3485:
22:
4433:
4301:
4169:
3949:
3845:
1500:
4538:
1983:
1000:
894:
812:
728:
3679:
1052:
948:
676:
594:
435:
383:
329:
247:
4032:
4307:
4175:
4043:
1368:
1655:
124:
3736:
1731:
1563:
1176:
1116:
1082:
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3549:
1889:
1238:
1146:
842:
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529:
499:
465:
277:
1817:
1379:
1280:
3479:
2017:
3603:
3576:
3449:
2076:
1844:
1778:
1751:
1682:
1590:
2041:
3851:
3747:
3497:
At the cost of adding an additional implicit relation, these methods can be adapted to have time reversal symmetry. In these methods, the averaged position
32:
4615:
90:
62:
2082:
to converge arbitrarily close to the true solution. Below is a Matlab function which implements the Gauss-Legendre method of order four.
4439:
69:
4634:
1894:
954:
848:
766:
682:
3611:
1006:
902:
630:
548:
389:
337:
283:
201:
76:
3481:
in as few as 2 Newton steps. The only extra work compared to explicit Runge-Kutta methods is the computation of the
Jacobian.
2051:
The Gauss-Legendre methods are implicit, so in general they cannot be applied exactly. Instead one makes an educated guess of
3955:
1194:
47:
136:
4428:{\displaystyle k_{3}=f\left({\frac {x_{f}+x_{i}}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}hk_{1}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}hk_{2}\right)}
4296:{\displaystyle k_{2}=f\left({\frac {x_{f}+x_{i}}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}hk_{1}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}hk_{3}\right)}
4164:{\displaystyle k_{1}=f\left({\frac {x_{f}+x_{i}}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}hk_{2}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}hk_{3}\right)}
58:
1285:
4601:
1185:
The computational cost of higher-order Gauss–Legendre methods is usually excessive, and thus, they are rarely used.
4607:
1985:
is invoked to accomplish this. This is an implicit constraint that must be solved by a root finding algorithm like
1595:
128:
83:
3484:
3685:
1687:
1507:
1152:
1092:
1058:
600:
3500:
1849:
1199:
1122:
818:
736:
505:
475:
441:
253:
116:
1783:
1371:
132:
112:
2079:
1986:
1243:
4611:
3454:
3605:
in standard Runge-Kutta methods. The method of order 2 is just an implicit midpoint method.
1992:
39:
3581:
3554:
3427:
2054:
1822:
1756:
1736:
1660:
1568:
162:
158:
3944:{\displaystyle k_{2}=f\left({\frac {x_{f}+x_{i}}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}hk_{1}\right)}
3840:{\displaystyle k_{1}=f\left({\frac {x_{f}+x_{i}}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}hk_{2}\right)}
2026:
4628:
4597:
2020:
1495:{\displaystyle x(h)=x(0)+{\frac {h}{2}}\sum _{i=1}^{\ell }w_{i}k_{i}+O(h^{2\ell }),}
151:
21:
1780:
is still impossible to evaluate. To maintain truncation error of order
4603:
A First Course in the
Numerical Analysis of Differential Equations
3483:
4533:{\displaystyle x_{f}=x_{i}+{\frac {h}{18}}(5k_{1}+8k_{2}+5k_{3})}
2319:% return a time derivative and a Jacobian of that time derivative
1978:{\textstyle k_{i}=f{\left(x_{0}+h\sum _{j}a_{ij}k_{j}\right)}}
15:
995:{\displaystyle {\tfrac {5}{36}}+{\tfrac {1}{30}}{\sqrt {15}}}
889:{\displaystyle {\tfrac {5}{36}}-{\tfrac {1}{24}}{\sqrt {15}}}
807:{\displaystyle {\tfrac {5}{36}}+{\tfrac {1}{24}}{\sqrt {15}}}
723:{\displaystyle {\tfrac {5}{36}}-{\tfrac {1}{30}}{\sqrt {15}}}
191:
The Gauss–Legendre method of order four has
Butcher tableau:
3674:{\displaystyle k_{1}=f\left({\frac {x_{f}+x_{i}}{2}}\right)}
1047:{\displaystyle {\tfrac {2}{9}}+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {15}}}
943:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{10}}{\sqrt {15}}}
671:{\displaystyle {\tfrac {2}{9}}-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {15}}}
589:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{10}}{\sqrt {15}}}
538:
The Gauss–Legendre method of order six has
Butcher tableau:
1282:. The distinguishing feature of GLRK is the estimation of
430:{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}}
378:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}}
324:{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}}
242:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}}
4027:{\displaystyle x_{f}=x_{i}+{\frac {h}{2}}(k_{1}+k_{2})}
43:
1897:
1598:
1288:
1157:
1127:
1097:
1063:
1026:
1011:
974:
959:
922:
907:
868:
853:
823:
786:
771:
741:
702:
687:
650:
635:
605:
568:
553:
510:
480:
446:
409:
394:
357:
342:
303:
288:
258:
221:
206:
4442:
4310:
4178:
4046:
3958:
3854:
3750:
3688:
3614:
3584:
3557:
3503:
3457:
3430:
2057:
2029:
1995:
1852:
1825:
1786:
1759:
1739:
1690:
1663:
1571:
1510:
1382:
1246:
1202:
1155:
1125:
1095:
1061:
1009:
957:
905:
851:
821:
769:
739:
685:
633:
603:
551:
508:
478:
444:
392:
340:
286:
256:
204:
125:
numerical methods for ordinary differential equations
2523:
x, dynamics, dt, threshold, damping, max_iterations
542:
195:
169:
4037:The method of order 6 with 3 stages is as follows.
