798:
856:
822:
839:
781:
764:
740:
706:
723:
624:
471:
682:
590:
38:
648:
607:
665:
494:
500:
505:
4459:
2530:
98:
5184:
4877:
2797:
3998:
4129:
7187:
7157:
7127:
7097:
7067:
7037:
7007:
6465:
2284:
4886:
4582:
6977:
2539:
2154:
3056:
5713:
4120:
1917:
5460:
3757:
4454:{\displaystyle {\rm {t={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\left(r_{1}^{3/2}-r_{2}^{3/2}\right)\ ||\ -{\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\left(r_{1}^{3/2}+12{\sqrt {r_{1}}}-{\sqrt {r_{2}}}(r_{2}+12)\right)+8\ arctanh{\sqrt {2/r_{1}}}-8\ arctanh{\sqrt {2/r_{2}}}}}}
4573:
1645:
6223:
1050:
radially outwards, so de facto a deceleration. In the classic
Schwarzschild Droste coordinates the local clocks and rulers are stationary with respect to the black hole, so they also experience a proper outward acceleration of
6571:
6275:
3748:
5882:
2275:
2525:{\displaystyle {\rm {t=\int _{r_{1}}^{r_{2}}dr/{\bar {r}}=r_{1}-2{\sqrt {2}}{\sqrt {r_{1}}}+4\ln \left({\sqrt {r_{1}}}+{\sqrt {2}}\right)-r_{2}+2{\sqrt {2}}{\sqrt {r_{2}}}-4\ln \left({\sqrt {r_{2}}}+{\sqrt {2}}\right)}}}
5179:{\displaystyle {\rm {t=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\left(r_{1}^{3/2}+6{\sqrt {r_{1}}}-{\sqrt {r_{2}}}(r_{2}+6)\right)+2\ln \left({\frac {r_{2}-2}{r_{1}-2}}\right)+4\ arctanh{\sqrt {2/r_{1}}}-4\ arctanh{\sqrt {2/r_{2}}}}}}
4872:{\displaystyle {\rm {t={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\left(r_{1}^{3/2}+6{\sqrt {r_{1}}}-{\sqrt {r_{2}}}(r_{2}+6)\right)+2\ln \left({\frac {r_{2}-2}{r_{1}-2}}\right)-4\ arctanh{\sqrt {2/r_{1}}}+4\ arctanh{\sqrt {2/r_{2}}}}}}
3282:
546:– You must give appropriate credit, provide a link to the license, and indicate if changes were made. You may do so in any reasonable manner, but not in any way that suggests the licensor endorses you or your use.
3407:
6001:
3173:
3654:
1731:
2792:{\displaystyle {\rm {t=-r_{1}-2{\sqrt {2}}{\sqrt {r_{1}}}-2\ln(r_{1})-4\ln \left(1-{\sqrt {2/r_{1}}}\right)+r_{2}+2{\sqrt {2}}{\sqrt {r_{2}}}+2\ln(r_{2})+4\ln \left(1-{\sqrt {2/r_{2}}}\right)}}}
6090:
3496:
876:
In
Gullstrand Painlevé coordinates the local observers (or clocks and rulers) who define the direction of the space and time axes are free falling raindrops with the negative escape velocity
1931:
2811:
5474:
5308:
1351:
1125:
5760:
5236:
1048:
1447:
1243:
4012:
3993:{\displaystyle {\rm {\pm t=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\left(r_{1}^{3/2}+6{\sqrt {r_{1}}}-{\sqrt {r_{2}}}(r_{2}+6)\right)+4\ arctanh{\sqrt {2/r_{1}}}-4\ arctanh{\sqrt {2/r_{2}}}}}}
924:
1740:
1320:
6620:
1414:
6260:
5322:
1381:
1188:
965:
3567:
3529:
926:(relative to local observers stationary with respect to the black hole), while in Eddington Finkelstein coordinates they are accelerating to the squared raindrop velocity
1273:
1155:
797:
780:
4473:
763:
855:
64:
60:
56:
52:
48:
42:
1467:
821:
426:
Worldlines of radially ingoing and outgoing freefallers with v=±vₑ=±√ (E=1) in
Gullstrand Painlevé coordinates. x=r (radial coordinate), y=t (coordinate time)
418:
Weltlinien von eingehenden und auslaufenden
Freifallern mit v=±vₑ=±√ (E=1) in Gullstrand Painlevé Koordinaten. x=r (radiale Koordinate), y=t (Koordinatenzeit)
838:
109:
6460:{\displaystyle {\rm {t\to t-\left({\sqrt {8}}\left({\sqrt {r_{2}}}-{\sqrt {r_{1}}}\right)+4\ arctanh{\sqrt {2/r_{1}}}-4\ arctanh{\sqrt {2/r_{2}}}\right)}}}
77:
6104:
6479:
3666:
5767:
2163:
470:
7218:
3182:
3291:
7186:
7181:
7156:
7151:
7126:
7121:
7096:
7091:
7066:
7061:
7036:
7031:
7006:
7001:
739:
5896:
3065:
705:
6854:
6818:
6782:
6099:
The vectors of free falling worldlines with the negative and positive escape velocity in
Eddington Finkelstein coordinates are
722:
623:
7244:
681:
7229:
This file contains additional information, probably added from the digital camera or scanner used to create or digitize it.
