27:
2829:
815:
1612:
2417:
2409:
6353:
538:
7250:
7404:
6547:
4130:
605:
7038:
1017:
8267:− 1)-dimensional projective space by fixing a hyperplane, counting such subspaces contained in that hyperplane, and then counting the subspaces not contained in the hyperplane; these latter subspaces are in bijective correspondence with the (
6880:
6134:
2161:
1395:
5968:
5816:
7678:
4761:
8254:
4602:
4438:
6687:
1259:
7546:
5145:
1995:
4235:
5278:
1885:
7992:
3954:
3357:
3860:
1788:
211:
4910:
2824:{\displaystyle {6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}
1704:
321:
8358:
2169:
6158:
5212:
5079:
3637:
3056:
337:
7075:
7261:
1116:
8097:
6370:
3962:
5384:
6885:
Like the usual binomial theorem, this formula has numerous generalizations and extensions; one such, corresponding to Newton's generalized binomial theorem for negative powers, is
5586:
7067:
5679:
5516:
5035:
3107:
1387:
1317:
810:{\displaystyle _{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},}
7762:
5311:
4292:
161:
7861:
4984:
4952:
3768:
2890:
1358:
256:
6891:
2998:
5437:
4816:
826:
3534:
3433:
5623:
5462:
5336:
8412:
6717:
5172:
3703:
3250:
3230:
3210:
3190:
3170:
3150:
7434:
4790:
8382:
5536:
5404:
3723:
3676:
3493:
3473:
3453:
5991:
1607:{\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{_{q}!\,(1-q)^{r}}}}
2003:
3386:. An inversion switches the directions of a step (right+up becomes up+right and vice versa), hence the number of inversions equals the area under the path.
8857:
5839:
5689:
7557:
4613:
8109:
4463:
4297:
6567:
1124:
9042:
3121:
is the number of inversions of the word, where, in this case, an inversion is a pair of positions where the left of the pair holds the letter
8572:
Gould, Henry (1969). "The bracket function and
Fontene-Ward generalized binomial coefficients with application to Fibonomial coefficients".
48:
7454:
5084:
1893:
4153:
3738:
Like the ordinary binomial coefficients, the
Gaussian binomial coefficients are center-symmetric, i.e., invariant under the reflection
8764:
Konvalina, John (2000). "A unified interpretation of the
Binomial Coefficients, the Stirling numbers, and the Gaussian coefficients".
8520:
70:
7895:, it yields the well-known decomposition of the Grassmannian into Schubert cells. For example, the Gaussian binomial coefficient
1796:
7901:
2845:
5217:
3871:
3262:
8621:
8512:
8504:
8527:
3776:
1712:
166:
4831:
1625:
272:
2404:{\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}
8271:− 1)-dimensional affine subspaces of the space obtained by treating this fixed hyperplane as the hyperplane at infinity.
6348:{\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}}
8284:
7437:
41:
35:
533:{\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}}
7245:{\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{_{q}!\,(1-q)^{k}}}}
5177:
5044:
3542:
3011:
7399:{\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{_{q}!\,(1-q)^{k}}}}
7700:
8546:
6542:{\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}=q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}
4125:{\displaystyle {m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}
52:
1031:
8040:
4821:
The first Pascal analog allows computation of the
Gaussian binomial coefficients recursively (with respect to
8742:
8595:
7046:
5636:
4992:
3064:
1366:
1274:
7713:
5283:
4251:
120:
8470:
7033:{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{q}t^{k}.}
114:
7820:
5345:
8949:
Kim, T. (2008). "q-Bernoulli numbers and polynomials associated with
Gaussian binomial coefficients".
5541:
4957:
4925:
3741:
2854:
1322:
232:
8958:
8913:
8820:
8015:
7696:
5471:
4454:
3362:
Another way to see this is to associate each word with a path across a rectangular grid with height
2958:
5409:
1012:{\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {_{q}_{q}\cdots _{q}}{_{q}_{q}\cdots _{q}}}\quad (r\leq m).}
718:
8747:
8600:
8574:
7689:
4795:
3378:, going from the bottom left corner to the top right corner. The path takes a step right for each
9037:
8982:
8937:
8884:
8844:
8810:
8781:
8733:
Di
Bucchianico, A. (1999). "Combinatorics, computer algebra and the Wilcoxon-Mann-Whitney test".
