53:
3119:
41:
7063:
5070:
7073:
956:
This distribution might be used to represent the distribution of the maximum level of a river in a particular year if there was a list of maximum values for the past ten years. It is useful in predicting the chance that an extreme earthquake, flood or other natural disaster will occur. The potential
4553:
4102:
3579:
4677:
3100:
3975:
4303:
4807:
4424:
2831:
2524:
716:
1770:
2975:
1118:
2740:
2675:
4431:
3980:
2902:
1631:
4345:
2223:
1581:
275:
4164:
3379:
1443:
646:
5169:
4931:
927:
1519:
97:
4560:
3804:
3659:, therefore, the Gumbel distribution is used to analyze such variables as monthly and annual maximum values of daily rainfall and river discharge volumes, and also to describe droughts.
862:
7107:
1375:
317:
2092:
385:
2045:
449:
3855:
1717:
5077:
In pre-software times probability paper was used to picture the Gumbel distribution (see illustration). The paper is based on linearization of the cumulative distribution function
2980:
1401:
1319:
803:
566:
1243:
3850:
1875:
486:
205:
4175:
1839:
5721:
3191:
2592:
2147:
1952:
751:
3651:
3262:
1984:
3371:
165:
5506:
1178:
5237:
1898:
1682:
1655:
507:
5003:
2317:
1798:
1152:
5059:
3107:
2297:
2250:
128:
4983:
4963:
4854:
594:
5212:
5192:
5095:
5023:
3602:
3342:
3322:
3302:
3282:
3211:
2346:
2270:
5850:
868:
6333:
6241:
4684:
5399:
7028:
5271:
5549:
Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). "An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future".
4350:
3102:. More generally, the distribution of linear combinations of independent Gumbel random variables can be approximated by GNIG and GIG distributions.
2745:
6894:
6106:
5865:
5714:
6789:
6553:
5266:
2387:
965:
949:
659:
6227:
4818:
6548:
6492:
6152:
5790:
1002:
theory — the errors of the latent variables follow a Gumbel distribution. This is useful because the difference of two Gumbel-distributed
6298:
961:, which indicates that it is likely to be useful if the distribution of the underlying sample data is of the normal or exponential type.
6834:
6568:
6421:
6096:
5840:
1722:
7076:
6293:
987:: when its density is first reflected about the origin and then restricted to the positive half line, a Gompertz function is obtained.
7066:
6738:
6714:
5707:
6935:
6563:
7097:
6812:
6773:
6745:
6719:
6637:
5986:
5734:
5382:
5026:
2907:
4548:{\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}
4097:{\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}
1035:
6923:
6889:
6755:
6750:
6595:
6403:
6101:
5855:
4824:
2680:
2615:
1026:
323:
6673:
6586:
6558:
6467:
6416:
6390:
6288:
6071:
6036:
2843:
1589:
6687:
6604:
6441:
6188:
6066:
6041:
5905:
5900:
5895:
6365:
5875:
5870:
1658:
1404:
510:
7003:
6869:
6577:
6426:
6358:
6343:
6236:
6210:
6142:
5981:
5812:
5797:
5584:
Erdös, Paul; Lehner, Joseph (1941). "The distribution of the number of summands in the partitions of a positive integer".
4312:
3728:
6520:
2152:
52:
6899:
6839:
6829:
6446:
6147:
6006:
3574:{\displaystyle P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},}
1532:
218:
211:
6248:
5991:
5920:
7102:
6884:
6879:
6824:
6760:
6525:
6303:
6200:
5785:
5530:. Applied Mathematics Series. Vol. 33 (1st ed.). U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards.
40:
6704:
6512:
4109:
1410:
953:) is used to model the distribution of the maximum (or the minimum) of a number of samples of various distributions.
607:
4672:{\displaystyle \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)}
7018:
6794:
6613:
6395:
6348:
6217:
6193:
6173:
6016:
5890:
5770:
5256:
5103:
4862:
875:
809:
7023:
5966:
3145:
minus the natural logarithm of the sample size approaches the Gumbel distribution as the sample size increases.
1461:
65:
6807:
6768:
6642:
6479:
6323:
6268:
6166:
6130:
6001:
3757:
816:
5654:
5525:
5174:
In the paper the horizontal axis is constructed at a double log scale. The vertical axis is linear. By plotting
1327:
281:
6709:
6497:
6263:
6222:
6137:
6091:
6031:
5996:
5885:
5780:
5730:
3744:
3142:
2050:
330:
5822:
3095:{\displaystyle E(X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =E\left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}
5400:"Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz' law of mortality"
5373:. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp.
