4274:
1987:
3155:
6074:
2968:
2837:
2164:
5737:
2074:
3562:
818:
3731:
4157:
3090:
5095:
3049:
5232:
3266:
5496:
4394:
6660:
4946:
3513:
4633:
4075:
3003:
2912:
2711:
2229:
6094:
and Imre Ruzsa generalized
Freiman's theorem to arbitrary abelian groups. They used an analogous notion to generalized arithmetic progressions, which they called coset progressions. A
3872:
1809:
1397:
6966:
4845:
4757:
1841:
6580:
4570:
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699:
5372:
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5778:
5601:
1673:
1106:
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83:
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3668:
3175:
2355:
2315:
2269:
2187:
1872:
6412:
5310:
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4971:
3587:
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2573:
2480:
1727:
1707:
637:
303:
6719:
4318:
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1459:
6850:
5908:
5872:
5436:
5404:
5130:
5029:
4470:
3349:
2631:
6470:
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6370:
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3095:
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6142:
4528:
4129:
1537:
1511:
1232:
1136:
3946:
6984:
formal proof language, a collaborative project that marked an important milestone in terms of mathematicians successfully formalizing contemporary mathematics.
6680:
6510:
6490:
6341:
6266:
6246:
6222:
6202:
6182:
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6116:
5516:
5330:
5150:
4991:
4869:
4713:
4693:
4653:
4598:
4095:
4040:
3812:
3792:
3688:
3607:
3421:
3311:
3215:
3195:
2877:
2857:
2781:
2761:
2735:
2676:
2593:
2500:
2454:
2395:
2375:
2335:
2290:
2249:
1863:
1597:
1577:
1557:
1252:
1206:
1186:
1156:
1068:
1048:
1028:
953:
933:
913:
893:
562:
542:
522:
499:
409:
381:
232:
135:
103:
7611:
4576:
methods. The following proposition relates Bohr sets back to generalized arithmetic progressions, eventually leading to the proof of
Freiman's theorem.
840:
proved new polynomial estimates for the size of arithmetic progressions arising in the theorem in 2002. The current best bounds were provided by
5913:
2917:
2786:
7092:
7540:
5609:
3822:
Though
Freiman's theorem applies to sets of integers, the Ruzsa modeling lemma allows one to model sets of integers as subsets of finite
7003:
6722:
7710:
106:
6998:
861:
2079:
4269:{\displaystyle \operatorname {Bohr} (R,\varepsilon )=\{x\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} :\forall r\in R,|rx/N|\leq \varepsilon \},}
3518:
707:
3693:
7437:
1995:
3054:
7419:
5059:
3008:
7084:
5155:
4022:
Generalizing this lemma to arbitrary cyclic groups requires an analogous notion to “subspace”: that of the Bohr set. Let
3220:
7247:
6925:
841:
7296:
5406:
are
Freiman 2-isomorphic. Then the image under the 2-isomorphism of the proper generalized arithmetic progression in
4358:
7165:
6585:
4874:
3482:
7331:
6973:
6091:
4603:
4045:
2973:
2882:
2681:
2192:
6085:
3837:
1325:
6931:
5441:
4848:
4782:
4718:
1814:
7211:
6981:
6767:
6519:
4764:
4541:
3951:
20:
1783:
6224:, and its size is defined to be the cardinality of the whole set. Green and Ruzsa showed the following:
5524:
1757:
1257:
642:
7689:
7585:
3877:
417:
5745:
5568:
1640:
1073:
7216:
6773:
6271:
3985:
958:
162:
5237:
4768:
4399:
3736:
3612:
3426:
2505:
2400:
5783:
4658:
4475:
4134:
3794:-isomorphism onto its image. The result follows after composing this map with the earlier Freiman
567:
140:
7565:
7501:
7361:
7343:
7277:
7259:
6881:
1982:{\displaystyle \varphi (a_{1})+\cdots +\varphi (a_{s})=\varphi (a_{1}')+\cdots +\varphi (a_{s}')}
6855:
6743:
1602:
7564:
Gowers, W. T.; Green, Ben; Manners, Freddie; Tao, Terence (2023). "On a conjecture of Marton".