8686:
8641:
7688:
Gauss originally used the
Gaussian binomial coefficients in his determination of the sign of the
6875:{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{q}t^{k}.}
8554:
8516:
8508:
8500:
8423:
3498:
3397:
576:
5595:
8966:
8921:
8876:
8828:
8773:
8752:
8711:
8670:
8633:
8387:
8007:
7795:
6704:
9007:
8978:
8933:
8896:
8840:
8793:
8725:
8682:
8653:
8613:
8587:
8557:
5150:
3681:
9003:
8974:
8929:
8892:
8836:
8789:
8721:
8678:
8649:
8609:
8583:
8483:
3235:
3215:
3195:
3175:
3155:
3135:
7413:
6129:{\displaystyle {\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}={\binom {m-1}{r-1}}_{q}}
4769:
8962:
8917:
8824:
7794:
Gaussian binomial coefficients also play an important role in the enumerative theory of
5518:
without any extra information. The second identity has a similar interpretation, taking
5442:
5316:
2156:{\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}}
9016:
8367:
8275:
5521:
5389:
3708:
3645:
3478:
3458:
3438:
8756:
4989:
These identities have natural interpretations in terms of linear algebra. Recall that
9031:
8986:
8941:
8848:
8690:
8278:, a slightly different definition is used; the quantum binomial coefficient there is
5963:{\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}{\binom {m-1}{r-1}}_{q}}
5811:{\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}
569:
7673:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}}
7888:
7875:
7799:
4756:{\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}.}
267:
259:
8249:{\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}}
7436:
gives the generating functions for distinct and any parts respectively. (See also
4915:
and also shows that the
Gaussian binomial coefficients are indeed polynomials (in
8534:
8904:
Kim, T. (2007). "q-Extension of the Euler formula and trigonometric functions".
8364:
This version of the quantum binomial coefficient is symmetric under exchange of
4597:{\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}}
4433:{\displaystyle {\binom {m+1}{2}}-{\binom {r+1}{2}}-{\binom {(m-r)+1}{2}}=r(m-r)}
2942:
copies of the letter 1 (indicating the positions in the chosen combination) and
2899:
84:
6682:{\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac {1-q^{m-r}}{1-q^{r}}}}
1254:{\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {_{q}!}{_{q}!\,_{q}!}}\quad (r\leq m).}
8970:
8925:
8661:
Borwein, Peter B. (1988). "Padé approximants for the q-elementary functions".
4954:
and the invariance of the
Gaussian binomial coefficients under the reflection
8832:
8562:
8716:
8699:
4240:
i.e. the sum of the coefficients gives the corresponding binomial value.
2844:
One combinatorial description of
Gaussian binomial coefficients involves
1023:
593:
107:
8801:
Kupershmidt, Boris A. (2000). "q-Newton binomial: from Euler to Gauss".
3495:
balls. The Gaussian binomial coefficient can be used to characterize
8888:
8785:
8674:
8645:
5633:
Both analogs can be proved by first noting that from the definition of
4922:
The second Pascal analog follows from the first using the substitution
8815:
8014:
is 1 (respectively −1), the Gaussian binomial coefficient yields the
2914:
elements to be the different character positions in a word of length
8880:
8777:
8637:
221:
is set to a prime power counts the number of subspaces of dimension
8700:"Generalized binomial coefficients and the subset-subspace problem"
7541:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}
5140:{\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{q}^{m}\to \mathbb {F} _{q}^{m-1}}
8598:(1974). "A Fibonacci analogue of Gaussian binomial coefficients".
4792:, these both give the usual binomial identity. We can see that as
1990:{\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}}
5342:-dimensional, and we must also keep track of the linear function
4230:{\displaystyle \lim _{q\to 1}{\binom {m}{r}}_{q}={\binom {m}{r}}}
585:
All of the factors in numerator and denominator are divisible by
579:, it actually is a polynomial, because the division is exact in
8462:
8018:
of the corresponding complex (respectively real) Grassmannian.
8499:, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983,
6711:-binomial coefficients, known as the Cauchy binomial theorem:
568:, the value is 1 since both the numerator and denominator are
20:
3132:
With the example above, there is one word with 0 inversions,
8994:
Corcino, Roberto B. (2008). "On p,q-binomial coefficients".
1880:{\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q}
7987:{\displaystyle {n \choose 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}
800:
8624:(1974). "Applications of basic hypergeometric functions".