3748:
1989:
398:
7008:
6950:
6621:
6408:
6318:
6273:
6258:
6178:
6076:
6026:
6021:
5802:
3713:
1687:
5347:
Gumbel E.J. (1941). "The return period of flood flows". The Annals of
Mathematical Statistics, 12, 163–190.
1380:
1254:
764:
524:
6874:
6862:
6851:
6733:
6629:
6436:
5880:
5860:
5765:
5422:
4167:
3694:
1186:
3809:
6998:
6955:
6799:
6474:
6328:
6308:
6205:
5775:
2834:
2365:
1844:
1007:
984:
462:
175:
103:
182:
1803:
7048:
7043:
7038:
7033:
6970:
6940:
6819:
6462:
6353:
6253:
5956:
5915:
5910:
5807:
5634:
5558:
5261:
5240:
3721:
3151:
3122:
2533:
2100:
1905:
980:
971:
958:
729:
3607:
6982:
6507:
6487:
6457:
6385:
6313:
6125:
6061:
3216:
1957:
757:
3347:
141:
7013:
6502:
6283:
6278:
6183:
6120:
6115:
5971:
5961:
5845:
5679:
5624:
5470:
5319:
5276:
5214:-variable on the vertical axis, the distribution is represented by a straight line with a slope 1
3690:
1014:
935:
130:
5374:
5368:
3970:{\displaystyle Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i}))={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}}
6911:
6338:
6081:
6011:
5976:
5925:
5531:
5378:
3702:
3698:
2595:
1157:
995:
572:
391:
5447:
5323:
5217:
1880:
1667:
1640:
492:
6086:
5760:
5593:
5566:
5462:
5414:
4988:
3740:
2302:
1777:
1131:
957:
applicability of the Gumbel distribution to represent the distribution of maxima relates to
5032:
2275:
2228:
110:
4968:
4939:
4830:
3138:
3134:
3126:
1003:
999:
991:
722:
579:
167:
4298:{\displaystyle Pr(j=\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i}))={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}}
2319:(actually it suffices to consider just two distinct values of k>1 which are coprime).
5638:
5562:
5295:
This article uses the Gumbel distribution to model the distribution of the maximum value
6159:
5197:
5177:
5080:
5008:
3587:
3327:
3307:
3287:
3267:
3196:
2331:
2255:
455:
7091:
6782:
6530:
5817:
5474:
5418:
3709:
5670:
Balog, Matej; Tripuraneni, Nilesh; Ghahramani, Zoubin; Weller, Adrian (2017-07-17).
2598:
is proportional to a reflected Gumbel density, restricted to the positive half-line.
5699:
5448:"On the distribution of linear combinations of independent Gumbel random variables"
134:
5671:
5597:
5570:
4802:{\displaystyle \mathbb {E} =\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma .}
5466:
3717:
939:
4419:{\displaystyle (-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)}
3743:, the Gumbel distribution is sometimes employed to generate samples from the
2826:{\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}
1017:(1891–1966), based on his original papers describing the distribution.
3663:
3656:
3118:
5361:
3747:. This technique is called "Gumbel-max trick" and is a special example of "
5069:
3129:
of a cumulative Gumbel distribution to maximum one-day
October rainfalls.
17:
5247:
became available, the task of plotting the distribution was made easier.
2519:{\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}
1448:
968:(also known as the Fisher–Tippett distribution). It is also known as the
652:
600:
5488:
711:{\displaystyle {\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14}
5535:
5244:
4679:. That is, the Gumbel distribution is a max-stable distribution family.
3712:, the Gumbel distribution approximates the number of terms in a random
2605:
is an exponentially distributed variable with mean 1, then −log(
5299:
To model the minimum value, use the negative of the original values.
517:
5527:
Statistical theory of extreme values and some practical applications
3852:
be independent samples of Gumbel(0, 1), then by routine integration,
5684:
5659:. International Conference on Learning Representations (ICLR) 2017.
5629:
3701:
of the distribution. Therefore, this estimator is often used as a
1765:{\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi \approx 0.78\sigma .}
5073:
A piece of graph paper that incorporates the Gumbel distribution.
