7846:
2418:
1958:
2193:
5912:
4611:
5448:
8320:
5723:
1056:
1800:
8714:
Since the model assumes homogeneous mixture, the theory is well applicable to study the explosive behavior of solid fuels (spontaneous ignition of bio fuels, organic materials, garbage, etc.,). This is also used to design explosives and fire crackers. The theory predicted critical values accurately
6736:
3862:
2063:
6431:
7992:
4505:
5005:
3232:
6592:
6044:
5286:
8832:
Liñán, A., Moreno-Boza, D., Iglesias, I., Sánchez, A. L., & Williams, F. A. (2016). The slowly reacting mode of combustion of gaseous mixtures in spherical vessels. Part 1: Transient analysis and explosion limits. Combustion Theory and
Modelling, 20(6),
5196:
8888:
Lemke, H. (1913). Über die
Differentialgleichungen, welche den Gleichgewichtszustand eines gasförmigem Himmelskörpers bestimmen, dessen Teile gegeneinander nach dem Newtonschen Gesetz gravitieren. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 142,
368:
8155:
7720:
2523:
4300:
is very low, heat conduction time is much faster than the chemical reaction time, such that all the heat produced by the chemical reaction is immediately conducted to the wall, thus there is no explosion, it goes to an almost steady state,
3603:, then it stays very close to this steady-state value for a long time before eventually exploding at a long time. The quantity of interest is the long-time estimate for the explosion. To find out the estimate, introduce the transformations
5560:
3973:
6219:
6994:
1953:{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta /(1+\theta /\beta )}}
2851:
902:
4148:
6603:
5787:
217:
6867:
4589:
3736:
4715:
5083:
2188:{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta }}
7303:
3688:
1277:
4279:
is very high, conduction time is longer than the chemical reaction time and the system explodes with high temperature since there is not enough time for conduction to remove the heat. On the other hand, when
2055:
8851:
Kassoy, D. R., & Linan, A. (1978). The influence of reactant consumption on the critical conditions for homogeneous thermal explosions. The
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 31(1),
891:
2408:
1666:
6313:
8094:
4817:
8675:
1198:
6279:
7889:
4402:
4223:
3347:, the system takes very long time to explode. The analysis for this limit was first carried out by Frank-Kamenetskii., although proper asymptotics were carried out only later by D. R. Kassoy and
3345:
4878:
3141:
6472:
4048:
3003:
3459:
5443:{\displaystyle e^{\theta _{m}/2}=\cosh {\sqrt {\frac {\delta e^{\theta _{m}}}{2}}}\quad {\text{or}}\quad \delta =2e^{-\theta _{m}}\left(\operatorname {arcosh} e^{\theta _{m}/2}\right)^{\!2}}
3634:
1442:
1125:
8512:
8473:
5901:
5862:
1752:
7060:
6090:
5955:
8034:
4757:
2925:
6133:
3566:
3411:
3049:
7575:
7536:
6788:
4177:
4002:
2740:
668:
5525:
3378:
8368:
5094:
4363:
3102:
2714:
7418:
8604:
7835:
3897:
3512:
1360:
8879:
Chambre, P. L. "On the
Solution of the Poisson‐Boltzmann Equation with Application to the Theory of Thermal Explosions." The Journal of Chemical Physics 20.11 (1952): 1795–1797.
8434:
5823:
2350:
2263:
1695:
8315:{\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\Theta }{d\xi }}\right)=e^{-\Theta },\quad \Theta (0)=0,\quad {\frac {d\Theta }{d\xi }}_{\xi =0}=0}
7217:
2780:
8742:
Frank-Kamenetskii, David A. "Towards temperature distributions in a reaction vessel and the stationary theory of thermal explosion." Doklady
Akademii Nauk SSSR. Vol. 18. 1938.
3296:
3133:
2604:
249:
3601:
7635:
7497:
7341:
711:
8539:
8121:
7770:
7602:
7099:
5552:
5478:
5226:
4844:
4390:
4330:
2952:
2553:
2443:
1987:
6464:
2289:
8704:
8394:
5718:{\displaystyle {\frac {d\delta }{d\theta _{m}}}=0,\quad \Rightarrow \quad e^{\theta _{m,c}/2}-{\sqrt {e^{\theta _{m,c}}-1}}\operatorname {arcosh} e^{\theta _{m,c}/2}=0}
5252:
459:
8565:
8147:
7743:
7628:
7438:
5278:
4870:
4298:
4277:
4257:
3708:
3479:
3261:
3023:
2664:
2644:
2624:
2573:
2309:
2222:
1468:
1787:
529:
7128:
4068:
3069:
429:
173:
146:
115:
75:
7881:
7464:
6305:
5947:
4642:
3905:
1594:
1562:
1530:
6141:
7790:
7361:
7168:
7148:
6894:
3728:
2874:
1498:
1303:
735:
589:
559:
489:
396:
237:
95:
8823:
Vazquez-Espi, C., & Linan, A. (2002). Thermal-diffusive ignition and flame initiation by a local energy source. Combustion Theory and
Modelling, 6(2), 297.
