3085:
2649:
2096:
3080:{\displaystyle {\begin{aligned}D_{11}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{12}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{13}&=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}} \\D_{21}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{22}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{23}&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}} \\D_{31}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} &D_{32}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2}} &D_{33}&=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}} \end{aligned}}}
6095:
809:
1876:
1295:
5584:
5737:
120:
106:
92:
2247:
1866:
6835:
5361:
3555:
2091:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p_{1}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \\\mathbf {p_{2}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \\\mathbf {p_{3}} &=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \end{aligned}}}
2452:
6090:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{2}\\f_{3}&\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{2}\\g_{1}&\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{3}\\g_{3}&\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{3}\end{aligned}}}
3196:
804:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R_{n}} &=\left\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} )+\left\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K}} \\&=\left\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} )+\left\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K}} \end{aligned}}}
1492:
1011:
5579:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r_{1}} &=\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \\\mathbf {r_{2}} &=\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \\\mathbf {r_{3}} &=\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} \end{aligned}}}
2313:
5131:
1638:
NOTE: Gauss's method is a preliminary orbit determination, with emphasis on preliminary. The approximation of the
Lagrange coefficients and the limitations of the required observation conditions (i.e., insignificant curvature in the arc between observations, refer to Gronchi for more details) causes
1325:
814:
4101:
6455:
1795:
35:
from at least three observations (more observations increases the accuracy of the determined orbit) of the orbiting body of interest at three different times. The required information are the times of observations, the position vectors of the observation points (in
3550:{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)\\B&={\frac {1}{6D_{0}}}\left\\E&=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \end{aligned}}}
4411:
51:. The method shown following is the orbit determination of an orbiting body about the focal body where the observations were taken from, whereas the method for determining Ceres' orbit requires a bit more effort because the observations were taken from
2447:{\displaystyle D_{0}=\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{1}} \cdot (\mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{3}} )}
1630:
principles (which states that an orbit lies in a two dimensional plane in three dimensional space), a linear combination of said position vectors is established. Also, the relation between a body's position and velocity vector by
3936:
5366:
2302:
6316:
1654:
3852:
1487:{\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} =\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K}} }
5723:
3777:
2635:
2235:
1533:
4311:
2165:
5742:
4416:
3941:
3201:
2654:
1881:
1659:
125:
4396:. The root must be physically possible (i.e., not negative nor complex) and if multiple roots are suitable, each must be evaluated and compared to any available data to confirm their validity.
2308:
Calculate common scalar quantity (scalar triple product), take the dot product of the first observational unit vector with the cross product of the second and third observational unit vector:
2129:
1006:{\displaystyle \mathbf {R_{n}} =r_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +r_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +r_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K}} }
2485:
4386:
4178:
4140:
5356:
Calculate the orbiting body position vectors, by adding the observer position vector to the slant direction vector (which is the slant distance multiplied by the slant direction vector):
5194:
1635:
is used which results in the use of said coefficients. Then with vector manipulation and algebra, the following equations were derived. For detailed derivation, refer to Curtis.
6635:
6487:
5651:
5616:
3922:
3180:
3149:
2595:
2195:
1043:
1214:
5126:{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&={\frac {1}{D_{0}}}\left\\\rho _{2}&=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3}}}\\\rho _{3}&={\frac {1}{D_{0}}}\left\end{aligned}}}
2533:
2511:
6300:
5290:
3891:
1611:
1582:
1279:
5680:
5161:
3708:
1825:
1178:
5255:
3679:
3118:
6708:
Gronchi, Giovanni F.. "Classical and modern orbit determination for asteroids." Proceedings of the
International Astronomical Union2004.IAUC196 (2004): 1-11. Print.
6601:
6574:
6547:
6520:
6265:
6206:
6179:
6152:
6125:
5319:
5223:
4341:
3737:
3647:
2561:
1854:
1553:
1247:
1101:
1072:
6232:
5341:
4200:
6745:
3618:
3598:
3578:
1149:
1123:
6717:
Der, Gim J.. "New Angles-only
Algorithms for Initial Orbit Determination." Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). Print.
40:), the direction cosine vector of the orbiting body from the observation points (from Topocentric Equatorial Coordinate System) and general physical data.