3685:
is the rank number of the observed value in the data series and
2348:
has a Gumbel distribution, then the conditional distribution of
5703:
5489:"CumFreq, distribution fitting of probability, free calculator"
2530: > 0. Consequently, the densities are related by
2970:{\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )}
979:(a term that is alternatively sometimes used to refer to the
27:
Particular case of the generalized extreme value distribution
3110:
provides a multivariate version of the Gumbel distribution.
1113:{\displaystyle F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}\,}
3264:
its cumulative distribution. Then the maximum value out of
2735:{\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}
2670:{\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}
2897:{\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}
1626:{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\gamma \beta }
2299:
is necessarily Gumbel distributed with scale parameter
3344:. So the cumulative distribution of the maximum value
5324:"Les valeurs extrĂŞmes des distributions statistiques"
5220:
5200:
5180:
5106:
5083:
5035:
5011:
4991:
4971:
4942:
4865:
4833:
4687:
4563:
4434:
4353:
4315:
4178:
4112:
3983:
3858:
3812:
3760:
3610:
3590:
3382:
3350:
3330:
3310:
3290:
3270:
3219:
3199:
3154:
2983:
2910:
2846:
2748:
2683:
2618:
2536:
2390:
2334:
2305:
2278:
2258:
2231:
2155:
2103:
2053:
1992:
1960:
1908:
1883:
1847:
1806:
1780:
1725:
1690:
1670:
1643:
1592:
1535:
1464:
1413:
1383:
1330:
1257:
1189:
1160:
1134:
1038:
878:
819:
767:
732:
662:
610:
582:
527:
495:
465:
401:
333:
284:
221:
185:
144:
113:
68:
5370:
Drainage
Principles and Applications, Publication 16
4340:{\displaystyle x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}
964:
The Gumbel distribution is a particular case of the
6991:
6949:
6850:
6686:
6664:
6655:
6539:
6374:
6050:
5947:
5938:
5831:
5751:
5742:
5653:Jang, Eric; Gu, Shixiang; Poole, Ben (April 2017).
2218:{\displaystyle \max\{G_{1},...,G_{k}\}-\beta \ln k}
1128:The standard Gumbel distribution is the case where
867:
808:
756:
721:
651:
599:
571:
516:
454:
390:
322:
210:
174:
102:
59:
5611:Kourbatov, A. (2013). "Maximal gaps between prime
5507:"Gumbel distribution and exponential distribution"
5231:
5206:
5186:
5163:
5089:
5053:
5017:
4997:
4977:
4957:
4925:
4848:
4801:
4671:
4547:
4418:
4339:
4297:
4158:
4096:
3969:
3844:
3798:
3689:is the total number of observations — is an
3645:
3596:
3573:
3365:
3336:
3316:
3296:
3276:
3256:
3205:
3185:
3094:
2969:
2896:
2825:
2734:
2669:
2586:
2518:
2340:
2311:
2291:
2264:
2244:
2217:
2141:
2086:
2039:
1978:
1946:
1892:
1869:
1833:
1792:
1764:
1711:
1676:
1649:
1625:
1576:{\displaystyle \mu -\beta \ln \left(\ln 2\right),}
1575:
1513:
1437:
1395:
1369:
1313:
1237:
1172:
1146:
1112:
921:
856:
797:
745:
710:
640:
588:
560:
501:
480:
443:
379:
311:
270:{\displaystyle {\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}}
269:
199:
159:
122:
91:
5656:Categorical Reparametrization with Gumble-Softmax
5446:Marques, F.; Coelho, C.; de Carvalho, M. (2015).