3741:The method of order 4 with 2 stages is as follows.
3424:This algorithm is surprisingly cheap. The error in
3365:'Newton did not converge by %d iterations.'
1193:Gauss-Legendre Runge-Kutta (GLRK) methods solve an
4532:
4427:
4295:
4163:
4026:
3943:
3839:
3730:
3673:
3597:
3570:
3543:
3473:
3443:
2070:
2035:
2011:
1977:
1883:
1838:
1811:
1772:
1745:
1725:
1676:
1649:
1584:
1557:
1494:
1362:
1274:
1232:
1170:
1140:
1110:
1076:
1046:
994:
942:
888:
836:
806:
754:
722:
670:
618:
588:
523:
493:
459:
429:
377:
323:
271:
241:
1363:{\textstyle x(h)-x_{0}=\int _{0}^{h}dt\,f(x(t))}
3488:An integrated orbit near the Lorenz attractor.
157:The Gauss–Legendre method of order two is the
2957:'Newton iteration %d: error is %f.\n'
2600:% Use explicit Euler steps as initial guesses
8:
2591:'damping should be between 0 and 1.'
48:introducing citations to additional sources
1989:. The values of the Runge-Kutta parameters
1650:{\textstyle c_{i}={\frac {1}{2}}h(1+r_{i})}
4521:
4505:
4489:
4469:
4460:
4447:
4441:
4414:
4395:
4386:
4367:
4352:
4339:
4332:
4315:
4309:
4282:
4263:
4254:
4235:
4220:
4207:
4200:
4183:
4177:
4150:
4131:
4122:
4103:
4088:
4075:
4068:
4051:
4045:
4015:
4002:
3985:
3976:
3963:
3957:
3930:
3911:
3896:
3883:
3876:
3859:
3853:
3826:
3807:
3792:
3779:
3772:
3755:
3749:
3722:
3706:
3693:
3687:
3655:
3642:
3635:
3619:
3613:
3589:
3583:
3562:
3556:
3533:
3524:
3511:
3502:
3462:
3456:
3435:
3429:
2062:
2056:
2028:
2000:
1994:
1963:
1950:
1940:
1924:
1914:
1902:
1896:
1863:
1851:
1830:
1824:
1797:
1785:
1764:
1758:
1738:
1708:
1695:
1689:
1668:
1662:
1638:
1612:
1603:
1597:
1576:
1570:
1543:
1515:
1509:
1477:
1458:
1448:
1438:
1427:
1413:
1381:
1338:
1326:
1321:
1308:
1287:
1266:
1245:
1204:
1203:
1201:
1156:
1154:
1126:
1124:
1096:
1094:
1062:
1060:
1037:
1025:
1010:
1008:
985:
973:
958:
956:
933:
921:
906:
904:
879:
867:
852:
850:
822:
820:
797:
785:
770:
768:
740:
738:
713:
701:
686:
684:
661:
649:
634:
632:
604:
602:
579:
567:
552:
550:
509:
507:
479:
477:
445:
443:
420:
408:
393:
391:
368:
356:
341:
339:
314:
302:
287:
285:
257:
255:
232:
220:
205:
203:
1753:. A further approximation is needed, as
38:Relevant discussion may be found on the
4580:
4568:
4556:
4549:
1891:. The Runge-Kutta implicit definition
127:. Gauss–Legendre methods are implicit
3578:instead of just the initial position
1733:of the Legendre polynomial of degree
139:. The Gauss–Legendre method based on
7:
3731:{\displaystyle x_{f}=x_{i}+hk_{1}}
1726:{\displaystyle P_{\ell }(r_{i})=0}
1558:{\displaystyle k_{i}=f(x(hc_{i}))}
14:
1171:{\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}
1111:{\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}
1077:{\displaystyle {\tfrac {5}{36}}}
619:{\displaystyle {\tfrac {5}{36}}}
31:relies largely or entirely on a
20:
3544:{\displaystyle (x_{f}+x_{i})/2}
1884:{\displaystyle O(h^{2\ell -1})}