3354:
1402:
34:
7521:
7138:
7088:
6928:
gave an almost polynomial bound of the conjecture for abelian groups. In 2023 a solution over
5809:
3653:
3160:
2340:
2300:
2254:
2172:
1732:
6375:
5335:
3830:, and then generalize results to the integers. The following lemma was proved by Bogolyubov:
3150:{\displaystyle \cdot \lambda \colon \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} }
2459:
1712:
1686:
616:
266:
7705:
7670:
7511:
7395:
7353:
7269:
7221:
7184:
7174:
7130:
7098:
7061:
7035:
6698:
4573:
4282:
1464:
1438:
1159:
7233:
6828:
5877:
5845:
5409:
5377:
5103:
4996:
4443:
3316:
2598:
7674:
7658:
7229:
7188:
7102:
7065:
7053:
7039:
7023:
6993:
6446:
6417:
6346:
4323:
829:
337:
308:
237:
7463:
6121:
4505:
4104:
1516:
1490:
1211:
1115:
6695:
Extending
Freiman’s theorem to an arbitrary nonabelian group is still open. Results for
5290:
5034:
4951:
3928:
3567:
3457:
3381:
3271:
2636:
2553:
6969:
6733:
6689:
6665:
6495:
6475:
6326:
6251:
6231:
6207:
6187:
6167:
6147:
6101:
5501:
5315:
5135:
4976:
4854:
4698:
4678:
4638:
4583:
4080:
4025:
3797:
3777:
3673:
3592:
3406:
3296:
3200:
3180:
2862:
2842:
2766:
2746:
2720:
2661:
2578:
2485:
2439:
2380:
2360:
2320:
2275:
2234:
1848:
1582:
1562:
1542:
1237:
1191:
1171:
1141:
1053:
1033:
1013:
938:
918:
898:
878:
547:
527:
507:
484:
394:
366:
217:
120:
88:
7699:
7327:
7156:
6729:
6728:
The polynomial
Freiman–Ruzsa conjecture, is a generalization published in a paper by
837:
833:
7365:
7281:
7273:
6737:
3827:
3823:
7225:
832:(1964, 1966). Much interest in it, and applications, stemmed from a new proof by
7415:
7379:
6977:
6685:
4535:
7685:
7118:
7525:
7142:
7516:
7400:
7383:
6204:. The dimension of this coset progression is defined to be the dimension of
4351:
to the nearest integer. The following lemma generalizes
Bogolyubov's lemma:
27:
is a central result which indicates the approximate structure of sets whose
7357:
7303:
6069:{\displaystyle 2^{|X|}2^{d}|P|\leq 2^{|X|+d}|2A-2A|\leq 2^{|X|+d}K^{4}|A|}
4695:
contains a proper generalized arithmetic progression of dimension at most
2963:{\displaystyle \psi _{q}\colon \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }
852:
The proof presented here follows the proof in Yufei Zhao's lecture notes.
234:
is contained in a generalized arithmetic progression of dimension at most
7489:
2832:{\displaystyle \pi _{q}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} }
7179:
7160:
7134:
7348:
28:
7612:"'A-Team' of Math Proves a Critical Link Between Addition and Sets"
7570:
5732:{\displaystyle |P+A|\leq |3A-2A|\leq |8A-8A|\leq N\leq (4d)^{d}|P|}
7541:"An Easy-Sounding Problem Yields Numbers Too Big for Our Universe"
7506:
7264:
7202:
Chang, Mei-Chu (2002). "A polynomial bound in
Freiman's theorem".
5874:
is contained in a generalized arithmetic progression of dimension
5132:
contains a proper generalized arithmetic progression of dimension
524:
is a subset of a finite proper generalized arithmetic progression
7636:
7081:
Additive Number Theory: Inverse
Problems and Geometry of Sumsets
2159:{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{s},a_{1}',\ldots ,a_{s}'\in A}
7684:
This article incorporates material from
Freiman's theorem on
6968:
a field of characteristic 2 has been posted as a preprint by
6086:
Arithmetic combinatorics § Breuillard–Green–Tao_theorem
7334:(2007). "Freiman's theorem in an arbitrary abelian group".
3557:{\displaystyle \psi _{q}\circ \cdot \lambda \circ \pi _{q}}
813:{\displaystyle |A+A|\leq |P+P|\leq 2^{d}|P|\leq C2^{d}|A|.}
16:
On the approximate structure of sets whose sumset is small
7250:(2013). "The structure theory of set addition revisited".