3324:if and only if all realizations are smaller than
3133:Gumbel has shown that the maximum value (or last
2047:is also a Gumbel random variable with parameters
4697:
4565:
4442:
4201:
3991:
3881:
2156:
1993:
1954:are iid Gumbel random variables with parameters
7108:Location-scale family probability distributions
4159:{\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }
3716:as well as the trend-adjusted sizes of maximal
3108:generalized multivariate log-gamma distribution
1438:{\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}
641:{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\beta ^{2}}
3681:for the probability of an event — where
5715:
5362:"Chapter 6 Frequency and Regression Analysis"
5164:{\displaystyle -\ln={\frac {x-\mu }{\beta }}}
4926:{\displaystyle Q(p)=\mu -\beta \ln(-\ln(p)),}
922:{\displaystyle \Gamma (1-i\beta t)e^{i\mu t}}
8:
5676:International Conference on Machine Learning
5355:
5353:
5194:on the horizontal axis of the paper and the
2197:
2159:
2034:
1996:
1514:{\displaystyle \kappa _{n}=(n-1)!\zeta (n).}
92:{\displaystyle {\text{Gumbel}}(\mu ,\beta )}
30:
3799:{\displaystyle (\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})}
857:{\displaystyle \Gamma (1-\beta t)e^{\mu t}}
6661:
5944:
5748:
5722:
5708:
5700:
4965:has a Gumbel distribution with parameters
3806:be nonnegative, and not all zero, and let
1370:{\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}
1324:In this case the mode is 0, the median is
312:{\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\beta }}}
29:
5683:
5628:
5221:
5219:
5199:
5179:
5143:
5105:
5082:
5034:
5010:
4990:
4970:
4941:
4864:
4832:
4777:
4769:
4759:
4729:
4713:
4700:
4689:
4688:
4686:
4647:
4637:
4612:
4600:
4581:
4568:
4562:
4539:
4526:
4516:
4505:
4499:
4489:
4477:
4458:
4445:
4433:
4381:
4352:
4314:
4284:
4279:
4269:
4256:
4251:
4245:
4230:
4217:
4204:
4177:
4152:
4151:
4142:
4117:
4111:
4088:
4075:
4065:
4054:
4048:
4038:
4026:
4007:
3994:
3982:
3958:
3948:
3937:
3931:
3916:
3897:
3884:
3857:
3836:
3817:
3811:
3787:
3768:
3759:
3623:
3615:
3609:
3589:
3562:
3543:
3537:
3516:
3438:
3437:
3390:
3389:
3381:
3352:
3351:
3349:
3329:
3309:
3289:
3269:
3245:
3218:
3198:
3174:
3153:
3043:
2982:
2923:
2909:
2859:
2845:
2822:
2807:
2794:
2761:
2747:
2717:
2690:
2682:
2652:
2625:
2617:
2567:
2535:
2499:
2389:
2333:
2304:
2283:
2277:
2257:
2236:
2230:
2191:
2166:
2154:
2121:
2108:
2102:
2087:{\displaystyle (\mu +\beta \ln k,\beta )}
2052:
2028:
2003:
1991:
1959:
1938:
1913:
1907:
1882:
1852:
1846:
1805:
1779:
1742:
1735:
1724:
1702:
1697:
1689:
1669:
1642:
1591:
1534:
1469:
1463:
1422:
1417:
1412:
1382:
1329:
1294:
1277:
1256:
1234:
1217:
1209:
1188:
1159:
1133:
1109:
1097:
1078:
1070:
1037:
907:
877:
845:
818:
766:
733:
731:
694:
676:
669:
663:
661:
632:
617:
611:
609:
581:
526:
494:
464:
400:
380:{\displaystyle e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}}
365:
346:
338:
332:
291:
283:
253:
236:
222:
220:
193:
192:
184:
143:
112:
69:
67:
5068:
3117:
2360:is positive, or equivalently given that
5311:
5288:
4856:, of a Gumbel distribution is given by
2040:{\displaystyle \max\{G_{1},...,G_{k}\}}
1013:The Gumbel distribution is named after
444:{\displaystyle \mu -\beta \ln(-\ln(p))}
5267:Generalized extreme value distribution
1712:{\displaystyle \beta \pi /{\sqrt {6}}}
1180:with cumulative distribution function
966:generalized extreme value distribution
950:generalized extreme value distribution
4823:Since the quantile function (inverse
4819:Non-uniform random variate generation
2609:) has a standard Gumbel distribution.
1396:{\displaystyle \gamma \approx 0.5772}
1314:{\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}
798:{\displaystyle \ln(\beta )+\gamma +1}
561:{\displaystyle \mu -\beta \ln(\ln 2)}
7:
7072:
5672:"Lost Relatives of the Gumbel Trick"
5407:Insurance: Mathematics and Economics
5331:Annales de l'Institut Henri Poincaré
1238:{\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,}
3845:{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}
3604:, the right-hand-side converges to
3193:be the probability distribution of
2149:are iid random variables such that
1529:The mode is ÎĽ, while the median is
1248:and probability density function
5615:-tuples: a statistical approach".