1051:{\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{e}}},\quad \theta ={\frac {\beta (T-T_{o})}{T_{o}}},\quad \eta ^{j}={\frac {r^{j}}{a}},\quad \delta ={\frac {t_{c}}{t_{e}}}}
4396:
solved the steady state problem for various Damköhler number until the critical value, beyond which no steady solution exists. So the problem to be solved is
2788:
6731:{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}-{\frac {1}{\eta }}{\frac {d\theta }{d\eta }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}=0}
4076:
6906:
4595:
5729:
178:
6796:
3857:{\displaystyle \delta _{c}{\frac {d\psi }{d\zeta }}=1+{\frac {\psi ^{2}}{2}},\quad \psi (0)\rightarrow -(1-\theta )/{\sqrt {\epsilon }}=-\infty }
2880:. From the properties of Lambert W function, it is easy to see that the steady state temperature provided by the above equation exists only when
2433:
proposed a thermal explosion theory with a simpler model with which he assumed a linear function for the heat conduction process instead of the
8929:
Zukas, Jonas A., William
Walters, and William P. Walters, eds. Explosive effects and applications. Springer Science & Business Media, 2002.
5919:
For cylindrical vessel, there is an exact solution. Though Frank-Kamentskii used numerical integration assuming there is no explicit solution,
4516:
4650:
5016:
1754:. That is, fuel consumption time is much longer than ignition time, so fuel consumption is essentially negligible in the study of ignition.
7225:
3639:
31:
of a homogeneous mixture of reactants, kept inside a closed vessel with constant temperature walls. It is named after a
Russian scientist
1209:
8861:
Zeldovich, I. A., Barenblatt, G. I., Librovich, V. B., and
Makhviladze, G. M. (1985). Mathematical theory of combustion and explosions.
1992:
5228:
maximum temperature is unknown, but we have not used the boundary condition of the wall yet. Thus using the wall boundary condition
743:
8326:
6426:{\displaystyle \eta ^{2}\left({\frac {d\theta }{d\eta }}\right)^{2}+4\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}=-2\delta \eta ^{2}e^{\theta }}
2355:
1614:
8614:
For vessels which are not symmetric about the center (for example rectangular vessel), the problem involves solving a nonlinear
6873:
8039:
4762:
8628:
8619:
7987:{\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}
4500:{\displaystyle {\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}
5000:{\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{d\xi ^{2}}}=e^{-\Theta },\quad \Theta (0)=0,\quad {\frac {d\Theta }{d\xi }}_{\xi =0}=0}
3227:{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\tau }}=e^{\theta },\quad \Rightarrow \quad \theta =\ln \left({\frac {1}{1-\tau }}\right)}
1136:
6587:{\displaystyle 2\eta ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}=-2\delta \eta ^{2}e^{\theta }}
6227:
8615:
4182:
3304:
8778:
Frank-Kamenetskii, David
Albertovich. Diffusion and heat exchange in chemical kinetics. Princeton University Press, 2015.
8805:
Buckmaster, John David, and Geoffrey Stuart Stephen Ludford. Theory of laminar flames. Cambridge University Press, 1982.
7170:
are related to each other, which is obtained by substituting the above solution into the starting equation we arrive at
5923:
provided an exact solution in 1952. H. Lemke also solved provided a solution in a somewhat different form in 1913. Here
4007:
3005:, the system explodes since the exponential term dominates as time proceeds. We do not need to wait for a long time for
2969:
8911:. "The Liouville–Bratu–Gelfand problem for radial operators." Journal of Differential Equations 184.1 (2002): 283–298.
3416:
2958:
as a critical point where the system bifurcates from the existence of steady state to explosive state at large times.
8920:
Gelfand, I. M. (1963). Some problems in the theory of quasilinear equations. Amer. Math. Soc. Transl, 29(2), 295–381.
6039:{\displaystyle {\frac {1}{\eta }}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta {\frac {d\theta }{d\eta }}\right)=-\delta e^{\theta }}
3606:
1371:
1069:
8842:
Frank-Kamenetskii, D. A. (1946). The nonstationary theory of thermal explosion. Zhurnal fizichesko-khimii, 20, 139.
8478:
8439:
7854:
5867:
5828:
4393:
2426:
1705:
32:
7002:
6052:
8898:
Subrahmanyan Chandrasekhar. An introduction to the study of stellar structure. Vol. 2. Courier Corporation, 1958.
8000:
7101:. We have used already one boundary condition, there is one more boundary condition left, but with two constants
4723:
2883:
534:
6095:
3517:
3383:
3028:
5191:{\displaystyle e^{(\theta _{m}-\theta )/2}=\cosh \left(\eta {\sqrt {\frac {\delta e^{\theta _{m}}}{2}}}\right)}
7541:
7502:
6744:
4156:
3981:
2719:
611:
8814:
Buckmaster, John D., ed. The mathematics of combustion. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985.
5483:
3354:
8981:
8340:
4335:
3074:
2677:
8760:
Semenov, N. N. "The calculation of critical temperatures of thermal explosion." Z Phys Chem 48 (1928): 571.
7366:
8570:
594:
494:
8751:
Frank-Kamenetskii, D. A. "Calculation of thermal explosion limits." Acta. Phys.-Chim USSR 10 (1939): 365.
7795:
3870:
3484:
3380:. A simplified analysis without reactant consumption is presented here. Let us define a small parameter
1314:
8956:
8406:
7845:
5795:
2314:
2227:
1671:
363:{\displaystyle \rho c_{v}{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda \nabla ^{2}T+q\rho BY_{Fo}e^{-E/(RT)}}
175:
below), thus the explosion is governed only by the energy equation. Assuming a one-step global reaction
8337:
gas sphere. Unlike planar and cylindrical case, the spherical vessel has infinitely many solutions for
7173:
2745:
7715:{\displaystyle \theta _{m}=\ln {\frac {8B}{\delta }}\quad {\text{or}}\quad \delta =8Be^{-\theta _{m}}}
3270:
3107:
2578:
8724:
5920:
4237:
1473:
464:
3571:
2518:{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\tau }}=e^{\theta }-{\frac {\theta }{\delta }},\quad \theta (0)=0}
8991:
8986:
7469:
8870:
Lewis, Bernard, and Guenther Von Elbe. Combustion, flames and explosions of gases. Elsevier, 2012.