6694:
3791:
6664:) vector for the second observation of the orbiting body. With these two vectors, the orbital elements can be found and the orbit determined.
4218:
3788:
Calculate the squared scalar distance of the second observation, by taking the dot product of the position vector of the second observation:
2253:
1622:
The initial derivation begins with vector addition to determine the orbiting body's position vector. Then based on the conservation of
6738:
4096:{\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)\\b&=-2\mu B(A+E)\\c&=-\mu ^{2}B^{2}\end{aligned}}}
47:
developed important mathematical techniques (summed up in Gauss's methods) which were specifically used to determine the orbit of
5690:
3744:
2602:
2202:
1500:
6876:
6450:{\displaystyle \mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_{1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)}
2138:
1790:{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&=t_{1}-t_{2}\\\tau _{3}&=t_{3}-t_{2}\\\tau &=t_{3}-t_{1}\end{aligned}}}
6871:
6839:
6731:
80:
6820:
6490:
5619:
68:
37:
2104:
1639:
inaccuracies. Gauss's method can be improved, however, by increasing the accuracy of sub-components, such as solving
2460:
6810:
4355:
4147:
4109:
4393:
3933:
Calculate the coefficients of the scalar distance polynomial for the second observation of the orbiting body:
6235:
6212:(these are just the first two terms of the series expression based on the assumption of small time interval)
5344:
4203:
6861:
5170:
6765:
6647:
1873:
Calculate cross products, take the cross products of the observational unit direction (order matters):
6611:
6463:
5627:
5592:
3898:
3156:
3125:
2571:
2171:
1320:(from Topocentric Equatorial Coordinate System) of the orbiting body from the observation points via:
1019:
6754:
1640:
1632:
48:
44:
6604:
6209:
1282:
76:
32:
24:
4142:
are coefficients of the scalar distance polynomial for the second observation of the orbiting body
2516:
2494:
1294:
6790:
6272:
5262:
4215:
Find the root of the scalar distance polynomial for the second observation of the orbiting body:
3860:
1589:
1560:
1257:
6707:
1189:
5658:
5139:
3686:
1803:
1156:
6785:
1250:
1181:
20:
83:) at the surface of the focal body of the orbiting body (for example, the Earth) via either:
6800:
5230:
3654:
3093:
1623:
1306:
6579:
6552:
6525:
6498:
6243:
6184:
6157:
6130:
6103:
5297:
5201:
4343:
is the scalar distance for the second observation of the orbiting body (it and its vector,
4319:
3715:
3625:
2539:
1832:
1538:
1225:
1079:
1050:
6866:
6795:
6217:
5326:
4185:
1627:
1313:
1298:
6815:
6805:
6775:
3603:
3583:
3563:
2564:
1134:
1108:
4408:, the distance from the observer point to the orbiting body at their respective time:
2246:
6855:
2132:
1555:(from observation point to orbiting body in Topocentric Equatorial Coordinate System)
1865:
105:
91:
5683:
5164:
4405:
2488:
1317:
1302:
1184:(the angle between the normal line of horizontal plane and the equatorial plane)
6311:
Calculate the velocity vector for the second observation of the orbiting body:
2250:
Three vectors defining a parallelepiped. The magnitude of the triple product,
1126:
6770:
1045:
is the respective observer position vector (in
Equatorial Coordinate System)
6489:
is the velocity vector for the second observation of the orbiting body (in
16:
Way to determine a preliminary orbit from initial observations in astronomy
1217:
72:
4392:
Various methods can be used to find the root, a suggested method is the
6723:
6673:
1074:
is the equatorial radius of the central body (e.g., 6,378 km for Earth)
6267:
is the scalar distance for the second observation of the orbiting body
5321:
is the scalar distance for the second observation of the orbiting body
1535:
is the respective unit vector in the direction of the position vector
2297:{\displaystyle |\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}
1643:. Another way to increase the accuracy is through more observations.