3065:
3062:
3059:
3056:
3053:
3050:
3047:
3044:
2945:
2942:
2939:
2936:
2933:
2930:
2927:
2924:
2875:
2872:
2869:
2866:
2863:
2860:
2783:
2780:
2777:
2774:
2771:
2768:
2765:
2762:
2706:
2703:
2700:
2697:
2694:
2691:
2641:
2638:
2635:
2632:
2629:
2626:
1870:{\displaystyle e^{-1}\approx 0.37}
1593:
879:
820:
481:{\displaystyle \mu +\beta \gamma }
25:
5398:Willemse, W.J.; Kaas, R. (2007).
1455: > 1, are given by
1407:), and the standard deviation is
200:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
7071:
7062:
7061:
5419:10.1016/j.insmatheco.2006.07.003
4825:cumulative distribution function
1834:{\displaystyle F(x;\mu ,\beta )}
1027:cumulative distribution function
51:
49:Cumulative distribution function
39:
5272:Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
3735:Gumbel reparametrization tricks
3662:Gumbel has also shown that the
3186:{\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}
2587:{\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}
2142:{\displaystyle G_{1},G_{2},...}
1947:{\displaystyle G_{1},...,G_{k}}
1877:, irrespective of the value of
1405:Euler–Mascheroni constant
977:double exponential distribution
746:{\displaystyle {\frac {12}{5}}}
511:Euler–Mascheroni constant
5137:
5134:
5128:
5116:
5048:
5036:
4952:
4946:
4917:
4914:
4908:
4896:
4875:
4869:
4843:
4837:
4738:
4735:
4706:
4693:
4606:
4574:
4483:
4451:
4413:
4386:
4375:
4354:
4334:
4328:
4239:
4236:
4210:
4185:
4032:
4000:
3925:
3922:
3890:
3865:
3793:
3761:
3646:{\displaystyle e^{-e^{(-X)}}.}
3633:
3624:
3513:
3509:
3506:
3500:
3485:
3479:
3473:
3470:
3464:
3443:
3434:
3425:
3416:
3410:
3395:
3386:
3357:
3229:
3223:
3164:
3158:
3084:
3069:
2999:
2987:
2964:
2949:
2891:
2879:
2819:
2787:
2729:
2710:
2664:
2645:
2581:
2575:
2564:
2555:
2546:
2540:
2513:
2507:
2496:
2493:
2484:
2475:
2469:
2463:
2457:
2430:
2421:
2409:
2400:
2394:
2081:
2054:
1973:
1961:
1828:
1810:
1605:
1599:
1505:
1499:
1490:
1478:
1358:
1355:
1349:
1340:
1303:
1281:
1267:
1261:
1227:
1218:
1199:
1193:
1094:
1082:
1060:
1042:
1029:of the Gumbel distribution is
900:
882:
838:
823:
780:
774:
686:
680:
555:
543:
438:
435:
429:
417:
362:
350:
262:
240:
86:
74:
1:
5598:10.1215/S0012-7094-41-00826-8
5571:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035
3257:{\displaystyle Q(x)=1-e^{-x}}
2225:has the same distribution as
1979:{\displaystyle (\mu ,\beta )}
5617:Journal of Integer Sequences
3366:{\displaystyle {\tilde {x}}}
1124:Standard Gumbel distribution
160:{\displaystyle \beta >0,}
37:Probability density function
4305:Related equations include:
3114:Occurrence and applications
7124:
6895:Wrapped asymmetric Laplace
5866:Extended negative binomial
5511:Mathematics Stack Exchange
5367:. In Ritzema, H.P. (ed.).
5257:Type-2 Gumbel distribution
4816:
3729:coupon collector's problem
7057:
6554:Generalized extreme value
6334:Relativistic Breit–Wigner
5731:Probability distributions
5586:Duke Mathematical Journal
5467:10.1007/s11222-014-9453-5
5360:Oosterbaan, R.J. (1994).