3726:{\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }
6721:, when a set has very small doubling, are referred to as
6343:
is contained in a coset progression of dimension at most
2069:{\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{s}=a_{1}'+\cdots +a_{s}'}
7060:(in Russian). Kazan: Kazan Gos. Ped. Inst. p. 140.
6736:. It states that if a subset of a group (a power of a
3085:{\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} }
7438:"(Ben Green) The Polynomial Freiman–Ruzsa conjecture"
6934:
6884:
6858:
6831:
6776:
6746:
6701:
6668:
6588:
6522:
6498:
6478:
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6378:
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6329:
6274:
6254:
6234:
6210:
6190:
6170:
6150:
6124:
6104:
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5848:
5812:
5786:
5748:
5612:
5571:
5527:
5504:
5444:
5412:
5380:
5338:
5318:
5293:
5240:
5158:
5138:
5106:
5090:{\displaystyle B\subseteq \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }
5062:
5037:
4999:
4979:
4954:
4948:. By the Ruzsa modeling lemma, there exists a subset
4877:
4857:
4785:
4721:
4701:
4681:
4661:
4641:
4606:
4586:
4544:
4534:
Here the dimension of a Bohr set is analogous to the
4508:
4478:
4446:
4402:
4361:
4326:
4285:
4160:
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3615:
3595:
3570:
3521:
3485:
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3409:
3384:
3357:
3319:
3299:
3274:
3223:
3203:
3183:
3163:
3098:
3057:
3044:{\displaystyle \{1,\ldots ,q\}\subseteq \mathbb {Z} }
3011:
2976:
2920:
2885:
2865:
2845:
2789:
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2508:
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269:
240:
220:
165:
143:
123:
91:
37:
3826:. So it is useful to first work in the setting of a
2432:
Then the Ruzsa modeling lemma states the following:
7161:"Generalized arithmetical progressions and sumsets"
5227:{\displaystyle (1/(8\cdot 2K^{16}))^{-2}=256K^{32}}
2717:The last statement means there exists some Freiman
7119:"Arithmetical progressions and the number of sums"
7058:Foundations of a Structural Theory of Set Addition
6960:
6916:
6870:
6844:
6817:
6758:
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5438:is a proper generalized arithmetic progression in
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2625:
2587:
2567:
2542:
2494:
2474:
2448:
2421:
2389:
2369:
2349:
2329:
2309:
2284:
2263:
2243:
2223:
2181:
2158:
2068:
1981:
1857:
1835:
1803:
1772:
1746:
1721:
1701:
1679:Freiman homomorphisms and the Ruzsa modeling lemma
1667:
1629:
1591:
1571:
1551:
1531:
1505:
1479:
1453:
1427:
1391:
1314:
1246:
1226:
1200:
1180:
1150:
1130:
1112:This lemma provides a bound on how many copies of
1100:
1062:
1042:
1022:
1002:
947:
927:
907:
887:
812:
693:
631:
605:
556:
536:
516:
493:
470:
403:
375:
355:
326:
297:
255:
226:
206:
151:
129:
97:
77:
3261:{\displaystyle (\cdot \lambda \circ \pi _{q})(A)}
7690:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
6144:for a proper generalized arithmetic progression
7420:"An elementary non-commutative Freiman theorem"
4389:{\displaystyle A\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }
871:The Ruzsa covering lemma states the following:
6980:. This proof was completely formalized in the
3650:. Lastly, there exists some choice of nonzero
7252:Bulletin of the American Mathematical Society
6688:(2010) also generalized Freiman's theorem to
6655:{\displaystyle f(K)=e^{CK^{4}\log ^{2}(K+2)}}
5100:By the generalization of Bogolyubov's lemma,
2970:be the lifting map that takes each member of
1158:, hence the name. The proof is essentially a
8:
7661:(1999). "Structure theory of set addition".
