2256:
1149:
2322:
2251:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big }{\big }e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big }e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=|\alpha |^{2}W_{g}(t,f)+|\beta |^{2}W_{s}(t,f)\\&\quad +\int _{-\infty }^{\infty }{\big }e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\\end{aligned}}}
2379:
2357:
The goal of filter design is to remove unwanted portions of the signal while preserving the necessary parts. By using the Gabor–Wigner transform, we can simultaneously consider filters in both the time domain and frequency domain, representing a form of time-frequency analysis. The main concept is
2395:
Due to the lower complexity of the Gabor transform compared to the Wigner transform, the Gabor transform is usually prioritized for calculation. When calculating the Wigner transform, it is only necessary to compute the Gabor transform in non-zero regions, as the values in other regions approach
2374:
The purpose of modulation is to place a signal within a specific time or frequency range. Using the Gabor–Wigner transform, we can simultaneously consider how to introduce more or more suitable signal patterns in both the time and frequency domains. Due to the absence of cross-term issues, it
44:
has a "cross term problem" (i.e. is non-linear), a 2007 study by S. C. Pei and J. J. Ding proposed a new combination of the two transforms that has high clarity and no cross term problem. Since the cross term does not appear in the Gabor transform, the time frequency distribution of the Gabor
2316:
The Gabor
Transform (GT) can avoid the cross-term problem, while the Wigner-distribution function (WDF) has high clarity. By combining the two, the Gabor-Wigner Transform (GWT) achieves both high clarity and the ability to avoid the cross-term problem. Example are shown in the picture
1013:
2362:
365:
200:
2541:
617:
738:
2739:
S. C. Pei and J. J. Ding, “Relations between Gabor transforms and fractional
Fourier transforms and their applications for signal processing,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 55, no. 10, pp. 4839–4850, Oct.
864:
844:
478:
1154:
1142:
215:
63:
2628:
2349:
The Gabor–Wigner transform performs well in image processing, filter design, signal sampling, modulation, demodulation, speech processing, and biomedical engineering.
2401:
2311:
2284:
2574:
1074:
1054:
1034:
2386:
From the figure (WDF) above, it can also be observed that when using the Wigner transform (WDF), the generated cross-terms have a severe impact on modulation.
484:
623:
1008:{\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }
744:
2338:
The GWT has rotation relation with the FRFT, making it useful for filter design, sampling, and multiplexing in the FRFT domain.
2313:
are called "auto-term", and other components are "cross-term", which is not the correct information from the original signal.
385:
2705:
2756:
2720:
2710:
41:
378:
There are many different combinations to define the Gabor–Wigner transform. Here four different definitions are given.
45:
transform can be used as a filter to filter out the cross term in the output of the Wigner distribution function.
1082:
360:{\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }
195:{\displaystyle G_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )\,d\tau }
33:
2321:
2579:
2536:{\displaystyle G_{X}(t,f)\approx 0,D_{x}(t,f)=G_{x}^{\alpha }(t,f)W_{x}^{\beta }(t,f)\approx 0}
2630:. This allows for a significant reduction in the required memory area when designing memory.
2289:
2262:
2715:
2550:
37:
1059:
1039:
1019:
2750:
29:
21:
2361:
612:{\displaystyle D_{x}(t,f)=\min \left\{|G_{x}(t,f)|^{2},|W_{x}(t,f)|\right\}}
733:{\displaystyle D_{x}(t,f)=W_{x}(t,f)\times \{|G_{x}(t,f)|>0.25\}}
2378:
2377:
2360:
2320:
2390:
Technique for fast implementation of the Gabor-Wigner
Transform
839:{\displaystyle D_{x}(t,f)=G_{x}^{2.6}(t,f)W_{x}^{0.7}(t,f)}
861:
The definition of Wigner distribution function (WDF) is
473:{\displaystyle D_{x}(t,f)=G_{x}(t,f)\times W_{x}(t,f)}
2582:
2553:
2404:
2292:
2265:
1152:
1085:
1062:
1042:
1022:
867:
747:
626:
487:
388:
218:
66:
2622:
2568:
2535:
2305:
2278:
2250:
1136:
1068:
1048:
1028:
1007:
838:
732:
611:
472:
359:
194:
516:
2396:zero. Mathematically, this can be expressed as
2576:is a real function, for the Gabor transform,
2205:
2055:
1882:
1564:
1495:
1401:
1394:
1328:
8:
727:
683:
2375:performs better than the Wigner transform.
