3544:
2650:
1310:
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2209:
1925:
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3754:
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3397:
1421:
4101:
3680:
2928:
1997:
3631:
2548:
230:
3324:
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3385:
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2102:
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2028:
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1655:
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1591:
1515:
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1082:
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1036:
1016:
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976:
956:
929:
909:
834:
814:
791:
771:
704:
627:
3015:
Another useful structure theorem is that integral fractional ideals are generated by up to 2 elements. We call a fractional ideal which is a subset of
1629:, the situation is much simpler. In particular, every non-zero fractional ideal is invertible. In fact, this property characterizes Dedekind domains:
2147:
1861:
4438:
4389:
4342:
4261:
84:
3539:{\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}
2030:
is they are
Dedekind domains. Hence the theory of fractional ideals can be described for the rings of integers of number fields. In fact,
3833:
3759:
3691:
1522:
4415:
2782:
620:
572:
3179:
4469:
2933:
Also, because fractional ideals over a number field are all finitely generated we can clear denominators by multiplying by some
1695:
of fractional ideals by the subgroup of principal fractional ideals is an important invariant of a
Dedekind domain called the
4464:
1351:
613:
2331:
330:
4038:
2645:{\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}
4149:. In other words, a divisorial ideal is a nonzero intersection of some nonempty set of fractional principal ideals.
4430:
3641:
2834:
1957:
90:
3582:
194:
4209:
3938:
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1563:
3060:
2248:
4186:
1305:{\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}
565:
489:
368:
318:
1733:
713:
3970:
3329:
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534:
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3018:
2748:
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2302:
2107:
2076:
2045:
2002:
1806:
3116:
1531:
451:
414:
2500:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}
1660:
1633:
An integral domain is a
Dedekind domain if and only if every non-zero fractional ideal is invertible.
1518:
258:
132:
4109:
865:
661:
645:
540:
348:
299:
244:
138:
124:
52:
20:
4337:, Mathematics and its Applications, vol. 520, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 57–73,
3911:
3092:
167:
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2031:
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1947:
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2936:
2337:
4399:
4377:
4225:
2730:{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}
2242:
1835:
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707:
657:
653:
362:
312:
150:
3153:
480:
1521:. Geometrically, this means an invertible fractional ideal can be interpreted as rank 1
4373:
3944:
2956:
2525:
2407:
1930:
1841:
1713:
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1500:
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1325:
1091:
1067:
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1001:
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941:
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58:
4179:
2519:
579:
354:
250:
4326:
2299:. In some ways, the class number is a measure for how "far" the ring of integers
4213:
2656:
665:
641:
559:
270:
144:
26:
4330:
4176:
1431:
669:
324:
4271:
2141:
is the group of fractional ideals modulo the principal fractional ideals, so
794:
284:
189:
4251:
4429:, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.),
3941:
of all principal fractional ideals containing a nonzero fractional ideal
2204:{\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}
1920:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} }
1490:
278:
264:
2073:
of a number field, the group of fractional ideals forms a group denoted
162:
46:
4360:
2518:
One of the important structure theorems for fractional ideals of a
1493:. A (nonzero) fractional ideal is invertible if and only if it is
660:. In some sense, fractional ideals of an integral domain are like
3891:{\displaystyle IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).}
3817:{\displaystyle J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})}
3749:{\displaystyle I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})}
2824:{\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}
668:
are allowed. In contexts where fractional ideals and ordinary
3228:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} }
1430:
with respect to the above product, where the identity is the
3186:
3025:
2799:
2755:
2713:
2480:
2463:
2428:
2377:
2309:
2273:
2190:
2171:
2154:
2114:
2083:
2052:
2009:
1868:
1813:
2104:
and the subgroup of principal fractional ideals is denoted
672:
are both under discussion, the latter are sometimes termed
4362:
911:
can be thought of as clearing out the denominators in
4112:
4041:
3973:
3947:
3914:
3836:
3762:
3694:
3644:
3585:
3558:
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3332:
3290:
3241:
3182:
3156:
3119:
3095:
3063:
3021:
2982:
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2551:
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1643:
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802:
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759:
716:
692:
492:
454:
417:
197:
170:
1637:
The set of fractional ideals over a
Dedekind domain
1342:
is uniquely determined and equal to the generalized
1416:{\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}
4133:
4095:
4021:
3953:
3929:
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3038:
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2945:
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2823:
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1939:
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1760:
1722:
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1585:
1551:
1509:
1481:
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1304:
1132:
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765:
734:
698:
516:
469:
432:
224:
178:
3387:. This is because if we multiply it out, we get
1426:The set of invertible fractional ideals form an
4096:{\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}
3675:{\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}
2923:{\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}
1992:{\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}
656:and is particularly fruitful in the study of
621:
8:
4087:
4060:
3626:{\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}
2034:is the study of such groups of class rings.