4941:{\displaystyle |8A-8A|\leq N\leq 2K^{16}|A|}
4260:
4185:
3508:{\displaystyle \cdot \lambda \circ \pi _{q}}
3030:
3012:
915:be finite subsets of an abelian group with
7464:"An analog of Freiman's theorem in groups"
7336:Journal of the London Mathematical Society
4628:{\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }
4070:{\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }
2998:{\displaystyle \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} }
2907:{\displaystyle \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} }
2706:{\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }
2224:{\displaystyle \varphi ^{-1}\colon B\to A}
7637:"The Polynomial Freiman-Ruzsa Conjecture"
7569:
7515:
7505:
7399:
7347:
7297:"Graph Theory and Additive Combinatorics"
7263:
7215:
7178:
6952:
6947:
6943:
6942:
6933:
6909:
6901:
6893:
6885:
6883:
6857:
6836:
6830:
6810:
6802:
6791:
6777:
6775:
6745:
6700:
6667:
6626:
6616:
6608:
6587:
6545:
6521:
6516:Green and Ruzsa provided upper bounds of
6497:
6477:
6448:
6419:
6399:
6391:
6377:
6348:
6328:
6308:
6300:
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6275:
6273:
6253:
6233:
6209:
6189:
6169:
6149:
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6103:
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6053:
6047:
6030:
6022:
6021:
6009:
5989:
5976:
5968:
5967:
5955:
5947:
5941:
5930:
5922:
5921:
5915:
5889:
5881:
5879:
5847:
5826:
5811:
5785:
5747:
5724:
5716:
5710:
5683:
5663:
5655:
5635:
5627:
5613:
5611:
5570:
5526:
5503:
5443:
5411:
5379:
5337:
5317:
5292:
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5247:
5239:
5218:
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5186:
5165:
5157:
5137:
5105:
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5082:
5074:
5070:
5069:
5061:
5036:
5013:
5008:
5000:
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4978:
4953:
4933:
4925:
4919:
4898:
4878:
4876:
4856:
4832:
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4818:
4806:
4786:
4784:
4740:
4728:
4720:
4700:
4680:
4660:
4640:
4621:
4620:
4612:
4608:
4607:
4605:
4585:
4556:
4551:
4547:
4546:
4543:
4512:
4507:
4483:
4477:
4472:contains a Bohr set of dimension at most
4445:
4422:
4417:
4409:
4401:
4382:
4381:
4373:
4369:
4368:
4360:
4333:
4325:
4305:
4297:
4286:
4284:
4249:
4241:
4230:
4208:
4207:
4199:
4195:
4194:
4159:
4136:
4116:
4108:
4106:
4082:
4063:
4062:
4054:
4050:
4049:
4047:
4027:
3999:
3987:
3966:
3961:
3957:
3956:
3953:
3930:
3909:
3900:
3895:
3887:
3879:
3867:{\displaystyle A\in \mathbb {F} _{2}^{n}}
3858:
3853:
3849:
3848:
3839:
3799:
3779:
3744:
3738:
3719:
3718:
3710:
3706:
3705:
3698:
3697:
3695:
3675:
3655:
3620:
3614:
3594:
3569:
3548:
3526:
3520:
3499:
3484:
3459:
3428:
3408:
3383:
3362:
3356:
3333:
3328:
3320:
3318:
3298:
3273:
3240:
3222:
3202:
3182:
3162:
3143:
3142:
3134:
3130:
3129:
3122:
3121:
3113:
3109:
3108:
3097:
3078:
3077:
3069:
3065:
3064:
3056:
3037:
3036:
3010:
2991:
2990:
2982:
2978:
2977:
2975:
2956:
2955:
2948:
2947:
2939:
2935:
2934:
2925:
2919:
2900:
2899:
2891:
2887:
2886:
2884:
2864:
2844:
2825:
2824:
2816:
2812:
2811:
2804:
2803:
2794:
2788:
2768:
2748:
2722:
2699:
2698:
2690:
2686:
2685:
2683:
2663:
2638:
2615:
2610:
2602:
2600:
2580:
2555:
2535:
2515:
2507:
2487:
2461:
2441:
2402:
2382:
2362:
2342:
2322:
2302:
2277:
2256:
2236:
2200:
2194:
2174:
2141:
2119:
2106:
2087:
2081:
2057:
2035:
2022:
2003:
1997:
1967:
1936:
1914:
1886:
1874:
1850:
1816:
1785:
1759:
1734:
1714:
1688:
1642:
1604:
1584:
1564:
1544:
1518:
1492:
1466:
1440:
1414:
1406:
1404:
1384:
1376:
1365:
1351:
1343:
1329:
1327:
1307:
1299:
1291:
1283:
1275:
1261:
1259:
1239:
1213:
1193:
1173:
1143:
1117:
1075:
1055:
1035:
1015:
995:
987:
976:
962:
960:
940:
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900:
880:
802:
794:
788:
773:
765:
759:
747:
733:
725:
711:
709:
686:
678:
672:
660:
646:
644:
618:
598:
590:
579:
571:
569:
549:
529:
509:
486:
454:
446:
435:
421:
419:
396:
368:
339:
310:
290:
282:
268:
239:
219:
199:
191:
180:
166:
164:
145:
144:
142:
122:
90:
70:
62:
57:
52:
38:
36:
3670:such that the restriction of the modulo-
2763:sufficiently large such that the modulo-
1392:{\displaystyle |T+S|\leq |A+S|\leq K|S|}
7384:"Freiman's theorem for solvable groups"
7015:
6825:then it is covered by a bounded number
2737:-homomorphism between the two subsets.