5174:. The first identity comes from the bijection which takes
3475:
indistinguishable bins, where each bin can contain up to
8006:) (equivalently, the number of points in the associated
7695:
Gaussian binomial coefficients occur in the counting of
5273:{\displaystyle V'=\pi (V)\subset \mathbb {F} _{q}^{m-1}}
3949:{\displaystyle {m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,}
3352:{\displaystyle {4 \choose 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}
820:
Dividing out these factors gives the equivalent formula
266:
elements; i.e. it is the number of points in the finite
7779:. Equivalently, it is also the number of partitions of
1363:
The Gaussian binomial coefficient has finite values as
7798:
defined over a finite field. In particular, for every
5642:
4998:
3855:{\displaystyle {m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}.}
3070:
2859:
1783:{\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1}
1327:
1280:
206:{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}}
176:
8390:
8370:
8287:
8112:
8043:
7904:
7823:
7716:
7560:
7457:
7416:
7264:
7078:
7049:
6894:
6720:
6570:
6373:
6161:
5994:
5842:
5692:
5639:
5598:
5544:
5524:
5474:
5445:
5412:
5392:
5348:
5319:
5286:
5220:
5180:
5153:
5087:
5047:
4995:
4960:
4928:
4905:{\displaystyle {m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1}
4834:
4798:
4772:
4616:
4466:
4300:
4254:
4156:
4140:
The evaluation of a Gaussian binomial coefficient at
3965:
3874:
3779:
3744:
3711:
3684:
3648:
3545:
3501:
3481:
3461:
3441:
3400:
3265:
3238:
3218:
3198:
3178:
3158:
3138:
3067:
3014:
2961:
2857:
2420:
2172:
2006:
1896:
1799:
1715:
1699:{\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1}
1628:
1398:
1369:
1325:
1277:
1127:
1034:
829:
608:
340:
316:{\displaystyle \mathrm {Gr} (k,\mathbb {F} _{q}^{n})}
275:
235:
169:
123:
8103:This allows another interpretation of the identity
331:The Gaussian binomial coefficients are defined by:
9017:"Recursive Formula Related To The Mobius Function"
8406:
8376:
8352:
8248:
8091:
7986:
7855:
7756:
7672:
7540:
7448:With the ordinary binomial coefficients, we have:
7428:
7398:
7244:
7061:
7032:
6874:
6681:
6541:
6347:
6128:
5962:
5810:
5673:
5617:
5580:
5530:
5510:
5456:
5431:
5398:
5378:
5330:
5305:
5272:
5206:
5166:
5139:
5073:
5029:
4978:
4946:
4904:
4810:
4784:
4755:
4596:
4432:
4286:
4229:
4124:
3948:
3854:
3762:
3717:
3697:
3670:
3631:
3528:
3487:
3467:
3447:
3427:
3351:
3244:
3224:
3204:
3184:
3164:
3144:
3101:
3050:
2992:
2884:
2823:
2403:
2155:
1989:
1879:
1782:
1698:
1606:
1381:
1352:
1311:
1253:
1110:
1011:
809:
532:
315:
250:
205:
155:
8353:{\displaystyle q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{q^{2}}}
8331:
8318:
8234:
8205:
8170:
8149:
8130:
8117:
8077:
8064:
7922:
7909:
7841:
7828:
7742:
7721:
7658:
7640:
7616:
7603:
7532:
7514:
7496:
7483:
7005:
6978:
6847:
6834:
6527:
6506:
6441:
6420:
6391:
6378:
6114:
6085:
6066:
6045:
5948:
5919:
5860:
5847:
5796:
5775:
5710:
5697:
4884:
4871:
4852:
4839:
4738:
4709:
4674:
4653:
4634:
4621:
4582:
4553:
4534:
4513:
4484:
4471:
4403:
4370:
4358:
4337:
4325:
4304:
4272:
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4221:
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4190:
4177:
4023:
4002:
3983:
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3924:
3911:
3892:
3879:
3837:
3816:
3797:
3784:
3614:
3593:
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345:
141:
128:
4158:
3252:. This is also the number of left-shifts of the
1432:
117:. The Gaussian binomial coefficient, written as
7997:is the number of one-dimensional subspaces in (
5147:be a projection with one-dimensional nullspace
575:Although the formula at first appears to be a
8274:In the conventions common in applications to
7551:With q-binomial coefficients, the analog is:
5658:
5645:
5207:{\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}
5074:{\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}
5014:
5001:
3632:{\displaystyle B(n,m,r)={n+m \choose m}_{q}.}
3086:
3073:
3051:{\displaystyle 0011,0101,0110,1001,1010,1100}
2926:-combination corresponds to a word of length
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1283:
8:
7814:elements, the Gaussian binomial coefficient
4457:for the Gaussian binomial coefficients are:
3061:To obtain the Gaussian binomial coefficient
217:with integer coefficients, whose value when
8497:q-Hypergeometric Functions and Applications
7787:or fewer parts each less than or equal to
7775:or fewer parts each less than or equal to
8814:
8746:
8715:
8463:"Summatio quarumdam serierum singularium"
8395:
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2962:
2960:
2952:letters 0 (for the remaining positions).