4813:Random variate generation
4166:, we can sample from its
3720:and maximal gaps between
1659:Euler–Mascheroni constant
1583:and the mean is given by
872:
813:
761:
726:
656:
604:
576:
521:
459:
395:
327:
215:
179:
107:
62:
47:
35:
7098:Continuous distributions
5455:Statistics and Computing
5005:when the random variate
4106:Equivalently, given any
3749:reparametrization tricks
3745:categorical distribution
3143:exponential distribution
2252:for all natural numbers
1173:{\displaystyle \beta =1}
983:). It is related to the
6549:Generalized chi-squared
6493:Normal-inverse Gaussian
5232:{\displaystyle /\beta }
3714:partition of an integer
1893:{\displaystyle \beta .}
1677:{\displaystyle \sigma }
1664:The standard deviation
1650:{\displaystyle \gamma }
502:{\displaystyle \gamma }
6861:Univariate (circular)
6422:Generalized hyperbolic
5851:Conway–Maxwell–Poisson
5841:Beta negative binomial
5233:
5208:
5188:
5165:
5091:
5074:
5055:
5019:
4999:
4998:{\displaystyle \beta }
4979:
4959:
4927:
4850:
4803:
4673:
4549:
4420:
4341:
4299:
4168:Boltzmann distribution
4160:
4098:
3971:
3846:
3800:
3695:cumulative probability
3647:
3598:
3575:
3367:
3338:
3318:
3298:
3278:
3258:
3207:
3187:
3130:
3106:Theory related to the
3096:
2971:
2904:are independent, then
2898:
2827:
2742:are independent, then
2736:
2671:
2588:
2520:
2342:
2313:
2312:{\displaystyle \beta }
2293:
2266:
2246:
2219:
2143:
2088:
2041:
1980:
1948:
1894:
1871:
1835:
1794:
1793:{\displaystyle x=\mu }
1766:
1713:
1678:
1651:
1627:
1577:
1515:
1439:
1397:
1371:
1315:
1239:
1174:
1148:
1147:{\displaystyle \mu =0}
1114:
923:
858:
799:
747:
712:
642:
590:
562:
503:
482:
445:
381:
313:
271:
201:
161:
124:
93:
6906:Bivariate (spherical)
6404:Kaniadakis Îş-Gaussian
5524:Gumbel, E.J. (1954).
5234:
5209:
5189:
5166:
5092:
5072:
5056:
5054:{\displaystyle (0,1)}
5020:
5000:
4980:
4960:
4928:
4851:
4817:Further information:
4804:
4674:
4550:
4421:
4342:
4300:
4161:
4099:
3972:
3847:
3801:
3648:
3599:
3576:
3368:
3339:
3319:
3299:
3279:
3259:
3208:
3188:
3121:
3097:
2972:
2899:
2835:Logistic distribution
2828:
2737:
2672:
2589:
2521:
2366:Gompertz distribution
2343:
2323:Related distributions
2314:
2294:
2292:{\displaystyle G_{1}}
2267:
2247:
2245:{\displaystyle G_{1}}
2220:
2144:
2089:
2042:
1981:
1949:
1895:
1872:
1836:
1795:
1767:
1714:
1679:
1652:
1628:
1578:
1516:
1440:
1398:
1372:
1316:
1240:
1175:
1149:
1115:
1008:logistic distribution
985:Gompertz distribution
924:
859:
800:
748:
713:
643:
591:
563:
504:
483:
446:
382:
314:
272:
202:
162:
125:
123:{\displaystyle \mu ,}
94:
6971:Dirac delta function
6918:Bivariate (toroidal)
6875:Univariate von Mises
6746:Multivariate Laplace
6638:Shifted log-logistic
5987:Continuous Bernoulli
5551:Journal of Hydrology
5262:Extreme value theory
5241:distribution fitting
5218:
5198:
5178:
5104:
5081:
5033:
5027:uniform distribution
5009:
4989:
4978:{\displaystyle \mu }
4969:
4958:{\displaystyle Q(U)}
4940:
4863:
4849:{\displaystyle Q(p)}
4831:
4685:
4561:
4432:
4351:
4313:
4176:
4110:
3981:
3856:
3810:
3758:
3722:prime constellations
3608:
3588:
3380:
3348:
3328:
3308:
3288:
3268:
3217:
3197:
3152:
3123:Distribution fitting
2981:
2908:
2844:
2746:
2681:
2616:
2534:
2388:
2352: = −
2332:
2303:
2276:
2256:
2229:
2153:
2101:
2051:
1990:
1958:
1906:
1881:
1845:
1804:
1778:
1723:
1688:
1668:
1641:
1590:
1533:
1462:
1411:
1381:
1328:
1255:
1187:
1158:
1132:
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981:Laplace distribution
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