7311:
6307:
from the symmetry condition at the centre. Writing back in original variable, the equation reads,
673:
8517:
8099:
7748:
7580:
5530:
5456:
5204:
4822:
4594:
the second condition is due to the symmetry of the vessel. The above equation is special case of
4368:
4308:
2930:
2877:
2531:
1966:
8946:
6439:
4302:
3348:
2268:
8683:
8373:
5231:
239:
is the amount of heat released per unit mass of fuel consumed, and a reaction rate governed by
564:
444:
8544:
8126:
7728:
7607:
7423:
5257:
4849:
4283:
4262:
4242:
3693:
3464:
3240:
3008:
2649:
2629:
2609:
2558:
2294:
2201:
1453:
8952:
8942:
7065:
6897:
3968:{\displaystyle \psi =-{\sqrt {2}}\cot \left({\frac {\zeta }{{\sqrt {2}}\delta _{c}}}\right)}
2430:
1762:
504:
36:
8966:
7104:
6214:{\displaystyle {\frac {d\omega }{d\chi }}=-{\frac {\delta }{2+\omega }},\quad \omega (0)=0}
4053:
3054:
407:
151:
124:
100:
53:
77:, containing a homogeneous reacting mixture. Let the characteristic size of the vessel be
28:
8769:
Semenov, N. N. "On the theory of combustion processes." Z. phys. Chem 48 (1928): 571–582.
7860:
7443:
6284:
5926:
4621:
2716:, the linear term eventually dominates and the system is able to reach a steady state as
1573:
1541:
1509:
896:
Non-dimensional scales of time, temperature, length, and heat transfer may be defined as
1794:
Substituting the non-dimensional variables in the energy equation from the introduction
8787:
Linan, Amable, and Forman Arthur Williams. "Fundamental aspects of combustion." (1993).
8397:
7775:
7346:
7153:
7133:
6879:
3713:
2859:
2846:{\displaystyle \delta e^{\theta }=\theta ,\quad \Rightarrow \quad \theta =-W(-\delta )}
2626:. The relevant importance between the two terms are determined by the Damköhler number
1759:
This is why the fuel concentration is assumed to remain the initial fuel concentration
1483:
1288:
720:
574:
544:
474:
381:
222:
80:
8403:
From numerical solution, it is found that the critical Frank-Kamenetskii parameter is
3071:. This time is interpreted as the ignition time or induction time of the system. When
8975:
8908:
8514:, the system goes to a steady state with very slow reaction. The maximum temperature
7577:, the system goes to a steady state with very slow reaction. The maximum temperature
4143:{\displaystyle \tau ={\sqrt {\frac {2\pi ^{2}\delta _{c}^{3}}{\delta -\delta _{c}}}}}
3481:
is as follows: first it increases to steady-state temperature value corresponding to
434:
240:
8622:, which can be solved only through numerical methods in most cases. The equation is
6741:
This equation is easy to solve because it involves only the derivatives, so letting
3867:
where the boundary condition is derived by matching with the initial region wherein
8330:
6989:{\displaystyle g(\eta )={\frac {d\theta }{d\eta }}=-{\frac {4\eta }{B'+\eta ^{2}}}}
3351:
including reactant consumption because reactant consumption is not negligible when
8715:
for low conductivity fluids/solids with high conductivity thin walled containers.
4365:, the system is in steady state. Instead of solving the full problem to find this
3730:
into the governing equation and collect only the leading-order terms to find out
4599:
5782:{\displaystyle \theta _{m,c}=1.1868,\quad \Rightarrow \quad \delta _{c}=0.8785}
5010:
Integrating once and using the second boundary condition, the equation becomes
8334:
2417:
212:{\displaystyle {\text{fuel}}+{\text{oxidizer}}\rightarrow {\text{products}}+q}
118:
20:
5480:
is obtained by finding the maximum point of the equation (see figure), i.e.,
6862:{\displaystyle {\frac {dg}{d\eta }}-{\frac {g}{\eta }}-{\frac {g^{2}}{2}}=0}
2434:
4584:{\displaystyle \theta (1)=0,\quad {\frac {d\theta }{d\eta }}_{\eta =0}=0}
4305:
coined this mode as slowly reacting mode. At a critical Damköhler number
4332:
the system goes from slowly reacting mode to explosive mode. Therefore,
3135:
can be neglected in which case the problem admits an explicit solution,
8962:
2646:. The numerical solution of the above equation for different values of
4710:{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\eta ^{2}}}=-\delta e^{\theta }}
8957:
http://demonstrations.wolfram.com/TrackingTheFrankKamenetskiiProblem/
5078:{\displaystyle {\frac {d\Theta }{d\xi }}={\sqrt {2(1-e^{-\Theta })}}}
7298:{\displaystyle \theta =\ln {\frac {8B/\delta }{(B\eta ^{2}+1)^{2}}}}
3683:{\displaystyle \theta =1+{\sqrt {\epsilon }}\psi (\zeta )-\epsilon }
5280:, the maximum temperature is obtained from an implicit expression,
4070:, the explosion time in the near-critical condition is found to be
1272:{\displaystyle t_{e}=\left(\beta \gamma Be^{-\beta }\right)^{\!-1}}
8400:. The lowest branch will be chosen to explain explosive behavior.