589:
3577:
647:
553:
606:
1654:
664:
6908:
6838:
6766:
6738:
6723:
6710:
1383:
on the diagrams). The local velocity of photons relative to other local infalling test particles and the singularity is
2149:{\displaystyle {\rm {ds^{2}=g_{tt}\ dt^{2}+g_{rr}\ dr^{2}+2g_{tr}\ dt\ dr=(1-2/r)\ dt^{2}-dr-{\sqrt {8/r}}\ dr\ dt=0}}}
6874:
6802:
6683:
6666:
6623:
6015:
3051:{\displaystyle {\rm {ds^{2}=g_{tt}\ dt^{2}+g_{rr}\ dr^{2}+2g_{tr}\ dt\ dr=(1-2/r)\ dt^{2}-(1+2/r)\ dr-4/r\ dr\ dt=0}}}
449:
3419:
5708:{\displaystyle {\rm {ds^{2}=g_{tt}\ dt^{2}+g_{rr}\ dr^{2}+2g_{tr}\ dt\ dr=(1-2/r)\ dt^{2}-(1+2/r)\ dr-4/r\ dr\ dt}}}
1275:
they are depicted as horizontal worldlines on the spacetime diagrams), while in EF coordinates they arrive with
6730:
5243:
4115:{\displaystyle {\rm {{\frac {dr}{dt}}={\frac {r-2}{r+2}}\ {\sqrt {\frac {2}{r}}}\ ||-{\sqrt {\frac {2}{r}}}}}}
515:
1325:
1054:
7232:
If the file has been modified from its original state, some details may not fully reflect the modified file.
5720:
5196:
970:
7214:
The following pages on the
English Knowledge (XXG) use this file (pages on other projects are not listed):
6976:
6971:
1912:{\displaystyle {\rm {t=\int _{r_{1}}^{r_{2}}dr/{\bar {r}}=\pm (r_{1}+r_{2}-2\ln(r_{1}-2)+2\ln(r_{2}-2))}}}
1419:
1193:
68:
37:
5455:{\displaystyle {\rm {dr/dt={\frac {4-2r}{r^{2}-{\sqrt {8r}}}}\ ||\ {\frac {2r-4}{r^{2}+{\sqrt {8r}}}}}}}
552:– If you remix, transform, or build upon the material, you must distribute your contributions under the
879:
1278:
512:
6583:
1386:
6235:
1356:
1163:
929:
3534:
3501:
117:
6474:
In
Eddington Finkelstein coordinates the Schwarzschild Droste bookkeeper timelines are given by
1248:
1130:
6745:
4568:{\displaystyle {\rm {{\frac {dr}{dt}}={\frac {{\sqrt {2}}\ (r-2)}{{\sqrt {8}}\pm r^{3/2}}}}}}
1640:{\displaystyle {\rm {ds^{2}=g_{tt}\ dt^{2}+g_{rr}\ dr^{2}=(1-2/r)\ dt^{2}-dr/(1-2/r)=0}}}
7197:
7167:
7137:
7107:
7077:
7047:
7017:
6987:
6218:{\displaystyle {\rm {\{dt,\ dr\}=\{1,\ {\sqrt {2}}(r-2)/({\sqrt {8}}\pm r^{3/2})\}}}}
104:
6010:
The vectors of the outgoing null conguences in
Schwarzschild Droste coordinates are
487:
I, the copyright holder of this work, hereby publish it under the following license:
5891:
The vectors of the ingoing null conguences in
Schwarzschild Droste coordinates are
6566:{\displaystyle {\rm {t\to t-\ln \left({\frac {r_{2}^{2}-4}{r_{1}^{2}-4}}\right)}}}
3658:
for the free falling worldlines with the positive and negative escape velocities.