1233:{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}
1141:{\displaystyle {\tfrac {4}{9}}}
837:{\displaystyle {\tfrac {2}{9}}}
755:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
524:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
494:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
460:{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
272:{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
150:All Gauss–Legendre methods are
4527:
4479:
4021:
3995:
3530:
3504:
1878:
1856:
1806:
1790:
1714:
1701:
1644:
1625:
1552:
1549:
1533:
1527:
1486:
1470:
1407:
1401:
1392:
1386:
1357:
1354:
1348:
1342:
1298:
1292:
1256:
1250:
1227:
1221:
1195:ordinary differential equation
131:. More specifically, they are
1:
1812:{\displaystyle O(h^{2\ell })}
1592:are the quadrature weights,
1565:are the sampled velocities,
4651:
4608:Cambridge University Press
2294:'Lorenz Attractor'
1275:{\displaystyle x(0)=x_{0}}
2019:can be determined from a
137:Gauss–Legendre quadrature
3474:{\displaystyle 10^{-12}}
2084:
3493:Time-symmetric variants
1657:are the abscissas, and
135:based on the points of
59:"Gauss–Legendre method"
4534:
4429:
4297:
4165:
4028:
3945:
3841:
3732:
3675:
3599:
3572:
3545:
3489:
3475:
3445:
2072:
2037:
2013:
2012:{\displaystyle a_{ij}}
1979:
1885:
1840:
1813:
1774:
1747:
1727:
1678:
1651:
1586:
1559:
1496:
1443:
1364:
1276:
1234:
1172:
1142:
1112:
1078:
1048:
996:
944:
890:
838:
808:
756:
724:
672:
620:
590:
525:
495:
461:
431:
379:
325:
273:
243:
159:implicit midpoint rule
121:Gauss–Legendre methods
4535:
4430:
4298:
4166:
4029:
3946:
3842:
3733:
3676:
3600:
3598:{\displaystyle x_{i}}
3573:
3571:{\displaystyle k_{i}}
3551:is used in computing
3546:
3487:
3476:
3446:
3444:{\displaystyle k_{i}}
2073:
2071:{\displaystyle k_{i}}
2038:
2014:
1980:
1886:
1841:
1839:{\displaystyle k_{i}}
1814:
1775:
1773:{\displaystyle k_{i}}
1748:
1746:{\displaystyle \ell }
1728:
1679:
1677:{\displaystyle r_{i}}
1652:
1587:
1585:{\displaystyle w_{i}}
1560:
1497:
1423:
1365:
1277:
1235:
1173:
1143:
1113:
1079:
1049:
997:
945:
891:
839:
809:
757:
725:
673:
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591:
526:
496:
462:
432:
380:
326:
274:
244:
4440:
4308:
4176:
4044:
3956:
3852:
3748:
3686:
3612:
3582:
3555:
3501:
3455:
3428:
2055:
2027:
1993:
1895:
1850:
1823:
1784:
1757:
1737:
1688:
1661:
1596:
1569:
1508:
1380:
1286:
1244:
1200:
1153:
1123:
1093:
1059:
1007:
955:
903:
849:
819:
767:
737:
683:
631:
601:
549:
506:
476:
442:
390:
338:
284:
254:
202:
117:scientific computing
44:improve this article
4635:Runge–Kutta methods
1372:Gaussian quadrature
1331:
133:collocation methods
129:Runge–Kutta methods
4530:
4425:
4293:
4161:
4024:
3941:
3837:
3728:
3671:
3595:
3568:
3541:
3490:
3471:
3441:
2068:
2033:
2009:
1975:
1945:
1881:
1836:
1809:
1770:
1743:
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