2416:
2050:{\displaystyle e^{\theta /(1+\theta /\beta )}\approx e^{\theta }}
6597:
Now subtracting the last two equation from one another leads to
5911:
121:, the consumption of reactant concentration is negligible (see
7853:
For spherical vessel, there is no known explicit solution, so
4610:
1129:
is the characteristic heat conduction time across the vessel;
886:{\displaystyle {\frac {e^{-E/RT}}{e^{-E/RT_{o}}}}=\exp \left.}
8947:
http://demonstrations.wolfram.com/TheFrankKamenetskiiProblem/
5903:, the system goes to a steady state with very slow reaction.
2403:{\displaystyle \partial \theta /\partial \eta |_{\eta =0}=0.}
1661:{\displaystyle \gamma \approx 6{-}8,\ \beta \approx 30{-}100}
4236:
The only parameter which characterizes the explosion is the
3263:, the system explodes. This time is also referred to as the
3899:. The solution to the above-mentioned problem is given by
8967:
http://www.chebfun.org/examples/ode-nonlin/BlowupFK.html
8089:{\displaystyle \xi ^{2}=\delta e^{\theta _{m}}\eta ^{2}}
7857:
used numerical methods to find the critical value. Here
4812:{\displaystyle \xi ^{2}=\delta e^{\theta _{m}}\eta ^{2}}
8670:{\displaystyle \nabla ^{2}\theta +\delta e^{\theta }=0}
50:
Consider a vessel maintained at a constant temperature
1193:{\displaystyle t_{f}=\left(Be^{-\beta }\right)^{\!-1}}
717:
is enough to increase the chemical reaction by amount
8686:
8631:
8573:
8547:
8520:
8481:
8442:
8409:
8376:
8343:
8158:
8129:
8102:
8042:
8003:
7892:
7863:
7798:
7792:
is multi-valued. The maximum critical temperature is
7778:
7751:
7731:
7638:
7610:
7583:
7544:
7505:
7472:
7446:
7426:
7369:
7349:
7314:
7228:
7176:
7156:
7136:
7107:
7068:
7005:
6909:
6882:
6799:
6747:
6606:
6475:
6442:
6316:
6287:
6274:{\displaystyle \omega ^{2}+4\omega +C=-2\delta \chi }
6230:
6144:
6098:
6055:
5958:
5929:
5870:
5831:
5798:
5732:
5563:
5533:
5486:
5459:
5289:
5260:
5234:
5207:
5097:
5019:
4881:
4852:
4825:
4765:
4726:
4653:
4624:
4519:
4405:
4371:
4338:
4311:
4286:
4265:
4245:
4185:
4159:
4079:
4056:
4010:
3984:
3908:
3873:
3739:
3716:
3696:
3642:
3609:
3574:
3520:
3487:
3467:
3419:
3386:
3357:
3307:
3273:
3243:
3144:
3110:
3077:
3057:
3031:
3011:
2972:
2933:
2886:
2862:
2791:
2748:
2722:
2680:
2652:
2632:
2612:
2581:
2561:
2534:
2446:
2358:
2317:
2297:
2271:
2230:
2204:
2066:
1995:
1969:
1803:
1765:
1708:
1674:
1617:
1576:
1544:
1512:
1502:
is the spatial coordinate with origin at the center;
1486:
1456:
1374:
1317:
1307:
is the characteristic distance, e.g., vessel radius;
1291:
1212:
1139:
1072:
905:
746:
723:
676:
614:
577:
547:
507:
477:
447:
410:
384:
252:
225:
181:
154:
127:
103:
83:
56:
8396:, instead of just two solutions, which was shown by
4618:
For planar vessel, there is an exact solution. Here
4218:{\displaystyle \delta -\delta _{c}\rightarrow 0^{+}}
3340:{\displaystyle \delta -\delta _{c}\rightarrow 0^{+}}
8436:. The system has no steady state( or explodes) for
7499:. The system has no steady state( or explodes) for
5825:. The system has no steady state (or explodes) for
8698:
8669:
8598:
8559:
8533:
8506:
8467:
8428:
8388:
8362:
8314:
8141:
8115:
8088:
8028:
7986:
7875:
7829:
7784:
7764:
7737:
7714:
7622:
7596:
7569:
7530:
7491:
7458:
7432:
7412:
7355:
7335:
7297:
7211:
7162:
7142:
7122:
7093:
7054:
6988:
6888:
6861:
6782:
6730:
6586:
6458:
6425:
6299:
6273:
6213:
6127:
6084:
6038:
5941:
5915:Frank-Kamenetskii explosion for cylindrical vessel
5895:
5856:
5817:
5781:
5717:
5546:
5519:
5472:
5442:
5272:
5246:
5220:
5190:
5077:
4999:
4864:
4838:
4811:
4751:
4709:
4636:
4583:
4499:
4384:
4357:
4324:
4292:
4271:
4251:
4217:
4171:
4142:
4062:
4043:{\displaystyle \zeta ={\sqrt {2}}\pi \delta _{c}.}
4042:
3996:
3967:
3891:
3856:
3722:
3702:
3682:
3628:
3595:
3560:
3506:
3473:
3453:
3405:
3372:
3339:
3290:
3255:
3226:
3127:
3096:
3063:
3043:
3017:
2997:
2946:
2919:
2868:
2845:
2774:
2734:
2708:
2658:
2638:
2618:
2598:
2567:
2547:
2517:
2402:
2344:
2303:
2283:
2257:
2216:
2187:
2049:
1981:
1952:
1781:
1746:
1689:
1660:
1588:
1556:
1524:
1492:
1462:
1436:
1354:
1297:
1271:
1192:
1119:
1050:
885:
729:
705:
662:
583:
553:
523:
483:
453:
423:
390:
362:
231:
211:
167:
140:
109:
89:
69:
16:Scientific theory that explains thermal explosions
5434:
2998:{\displaystyle \delta _{c}<\delta <\infty }
1260:
1181:
8796:Williams, Forman A. "Combustion theory." (1985).