1137:{\displaystyle x(t)=\alpha g(t)+\beta s(t)}
2602:
2581:
2552:
2506:
2501:
2476:
2471:
2443:
2409:
2403:
2297:
2291:
2270:
2264:
2214:
2204:
2203:
2190:
2165:
2150:
2137:
2117:
2102:
2085:
2067:
2054:
2053:
2047:
2039:
2003:
1993:
1988:
1979:
1955:
1945:
1940:
1931:
1891:
1881:
1880:
1867:
1842:
1827:
1814:
1794:
1779:
1762:
1744:
1713:
1698:
1681:
1663:
1658:
1649:
1633:
1618:
1601:
1583:
1578:
1569:
1563:
1562:
1556:
1548:
1504:
1494:
1493:
1480:
1465:
1455:
1435:
1420:
1410:
1400:
1399:
1393:
1392:
1379:
1348:
1327:
1326:
1320:
1312:
1268:
1251:
1236:
1219:
1201:
1193:
1161:
1153:
1151:
1084:
1061:
1041:
1021:
975:
958:
943:
926:
908:
900:
872:
866:
815:
810:
785:
780:
752:
746:
716:
695:
686:
659:
631:
625:
599:
578:
569:
560:
555:
533:
524:
492:
486:
449:
421:
393:
387:
350:
344:
328:
313:
295:
280:
259:
251:
223:
217:
185:
152:
140:
117:
107:
99:
71:
65:
2638:
1079:If we design our input signal as :
2732:
1076:is the frequency axis after transform.
7:
40:does not have high clarity, and the
2687:high clarity and without cross-term
2048:
2043:
1557:
1552:
1321:
1316:
1202:
1197:
909:
904:
260:
255:
108:
103:
14:
1144:, and its WDF presents as below:
2031:
1733:
1056:the time axis after transform,
2623:{\displaystyle X(f)=X^{*}(-f)}
2617:
2608:
2592:
2586:
2563:
2557:
2524:
2512:
2494:
2482:
2461:
2449:
2427:
2415:
2200:
2181:
2175:
2156:
2127:
2108:
2095:
2076:
2021:
2009:
1989:
1980:
1973:
1961:
1941:
1932:
1877:
1858:
1852:
1833:
1804:
1785:
1772:
1753:
1723:
1704:
1691:
1672:
1659:
1650:
1643:
1624:
1611:
1592:
1579:
1570:
1490:
1471:
1445:
1426:
1389:
1370:
1358:
1339:
1261:
1242:
1229:
1210:
1179:
1167:
1131:
1125:
1113:
1107:
1095:
1089:
968:
949:
936:
917:
890:
878:
833:
821:
803:
791:
770:
758:
717:
713:
701:
687:
677:
665:
649:
637:
600:
596:
584:
570:
556:
551:
539:
525:
510:
498:
467:
455:
439:
427:
411:
399:
321:
301:
288:
268:
241:
229:
182:
176:
137:
124:
89:
77:
1:
2706:Time-frequency representation
2721:Wigner distribution function
2711:Short-time Fourier transform
2670:Wigner-distribution function
207:Wigner distribution function
42:Wigner distribution function
2773:
2358:illustrated as follows.