2874:
2861:
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2856:
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1102:
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197:
171:
168:
147:
140:
127:
125:
122:
71:Learn how and when to remove this message
8092:{\displaystyle q^{n-k}{n \choose k}_{q}}
5468:−1)-dimensional, and we can reconstruct
3259:These correspond to the coefficients in
3125:and the right position holds the letter
3109:, each word is associated with a factor
1319:gives the ordinary binomial coefficient
34:This article includes a list of general
8865:and the Gaussian Binomial Coefficients"
8435:
3725:(see also Applications section below).
8528:"Symmetric Polynomials and Partitions"
8479:
8468:
2932:using an alphabet of two letters, say
7891:). When expanded as a polynomial in
7:
8547:Zeta function of Grassmann Varieties
7870:-dimensional vector subspaces of an
7062:{\displaystyle n\rightarrow \infty }
5985:
5833:
5683:
5674:{\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}
5030:{\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}
3102:{\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}
1382:{\displaystyle m\rightarrow \infty }
1312:{\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}
7757:{\displaystyle {n+m \choose m}_{q}}
5306:{\displaystyle E_{1}\not \subset V}
4287:{\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}}
3435:be the number of ways of throwing
156:{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}
8322:
8209:
8153:
8121:
8068:
7913:
7832:
7725:
7644:
7607:
7518:
7487:
7333:
7281:
7144:
7095:
7056:
6982:
6969:
6838:
6692:instead, gives the second analog.
6510:
6424:
6382:
6089:
6049:
5923:
5851:
5779:
5701:
5649:
5625:, again splitting into two cases.
5005:
4875:
4843:
4805:
4713:
4657:
4625:
4557:
4517:
4475:
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4308:
4263:
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4181:
4006:
3974:
3915:
3883:
3820:
3788:
3597:
3274:
3232:, and one word with 4 inversions,
3077:
2969:
2866:
2851:The ordinary binomial coefficient
2429:
2181:
2015:
1905:
1808:
1724:
1669:
1637:
1455:
1442:
1408:
1407:
1376:
1334:
1287:
1136:
838:
349:
280:
277:
132:
40:it lacks sufficient corresponding
14:
8025:-dimensional affine subspaces of
7856:{\displaystyle {n \choose k}_{q}}
5379:{\displaystyle \phi :V'\to E_{1}}
2908:-element set. If one takes those
5581:{\displaystyle V'=V\cap E_{n-1}}
4979:{\displaystyle r\rightarrow m-r}
4947:{\displaystyle r\rightarrow m-r}
3763:{\displaystyle r\rightarrow m-r}
2885:{\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}
1353:{\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}
251:{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
25:
8263:− 1)-dimensional subspaces of (
7767:is the number of partitions of
5511:{\displaystyle V=\pi ^{-1}(V')}
4818:, both equations remain valid.
4108:
3172:, two words with 2 inversions,
2993:{\displaystyle {4 \choose 2}=6}
1232:
1118:, the formula can be stated as
990:
551:are non-negative integers. If
225:in a vector space of dimension
7384:
7371:
7358:
7351:
7230:
7217:
7204:
7197:
7172:
7160:
7122:
7100:
7053:
6817:
6805:
6770:
6748:
5505:
5494:
5432:{\displaystyle E_{1}\subset V}
5363:
5241:
5235:
5111:
4964:
4932:
4802:
4427:
4415:
4388:
4376:
4165:
3748:
3662:
3649:
3586:
3573:
3567:
3549:
3523:
3505:
3422:
3404:
3212:, one word with 3 inversions,
2684:
2633:
2630:
2611:
2608:
2589:
2580:
2561:
2558:
2539:
2536:
2524:
2519:
2500:
2497:
2478:
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2456:
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2319:
2316:
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2266:
2254:
2249:
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2227:
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2103:
2100:
2088:
2083:
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2061:
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1217:
1204:
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1073:
1064:
1057:
1042:
1035:
1003:
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978:
971:
959:
952:
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872:
865:
616:
609:
524:
505:
499:
480:
477:
465:
460:
429:
423:
398:
395:
376:
310:
284:
89:Gaussian binomial coefficients
1:
9043:Factorial and binomial topics
8757:10.1016/S0378-3758(98)00261-4
8461:Gauß, Carl Friedrich (1808).
3455:indistinguishable balls into
3256:s from the initial position.
3152:, one word with 1 inversion,
4811:{\displaystyle m\to \infty }
4449:Analogs of Pascal's identity
561:, this evaluates to 0. For
8542:(undated, 2004 or earlier).
7444:Central q-binomial identity
7438:Basic hypergeometric series
6554:
6552:and substituting equation (
6360:
4825:) using the initial values
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6558:) gives the first analog.
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