7466:, so the critical Frank-Kamentskii parameter is
3454:{\displaystyle \delta =\delta _{c}(1+\epsilon )}
3025:to blow up. Because of the exponential forcing,
97:. Since the mixture is homogeneous, the density
3629:{\displaystyle \zeta ={\sqrt {\epsilon }}\tau }
1281:is the characteristic explosion/ignition time;
5792:So the critical Frank-Kamentskii parameter is
5201:The above equation is the exact solution, but
1437:{\displaystyle \gamma =(qY_{Fo})/(c_{v}T_{o})}
1120:{\displaystyle t_{c}=\rho c_{v}a^{2}/\lambda }
8507:{\displaystyle \delta <\delta _{c}=3.3220}
8468:{\displaystyle \delta >\delta _{c}=3.3220}
5896:{\displaystyle \delta <\delta _{c}=0.8785}
5857:{\displaystyle \delta >\delta _{c}=0.8785}
4614:Frank-Kamenetskii explosion for planar vessel
1747:{\displaystyle t_{f}=\beta \gamma t_{e}\gg 1}
1202:is the characteristic fuel consumption time;
8:
7055:{\displaystyle \theta =A-2\ln(B\eta ^{2}+1)}
6085:{\displaystyle \omega =\eta d\theta /d\eta }
8123:is the maximum temperature which occurs at
8029:{\displaystyle \Theta =\theta _{m}-\theta }
7308:Now if we use the other boundary condition
4846:is the maximum temperature which occurs at
4752:{\displaystyle \Theta =\theta _{m}-\theta }
3301:In the near-critical condition, i.e., when
2920:{\displaystyle \delta \leq \delta _{c}=1/e}
8951:Tracking the Frank-Kamenetskii Problem in
6128:{\displaystyle \chi =e^{\theta }\eta ^{2}}
3561:{\displaystyle \theta =-W(-\delta _{c})=1}
3406:{\displaystyle \epsilon \rightarrow 0^{+}}
3044:{\displaystyle \theta \rightarrow \infty }
1364:is the non-dimensional activation energy;
117:is constant. During the initial period of
8685:
8655:
8636:
8630:
8578:
8572:
8546:
8525:
8519:
8492:
8480:
8453:
8441:
8414:
8408:
8375:
8354:
8342:
8294:
8274:
8238:
8206:
8200:
8176:
8168:
8159:
8157:
8128:
8107:
8101:
8080:
8068:
8063:
8047:
8041:
8014:
8002:
7978:
7940:
7934:
7910:
7902:
7893:
7891:
7862:
7803:
7797:
7777:
7756:
7750:
7730:
7704:
7696:
7674:
7658:
7643:
7637:
7609:
7588:
7582:
7555:
7543:
7516:
7504:
7477:
7471:
7445:
7425:
7389:
7368:
7348:
7313:
7286:
7270:
7250:
7241:
7227:
7198:
7175:
7155:
7135:
7106:
7078:
7067:
7037:
7004:
6977:
6951:
6925:
6908:
6881:
6842:
6836:
6823:
6800:
6798:
6769:
6746:
6716:
6692:
6677:
6654:
6644:
6632:
6614:
6607:
6605:
6578:
6568:
6532:
6514:
6496:
6489:
6483:
6474:
6450:
6441:
6417:
6407:
6371:
6356:
6332:
6321:
6315:
6286:
6235:
6229:
6171:
6145:
6143:
6119:
6109:
6097:
6071:
6054:
6030:
5992:
5969:
5959:
5957:
5928:
5881:
5869:
5842:
5830:
5803:
5797:
5767:
5737:
5731:
5699:
5687:
5682:
5650:
5645:
5639:
5626:
5614:
5609:
5582:
5564:
5562:
5538:
5532:
5505:
5493:
5485:
5464:
5458:
5433:
5418:
5412:
5407:
5383:
5375:
5356:
5340:
5335:
5324:
5305:
5299:
5294:
5288:
5259:
5233:
5212:
5206:
5168:
5163:
5152:
5125:
5110:
5102:
5096:
5061:
5043:
5020:
5018:
4979:
4959:
4923:
4907:
4889:
4882:
4880:
4851:
4830:
4824:
4803:
4791:
4786:
4770:
4764:
4737:
4725:
4701:
4679:
4661:
4654:
4652:
4623:
4563:
4543:
4518:
4491:
4453:
4447:
4423:
4415:
4406:
4404:
4376:
4370:
4349:
4337:
4316:
4310:
4285:
4264:
4244:
4209:
4196:
4184:
4158:
4130:
4112:
4107:
4097:
4086:
4078:
4055:
4031:
4017:
4009:
3983:
3952:
3941:
3935:
3918:
3907:
3872:
3838:
3833:
3785:
3779:
3750:
3744:
3738:
3715:
3695:
3690:that is appropriate for the region where
3655:
3641:
3616:
3608:
3573:
3543:
3519:
3498:
3486:
3466:
3430:
3418:
3397:
3385:
3356:
3331:
3318:
3306:
3280:
3272:
3242:
3202:
3172:
3145:
3143:
3117:
3109:
3088:
3076:
3056:
3030:
3010:
2977:
2971:
2938:
2932:
2909:
2897:
2885:
2861:
2799:
2790:
2755:
2747:
2721:
2697:
2679:
2651:
2631:
2611:
2588:
2580:
2575:as time proceeds whereas the linear term
2560:
2539:
2533:
2483:
2474:
2447:
2445:
2382:
2377:
2365:
2357:
2316:
2296:
2270:
2229:
2203:
2179:
2147:
2141:
2117:
2109:
2100:
2090:
2067:
2065:
2041:
2021:
2004:
2000:
1994:
1989:, the exponential term can be linearized
1968:
1937:
1920:
1916:
1884:
1878:
1854:
1846:
1837:
1827:
1804:
1802:
1770:
1764:
1732:
1713:
1707:
1673:
1650:
1627:
1616:
1575:
1543:
1511:
1485:
1455:
1425:
1415:
1403:
1391:
1373:
1343:
1338:
1327:
1316:
1290:
1259:
1245:
1217:
1211:
1180:
1166:
1144:
1138:
1109:
1103:
1093:
1077:
1071:
1040:
1030:
1024:
1003:
997:
988:
972:
958:
939:
921:
912:
904:
859:
853:
833:
820:
796:
784:
777:
760:
753:
747:
745:
722:
695:
689:
684:
675:
652:
646:
641:
625:
613:
576:
546:
512:
506:
476:
446:
415:
409:
383:
341:
334:
321:
296:
266:
260:
251:
224:
198:
190:
182:
180:
159:
153:
132:
126:
102:
82:
61:
55:
7844:
7570:{\displaystyle \delta <\delta _{c}=2}
7531:{\displaystyle \delta >\delta _{c}=2}
6783:{\displaystyle g(\eta )=d\theta /d\eta }
6436:But the original equation multiplied by
5910:
4609:
4172:{\displaystyle \tau \rightarrow \infty }
3997:{\displaystyle \psi \rightarrow \infty }
2782:), the balance is given by the equation
2735:{\displaystyle \tau \rightarrow \infty }
663:{\displaystyle T-T_{o}\sim RT_{o}^{2}/E}
8735:
7440:for which solution is possible is when
5520:{\displaystyle d\delta /d\theta _{m}=0}
3461:. For this case, the time evolution of
3373:{\displaystyle \tau \sim \beta \gamma }
8363:{\displaystyle \delta <\delta _{c}}
4358:{\displaystyle \delta <\delta _{c}}
3097:{\displaystyle \delta \gg \delta _{c}}
2709:{\displaystyle 0<\delta <e^{-1}}
2437:operator. Semenov's equation reads as
7413:{\displaystyle \delta (B+1)^{2}-8B=0}
4229:Frank-Kamenetskii steady-state theory
4153:which implies that the ignition time
608:An increment in temperature of order
7:
8599:{\displaystyle \theta _{m,c}=1.6079}
8567:and maximum critical temperature is
7830:{\displaystyle \theta _{m,c}=\ln 4}
4050:Writing this condition in terms of
3892:{\displaystyle \tau ,\theta \sim 1}
3507:{\displaystyle \delta =\delta _{c}}
1355:{\displaystyle \beta =E/(R\,T_{o})}
400:is the temperature of the mixture;
39:developed the theory in the 1930s.
8633:
8429:{\displaystyle \delta _{c}=3.3220}
8325:The above equation is nothing but
8280:
8251:
8242:
8212:
8004:
7849:Frank-Kamenetskii spherical vessel
5818:{\displaystyle \delta _{c}=0.8785}
5065:
5026:
4965:
4936:
4927:
4895:
4727:
4166:
3991:
3851:
3038:
2992:
2729:
2370:
2359:
2345:{\displaystyle \theta (1,\tau )=0}
2258:{\displaystyle \theta (\eta ,0)=0}
2158:
2150:
2123:
2119:
2078:
2070:
1895:
1887:
1860:
1856:
1815:
1807:
1690:{\displaystyle \beta \gamma \gg 1}
293:
277:
269:
14:
8941:The Frank-Kamenetskii problem in
7212:{\displaystyle A=\ln(8B/\delta )}
2775:{\displaystyle d\theta /d\tau =0}
1611:In a typical combustion process,
497:with dimension of one over time;
8149:due to symmetry, are introduced
6999:Integrating once again, we have
4872:due to symmetry, are introduced
4596:Liouville–Bratu–Gelfand equation
4225:with a square-root singularity.
3291:{\displaystyle -\theta /\delta }
3128:{\displaystyle -\theta /\delta }
2599:{\displaystyle -\theta /\delta }
1063:
375:
8272:
8250:
7679:
7673:
6874:Bernoulli differential equation
6192:
5762:
5758:
5604:
5600:
5361:
5355:
4957:
4935:
4541:
3978:which immediately reveals that
3799:
3267:since the heat conduction term
3185:
3181:
2818:
2814:
2496:
1446:is the heat-release parameter;
1017:
983:
932:
737:, as is evident from the ratio
8620:ordinary differential equation
8260:
8254:
7386:
7373:
7324:
7318:
7283:
7260:
7206:
7189:
7049:
7027:
6919:
6913:
6757:
6751:
6202:
6196:
5759:
5601:
5122:
5103:
5070:
5048:
4945:
4939:
4529:
4523:
4202:
4163:
3988:
3830:
3818:
3812:
3809:
3803:
3671:
3665:
3596:{\displaystyle \tau \sim O(1)}
3590:
3584:
3549:
3533:
3448:
3436:
3390:
3324:
3182:
3035:
2840:
2831:
2815:
2726:
2528:in which the exponential term
2506:
2500:
2378:
2333:
2321:
2246:
2234:
2029:
2009:
1945:
1925:
1431:
1408:
1400:
1381:
1349:
1332:
964:
945:
355:
346:
243:, the energy equation becomes
195:
1:
8616:partial differential equation
7492:{\displaystyle \delta _{c}=2}
7219:. Therefore, the solution is
2431:Nikolay Semyonov (or Semenov)
715:Frank-Kamenetskii temperature
8370:oscillating about the point
8327:Emden–Chandrasekhar equation
7336:{\displaystyle \theta (1)=0}
706:{\displaystyle RT_{o}^{2}/E}
8534:{\displaystyle \theta _{m}}
8116:{\displaystyle \theta _{m}}
7765:{\displaystyle \theta _{m}}
7597:{\displaystyle \theta _{m}}
5547:{\displaystyle \delta _{c}}
5473:{\displaystyle \delta _{c}}
5221:{\displaystyle \theta _{m}}
4839:{\displaystyle \theta _{m}}
4385:{\displaystyle \delta _{c}}
4325:{\displaystyle \delta _{c}}
3104:, the heat conduction term
2956:Frank-Kamenetskii parameter
2947:{\displaystyle \delta _{c}}
2548:{\displaystyle e^{\theta }}
2421:Solution of Semenov problem
1982:{\displaystyle \beta \gg 1}
9008:
8706:on the bounding surfaces.