2690:high computational load
2642:Time-frequency analysis
49:Mathematical definition
34:time-frequency analysis
2684:Gabor–Wigner transform
2624:
2570:
2537:
2383:
2366:
2326:
2307:
2280:
2252:
1138:
1070:
1050:
1030:
1009:
840:
734:
613:
474:
372:Gabor–Wigner transform
361:
196:
28:function, named after
2625:
2571:
2538:
2381:
2364:
2324:
2308:
2306:{\displaystyle W_{s}}
2281:
2279:{\displaystyle W_{g}}
2253:
1139:
1071:
1051:
1036:is the input signal,
1031:
1010:
841:
735:
614:
475:
362:
197:
32:, are both tools for
2580:
2569:{\displaystyle x(t)}
2551:
2402:
2290:
2263:
1150:
1083:
1060:
1040:
1020:
865:
745:
624:
485:
386:
216:
64:
2757:Integral transforms
2511:
2481:
2052:
1561:
1325:
1206:
913:
820:
790:
264:
112:
26:Wigner distribution
2659:without cross-term
2620:
2566:
2533:
2497:
2467:
2384:
2367:
2327:
2303:
2276:
2248:
2246:
2035:
1544:
1308:
1189:
1134:
1066:
1046:
1026:
1005:
896:
856:Cross Term Problem
836:
806:
776:
730:
609:
470:
357:
247:
192:
95:
2697:
2696:
2370:Signal Modulation
2365:Filter fractional
2333:Rotation relation
2198:
2173:
2125:
2093:
1875:
1850:
1802:
1770:
1721:
1689:
1641:
1609:
1488:
1443:
1387:
1356:
1259:
1227:
1069:{\displaystyle f}
1049:{\displaystyle t}
1029:{\displaystyle x}
966:
934:
2764:
2741:
2737:
2639:
2629:
2627:
2626:
2621:
2607:
2606:
2575:
2573:
2572:
2567:
2542:
2540:
2539:
2534:
2510:
2505:
2480:
2475:
2448:
2447:
2414:
2413:
2312:
2310:
2309:
2304:
2302:
2301:
2285:
2283:
2282:
2277:
2275:
2274:
2257:
2255:
2254:
2249:
2247:
2234:
2233:
2209:
2208:
2199:
2191:
2174:
2166:
2155:
2154:
2142:
2141:
2126:
2118:
2107:
2106:
2094:
2086:
2072:
2071:
2059:
2058:
2051:
2046:
2027:
2008:
2007:
1998:
1997:
1992:
1983:
1960:
1959:
1950:
1949:
1944:
1935:
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1911:
1910:
1886:
1885:
1876:
1868:
1851:
1843:
1832:
1831:
1819:
1818:
1803:
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1784:
1783:
1771:
1763:
1749:
1748:
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1722:
1714:
1703:
1702:
1690:
1682:
1668:
1667:
1662:
1653:
1642:
1634:
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1622:
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1587:
1582:
1573:
1568:
1567:
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1498:
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1436:
1425:
1424:
1415:
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1404:
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1397:
1388:
1380:
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1332:
1331:
1324:
1319:
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1241:
1240:
1228:
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1205:
1200:
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1165:
1143:
1141:
1140:
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1073:
1072:
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1053:
1052:
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1035:
1033:
1032:
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1014:
1012:
1011:
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994:
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947:
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876:
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837:
819:
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756:
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700:
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618:
616:
615:
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582:
573:
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564:
559:
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537:
528:
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496:
479:
477:
476:
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454:
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425:
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397:
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364:
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358:
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348:
317:
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299:
284:
263:
258:
228:
227:
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199:
198:
193:
172:
171:
147:
146:
145:
144:
111:
106:
76:
75:
2772:
2771:
2767:
2766:
2765:
2763:
2762:
2761:
2747:
2746:
2745:
2744:
2738:
2734:
2729:
2716:Gabor transform
2702:
2676:with cross-term
2656:Gabor transform
2637:
2598:
2578:
2577:
2549:
2548:
2439:
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2400:
2399:
2392:
2372:
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2347:
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2288:
2287:
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2261:
2260:
2245:
2244:
2210:
2146:
2133:
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