3743:{\displaystyle {\rm {v={\frac {dr}{dt}}\ {\sqrt {-{\frac {g_{rr}}{g_{tt}}}}}}}}
459:
435:
5877:{\displaystyle {\rm {dr/dt=-{\frac {2}{r+2}}\ ||\ {\frac {2(r-2)}{r^{2}+4}}}}}
2270:{\displaystyle {\rm {{\bar {r}}=dr/dt=-1-{\sqrt {2/r}}\ ||\ 1-{\sqrt {2/r}}}}}
5193:
With the
Schwarzschild Droste line element we get for the local velocity of
1416:
though all the way, while the velocity of timelike test particles goes to
3277:{\displaystyle {\rm {t=\int _{r_{1}}^{r_{2}}dr/{\bar {r}}=r_{1}-r_{2}}}}
131:
6270:
For the Schwarzschild Droste timelines in Raindrop coordinates we have
203:
6944:
Click on a date/time to view the file as it appeared at that time.
3402:{\displaystyle {\rm {t=-r_{1}-4\ln(r_{1}-2)+r_{2}+4\ln(r_{2}-2)}}}
1322:, which holds for timelike and lightlike geodesics (they all have
137:
130:
7024:
the green lightcones were too massive, lightgray will do better
92:
1160:
In SD and GP coordinates, ingoing and outgoing worldlines at
5996:{\displaystyle {\rm {\{dt,\ dr\}=sign(r-2)\ \{1,\ 2/r-1\}}}}
3168:{\displaystyle {\rm {{\bar {r}}=dr/dt=-1\ ||\ (r-2)/(r+2)}}}
3661:
The local velocity relative to the stationary observers is
183:
6819:
Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International
173:
3649:{\displaystyle {\rm {dr/dt=\pm (1-2/r){\sqrt {2/r}}}}}
6586:
6482:
6278:
6238:
6107:
6018:
5899:
5770:
5723:
5477:
5325:
5246:
5199:
4889:
4585:
4476:
4468:
In ingoing Eddington Finkelstein coordinates we get
4132:
4015:
3760:
3669:
3580:
3537:
3504:
3422:
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3068:
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1657:
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1196:
1166:
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1057:
973:
932:
882:
82:(3,720 × 3,720 pixels, file size: 199 KB, MIME type:
7054:
matching the light cone colors to the other diagrams
1726:{\displaystyle {\rm {{\bar {r}}=dr/dt=\pm (r-2)/r}}}
402:
116:
Commons is a freely licensed media file repository.
193:
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1042:
959:
918:
163:
6085:{\displaystyle {\rm {\{dt,\ dr\}=\{1,\ 1-2/r\}}}}
5317:With the Gullstrand Painlevé line element we get
967:, which they achieve by a proper acceleration of
3491:{\displaystyle {\rm {E=-p_{r}=g_{tt}\ dt/ds=1}}}
814:Curves of constant bookkeeper time (t=constant)
208:Curves of constant bookkeeper time (t=constant)
563:https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0
97:
6650:Raindrop/River-Koordinaten Raum-Zeit-Diagramm
4881:for ingoing geodesics, and for outgoing ones
569:Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0
493:
8:
6210:
6137:
6131:
6110:
6077:
6048:
6042:
6021:
5988:
5959:
5923:
5902:
5469:With the Eddington Finkelstein line element
2806:With the Eddington Finkelstein line element
1190:terminate with infinite coordinate velocity
6746:https://commons.wikimedia.org/User:Yukterez
1462:With the Schwarzschild Droste line element
529:– to copy, distribute and transmit the work
7234:
6946:
6646:
6638:
5303:{\displaystyle {\rm {dr/dt=\pm (2r-4)/r}}}
1926:With the Gullstrand Painlevé line element
6588:
6587:
6585:
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