6459:{\displaystyle 2\eta ^{2}}
3265:adiabatic induction period
2284:{\displaystyle \tau >0}
33:David A. Frank-Kamenetskii
8699:{\displaystyle \theta =0}
8389:{\displaystyle \delta =2}
7343:, we get an equation for
5247:{\displaystyle \theta =0}
4510:with boundary conditions
8680:with boundary condition
8610:Non-symmetric geometries
7745:, we have two values of
6790:transforms the equation
6224:The general solution is
2666:is shown in the figure.
1566:for cylindrical vessel;
454:{\displaystyle \lambda }
25:Frank-Kamenetskii theory
8618:instead of a nonlinear
8560:{\displaystyle \eta =0}
8142:{\displaystyle \eta =0}
7997:If the transformations
7738:{\displaystyle \delta }
7623:{\displaystyle \eta =0}
7433:{\displaystyle \delta }
7420:. The maximum value of
6049:If the transformations
5273:{\displaystyle \eta =1}
4865:{\displaystyle \eta =0}
4720:If the transformations
4293:{\displaystyle \delta }
4272:{\displaystyle \delta }
4252:{\displaystyle \delta }
3703:{\displaystyle \theta }
3474:{\displaystyle \theta }
3256:{\displaystyle \tau =1}
3018:{\displaystyle \theta }
2659:{\displaystyle \delta }
2639:{\displaystyle \delta }
2619:{\displaystyle \theta }
2568:{\displaystyle \theta }
2429:, his doctoral advisor
2304:{\displaystyle \theta }
2217:{\displaystyle \tau =0}
1463:{\displaystyle \delta }
8700:
8671:
8600:
8561:
8535:
8508:
8469:
8430:
8390:
8364:
8316:
8143:
8117:
8090:
8030:
7988:
7877:
7850:
7831:
7786:
7766:
7739:
7716:
7624:
7598:
7571:
7532:
7493:
7460:
7434:
7414:
7357:
7337:
7299:
7213:
7164:
7144:
7124:
7095:
7094:{\displaystyle B=1/B'}
7056:
6990:
6890:
6863:
6784:
6732:
6588:
6460:
6427:
6301:
6275:
6215:
6129:
6086:
6040:
5943:
5916:
5897:
5858:
5819:
5783:
5719:
5548:
5521:
5474:
5444:
5274:
5248:
5222:
5192:
5088:and integrating again
5079:
5001:
4866:
4840:
4813:
4753:
4711:
4638:
4615:
4585:
4501:
4386:
4359:
4326:
4294:
4273:
4253:
4219:
4173:
4144:
4064:
4044:
3998:
3969:
3893:
3858:
3724:
3704:
3684:
3630:
3597:
3562:
3508:
3475:
3455:
3407:
3374:
3341:
3292:
3257:
3228:
3129:
3098:
3065:
3045:
3019:
2999:
2948:
2921:
2870:
2847:
2776:
2736:
2710:
2660:
2640:
2620:
2606:will tend to decrease
2600:
2569:
2555:will tend to increase
2549:
2519:
2422:
2404:
2346:
2305:
2285:
2259:
2218:
2189:
2051:
1983:
1954:
1783:
1782:{\displaystyle Y_{Fo}}
1748:
1691:
1662:
1598:for spherical vessel.