2377:-homomorphism for any positive integer
6961:{\displaystyle G=\mathbb {F} _{2}^{n}}
5491:{\displaystyle 2A'-2A'\subseteq 2A-2A}
7388:Contributions to Discrete Mathematics
4840:{\displaystyle |8A-8A|\leq K^{16}|A|}
4752:{\displaystyle (\varepsilon /d)^{d}N}
3423:-isomorphism onto its image, and let
2456:be a finite set of integers, and let
1836:{\displaystyle \varphi \colon A\to B}
7:
6575:{\displaystyle d(K)=CK^{4}\log(K+2)}
6248:be a finite set in an abelian group
5056:is Freiman 8-isomorphic to a subset
4565:{\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}
3975:{\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}
411:of integers, it is always true that
31:is small. It roughly states that if
7026:(1964). "Addition of finite sets".
4779:By the Plünnecke–Ruzsa inequality,
4763:The proof of this proposition uses
1804:{\displaystyle B\subseteq \Gamma '}
955:be a positive real number. Then if
23:, a discipline within mathematics,
7610:Sloman, Leila (December 6, 2023).
5558:{\displaystyle P+A\subseteq 3A-2A}
4572:. The proof of the lemma involves
4215:
1794:
1773:{\displaystyle A\subseteq \Gamma }
1767:
1737:
1716:
1315:{\displaystyle |T+S|=|T|\cdot |S|}
694:{\displaystyle |P+P|\leq 2^{d}|P|}
107:generalized arithmetic progression
14:
3918:{\displaystyle \alpha =|A|/2^{n}}
471:{\displaystyle |A+A|\geq 2|A|-1,}
7004:Kneser's theorem (combinatorics)
5773:{\displaystyle A\subseteq X+P-P}
5596:{\displaystyle P\subseteq 2A-2A}
3818:Bohr sets and Bogolyubov's lemma
3005:to its unique representative in
2502:be a positive integer such that
1668:{\displaystyle A\subseteq T+S-S}
1101:{\displaystyle A\subseteq T+S-S}
363:are constants depending only on
7490:"On the Bogolyubov–Ruzsa lemma"
7274:10.1090/S0273-0979-2012-01392-7
7123:Periodica Mathematica Hungarica
5742:so by the Ruzsa covering lemma
7688:, which is licensed under the
6910:
6902:
6894:
6886:
6818:{\displaystyle |A+A|\leq K|A|}
6811:
6803:
6792:
6778:
6647:
6635:
6598:
6592:
6569:
6557:
6532:
6526:
6459:
6453:
6430:
6424:
6400:
6392:
6388:
6382:
6359:
6353:
6316:{\displaystyle |A+A|\leq K|A|}
6309:
6301:
6290:
6276:
6062:
6054:
6031:
6023:
6010:
5990:
5977:
5969:
5956:
5948:
5931:
5923:
5890:
5882:
5823:
5813:
5725:
5717:
5707:
5697:
5684:
5664:
5656:
5636:
5628:
5614:
5265:
5261:
5252:
5241:
5196:
5192:
5170:
5159:
5009:
5001:
4934:
4926:
4899:
4879:
4833:
4825:
4807:
4787:
4737:
4722:
4418:
4410:
4306:
4287:
4250:
4231:
4179:
4167:
4117:
4109:
4011:{\displaystyle n-\alpha ^{-2}}
3896:
3888:
3761:
3750:
3702:
3637:
3626:
3329:
3321:
3255:
3249:
3246:
3224:
3126:
2952:
2808:
2611:
2603:
2536:
2516:
2215:
1976:
1960:
1945:
1929:
1920:
1907:
1892:
1879:
1827:
1579:contradicts the maximality of
1415:
1407:
1385:
1377:
1366:
1352:
1344:
1330:
1308:
1300:
1292:
1284:
1276:
1262:
1003:{\displaystyle |A+S|\leq K|S|}
996:
988:
977:
963:
803:
795:
774:
766:
748:
734:
726:
712:
687:
679:
661:
647:
599:
591:
580:
572:
501:is an arithmetic progression.