1407:
1380:
1299:
1162:
225:{\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }
3319:{\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}
3082:{\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }
2292:{\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}
628:
614:
15:
4114:
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1978:
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1578:
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1533:
1502:
1489:. The principal fractional ideals form a
1474:
1438:
1365:
1353:
1327:
1290:
1286:
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1003:
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978:generated by a single nonzero element of
963:
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517:{\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}
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172:
171:
169:
4296:
4284:
1761:{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}
735:{\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}
4308:
4242:
4022:{\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}
3380:{\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}
3005:{\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}
2514:Structure theorem for fractional ideals
1597:these are all the fractional ideals of
18:
4335:Non-Noetherian commutative ring theory
4208:An integral domain that satisfies the
2542:decomposes uniquely up to ordering as
4299:, Ch. VII, § 1, n. 7. Proposition 11.
4160:is a nonzero fractional ideal, then (
3682:we can multiply the fractional ideals
2402:Exact sequence for ideal class groups
1088:if there is another fractional ideal
7:
85:Free product of associative algebras
4382:Introduction to Commutative Algebra
2688:
2671:
2618:
2601:
2581:
2564:
2522:states that every fractional ideal
1322:In this case, the fractional ideal
931:, hence the name fractional ideal.
3039:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2769:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2510:associated to every number field.
2391:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2323:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2128:{\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}
2097:{\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}
2066:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
2023:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
1999:. The key property of these rings
1827:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
836:such that there exists a non-zero
506:
14:
4212:on divisorial ideals is called a
3143:{\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}
1465:itself. This group is called the
573:Noncommutative algebraic geometry
3633:, our factorization makes sense.
1552:{\displaystyle {\text{Spec}}(R)}
652:is introduced in the context of
470:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
433:{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
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1:
1573:is a fractional ideal and if
1041:it is an (integral) ideal of
884:{\displaystyle rI\subseteq R}
4425:Matsumura, Hideyuki (1989),
4333:; Chapman, Scott T. (eds.),
3930:{\displaystyle {\tilde {I}}}
3104:{\displaystyle \mathbb {Z} }
682:Definition and basic results
179:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4325:Barucci, Valentina (2000),
3089:is a fractional ideal over
2332:unique factorization domain
936:principal fractional ideals
331:Unique factorization domain
4486:
4431:Cambridge University Press
4210:ascending chain conditions
3572:{\displaystyle \zeta _{3}}
3326:we have the factorization
3275:{\displaystyle (2-i)(2+i)}
1788:{\displaystyle \zeta _{n}}
1467:group of fractional ideals
91:Tensor product of algebras
4250:Childress, Nancy (2009).
2042:For the ring of integers
1799:) there is an associated
1707:For the special case of
369:Formal power series ring
319:Integrally closed domain
4470:Algebraic number theory
4427:Commutative ring theory
4374:Atiyah, Michael Francis
4231:Dedekind-Kummer theorem
4195:discrete valuation ring
2946:{\displaystyle \alpha }
2360:{\displaystyle h_{K}=1}
2334:(UFD). This is because
378:Algebraic number theory
71:Total ring of fractions
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