1590:
1558:
1526:
1494:
1464:
1438:
1356:
1299:
1273:
1194:
1121:
1052:
887:
731:
707:
664:
604:Non-dimensionalization
595:universal gas constant
585:
555:
525:
524:{\displaystyle Y_{Fo}}
495:pre-exponential factor
485:
455:
425:
392:
364:
233:
213:
169:
142:
111:
91:
71:
8701:
8672:
8601:
8562:
8536:
8509:
8470:
8431:
8391:
8365:
8317:
8144:
8118:
8091:
8031:
7989:
7878:
7848:
7832:
7787:
7767:
7740:
7717:
7625:
7599:
7572:
7533:
7494:
7461:
7435:
7415:
7358:
7338:
7300:
7214:
7165:
7145:
7125:
7123:{\displaystyle A,\ B}
7096:
7057:
6991:
6891:
6864:
6785:
6733:
6589:
6461:
6428:
6302:
6276:
6216:
6130:
6087:
6041:
5944:
5914:
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5859:
5820:
5784:
5720:
5549:
5522:
5475:
5445:
5275:
5249:
5223:
5193:
5080:
5002:
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4841:
4814:
4754:
4712:
4639:
4613:
4586:
4502:
4387:
4360:
4327:
4295:
4274:
4254:
4220:
4174:
4145:
4065:
4063:{\displaystyle \tau }
4045:
3999:
3970:
3894:
3859:
3725:
3705:
3685:
3631:
3598:
3563:
3509:
3476:
3456:
3408:
3375:
3342:
3293:
3258:
3229:
3130:
3099:
3066:
3064:{\displaystyle \tau }
3051:at a finite value of
3046:
3020:
3000:
2949:
2922:
2871:
2848:
2777:
2737:
2711:
2661:
2641:
2621:
2601:
2570:
2550:
2520:
2420:
2405:
2347:
2306:
2286:
2260:
2219:
2190:
2052:
1984:
1955:
1784:
1749:
1692:
1663:
1591:
1559:
1527:
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1465:
1439:
1357:
1300:
1274:
1195:
1122:
1053:
888:
732:
708:
665:
586:
556:
526:
486:
456:
426:
424:{\displaystyle c_{v}}
393:
365:
234:
214:
170:
168:{\displaystyle t_{e}}
143:
141:{\displaystyle t_{f}}
112:
110:{\displaystyle \rho }
92:
72:
70:{\displaystyle T_{o}}
8684:
8629:
8571:
8545:
8518:
8479:
8440:
8407:
8374:
8341:
8156:
8127:
8100:
8040:
8001:
7890:
7861:
7796:
7776:
7749:
7729:
7636:
7608:
7581:
7542:
7503:
7470:
7444:
7424:
7367:
7347:
7312:
7226:
7174:
7154:
7134:
7105:
7066:
7003:
6907:
6880:
6797:
6745:
6604:
6473:
6440:
6314:
6285:
6228:
6142:
6096:
6053:
5956:
5927:
5868:
5829:
5796:
5730:
5561:
5531:
5484:
5457:
5287:
5258:
5232:
5205:
5095:
5017:
4879:
4850:
4823:
4763:
4724:
4651:
4622:
4517:
4403:
4369:
4336:
4309:
4284:
4263:
4243:
4183:
4157:
4077:
4054:
4008:
3982:
3906:
3871:
3737:
3714:
3694:
3640:
3607:
3572:
3518:
3514:, which is given by
3485:
3465:
3417:
3384:
3355:
3305:
3271:
3241:
3142:
3108:
3075:
3055:
3029:
3009:
2970:
2931:
2884:
2860:
2789:
2746:
2720:
2678:
2650:
2630:
2610:
2579:
2559:
2532:
2444:
2356:
2315:
2295:
2269:
2228:
2202:
2064:
1993:
1967:
1801:
1763:
1706:
1672:
1615:
1574:
1542:
1510:
1484:
1454:
1372:
1315:
1289:
1210:
1137:
1070:
903:
744:
721:
674:
612:
575:
545:
533:is the initial fuel
505:
475:
465:thermal conductivity
445:
437:at constant volume;
408:
382:
250:
223:
179:
152:
125:
101:
81:
54:
8961:Planar solution in
8907:Jacobsen, Jon, and
8329:, which appears in
7876:{\displaystyle j=2}
7459:{\displaystyle B=1}
6300:{\displaystyle C=0}
5942:{\displaystyle j=1}
4637:{\displaystyle j=0}
4117:
2742:. At steady state (
2670:Steady-state regime
1589:{\displaystyle j=2}
1557:{\displaystyle j=1}
1525:{\displaystyle j=0}
694:
651:
43:Problem description
8696:
8667:
8596:
8557:
8531:
8504:
8465:
8426:
8386:
8360:
8312:
8139:
8113:
8086:
8026:
7984:
7873:
7851:
7827:
7782:
7762:
7735:
7725:For each value of
7712:
7620:
7594:
7567:
7528:
7489:
7456:
7430:
7410:
7353:
7333:
7295:
7209:
7160:
7140:
7120:
7091:
7052:
6986:
6900:. The solution is
6886:
6859:
6780:
6728:
6584:
6456:
6423:
6297:
6271:
6211:
6125:
6082:
6036:
5939:
5917:
5907:Cylindrical vessel
5893:
5854:
5815:
5779:
5715:
5544:
5517:
5470:
5440:
5270:
5244:
5218:
5188:
5075:
4997:
4862:
4836:
4809:
4749:
4707:
4634:
4616:
4581:
4497:
4382:
4355:
4322:
4290:
4269:
4249:
4215:
4169:
4140:
4103:
4060:
4040:
3994:
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3889:
3854:
3720:
3700:
3680:
3626:
3593:
3568:at times of order
3558:
3504:
3471:
3451:
3403:
3370:
3337:
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3061:
3041:
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2995:
2944:
2917:
2878:Lambert W function
2866:
2843:
2772:
2732:
2706:
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2636:
2616:
2596:
2565:
2545:
2515:
2423:
2400:
2342:
2301:
2281:
2255:
2214:
2185:
2047:
1979:
1950:
1779:
1744:
1687:
1658:
1586:
1554:
1522:
1490:
1460:
1434:
1352:
1295:
1269:
1190:
1117:
1048:
883:
727:
703:
680:
660:
637:
581:
551:
521:
481:
451:
421:
388:
360:
229:
209:
165:
138:
107:
87:
67:
8725:Clarke's equation
8292:
8224:
8189:
8174:
7958:
7923:
7908:
7855:Frank-Kamenetskii
7785:{\displaystyle B}
7677:
7671:
7356:{\displaystyle B}
7293:
7163:{\displaystyle B}
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