455:
447:
436:
422:
350:
344:
321:
315:
291:
283:
279:
273:
250:
244:
207:{\displaystyle |A+A|\leq K|A|}
200:
192:
181:
167:
71:
63:
53:
39:
1:
7226:10.1215/s0012-7094-02-11331-3
7085:Graduate Texts in Mathematics
7079:Nathanson, Melvyn B. (1996).
5280:{\displaystyle (1/(4d))^{d}N}
4433:{\displaystyle \alpha =|A|/N}
3767:{\displaystyle \psi _{q}(B')}
3643:{\displaystyle \psi _{q}(B')}
3447:{\displaystyle A'\subseteq A}
3351:such that the restriction of
2550:. Then there exists a subset
2543:{\displaystyle N\geq |sA-sA|}
2422:{\displaystyle 2\leq t\leq s}
481:with equality precisely when
7539:Brubaker, Ben (2023-12-04).
7117:Ruzsa, I. Z. (August 1992).
5799:{\displaystyle X\subseteq A}
4668:{\displaystyle \varepsilon }
4495:{\displaystyle \alpha ^{-2}}
4144:{\displaystyle \varepsilon }
3609:-isomorphism onto its image
824:History of Freiman's theorem
606:{\displaystyle |P|\leq C|A|}
152:{\displaystyle \mathbb {Z} }
105:can be contained in a small
7586:"On a conjecture of Marton"
7488:Sanders, Tom (2012-10-15).
7087:. Vol. 165. Springer.
7028:Soviet Mathematics. Doklady
6917:{\displaystyle |H|\leq |A|}
6852:of cosets of some subgroup
6692:of bounded derived length.
6662:for some absolute constant
3268:. Choose a suitable subset
2678:-isomorphic to a subset of
2482:be a positive integer. Let
1709:be a positive integer, and
7727:
7166:Acta Mathematica Hungarica
6999:Plünnecke–Ruzsa inequality
6871:{\displaystyle H\subset G}
6759:{\displaystyle A\subset G}
6083:
5332:are Freiman 8-isomorphic,
4767:, a fundamental result in
3515:. Then the restriction of
3313:with cardinality at least
2595:with cardinality at least
1630:{\displaystyle a\in T+S-S}
862:Plünnecke–Ruzsa inequality
859:
856:Plünnecke–Ruzsa inequality
7711:Theorems in number theory
7204:Duke Mathematical Journal
3371:{\displaystyle \psi _{q}}
3157:be the multiplication by
1428:{\displaystyle |T|\leq K}
78:{\displaystyle |A+A|/|A|}
6492:that are independent of
6076:, completing the proof.
5835:{\displaystyle (4d)^{d}}
4993:of cardinality at least
3663:{\displaystyle \lambda }
3177:map, which is a Freiman
3170:{\displaystyle \lambda }
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504:More generally, suppose
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6732:but credited by him to
6407:{\displaystyle f(K)|A|}
5806:of cardinality at most
5367:{\displaystyle 2A'-2A'}
4851:, there exists a prime
3948:contains a subspace of
2475:{\displaystyle s\geq 2}
1754:be abelian groups. Let
1722:{\displaystyle \Gamma }
1702:{\displaystyle s\geq 2}
1435:. Furthermore, for any
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1188:be a maximal subset of
848:Tools used in the proof
823:
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6976:, Freddie Manners and
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7494:Analysis & PDE
7462:Ruzsa, I. (1999).
7424:Terence Tao's blog
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6472:are functions of
6372:and size at most
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