).}
3943:{\displaystyle \beta (\partial _{t})=\alpha (\partial _{t},\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=g(b,t)}
701:
4289:{\displaystyle \pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.}
622:
2385:
2554:
902:{\displaystyle \pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{k-m}(B;\mathbb {R} ).}
2156:
378:
4358:, Proposition 6.15.; note they use a different definition than the one here, resulting in change in sign.
4299:
2757:
2613:
1391:
1341:
28:
3772:
2106:
2984:
2801:
2071:
1039:
319:
2895:
2333:
2024:
801:
93:
1888:
4386:
3651:
3626:
3388:
2957:
2927:
2520:
2512:{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )}
2200:
1858:
674:
36:
2051:
1864:
133:
299:
3283:
3209:{\displaystyle \int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta }
1426:
414:
45:
918:
765:
2320:{\displaystyle d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),}
1327:
940:
441:
358:
2666:
as a vector bundle, exactly as before, we can define the integration along the fiber:
1025:{\displaystyle 0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0}
286:{\displaystyle (\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{k-m})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta }
4402:
4371:
936:
3105:{\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\pi _{*}\alpha \wedge \beta .}
123:
17:
3378:{\displaystyle \alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta }
3754:{\displaystyle \alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}}
4378:
2011:{\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )}
1121:{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)}
1036:
the kernel, which leads to a long exact sequence, dropping the coefficient
127:
78:
is the dimension of the fiber, via "integration". It is also called the
1857:
From this local calculation, the next formula follows easily (see
2153:
be a smooth map (thought of as a homotopy). Then the composition
2875:{\displaystyle \alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta }
2744:{\displaystyle \pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).}
668:
is smooth, work it out in coordinates; cf. an example below.)
762:. By Stokes' formula, if the fibers have no boundaries(i.e.
2754:
The following is known as the projection formula. We make
4374:, Torus actions on symplectic manifolds, Birkhauser, 2004
2370:
induce the same map on cohomology, the fact known as the
939:; i.e., the typical fiber is a sphere. Then there is an
3223:
Proof: 1. Since the assertion is local, we can assume
4302:
4148:
3960:
3811:
3775:
3676:
3629:
3421:
3391:
3313:
3286:
3233:
3144:
3041:
2987:
2960:
2930:
2898:
2840:
2804:
2760:
2675:
2616:
2557:
2442:
2388:
2336:
2212:
2159:
2109:
2074:
2054:
2027:
1934:
1891:
1867:
1623:
1463:
1429:
1394:
1344:
1137:
1064:
1042:
948:
921:
813:
768:
704:
677:
625:
467:
444:
417:
381:
361:
322:
302:
180:
136:
96:
48:
3273:{\displaystyle \pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B}
4330:
4288:
4132:
3942:
3795:
3753:
3635:
3604:
3404:
3377:
3299:
3272:
3208:
3104:
3009:
2973:
2943:
2916:
2874:
2826:
2790:
2743:
2646:
2594:
2511:
2428:
2362:
2319:
2191:
2145:
2092:
2060:
2040:
2010:
1918:
1873:
1846:
1599:
1442:
1415:
1380:
1314:
1120:
1050:
1024:
927:
901:
792:
755:{\displaystyle \Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{k-m}(B)}
754:
690:
660:
608:
450:
430:
403:
367:
347:
308:
285:
142:
114:
66:
2924:be an oriented vector bundle over a manifold and
2551:has vertical-compact support if the restriction
2654:for the vector space of differential forms on
661:{\displaystyle b\mapsto (\pi _{*}\alpha )_{b}}
3120:is oriented as a manifold, then for any form
8:
2543:over a manifold, we say a differential form
2087:
2081:
3128:with vertical compact support and any form
2886:
912:This is also called the fiber integration.
4307:
4301:
4269:
4264:
4240:
4235:
4216:
4192:
4187:
4169:
4153:
4147:
4120:
4096:
4091:
4063:
4037:
4032:
4027:
4004:
3999:
3994:
3981:
3965:
3959:
3900:
3895:
3890:
3867:
3862:
3857:
3844:
3822:
3810:
3785:
3780:
3774:
3737:
3732:
3708:
3703:
3686:
3675:
3628:
3578:
3551:
3535:
3519:
3500:
3476:
3472:
3471:
3469:
3445:
3426:
3420:
3396:
3390:
3366:
3353:
3331:
3323:
3312:
3291:
3285:
3258:
3254:
3253:
3232:
3191:
3181:
3165:
3149:
3143:
3084:
3065:
3046:
3040:
2992:
2986:
2965:
2959:
2935:
2929:
2897:
2863:
2839:
2809:
2803:
2773:
2765:
2759:
2723:
2701:
2693:
2680:
2674:
2629:
2621:
2615:
2572:
2567:
2562:
2556:
2502:
2501:
2480:
2466:
2465:
2447:
2441:
2393:
2387:
2372:homotopy invariance of de Rham cohomology
2354:
2341:
2335:
2299:
2277:
2264:
2259:
2246:
2241:
2211:
2183:
2170:
2158:
2108:
2073:
2053:
2032:
2026:
1993:
1977:
1964:
1939:
1933:
1890:
1866:
1826:
1821:
1797:
1792:
1784:
1783:
1771:
1747:
1742:
1713:
1708:
1684:
1679:
1662:
1650:
1628:
1622:
1580:
1575:
1551:
1546:
1529:
1515:
1510:
1486:
1481:
1473:
1462:
1434:
1428:
1407:
1403:
1402:
1393:
1343:
1282:
1270:
1261:
1231:
1219:
1210:
1180:
1166:
1148:
1136:
1094:
1069:
1063:
1044:
1043:
1041:
1001:
989:
980:
965:
947:
920:
889:
888:
864:
850:
849:
831:
818:
812:
767:
731:
709:
703:
682:
676:
652:
639:
624:
582:
576:
575:
554:
548:
547:
538:
519:
497:
478:
466:
443:
422:
416:
389:
383:
382:
380:
360:
327:
321:
301:
260:
255:
233:
214:
201:
188:
179:
135:
95:
47:
4383:Differential Forms in Algebraic Topology
2429:{\displaystyle f_{t}:U\to U,x\mapsto tx}
3663:
2595:{\displaystyle \alpha |_{\pi ^{-1}(b)}}
2103:As an application of this formula, let
1388:be an obvious projection. First assume
4355:
2951:the integration along the fiber. Then
2192:{\displaystyle h=\pi _{*}\circ f^{*}}
316:is the induced top-form on the fiber
7:
3307:be the coordinates on the fiber. If
404:{\displaystyle {\widetilde {w_{i}}}}
4331:{\displaystyle \pi _{*}(\alpha )=0}
2791:{\displaystyle \Omega _{vc}^{*}(E)}
2647:{\displaystyle \Omega _{vc}^{*}(E)}
2374:. As a corollary, for example, let
4024:
3991:
3887:
3854:
3841:
3819:
3777:
3615:Similarly, both sides are zero if
2989:
2806:
2762:
2720:
2690:
2658:with vertical-compact support. If
2618:
2477:
2444:
2382:with center at the origin and let
2296:
2274:
1416:{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}
1381:{\displaystyle \pi :M\times \to M}
1279:
1228:
1177:
1145:
1091:
1066:
998:
962:
861:
828:
728:
706:
25:
3796:{\displaystyle \partial _{x_{j}}}
130:with compact oriented fibers. If
2203:(also called a chain homotopy):
3033:with vertical-compact support,
2146:{\displaystyle f:M\times \to N}
4319:
4313:
4213:
4201:
4166:
4159:
4117:
4105:
4076:
4064:
4053:
3987:
3978:
3971:
3937:
3925:
3916:
3837:
3828:
3815:
3803:'s with their lifts, we have:
3623:. The proof of 2. is similar.
3590:
3584:
3525:
3487:
3454:
3432:
3264:
3074:
3052:
3010:{\displaystyle \Omega ^{*}(B)}
3004:
2998:
2908:
2827:{\displaystyle \Omega ^{*}(B)}
2821:
2815:
2785:
2779:
2735:
2729:
2716:
2713:
2707:
2641:
2635:
2587:
2581:
2563:
2506:
2489:
2470:
2456:
2417:
2405:
2311:
2305:
2292:
2289:
2283:
2137:
2134:
2122:
2005:
1999:
1954:
1945:
1910:
1898:
1768:
1756:
1727:
1656:
1640:
1634:
1372:
1369:
1357:
1306:
1303:
1297:
1263:
1258:
1252:
1212:
1207:
1201:
1168:
1163:
1157:
1141:
1115:
1109:
1084:
1078:
1016:
1013:
1007:
982:
977:
971:
958:
952:
893:
879:
857:
854:
840:
781:
769:
749:
743:
724:
721:
715:
649:
632:
629:
600:
512:
503:
471:
342:
336:
275:
269:
245:
207:
198:
181:
106:
61:
49:
1:
2602:has compact support for each
2093:{\displaystyle M\times \{i\}}
3017:-linear; i.e., for any form
1051:{\displaystyle \mathbb {R} }
348:{\displaystyle \pi ^{-1}(b)}
2917:{\displaystyle \pi :E\to B}
2363:{\displaystyle f_{1},f_{0}}
2041:{\displaystyle \alpha _{i}}
1859:Poincaré_lemma#Direct_proof
158:, then for tangent vectors
115:{\displaystyle \pi :E\to B}
4425:
4296:By the same computation,
1919:{\displaystyle M\times ,}
3636:{\displaystyle \square }
3412:is a ring homomorphism,
3405:{\displaystyle \pi ^{*}}
2974:{\displaystyle \pi _{*}}
2944:{\displaystyle \pi _{*}}
2519:, the fact known as the
691:{\displaystyle \pi _{*}}
33:integration along fibers
2061:{\displaystyle \alpha }
1874:{\displaystyle \alpha }
1610:Then, at each point in
800:), the map descends to
143:{\displaystyle \alpha }
4385:, New York: Springer,
4332:
4290:
4134:
3944:
3797:
3755:
3637:
3606:
3406:
3379:
3301:
3274:
3210:
3136:with compact support,
3106:
3011:
2975:
2945:
2918:
2876:
2828:
2792:
2745:
2648:
2596:
2531:Given a vector bundle
2513:
2430:
2364:
2321:
2193:
2147:
2094:
2062:
2048:is the restriction of
2042:
2012:
1920:
1875:
1848:
1601:
1444:
1417:
1382:
1316:
1122:
1052:
1026:
929:
903:
794:
756:
692:
662:
610:
452:
432:
405:
369:
349:
310:
309:{\displaystyle \beta }
287:
144:
116:
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