1312:
The orbiting body direction cosine vector can be determined from the
1651:
Calculate time intervals, subtract the times between observations:
3847:{\displaystyle {R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}} }
2245:
1864:
1151:
is the eccentricity of the central body (e.g., 0.081819 for Earth)
52:
1869:
The cross product in respect to a right-handed coordinate system
6727:
56:
5718:{\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }
3772:{\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }
2630:{\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }
2230:{\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }
1528:{\displaystyle \mathbf {{\hat {\boldsymbol {\rho }}}_{n}} }
6674:
Inscribed angle theorem and three-point form for ellipses
4306:{\displaystyle {r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0}
1220:(the angle between the radius and the equatorial plane)
71:) of the observation points can be determined from the
6698:. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. Print.
5196:, are in the Topocentric Equatorial Coordinate System)
2646:
Calculate nine scalar quantities (similar to step 3):
2160:{\displaystyle \mathbf {a} {\text{ and }}\mathbf {b} }
6614:
6582:
6555:
6528:
6501:
6466:
6319:
6275:
6246:
6220:
6187:
6160:
6133:
6106:
5740:
5693:
5661:
5630:
5595:
5364:
5329:
5300:
5265:
5233:
5204:
5173:
5142:
5001:
4900:
4861:
4620:
4519:
4480:
4414:
4358:
4322:
4221:
4188:
4150:
4112:
3939:
3901:
3863:
3794:
3747:
3718:
3689:
3657:
3628:
3606:
3586:
3566:
3199:
3159:
3128:
3096:
2652:
2605:
2574:
2542:
2519:
2497:
2463:
2316:
2256:
2205:
2174:
2141:
2107:
1879:
1835:
1806:
1657:
1592:
1563:
1541:
1503:
1328:
1260:
1228:
1192:
1159:
1137:
1111:
1082:
1053:
1022:
817:
123:
5618:
is the respective orbiting body position vector (in
6629:
6595:
6568:
6541:
6514:
6481:
6449:
6294:
6259:
6226:
6200:
6173:
6146:
6119:
6089:
5717:
5674:
5645:
5610:
5578:
5335:
5313:
5284:
5249:
5217:
5188:
5155:
5125:
4380:
4335:
4305:
4194:
4172:
4134:
4095:
3916:
3885:
3846:
3771:
3731:
3702:
3673:
3641:
3612:
3592:
3572:
3549:
3174:
3143:
3112:
3079:
2629:
2589:
2555:
2527:
2505:
2479:
2446:
2296:
2229:
2189:
2159:
2123:
2090:
1848:
1819:
1789:
1605:
1576:
1547:
1527:
1486:
1273:
1241:
1208:
1172:
1143:
1117:
1095:
1066:
1037:
1005:
803:
5702:
5559:
5490:
5421:
3893:is the squared distance of the second observation
3756:
3530:
2614:
2428:
2404:
2377:
2338:
2214:
2071:
2047:
2003:
1979:
1935:
1911:
1512:
1478:
1444:
1394:
1337:
997:
950:
887:
791:
650:
616:
476:
320:
286:
3924:is the position vector of the second observation
1129:) of the central body (e.g., 0.003353 for Earth)
6637:is the respective orbiting body position vector
2124:{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
2480:{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }
6739:
4381:{\displaystyle a{\text{, }}b{\text{, and }}c}
4173:{\displaystyle A{\text{, }}B{\text{, and }}E}
4135:{\displaystyle a{\text{, }}b{\text{, and }}c}
8:
6746:
6732:
6724:
6695:Orbital Mechanics for Engineering Students
5653:is the respective observer position vector
4350:, are in the Equatorial Coordinate System)
3739:is the respective observer position vector
3151:is the respective observer position vector
6620:
6615:
6613:
6587:
6581:
6560:
6554:
6533:
6527:
6506:
6500:
6472:
6467:
6465:
6435:
6430:
6424:
6410:
6405:
6399:
6378:
6368:
6355:
6345:
6335:
6325:
6320:
6318:
6280:
6274:
6251:
6245:
6219:
6192:
6186:
6165:
6159:
6138:
6132:
6111:
6105:
6077:
6070:
6065:
6056:
6049:
6044:
6038:
6028:
6019:
6002:
5988:
5981:
5976:
5967:
5960:
5955:
5949:
5939:
5930:
5913:
5899:
5892:
5887:
5878:
5871:
5866:
5860:
5850:
5831:
5817:
5810:
5805:
5796:
5789:
5784:
5778:
5768:
5749:
5741:
5739:
5708:
5697:
5696:
5694:
5692:
5666:
5660:
5636:
5631:
5629:
5601:
5596:
5594:
5565:
5554:
5553:
5551:
5545:
5531:
5526:
5512:
5507:
5496:
5485:
5484:
5482:
5476:
5462:
5457:
5443:
5438:
5427:
5416:
5415:
5413:
5407:
5393:
5388:
5374:
5369:
5365:
5363:
5328:
5305:
5299:
5270:
5264:
5238:
5232:
5209:
5203:
5179:
5174:
5172:
5147:
5141:
5108:
5087:
5080:
5075:
5065:
5044:
5037:
5032:
5017:
5007:
5000:
4989:
4982:
4977:
4967:
4952:
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2020:
2009:
1998:
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1656:
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6238:of the focal body of the orbiting body
5347:of the focal body of the orbiting body
4206:of the focal body of the orbiting body
3182:is the respective cross product vector
2597:is the respective cross product vector
2197:is the respective cross product vector
5734:Calculate the Lagrange coefficients:
4388:are coefficients as previously stated
1290:Orbiting body direction cosine vector
7:
5189:{\displaystyle \mathbf {\rho _{n}} }
6650:have now been found, the position (
5257:is the respective scalar quantities
3681:is the respective scalar quantities
3120:is the respective scalar quantities
1856:is the respective observation time
14:
1613:is the respective right ascension
1305:(green) as seen from outside the
67:The observer position vector (in
6834:
6833:
6630:{\displaystyle \mathbf {r_{n}} }
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6617:
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3620:are scalar position coefficients
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194:
172:
1:
5725:is the respective unit vector
5225:is the common scalar quantity
3779:is the respective unit vector
3649:is the common scalar quantity
2637:is the respective unit vector
2237:is the respective unit vector
1584:is the respective declination
81:Topocentric coordinate system
6491:Equatorial Coordinate System
5620:Equatorial Coordinate System
2528:{\displaystyle \mathbf {b} }
2506:{\displaystyle \mathbf {a} }
69:Equatorial coordinate system
38:Equatorial Coordinate System
6295:{\displaystyle \tau _{(n)}}
5285:{\displaystyle \tau _{(n)}}
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6893:
1209:{\displaystyle \phi '_{n}}
1103:is the geocentric distance
6829:
6821:Gauss's law for magnetism
6761:
5675:{\displaystyle \rho _{n}}
5156:{\displaystyle \rho _{n}}
3703:{\displaystyle \tau _{n}}
1820:{\displaystyle \tau _{n}}
1173:{\displaystyle \phi _{n}}
63:Observer position vector
31:is used for preliminary
6811:Gauss's law for gravity
6236:gravitational parameter
5345:gravitational parameter
4204:gravitational parameter
2304:, describes the volume.
55:while Ceres orbits the
6877:Equations of astronomy
6631:
6597:
6570:
6543:
6516:
6483:
6451:
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5676:
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1174:
1145:
1125:is the oblateness (or
1119:
1097:
1068:
1039:
1007:
805:
6766:Gauss composition law
6648:orbital state vectors
6632:
6605:Lagrange coefficients
6598:
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6571:
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6542:{\displaystyle f_{3}}
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6484:
6452:
6297:
6262:
6260:{\displaystyle r_{2}}
6229:
6210:Lagrange coefficients
6203:
6201:{\displaystyle g_{3}}
6176:
6174:{\displaystyle g_{1}}
6149:
6147:{\displaystyle f_{3}}
6122:
6120:{\displaystyle f_{1}}
6092:
5720:
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5613:
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5338:
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5314:{\displaystyle r_{2}}
5292:is the time interval.
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5191:
5158:
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4394:Newton–Raphson method
4383:
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2592:
2563:is the common scalar
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2530:
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1822:
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1633:Lagrange coefficients
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5167:(it and its vector,
5140:
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3710:is the time interval
3687:
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1877:
1833:
1827:is the time interval
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